Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng

231

Bài 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG
I. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VÀ NỬA ĐỐI XỨNG VỚI SINX, COSX
1. Phương pháp chung
(
)
sin cos sin cos 0
a x x b x x c
+ + + =(
)
sin cos sin cos 0
a x x b x x c
− + + =

Bước 1.
Đặt
(
)
( )
(
)
( )
2
2
1

Bài 1.
Giải phương trình:
( )
( )
2 sin cos sin cos 1 1
x x x x+ − =

Giải
Đặt
(
)
2
1
sin cos 2 cos 2, 2 sin cos
4 2
t
t x x x x x
π −
 
= + = − ∈ − ⇒ =
 
. Ta có
( )
2
1 2 2 1 0 2 1 2; 2
t t t
 
⇔ − + = ⇔ = − ∈ −
 
(

( )
sin cos 0 sin 2 0 2
2
k
x x x x
π
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠

Với điều kiện (2) thì
( )
( ) ( )
10
1 sin cos sin cos sin cos sin cos
3
x x x x x x x x
⇔ + + + =

(
)
(
)
3 sin cos sin cos 1 10sin cos
x x x x x x
⇔ + + =

Đặt
(
)
2
1

( )
( )
2
2 19
2 3 4 5 0 2; 2
3
t t t t
−
 
⇔ − − − = ⇔ = ∈ −
 

(
)
(
)
2 19 2 19
2 cos cos cos
4 3 4
3 2
x x
− −
π π
⇔ − = ⇔ − = = α

( )
2 2
4 4
x n x n n
π π

1
sin cos 2 cos 2, 2 sin cos
4 2
t
t x x x x x
π −
 
= + = − ∈ − ⇒ =
 

Khi đó
( )
( ) ( ) ( )
2
3 2 3 2 2
1 3
1 1 3 1 2 3 3 1 3 1
2 2
t
t t t t t t t
 
−
⇔ + − = − ⇔ + − − = −
 
 

( )
(
)
3 2 2


Giải
Đặt
(
)
2
1
sin cos 2 sin 2, 2 sin cos
4 2
t
t x x x x x
π −
 
= + = + ∈ − ⇒ =
 

Khi đó (1)
( )
2
2
2 2
0; 2
0; 2
6. 1 3
2
6 1 9
t
t
t t
t

(
)
sin cos 7 sin 2 1 1
x x x− + =

Giải
Đặt
(
)
2
sin cos 2 cos 2, 2 sin 2 1
4
t x x x x t
π
 
= − = − + ∈ − ⇒ = −
 

Khi đó
( )
(
)
2 2
1 7 1 1 7 6 0
t t t t
⇔ + − = ⇔ − − =

(
)
(




π


⇔ ⇔ ⇔ = + π ∈

−
=



π

+ = = α


π

= − ± α + π


»

Bài 6.
Giải phương trình:
(
)
( )

(
)
{
}
( )
3
1
cos cos 1 2 ; 2 ; 2
4 4 2 4
2
x x x k k k k
π π π π
−
⇔ + = ∨ + = − ⇔ ∈ −π + π + π + π ∈
»

Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng

233

Bài 7.
Giải phương trình:
(
)
sin 2 2 sin 1
4
x x x
π
+ − =



(
)
(
)
{ }
( )
tg 1
sin cos 0
; 2 ; 2
1
sin
4 2
2 sin 1
4
4
2
x
x x
x k k k k
x
x
=

− =

π π


⇔ ⇔ ⇔ ∈ + π + π π + π ∈

⇔ − − − + + =

(
)
(
)
(
)
4 sin cos 1 sin cos 5 sin cos 1
x x x x x x
⇔ − + − + + =

Đặt
(
)
sin cos 2 sin 2; 2
4
t x x x
π
 
= + = + ∈ −
 
, khi đó ta có phương trình:
( )
( )
2
2
1
4 1 5 1 1 2 2 1 0 1
2

sin cos 2 sin 2; 2 , 1
4
t x x x t
π
 
= + = + ∈ − ≠ ±
 
. Biến đổi ta nhận được
( ) ( )
( )
2 2 2 3 2
2
2 2
2 1 0 2 2 1 2 2 0 2 4 2 0
1
t
t t t t t t t
t
+
 
