Bài tập lớn đại số tuyến tính -2013
1 Hình thức đánh giá
1.1 Phần 1: Lập trình 2 câu (5điểm)
.
• Chạy được chương trình: 3 điểm.
• Hỏi các lệnh trong chương trình: 2 điểm.
1.2 Phần 2: Giải bài toán cụ thể bằng các lệnh matlab trên Command window.
(5 điểm)
Phân làm 2 phần
• 3 câu loại 1: mỗi câu 1 điểm
• 1 câu loại 2: 2 điểm (cho làm trong 5phút, chấm theo mức độ hoàn thiện công việc).
2 Bài tập lập trình
Đề tài 1
1. Nhập vào ma trận A. Kiểm tra xem A có vuông hay không? Nếu có, dùng lệnh rref để tìm
ma trận nghịch đảo. Không được dùng bất cứ lệnh nào tính trực tiếp ma trận nghịch đảo.
2. Nhập vào một họ véc tơ ở dạng ma trận cột. Kiểm tra xem họ véc tơ có độc lập tuyến tính
hay không? Nếu có, dùng công thức Gram-smith trực chuẩn họ véc tơ. Dùng lệnh norm và
dot để tính độ dài và tích vô hướng của 2 véc tơ. Không được dùng lệnh qr.
Đề tài 2
1. Nhập 2 họ véc tơ E, F dưới dạng ma trận cột, vuông cấp n. Xét xem 2 họ véc tơ có là cơ sở
hay không? Nếu có, nhập ma trận của axtt f trong cơ sở E và tìm ma trận của f trong cơ
sở F .
2. Nhập vào ma trận A. Kiểm tra A có vuông và đối xứng hay không? Nếu có, tính các các định
thức con chính của A và suy ra A có xác định dương hay âm : nếu các định thức con chính
dương thì A xác định dương; nếu các định thức con lẻ âm và chẵn dương thì A xác định âm;
trường hợp còn lại không kết luận được gì.
Đề tài 3
1. Nhập 2 ma trận A, B. Kiểm tra điều kiện để của phép nhân A.B. Nếu thỏa, hãy tính từng
phần tử của ma trận tích AB theo định nghĩa và xuất ra ma trận tích.
2. Nhập vào ma trận A. Đưa A về dạng bậc thang. Xuất ra ma trận bậc thang của A và hạng
ma trận A. Không được dùng lệnh rref, rank.

Hướng dẫn: Dùng lệnh rank để xét xem hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm hay vô số
nghiệm. Trong trường hợp hệ vô số nghiệm, ta tìm nghiệm tổng quát ở dạng
x
tq
= x
r
+ x
tn
.
Trong đó, x
tn
là KG nghiệm của hệ Ax = 0 được tìm bằng lệnh null.
Tìm x
r
: dùng lệnh rref đưa về bậc thang và tìm các ẩn cơ sở. Cho các ẩn tự do bằng 0, ta
được hệ Cramer gồm r pt , r ẩn số. Tìm nghiệm hệ này ta được nghiệm riêng.
Xuất ra cơ sở của x
tn
và x
r
.
Đề tài 9
1. Cho ánh xạ tuyến tính ở dạng ma trận. Tìm cơ sở và số chiều của Imf và ker f.
2. Nhập 2 ma trận cùng số cột A, B. Kết hợp với lệnh null và rref, tìm cơ sở và số chiều của
tổng 2 không gian nghiệm của hệ thuần nhất Ax = 0, Bx = 0.
2
Đề tài 10
1. Nhập véc tơ x và tập sinh của V theo ma trận cột. Tìm cơ sở của V , suy ra cơ sở trực chuẩn
của V bằng lệnh qr(A). Xuất ra véc tơ hình chiếu.
2. Nhập vào ma trận A. Kiểm tra xem A có vuông hay không? Nếu có, hãy tính định thức A

(a) z
2
= ¯z.
(b) z
2
= z − ¯z.
4. Đưa ma trận




1 1 2 1
2 3 4 5
3 2 7 4
−1 2 −3 1




về dạng bậc thang.
5. Cho A =

2 −1 4 5

; B =

1 2 0 −1

. Tính vết của ma trận BA
T



, C =


2 1 0
−1 1 1
0 2 −1


. Tính 2AC −(CB)
T
8. Tìm chỉ số lũy linh của ma trận


−2 1 1
−3 1 2
−2 1 1


3
9. Tìm chuẩn Frobenius của


3 4 6
2 1 7
−2 5 3


10. Cho A =

3 1 2
1 −1 0


. Tính f(A), với f(x) = x
2
− 2x −3
13. Tính






2 3 2
3 1 4
−2 3 2






14. Tính







2 1 0
4 3 1


. Tính det(A
2
).
17. Dùng định thức để biện luận tính khả nghịch của ma trận


1 2 1
2 3 m
3 2 −1


.


1 1 1
2 3 2
5 7 5


18. Cho ma trận A =


2 3 1
3 4 2
5 3 −1


.X =

5 6
7 8

(d)


0 −8 3
1 −5 9
2 3 8


X =


−25 23 −30
−36 −2 −26
−16 −26 7


20. Tìm SỐ nghiệm của hệ phương trình







x

+ 2x
3
+ x
4
= 18
4
21. Tìm SỐ nghiệm của hệ phương trình







x
1
+ 2x
2
− 3x
3
+ 5x
4
= 1
x
1
+ 3x
2
− 13x
3
+ 22x

−2x
2
+3x
3
−4x
4
= 2
3x
1
+3x
2
−5x
3
+x
4
= −3
−2x
1
+x
2
+2x
3
−3x
4
= 5
3x
1
+3x
3
−10x












x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
= 1
2x
1
+ x
2
+ 3x
3
− x
4
= 2
3x

