ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ NGỌC ANH

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP GRAPH TRONG DẠY HỌC
TOÁN Ở TRƯỜNG THPT NHẰM TÍCH CỰC HOÁ
HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH

Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học toán
Mã số: 60.14.10
L
L
U
U
Ậ
Ậ
N

O
Á
Á
N
NH
H
Ọ
Ọ
C
C
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRỊNH THANH HẢI

Thái Nguyên - 2008 1
MỤC LỤC


học: tiếp cận cấu trúc hệ thống 22
1.3.3. Cơ sở tâm lý học nhận thức của việc áp dụng
phƣơng pháp graph trong dạy học 22
1.3.4. Tổng quan về việc nghiên cứu graph trong dạy
học 25
1.4. Ứng dụng của phƣơng pháp graph trong dạy học 28
1.4.1. Sử dụng phƣơng pháp graph trong dạy học 28
1.4.2. Chuyển hoá graph thành phƣơng pháp graph dạy
học 29
1.4.3. Những ứng dụng của graph trong dạy học 29
1.4.4. Ý nghĩa của việc sử dụng graph trong dạy học 34
CHƢƠNG II: VẬN DỤNG LÝ THUYẾT GRAPH VÀO
DẠY HỌC TOÁN Ở TRƢỜNG THPT
2.1. Graph dạy học toán học 36
2.1.1. Graph nội dung 36
2.1.2. Graph hoạt động 42
2.1.3. Mối quan hệ giữa graph nội dung và graph hoạt
động 54
2.2. Một số ví dụ về thiết kế graph trong dạy học toán 55
2.2.1. Thiết kế một số graph của một số nội dung
trong chƣơng trình toán THPT 55
2.2.2. Thiết kế graph một số chuyên đề toán học 62
2.2.3. Vận dụng lý thuyết graph vào việc giải bài tập
toán học 66
2.3. Sử dụng graph trong dạy học toán ở trƣờng THPT 70

3

GV : Giáo viên
HS : Học sinh
PT : Phƣơng trình
PPDH : Phƣơng pháp dạy học
SGK : Sách giáo khoa
TB : Trung bình
THPT : Trung học phổ thông

1
MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
- Luật Giáo dục nƣớc Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam đã quy
định: “Phƣơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động,
tƣ duy sáng tạo của ngƣời học; bồi dƣỡng năng lực tự học, lòng say mê học
tập và ý chí vƣơn lên” (Luật Giáo dục 2005).
- Nghị quyết hội nghị lần thứ II Ban chấp hành Trung ƣơng Đảng cộng
sản Việt Nam (khoá VIII, 1997) khẳng định: “Phải đổi mới phƣơng pháp giáo
dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tƣ duy
sáng tạo của ngƣời học. Từng bƣớc áp dụng các phƣơng pháp tiên tiến và
phƣơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học, bảo đảm điều kiện và thời gian tự
học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học”.
- Đổi mới phƣơng pháp dạy học là một nhiệm vụ quan trọng của ngành
giáo dục nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh.
- Nhiệm vụ đổi mới phƣơng pháp dạy học theo hƣớng tích cực hoá hoạt
động học tập của học sinh không chỉ là định hƣớng mà còn đòi hỏi cần nghiên
cứu xác định nguyên tắc, quy trình vận dụng của những phƣơng pháp dạy học

- Đối với phƣơng pháp graph trong dạy học toán, các chuyên gia Hoàng
Chúng và Vũ Đình Hoà đã có một số định hƣớng nhƣng chƣa có học viên cao
học nào nghiên cứu một cách chi tiết.
- Xuất phát từ lí do trên chúng tôi chọn đề tài: “Sử dụng phƣơng pháp
graph trong dạy học toán ở trƣờng THPT nhằm tích cực hoá hoạt động
học tập của học sinh”, với mục tiêu vận dụng một phƣơng pháp dạy học có
nhiều tiềm năng phát huy năng lực nhận thức của học sinh, góp phần thiết
thực vào việc đổi mới phƣơng pháp dạy học Toán học ở trƣờng phổ thông. 3
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hƣớng vận dụng phƣơng pháp graph để xây dựng một số graph nội
dung và graph hoạt động vào dạy học toán ở trƣờng THPT theo chƣơng trình
mới.
3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu
- Khách thể nghiên cứu: Chƣơng trình toán THPT, học sinh THPT, GV
giảng dạy Toán ở các trƣờng THPT.
- Đối tƣợng nghiên cứu: Dạy học Toán ở trƣờng THPT theo phƣơng
pháp graph.
- Phạm vi nghiên cứu: Giới hạn trong một số nội dung của chƣơng trình
toán THPT nhƣ: Thống kê, xác suất….
4. Giả thuyết khoa học
Nếu vận dụng phƣơng pháp graph trong dạy học một số nội dung của
chƣơng trình Toán thì sẽ góp phần tích cực hoá hoạt động học tập của học
sinh, phát triển tƣ duy hệ thống và góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn
Toán ở THPT.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu quan điểm dạy học Toán theo tinh thần đổi mới.
- Tìm hiểu lý thuyết graph và việc vận dụng lý thuyết graph trong dạy

- Tiến hành thực nghiệm.
- Đánh giá kết quả thực nghiệm.
8. Cấu trúc luận văn
Luận văn bao gồm:
Phần mở đầu.
Chƣơng I: Cơ sở lý luận của đề tài. 5
Chƣơng II: Vận dụng lý thuyết graph vào dạy học toán ở trƣờng THPT.
Chƣơng III: Thực nghiệm sƣ phạm.
Kết luận.
Tài liệu tham khảo.
đẩy một cuộc vận động đổi mới PPDH ở tất cả các cấp trong ngành Giáo dục
và Đào tạo từ một số năm nay với những tƣ tƣởng chủ đạo đƣợc phát biểu
dƣới nhiều hình thức khác nhau, nhƣ “Phát huy tính tích cực”, “Phƣơng pháp
dạy học tích cực”, “Tích cực hoá hoạt động học tập”, “Hoạt động hoá ngƣời
học”v.v… [6].
7
1.1.2. Định hƣớng đổi mới PPDH
Định hƣớng đổi mới PPDH đã đƣợc xác định trong nghị quyết Trung
ƣơng 4 khoá VII (1- 1993), Nghị quyết Trung ƣơng 2 khoá VIII (12- 1996),
đƣợc thể chế hoá trong luật giáo dục (2005), đƣợc cụ thể hoá trong các chỉ thị
của bộ Giáo dục và Đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14 (4- 1999).
Luật giáo dục 2005, chƣơng I, điều 24 đã ghi “Phƣơng pháp giáo dục
phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học
sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học; bồi dƣỡng phƣơng
pháp tự học, khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến
thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập
cho mỗi học sinh”.
Với mục tiêu giáo dục phổ thông là “Giúp học sinh phát triển toàn diện
về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mĩ và các kỹ năng cơ bản, phát triển năng
lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành nhân cách con ngƣời Việt
Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tƣ cách và trách nhiệm công dân; chuẩn bị
cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây
dựng bảo vệ tổ quốc”; Chƣơng trình giáo dục phổ thông ban hành kèm theo
quyết định số 16/2006/QĐ - BDGĐT ngày 5/5/2006 của Bộ trƣởng bộ Giáo
dục và Đào tạo cũng đã nêu: “Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động,
sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc trƣng môn học, đặc điểm đối tƣợng
học sinh, điều kiện của từng lớp học; bồi dƣỡng cho học sinh phƣơng pháp tự

quy định.
Toán học là khoa học nghiên cứu các quan hệ số lƣợng, hình dạng và
lôgic trong thế giới khách quan
Tính trừu tƣợng có trong mọi ngành khoa học, tuy nhiên trong toán học
tính trừu tƣợng tách ra khỏi mọi chất liệu đối tƣợng, chỉ giữ lại những quan hệ
số lƣợng dƣới dạng cấu trúc mà thôi. 9
Sự trừu tƣợng hoá trong toán học diễn ra trên những bình diện khác
nhau. Có những khái niệm toán học là kết quả của sự trừu tƣợng từ những đối
tƣợng vật chất cụ thể, chẳng hạn khái niệm số tự nhiên, khái niệm hình bình
hành…
Toán học là môn học có tính phổ dụng cao, điều này là do đặc tính trừu
tƣợng của môn học này quyết định
Ví dụ: xét tƣơng quan y = ax (a 0), trong toán học nó thể hiện tƣơng
quan của hàm bậc nhất. Tuy nhiên nó còn thể hiện ở nhiều lĩnh vực khác,
chẳng hạn:
+ Trong vật lí ta có tƣơng quan sau:
- Tƣơng quan giữa quãng đƣờng trong một chuyển động đều với
vận tốc v cho trƣớc tỷ lệ thuận với thời gian t là: s = vt
- Tƣơng quan giữa hiệu điện thế U với cƣờng độ dòng điện trong
trƣờng hợp điện trở R không đổi: U = IR.
+ Trong hoá học ta có: phân tử gam M của một chất khí tỷ lệ thuận với
tỷ khối d của chất khí đó đối với không khí: M = 29d.
Ngày nay toán học đã thâm nhập vào hầu hết mọi ngành khoa học. Nó là
nền tảng cho các môn khoa học khác, do đó đổi mới phƣơng pháp dạy học
toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu chung của nền giáo
dục phổ thông.
1.2.2 Quan điểm chung về đổi mới phƣơng pháp dạy học môn toán ở

