Ma trận nghịch đảo (khả nghịch)
Nguồn: /thunhan.wordpress.com
1. Khái niệm ma trận nghịch đảo (matrix inversion):
1.1 Định nghĩa 1:
Ma trận vuông I cấp n được gọi là ma trận đơn vị nếu A.I = I.A = A, với mọi ma
trận vuông A cấp n
Ta nhận thấy ma trận trên là tồn tại. Thật vậy, ma trận thỏa điều kiện trên có dạng sau:

Ma trận đơn vị cấp n
Ngoài ra, ma trận đơn vị là duy nhất. Thật vậy, giả sử có hai ma trận đơn vị I và I’. Ta có:
Vì I là ma trận đơn vị nên I.I’ = I’.I = I’
và I’ là ma trận đơn vị nên I’.I = I.I’ = I
Vậy: I = I’
1.2 Định nghĩa 2:
Cho A là một ma trận vuông cấp n trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, nếu tồn tại
một ma trận B vuông cấp n trên K sao cho:
A.B = B.A = I
n.
Khi đó, B được gọi là ma
trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A
-1
.
Như vậy: A.A
-1
= A
-1
.A= I
n
1.3 Nhận xét:
1. Ma trận nghịch đảo là duy nhất, vì giả sử tồn tại ma trận C vuông cấp n cũng là ma trận
nghịch đảo của A. Ta có: A.C = C.A = I

Ta có: A.B = B.A = I
2
. Do đó: A, B là khả nghịch và A là nghịch đảo của B; B là nghịch
đảo của A
Ma trận C không khả nghịch vì với mọi ma trận vuông cấp 2 ta đều có:
Nhận xét: Ma trận có ít nhất 1
dòng không (hoặc cột không) đều không khả nghịch.
2. Tính chất:
1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch và (AB)
-1
= B
-1
. A
-1
2. Nếu A khả nghịch thì A
T
khả nghịch và (A
T
)
-1
= (A
-1
)
T
(Bạn hãy thừ chứng minh kết quả trên nhé)
3. Mối quan hệ giữa ma trận khả nghịch và ma trận sơ cấp:
3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp n trên K (n ≥ 2) được gọi là ma trận sơ cấp
dòng (cột) nếu E thu được từ ma trận đơn vị I
n
bời đúng 1 phép biến đổi sơ cấp dòng

dòng (cột); đồng thời, chính dãy các phép biến đổi sơ cấp dòng (cột) đó sẽ biến I
n
thành
nghịch đảo của ma trận A.
4. Thuật toán Gausβ – Jordan tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp:
Ta sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm nghịch đảo (nếu có)của ma trận A vuông
cấp n trên K. Thuật toán này được xây dựng dựa vào kết quả thứ 2 của hệ quả 3.4. Ta
thực hiện các bước sau đây
Bước 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng cách ghép thêm ma trận đơn vị cấp n I vào
bên phải ma trận A

Lập ma trận chi khối cấp n x 2n
Bước 2: Dùng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa [ A|I ] về dạng [ A' | B ], trong
đó A’ là một ma trận bậc thang chính tắc.
- Nếu A’ = In thì A khả nghịch và A
-1
= B
- Nếu A’ ≠ In thì A không khả nghịch. Nghĩa là, trong quá trình biến đổi nếu A’ xuất hiện
ít nhất 1 dòng không thì lập tức kết luận A không khả nghịch (không cần phải đưa A’ về
dạng chính tắc) và kết thúc thuật toán.
Ví dụ minh họa: Sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm ma trận nghịch đảo của:

Từ đó suy ra
Giải: Vì vậy, ta có: A khả nghịch và:

Từ ta có: . Do đó: