MỤC LỤC
PHẦN A: PHẦN MỞ ĐẦU 2
I. Lý do chọn đề tài 3
II. Mục đích nghiên cứu 3
III. Nhiệm vụ nghiên cứu 3
IV. Phương pháp nghiên cứu 4
V. Đối tượng nghiên cứu 4
VI. Phạm vi giới hạn của đề tài 4
VII. Bố cục tiểu luận 4
PHẦN B: PHẦN NỘI DUNG 5
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ THUYẾT 5
1.1 Định nghĩa của hàm Delta Dirac 5
1.1.1 Hàm bước và hàm Delta Dirac 5
1.1.2 Biểu diễn hàm Delta Dirac trong các hệ trục tọa độ 8
1.2 Tính chất của hàm Delta Dirac 9
1.3 Dạng lượng giác của hàm Delta Dirac 14
1.4 Áp dụng hàm Delta Dirac để chứng minh công thức
 
3
3
4

 

 
 


r
div r
r

các môn học trên là điều rất quan trọng.
Để học tốt các môn học này sinh viên cần nắm vững một số kiến thức toán
như: Các hệ tọa độ, đa thức Hermite, đa thức Legedre, Hàm Delta Drirac, …
Hiện nay các giáo trình chuyên ngành đều có phần trình bày ngắn gọn các phép
toán trên. Đặc biệt hàm Delta Dirac được sử dụng rất nhiều và là phần không
thể thiếu trong các môn Vật lí chuyên ngành. Việc tìm hiểu và xây dựng thành
một đề tài đầy đủ và chi tiết giúp người đọc dễ dàng hơn trong việc học tập và
nghiên cứu.
Chính vì những lý do trên mà em chọn đề tài tiểu luận “Định nghĩa và tính
chất hàm delta Dirac và áp dụng để chứng minh công thức div(r/r
3
)=4πδ
3
(r)”
II. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu xây dựng định nghĩa tính chất và một số ví dụ minh họa về
hàm Delta Dirac góp phần nâng cao hiệu quả học tập đồng thời làm phong phú
thêm tư liệu học tập cho các bạn sinh viên.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về định nghĩa và tính chất của hàm Delta Dirac và áp dụng để
chứng minh công thức div(r/r
3
)=4πδ
3
(r).
Đưa ra một số ví dụ minh họa về hàm Delta Dirac.
IV. Phương pháp nghiên cứu
Tích cực, tự giác và chủ động trong học tập và nghiên cứu lý thuyết.
Nghiên cứu và phân tích các tài liệu giáo khoa, các lý thuyết có liên quan.
Phương pháp tổng hợp thu thập tài liệu.

1, 0
0, 0
H









(1)
(hàm bằng đơn vị khi đối số là hàm dương và bằng không khi đối số là hàm
âm) Hàm bước đơn vị Heaviside dùng để định nghĩa hàm xung:

     
 
o o o
1
,
x x H x x H x x

 

 
     

  
(3)
Hàm Delta Dirac không phải là một hàm theo nghĩa thong thường. Hàm
này bằng không ở mọi nơi, trừ tại điểm
o
x
mà tại đó nó có giá trị vô hạn sao
cho:

 
1
o
x x dx



 

. (4)
Một tính chất khác của hàm Delta Dirac là:

 
 
 
.
o o
x x f x dx f x





 




  
 
 
 
 
 
 
  
(6)
Dùng định lí giá trị trung bình trong tích phân, chọn
0 1

 
ta có thể viết:

 
   
   
0 0
1 1
lim lim .
o
o
x

Thật vậy, điều này suy ra trực tiếp từ định nghĩa đạo hàm:

 


   
 
 
0
lim
.
o
o
o o
o
dH x x
H x x
dx
H x x H x x
x x







 
   


 
o o o
1
,
x x H x x H x x

 

 
     
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
,
,

  
  




(10)
Trong không gian 2 hoặc 3 chiều ta có các hàm Delta Dirac:

   
     
2
3
1,
1.
o o
o o o
I x x y y dxdy
I x x y y z z dxdydz
 
  
 
 
  
  
   
    
 
  
(11)

I A r r rdrd

    

  
 
. (13)
Do đó có thể nói rằng, khi chuyển sang hệ tọa độ cực thì hàm




o o
x x y y
 
  chuyển thành hàm




o o
r r
r
  
 
.
Nếu có tính chất đối xứng đối với biến

thì hàm




o o o
r r z z
r
    
  

Tọa độ trụ


, ,
r z

có tính đối xứng
theo

.




2
o o
r r z z
r
 

 


.