hoạch chi tiết có tính algorit), cá thể hoá (nâng cao tính tích cực, tự lực và
sáng tạo)…
Trong dạy học việc truyền thông tin không chỉ theo hƣớng từ giáo viên
đến học sinh mà còn theo hƣớng từ học sinh đến giáo viên (liên hệ ngƣợc)
hoặc giữa học sinh với các phƣơng tiện dạy học (sách, đồ dùng dạy học…) 11
hoặc giữa học sinh với học sinh. Nhƣ vậy, giữa giáo viên và học sinh; giữa
phƣơng tiện dạy học với học sinh; giữa học sinh với học sinh đều có các
đƣờng (kênh) để chuyển tải thông tin đó là: kênh thị giác (kênh hình); kênh
thính giác (kênh tiếng)….Trong đó kênh thị giác có năng lực truyền tải thông
tin nhanh nhất, hiệu quả nhất.
Đối với học sinh đổi mới PPDH là: học tập một cách tích cực, chủ động,
biết phát hiện và giải quyết vấn đề, phát triển tƣ duy linh hoạt, sáng tạo, hình
thành và ổn định phƣơng pháp tự học.
Đối với giáo viên đổi mới PPDH là:
-Thay đổi quan niệm: dạy học là truyền thụ một chiều, hƣớng tới dạy
ngƣời học phát triển và giải quyết vấn đề.
- Phong phú hơn nữa hình thức tổ chức dạy học
- Nâng cao hơn việc sử dụng phƣơng tiện dạy học, thành tựu của công
nghệ thông tin, tăng cƣờng tri thức toán gắn với thực tiễn.

1.3 Chuyển hoá graph toán học thành graph dạy học
1.3.1. Một số khái niệm cơ bản của lý thuyết graph
Graph là một cấu trúc rời rạc gồm các đỉnh và các cạnh (vô hƣớng hoặc
có hƣớng) nối các đỉnh đó.
Ngƣời ta phân loại graph tuỳ theo đặc tính và số cạnh nối các đỉnh của
graph. Số đỉnh của graph G đƣợc kí hiệu bằng V(G) hay V. Số cạnh của graph
G đƣợc kí hiệu bằng E(G) hay E.

gọi là các đỉnh và một tập E mà các phần tử của nó gọi là các cạnh, đó là các
cặp không có thứ tự của các đỉnh có thể chứa cạnh bội nhƣng không có
khuyên.
Grap con (Đỉnh C là graph con)

A
B
e
g
h
C

Hai cách thể hiện khác nhau của một graph 13
Ví dụ: V= {A, B, C, D, E, G}
E={(A, B),(B, C),(A, D),(A, E),(E, C),(B, D)}
Hai đỉnh u và v trong graph (vô hƣớng) đƣợc gọi là liền kề nếu (u,v) E.
Nếu e = (u,v) thì e gọi là cạnh liên thuộc với các đỉnh u và v. Cạnh e cũng là
cạnh nối các đỉnh u và v. Các đỉnh u và v gọi là các điểm đầu mút của cạnh e.
Bậc của đỉnh v trong graph kí hiệu deg(v) là số cạnh liên thuộc với nó,
riêng khuyên tại một đỉnh đƣợc tính hai lần cho bậc của nó
Đỉnh v đƣợc gọi là đỉnh treo nếu deg(v)=1 và gọi là đỉnh cô lập nếu
deg(v)= 0.
Ví dụ:
Deg(A)=3; deg(B)=2


14
Đỉnh u đƣợc gọi là nối tới v hay v đƣợc gọi là nối tới u trong graph có
hƣớng nếu (u,v) là một cung của graph. Đỉnh u gọi là đỉnh đầu còn đỉnh v gọi
là đỉnh cuối của cung này.
Bán bậc vào của đỉnh v trong graph có hƣớng G, kí hiệu deg
+
(v) là số
các cung có đỉnh cuối là v.
Bán bậc ra của đỉnh v trong graph có hƣớng G, kí hiệu deg
-
(v) là số các
cung có đỉnh đầu là v.
Ví dụ:

Deg
+
(A)= 1; deg
-
(A)= 4
Deg
+
(B)= 2; deg
-
(B)= 2
Deg
+
(C)= 2;deg
-
(C)= 0

bất kỳ của nó luôn có cạnh nối (cạnh liền kề)
Nhƣ vậy, K
n
có
2
)1(nn
cạnh và mỗi đỉnh của K
n
có bậc là n-1.
E