5
= 0
x
1
+ 4x
2
+ 5x
3
+ 3x
4
+ 7x
5
= 0
2x
1
+ 5x
2
+ 4x
3
+ x
4
+ 5x
5
= 0
x
1
+ 5x
2
+ 7x
3

− x
3
= 0 ∧ 2x
1
− x
3
− x
4
= 0}
31. Xét sự ĐLTT, PTTT của họ véc tơ M =

1 1
1 0

,

2 1
1 −1

,

5 2
2 −3

.
32. Trong R
3
và cơ sở E = {(1; 1; 1), (1; 1; 2), (1; 2; 1)} và [x]
E
= (1; −3; 2)

sang E.
38. Tìm m để x = (1; 0; m) là tổ hợp tuyến tính của M = {(1; 1; 1), (2; 3; 1)}.
Hướng dẫn: tìm hạng của M và hạng của {M, x} bằng định thức.
5
39. Trong R
4
, cho 2 không gian con
F =







x ∈ R
4
|

1 1 −1 −1
1 −1 3 −1





x
1
x
2

4
|x
1
− x
2
+ x
3
= 0 ∧ x
2
+ x
3
+ x
4
= 0}.
Tìm dim(V
⊥
).
41. Trong R
4
, cho 2 không gian con
V
1
=< (8; −6; 1; 0), (−7; 5; 0; 1) >, V
2
=< (1; 0; −8; 7), (0; 1; 6; −5) > .
Kiểm tra xem V
1
⊥ V
2
hay không?

+ x
2
− 3x
3
; x
1
− 4x
2
).
46. Tìm cơ sở và số chiều ảnh của ánh xạ tuyến tính
f(x
1
; x
2
; x
3
) = (2x
1
+ x
2
− 3x
3
; x
1
− 4x
2
).
47. Tìm cơ sở và số chiều nhân của ánh xạ tuyến tính
f(x
1

+ x
3
; x
1
− x
3
).
49. Cho axttf : R
3
−→ R
2
, biết f(1; 1; 0) = (2; −1), f(1; 1; 1) = (1; 2), f (1; 0; 1) = (−1; 1).
Tìm f (2; 0; 3).
50. Cho axtt f : R
3
−→ R
2
biết ma trận của f trong cặp cơ sở
E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)}, F = {(1; 1), (2; 1)} là A
E,F
=

2 1 −3
0 3 4

.
Tìm f (1; 2; 3).
51. Cho f (x
1
; x


. Xét xem véc tơ nào là VTR của A.
53. Cho A =

3 4
6 5

, λ
1
= −1, λ
2
= 3. Số nào là TR của A?
6
54. Cho A =


3 1 1
2 4 2
1 1 3


. Tìm tất cả các TR và VTR tương ứng của ma trận A.
55. Cho A =


0 −8 6
−1 −8 7
1 −14 m



2
, v
2
) = 2 suy ra mọi ma trận con cấp
3 suy biến. Chọn ma trận con cấp 3 có chứa m, tính định thức suy ra m. Thử lại suy ra kết
quả.
5. Trong R
4
, cho V là tập nghiệm của hệ phương trình





x
1
+ x
2
− x
3
= 0
2x
1
+ 2x
2
+ x
3
+ x
4
= 0

4
, cho không gian con
V = {(x
1
; x
2
; x
3
; x
4
) ∈ R
4
|x
1
− x
2
+ x
3
= 0 ∧ x
2
+ x
3
+ x
4
= 0}.
Tìm một cơ sở của V
⊥
.
9. Trong R
4

V
(x).
7
11. Trong R
3
, cho 2 KG con
V
1
=< (1; 2; 1), (−1; 0; 1) >, V
2
= {(x
1
; x
2
; x
3
) ∈ R
3
|x
1
− x
2
+ mx
3
= 0}
Tìm m để V
1
≡ V
2
.

.
14. Trong R
3
, cho tích vô hướng (x, y) = x
1
y
1
+ 2x
2
y
2
+ 5x
3
y
3
−2x
1
y
3
−2x
3
y
1
. Tìm không gian
bù vuông góc của F =< (1; 2; 3) >.
15. Cho axttf : R
3
−→ R
2
, biết f(1; 1; 0) = (2; −1), f(1; 1; 1) = (1; 2), f (1; 0; 1) = (−1; 1).

3
−→ R
3
biết ảnh của một tập sinh
f(1; 1; 1) = (1; 2; 1), f(1; 1; 2) = (2; 1; −1), f(1; 2; 1) = (5; 4; −1)
Tìm ma trận của f trong cơ sở E = {(1; 1; 0), (0; 1; 1), (1; 1; 1)}.
18. Cho axtt f : R
3
−→ R
2
biết ma trận của f trong cặp cơ sở
E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)}, F = {(1; 1), (2; 1)} là A
E,F
=

2 1 −3
0 3 4

.
Tìm ma trận của f trong cơ sở chính tắc.
19. Cho axtt f : R
3
−→ R
3
có ma trận trong cơ sở E = {(1; 2; 1), (1; 1; 2), (1; 1; 1)} là
A =


1 0 1
2 1 4



1 1 −1
2 3 3
1 2 4


.
Tìm cơ sở và số chiều của Imf.
22. Cho axtt f : R
3
−→ R
3
có ma trận trong cơ sở E = {(1; 1; 1), (1; 0; 1), (1; 1; 0)} là
A
E
=


1 1 −1
2 3 3
1 2 4


.
Tìm cơ sở và số chiều của ker f.
8
Chú ý:
Những bài tập cụ thể trên chỉ đại diện cho một lớp các bài toán tương tự. Do vậy, mọi tính toán
các em phải dùng matlab mà không được tính bằng tay.