2
2 sin
o o
r r
r
   
 
 

Tọa độ cầu


, ,
r
 
có tính đối xứng
theo

và

.


2
4




(14)
Giá trị của hàm


x

tại
0
x

phải bằng vô hạn, bởi vì nếu không, do độ
đo của một điểm bằng không, tích phân đó sẽ bằng không.
Ta thấy rằng trong định nghĩa của hàm Delta Dirac điều kiện tích phân (14)
là có vai trò quan trọng chứ không phải giá trị của nó tại gốc tọa độ.
Bằng cách tích phân từng phần, ta có:

 
0
n
x x dx





. (15)
Cho nên, nên

           
a
a
x a f x dx x a f x f x dx f a
 
 



    
 
. (18)
Trong số những công thức liên quan đến hàm Delta Dirac, ta thường sử
dụng nhất các hệ thức sau đây:

   
1
x x
  

 . (19)
Thực vậy, nếu
0


:

       
1 1
0 .

 
 
(21)
Từ đó suy ra:





x x
 
 
. (22)
Đạo hàm của hàm Delta Dirac được suy ra từ vai trò phiếm hàm của nó:

     
,
f x x a dx f a



 

(23)

         
0 .
x f x dx x f x dx f
 
 

    
 


 
.
f
f x g x dx f x g x dx
g

   


  

 
(26)
Như vậy:

 
 


 
.
x
g x
g
 


.
p
i
i
i
x
g x
g
 







(28)
Người ta thường dung biểu thức thể hiện tính đầy đủ hoặc tính trực chuẩn
của hệ hàm riêng nào đó để biểu diễn hàm Delta Dirac. Từ hệ hàm riêng đầy đủ,
trực chuẩn bằng kí hiệu Kronecker




n
x

, ta sẽ có biểu diễn:



n x n y
a x a
x y
a a a
x a x a
 



 
  

 


 


(30)
Để đơn giản khi tiến hành kiểm tra xem hàm này có thỏa mãn tính chất của
hàm

hay không, ta chọn
0
y

.
Khi đó , ứng với
0
x

cos cos cos .
x x x x
x
a a a a a
x x x
a a a a
   

  
 
   
 
 

(32)
Hay tổng quát hóa ta có:

 
2
2 2 2
cos cos cos .
n
n x x n x
x
a a a a
  

 (33)
Ta sẽ thấy rằng đồ thị của các hàm này, ngày càng tiến gần tới đồ thị có
dạng “nửa đường thẳng dựng đứng” của hàm Delta Dirac (hình 3).

Hình 3: Đồ thị hàm


2
x


Hình 4: Đồ thị hàm


4
x


Bởi vì xuất phát từ khai triển Fourier của hàm
arctan
x
:

 
2 1
0
arctan 1 .
2 1
n
n
n
x
x
n

chiều:

 
 
 
 
3
3
1
exp .
2
r r d q iq r r


 
  

     
(37)
Với trường hợp một chiều:

   
1
cos .
2
x qx dq





 
1
2






ixk
x e dk
hay
 
1
2






ixk
k e dx
. (40)

Trong trường ba chiều thì hàm








irk
k
r e dk
hay
 
 
3
1
2









ikr
k
k e dr
. (42)
1.4 Áp dụng hàm Delta Dirac để chứng minh công thức
 
3
3
4


r x y z
.
Ta có,
  

 

r xi yj zk
là vectơ tọa độ, kéo dài từ gốc tọa độ đến điểm có
tọa đô (x,y,z). Hàm delta dirac 3 chiều bằng 0 tại mọi điểm trừ gốc tọa độ
(0,0,0). Tích phân khối của nó là bằng 1.



3
 

r d
=
     
1
  
  
  

  
x y z dxdydz
. (43)
Và suy rộng phương trình (23):

 
 


r
div r
r
(45)
Nói chung:

 
3
4

 

 
 
3
r
r
r


div
, (46)
với
r

là vectơ khoảng cách
CHƯƠNG II: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HÀM DELTA DIRAC
Bài tập 1: Xét một hạt khối lượng m với thế năng là hàm:





o
V x V x

 .
Hãy chỉ ra rằng nếu
o
V
có giá trị âm thì sẽ tồn tại một trạng thái liên kết, và
năng lượng liên kết là
2
2
2
o
mV



2
2 2
2
2
, .
o
o
m E
mV
k U 
 

Ta thu được:

 
2
2
2
0.
o
d
k U x
dx

  
  

Tích phân hai vế theo
x







0 0 0
o
U
  
 
 
 
. Đối với
0
x

phương trình Schrodinger có nghiệm hình thức




exp
x k x



với k
dương dẫn đến:






0 0 0 2 0
o
U k
   
 
 