B

B

C
D
A 15
Ví dụ:
+ Graph vòng
Graph vòng C

+ Graph bánh xe
Graph W
n
thu đƣợc từ C
n
bằng cách bổ xung vào một đỉnh mới v
n+1
, nối
với tất cả các cạnh của C
n
.
Nhƣ vậy graph W
n
có n+1 đỉnh, 2n cạnh, 1 đỉnh bậc n và n đỉnh bậc 3.
Ví dụ:

V
1
V
3
V

3
V
4
K
5

K
4

V
1
V
3
V
2
K
3

V
2
V
1
V
3
V
4
W
3

V

, V
1
V
2
= Ø, V
1
≠ Ø, V
2
≠ Ø
và mỗi cạnh của G đƣợc nối với một đỉnh trong V
1
và một đỉnh trong V
2
đƣợc
gọi là graph phân đôi.
Nếu graph phân đôi G = (V, E) sao cho mọi v
1
V
1
, v
2
V
2
; (v
1
, v
2
) E
thì G đƣợc gọi là graph phân đôi đầy đủ. Nếu V
1

1
V
2
V
3
V
4
V
5
10
11
00
01
V
1

V
2

Q
1
Q
2
17
sao cho e
1
=(x

Một graph (vô hƣớng) đƣợc gọi là liên thông nếu có đƣờng đi giữa mọi
cặp đỉnh phân biệt của graph.
Ví dụ:
Đường đi Euler và graph Euler [11]:
Định nghĩa: Chu trình (đƣờng đi) đơn chứa tất cả các cạnh (hoặc cung)
của graph (có hƣớng hoặc vô hƣớng) G đƣợc gọi là chu trình (đƣờng đi)
Euler.
Một graph liên thông (liên thông yếu đối với đồ thị có hƣớng)có chứa
một chu trình (đƣờng đi) Euler đƣợc gọi là graph Euler (nửa Euler).
Ví dụ: X
T
Y
U
Z
V
G liên thông
G
’

G
3 18
Graph G
1
trong hình trên là graph Euler vì nó có chu trình Euler A, E, C,
D, E, B, A. Graph G
3
không có chu trình Euler nhƣng nó có đƣờng đi Euler
A, C, D, E, B, D, A, B, vì thế G
3
là nửa Euler. Graph G
2
không có chu trình
cũng nhƣ đƣờng đi Euler.
Đường đi Hamilton và graph Hamilton [11]:
Định nghĩa: Chu trình (đƣờng đi) sơ cấp chứa tất cả các đỉnh của graph
(vô hƣớng hoặc có hƣớng) G đƣợc gọi là chu trình (đƣờng đi) Hamilton. Một
graph có chứa một chu trình (đƣờng đi) Hamilton đƣợc gọi là graph Hamilton
(nửa Hamilton).
Ví dụ: Trong hình trên G
3G
1
G
2
G
3 19

Khảo sát về cây là một nội dung quan trọng của lý thuyết graph và có
nhiều ứng dụng trong thực tiễn.
Cây khung:
Định nghĩa: Giả sử G (V, E) là đồ thị vô hƣớng liên thông.
Cây T = (V, F) với F E đƣợc gọi là cây khung của đồ thị G.
Bài toán tìm cây khung nhỏ nhất
Đây là bài toán tối ƣu trên graph tìm đƣợc ứng dụng trong nhiều lĩnh
vực khác nhau của đời sống.
Cho G = (V, E) là graph vô hƣớng liên thông có trọng số, mỗi cạnh e E
có trọng số m(e) 0. Giả sử T = (V

V
4
V
3
V
2
8
9
5
7 20
Bắt đầu từ graph rỗng T có 4 đỉnh V
1
, V
2
, V
3
, V
4
.
Sắp xếp các cạnh của graph theo thứ tự tăng dần của trọng số
{ (V
2
,V
4
), (V
2
, V

3
, V
4
), vì nhƣ vậy sẽ tạo thành chu trình).
Vậy ta đƣợc cây khung cực tiểu:

T
min
= 2+ 5+ 8 =15
Cây có gốc
Định nghĩa: Cây có hƣớng là graph có hƣớng mà graph vô hƣớng nền
của nó là một cây.
Cây có gốc là một cây có hƣớng, trong đó có một đỉnh đặc biệt gọi là
gốc, từ gốc có đƣờng đi đến mọi đỉnh khác của cây.
Ví dụ:
Trong cây có gốc thì gốc R có bậc vào bằng 0, còn tất cả các đỉnh khác
đều có bậc vào bằng 1.
E
F
A
B