BÀI 1
ϖ
α
δ
ϕ
ξ
 
 

ΦΩ
 
 
∞

¥
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n

mxn
Kí hiệu: A = [a
ij
]
mxn
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2

11
a
22
a
33
… gọi là đường
chéo chính
§1: Ma Trận
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§1: Ma Trận
Ví dụ:
1 0 2
3 1.5 5

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§1: Ma Trận
* Khi m = n (số hàng = số cột) ta nói A là ma trận
vuông cấp n.
Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n được ký
hiệu M
n
.
Ví dụ:
0 7 8
1 3
; 4 2 0
2 7
5 0 2
 
 
 
−
 
 

Ví dụ:
0 0 0
0 0 0
O
 
=
 
 
(tất cả các phần tử đều = 0)
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Các ma trận đặc biệt:
2. Ma trận chéo: là ma trận vuông có:
§1: Ma Trận

i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§1: Ma Trận
Các ma trận đặc biệt:
3. Ma trận đơn vị: là ma trận chéo có:
1, 1,2, , .
ii
a i n= ∀ =
Ký hiệu: I, I
n
.
Ví dụ:
2 3
1 0 0
1 0 0
1 0 0 1 0

y
ế
n

T
í
n
h
∑
§1: Ma Trận
Các ma trận đặc biệt:
4. Ma trận tam giác: là ma trận vuông có
0, .
ij
a i j= ∀ >
Ví dụ:
1 2 5 4
0 3 1 0
0 0 2 6
0 0 0 9
 
 
−
 
 
 
 
(tam giác trên)
0, .
ij

∑
§1: Ma Trận
Các ma trận đặc biệt:
5. Ma trận cột:là ma trận có n=1.
Ma trận cột có dạng:
[ ]
11
21
1
:

i
m
m
a
a
a
a
 
 
 
=
 
 
 
Đ
ạ
i

S

u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Các ma trận đặc biệt:
7. Ma trận bằng nhau:
ij ij
, , .
× ×
   
= = = ⇔ = ∀
   
ij ij
m n m n
A a b B a b i j
8. Ma trận chuyển vị: cho ma trận A=[a
ij
]
mxn
,
ma trận chuyển vị của ma trận A ký hiệu A
T
và xác định A
T

Ví dụ:
11 12 1 11 21 1
21 22 2 12 22 2
1 2 1 2

× ×
   
   
   
= → =
   
   
   
   
n m
n m
T
m m m n n n nm
m n n m
a a a a a a
a a a a a a
A A
a a a a a a
Dạng của ma trận chuyển vị:
2 3
3 2
1 6


T
í
n
h
∑
§1: Ma Trận
* Khi A

= A
T
thì A được gọi là ma trận đối xứng.
Ví dụ:
1 2 3
2 0 5
3 5 1
 
 
= =
 
 
−
 
T
A A
Đ
ạ
i

S

− −
   
= −
T
T
A A
A A
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Các ma trận đặc biệt:
11. Đa thức của ma trận:
Cho đa thức

và ma trân vuông

ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Ví dụ:
Cho
2
2
( ) 3 5P x x x= − +
và ma trận
1 2
0 3
A
 
=
 
−
 
Khi đó:
2
2 2

§1: Ma Trận
Các phép toán trên ma trận:
1. Phép cộng hai ma trận:
ij ij ij ij
× × ×
     
+ = +
     
m n m n m n
a b a b
1 2 0 3
3 5 2 4
4 2 1 5
     
     
− + − =
     
     
−
     
Ví dụ:
1
0
1+ 0=1
1
2 3
2+3=55
-1 1
5 3
(cộng theo từng vị trí tương ứng)

Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
§1: Ma Trận
Các phép toán trên ma trận:
2. Phép nhân một số với một ma trận:
ij ij
. ,
× ×
   
= ∈
   
m n m n
a a
λ λ λ


S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Các tính chất: là hai ma trận
cùng cấp, khi đó
, , ,R A B
α β
∀ ∈ ∀
§1: Ma Trận
) ( )
) ( )
) ( ) ( )
) 1
i A B A B
ii A A A
iii A A
iv A A
α α α

4 5 1 3 4 5 1 3
       
− = + −
       
       
( 1)A B A B− = + −
1 3 6 5 5 2
4 5 1 3 3 2
− − − −
     
= + =
     
− −
     

Nhận xét: trừ 2 ma trận là trừ theo vị trí tương ứng
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T

2 j
b
pj
b
Cột thứ j của ma trận B.
Như vậy = hàng thứ i của ma trận A nhân tương ứng
với cột thứ j của ma trận B rồi cộng lại.
ij
c
Đ
ạ
i

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
Ví dụ: Nhân hai ma trận sau:
3 3 3 2 3 2
3 2 1 1 2

S
ố

T
u
y
ế
n

T
í
n
h
∑
3 3 3 2 3 2
3 2 1 1 2 13 5
0 1 4 3 0
2 3 0 4 1
× × ×
     
     
− =
     
     
− −
     
Ví dụ: Nhân hai ma trận sau:
§1: Ma Trận
=0.1+(-1).3+4.4=13
Hàng 2