   
.
Như vậy
,
2
o
U
k   cần có
o
V
âm. Năng lượng của trạng thái liên kết là:

2 2 2
2
2 2
o
k mV
E
m


 
 
 
 
 
  

Ở đây hằng số bất kì A thu được từ điều kiện chuẩn hóa:

0
2 2
0
1
dx dx
 


 
 
.
Bài tập 2: Xét một hạt có khối lượng m chuyển động 1 chiều và tán xạ trên
thế


V x
. Chứng tỏ rằng:

 
2 2
1


Kuo
Lim, Nhà xuất bản Giáo dục).
Lời giải: Để giải phương trình Schrodinger một chiều không phụ thuộc
vào thời gian:

2 2
2
.
2
d
E V
m dx
 
 
 
 
 


Ta định nghĩa hàm Green


E
G x
thỏa mãn phương trình sau:

   
2 2
2

1
.
2
ikx
E
ikx
G x f k e dk
x e dk












Rồi thay vào phương trình đối với


E
G x
, ta thu được:

 
2 2
2

có thể xem như một tích phân lấy trong mặt k phức, ta có thể thêm
i

, trong đó

là một số dương nhỏ, vào mẫu số của


f k
. Sau khi lấy tích phân ta lại cho

 
. Xét:

 
2 2
1 e
.
2
2
ixk
E
G k dk
k
E i
m








.
Khi
0
x

, tích phân trở thành một tích phân theo đường cong kín trên nửa
mặt phẳng trên với một điểm kì dị tại
1
k
với thặng dư:

1
1
2
1
.
ik z
me
k


 


Công thức tích phân Cauchy cho ta:

   

G x
. Tương
tự, khi
0
x

, ta có thể lấy tích phân theo đường cong kín trên nửa mặt phẳng
dưới và thu được:

   
2
1
e 0 .
ixk
E
m
G x i x
k

  


Ở đây ta cũng có
1
2
mE
k 

. Vì thế hàm Green của hạt tự do


Lời giải:
Phương trình Schodinger và nghiệm của nó có dạng như sau:

   
2
,
2
x x E
m


     


Với:
 


 
2 2
exp , 0
, 0.
2
exp , 0
A x x
E x
m
B x x





Áp dụng vào bài toán này ta thu được:

, .
o
m
A B

 
  


Từ đó suy ra:

2
2
o
m
E

 

.
Nghĩa là chỉ tồn tại một trạng thái duy nhất thuộc phổ dán đoạn. Hàm sóng
chuẩn hóa của trạng thái này có dạng:





o o
o o
m
U x x dx E
m
T p x dx E
m

 





     
    





Bài tập 4: Một hố thế năng có chiều sâu vô hạn giam giữ một hạt trong
vùng
0
x L
 
. Hãy vẽ hàm sóng và mô tả trạng thái riêng năng lượng cực tiểu
của hạt. Nếu một hố thế năng đẩy dạng hàm delta,



sin ,
o
nx
x
L L

 

 
 

2 2
2
2
o
E
mL



.
Đồ thị biểu diễn hàm sóng đó được vẽ ở Hình 6.
Khi thêm hàm thế delta, phương trình Schrodinger sẽ trở thành:


2
/ 2 0,
k x L
  


0 0
L
 
 
,
,
2 2 2
L L L
  
 
   
     
 
 
   
     
     
   
   
2 2
L L
 
 
   
   


   
   
   

/ 2
x L

thỏa mãn:


 
1
2
sin k , 0 L/2,
cos k L , 0 L/2.
A x x
A x x

  



   

 


Đặt
k k
o

ứng với trạng thái cơ bản. Điều kiện:
1 2
A A A


 
 
 
 

.
Do
kL
cot
2
 
 
 
âm nên,
/2 k L/2
o
 
 
, hay
/ k 2 /
o
L L
 
 
. Hàm sóng
trạng thái cơ bản mới được mô tả trên Hình 7.
Năng lượng tương ứng là:
2 2 2
2

m




trong đó
p

là xung lượng của hạt
và m là khối lượng của nó.
(Bài 48, trang 15, Bài tập Vật lí lí thuyết (tập 2), Nguyễn Hữu Mình (chủ
biên), Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam).
Lời giải:
Đặt hàm sóng của hạt tự do
 
ipr
p
r Ae


 






p k



   
 
 
 
2
.
x y z x y z
i i
p x p y p z p x p y p z
x x y y z z
A e e dxdydz
p p p p p p
  

  
    


  
   

 

Chú ý rằng theo tính chất của hàm Delta Dirac:

   
1
ax x
a
 

2
p
j
m




.