+ + = ⇔ − + + + = ⇔ + + =
 
−
 

( ) ( )
2
2 1 0 0 1 sin cos 0 tan 1
4
t t t t x x x x k

mt t
⇔ + − =
( )
2
1 0
f t t mt
⇔ = + − =
với
2; 2
t
 
∈ −
 

Để ý rằng:
2
1
4 0
m
∆ = + >
nên
(
)
0
f t
=
có 2 nghiệm phân biệt
1 2
,
t t

 
< ≤ <
∈ −


Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm
m
∀ ∈
Bài 11.
Tìm
m
để phương trình:
(
)
sin 2 4 cos sin
x x x m
+ − =
có nghiệm
Giải

Đặt
cos sin 2; 2
t x x
 
= − ∈ −
 
và

đồng biến trên
2, 2
 
−
 

⇒
Tập giá trị
(
)
f t
là
(
)
(
)
2 , 2 4 2 1, 4 2 1
f f
 
 
− = − − +
   

Do đó phương trình đã cho có nghiệm
(
)
f t m
⇔ =
có nghiệm
2, 2

sin cos sin cos 3sin cos sin cos
x x m x x x x x x m
− = ⇔ − + − =

Đặt
(
)
[ ]
sin cos 2 sin 1, 2 0,
4
t x x x x
π
 
= − = − ∈ − ∀ ∈ π
 
;
2
1
sin cos
2
t
x x
−
=
.
Khi đó phương trình
( )
( )
2
3 3 2 3

∈ π
và với mỗi
)
1, 2
t

∈


cho ta 2 nghiệm
[
]
0,
x
∈ π
.
Nên để phương trình
3 3
sin cos
x x m
− =

có 3 nghiệm phân biệt
[
]
0,
x
∈ π

thì

′
(t)
f(t)
Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng

235

II. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG VỚI TAN, COT
I. CÔNG THỨC SỬ DỤNG
(
)
(
)
(
)
sin sin cos
tan tan ; tan tan ; tan cot
cos cos cos cos cos sin
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
+ − −
+ = − = + =

(
)
cos
2
cot tan ; tan cot ; cot tan 2 cot 2
sin cos sin 2

( )
2 sin cos tan cot 1
x x x x+ = +

Giải
Điều kiện:
( )
sin cos 0 sin 2 0 2
2
k
x x x x
π
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠

Đặt
(
)
2
sin cos 2 cos 2, 2 sin 2 1
4
t x x x x t
π
 
= + = − ∈ − ⇒ = −
 

( )
( )
( )
2 3

)
(
)
3 tan cot 2 2 sin 2
x x x
+ = +
(1)
Giải

Điều kiện:
( )
sin cos 0 sin 2 0 2
2
k
x x x x
π
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠

( )
3
1 2 sin 2
sin 2
x
x
⇔ = +
2
sin 2 2sin 2 3 0 sin 2 1
x x x
⇔ + − = ⇔ =
4

(
)
(
)
cos 1 8 cos cos 2 sin 0 cos 1 2sin 4 0
x x x x x x
⇔ − = ⇔ − =

{
}
5
1
cos 0 sin 4 ; ;
2 2 2 24 2 24 2
k k k
x x x
π π π π π π
⇔ = ∨ = ⇔ ∈ + + +

Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương

236

Bài 5.
Giải phương trình:
( )
3
tan cot 2 cot 2 1
x x x= +


x x x
⇔ + = ⇔ =
2
2 4 2
n
x n x
π π π
⇔ = + π ⇔ = +

Bài 6.
Giải phương trình:
(
)
tan cot 2 sin 2 cos 2
x x x x
+ = +
(1)
Giải

Điều kiện:
( )
sin cos 0 sin 2 0 2
2
k
x x x x
π
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠

( )
( )


Bài 7.
Giải phương trình:
(
)
6 tan 5cot 3 tan 2 1
x x x+ =

Giải

( )
( )
(
)
(
)
5cos 3 sin 2
1 5 tan cot 3 tan 2 tan
cos .sin 3 cos 2 .cos
x x x x
x x x x
x x x x
− −
⇔ + = − ⇔ =

2 2 2
5cos 2 sin 3 .sin 10 cos 2 2 sin 3 sin 10 cos 2 cos 2 cos
4
x x x x x x x x x
⇔ = ⇔ = ⇔ = −




⇔ ⇔ ⇔



β
= ±β + π

= − = β

= ± + π



(thỏa mãn (2))
(
)
n ∈
»

Bài 8.
Giải phương trình:
[
]
(
)
2 cot2 cot 3 tg2 cot 3 1
x g x x g x− = +

sin 0 sin 0 sin 2 2sin cos 0 sin 4 0 sin 4 .sin 3 0
x x x x x x x x
⇔ = ⇔ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ =
(3)
Do (2) và (3) mâu thuẫn nhau nên phương trình (1) vô nghiệm.
Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng

237

Bài 9.
Giải phương trình:
( )
2
2 tan cot 3 1
sin
x x
x
+ = +

Giải

Điều kiện:
( )
sin cos 0 sin 2 0 2
2
k
x x x x
π
≠ ⇔ ≠ ⇔ ≠


Giải

Điều kiện:
(
)
sin 2 sin 4 cos cos cos 3 0 sin 4 .cos 3 0 2
x x x x x x x≠ ⇔ ≠

( )
( ) ( )
2
1 2 tan 3 tan tan 3 cot 2
sin 4
x x x x
x
⇔ − + + =

2sin 2 cos
2
4sin sin 4 2cos cos 2 2 cos 3
cos 3 cos cos 3 sin 2 sin 4
x x
x x x x x
x x x x x x
⇔ + = ⇔ + =

4sin sin 4 cos cos 3 2 cos 3 4 sin sin 4 cos cos 3 0
x x x x x x x x x
⇔ + + = ⇔ + − =


Giải phương trình:
( )
1
2 tan cot 2 2sin 2 1
sin 2
x x x
x
+ = +

Giải

Điều kiện:
sin 2 0
2
k
x x
π
≠ ⇔ ≠
(2)
Sử dụng:
sin 2 sin cos 2 cos cos
1
tan cot 2
cos .sin 2 cos sin sin 2
x x c x x
x x
x x x x x
+
+ = = =


x
x x n x n n
x
=

π π

⇔ → = − ⇔ = ± + π ⇔ = ± + π ∈
=


»

Chương VII. Phương trình lượng giác – Trần Phương

238

Bài 12.
Giải phương trình:
2
3 tan 6 2 tan 2 cot 4
sin 8
x x x
x
− = −
(1)
Giải

ĐK:
cos 6 .sin 8 0

1
0 sin 2 4 0
cos 6 cos 4 cos 6 cos 2 cos 4
x x
x
x x x x x
⇔ + = ⇔ + =
. Do
sin 8 0
x
≠
nên
Phương trình chỉ có nghiệm
( )
1
cos 4 cos
4 4 2
k
x x k
α π
= − = α ⇔ = ± + ∈
»

Bài 13.
Giải phương trình:
( )
2
3 tan 2 4 tan 3 tan 3 .tan 2 1
x x x x− =


1 tan 3 tan 2 0
x x
x x
− =

⇒

+ =


2
tan 2 tan 3
1 tan 3 0
x x
x
=


⇔ ⇒

+ =


Vô lý
1 tan 3 . tan 2 0
x x
⇒ + ≠

Khi đó
( )

2 2
tan 0 tan 0
2 tan 5 tan 3 0
3
tan tan
5
x
x n
x x
x
x n
= =

= π


⇔ − = ⇔ ⇔

= = α
= ±α + π



(thỏa mãn (2))
Bài 14.
Giải phương trình:
( )
2 3 2 3
tan tan tan cot cot cot 6 1
x x x x x x+ + + + + =

tan cot 8
x x
+ + =

Bài 4. Phương trình đối xứng và nửa đối xứng

239

( ) ( ) ( )
3 2
tan cot tan cot 2 tan cot 8 0
x x x x x x
⇔ + + + − + − =

Đặt
tan cot tan cot 2 tan cot 2
x x t t x x x x
+ = ⇒ = + ≥ =

Khi đó
( )
(
)
3 2 2
2 8 0 2 3 4 0
t t t t t t
+ − − = ⇔ − + + =

( )
(


Giải
Điều kiện:
(
)
cos 2 .cos 3 .cos 5 0 2
x x x ≠

(
)
(
)
(
)
1 tan 2 5 tan tan 3 1 tan 2 .tan 5 3
x x x x x⇔ − = +
. Nếu
1 tan 2 .tan 5 0
x x
+ =
thì
từ
( )
tan 2 tan 5 0
3
1 tan 2 tan 5 0
x x
x x
− =


x x
−
⇔ ⇔ = = − = − = −
+

tan 3 0
3
k
x x
π
⇔ = ⇔ =
(thỏa mãn (2))
(
)
n ∈
»

Bài 16.
Giải phương trình:
( )
2 2 2 2
tan 2 . tan 3 .tan 5 tan 2 tan 3 tan 5 1
x x x x x x= − +

Giải

ĐK:
(
)
cos 2 .cos 3 .cos 5 0 2




2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
tan 3 tan 2 tan 2 1 cos 2 sin 2
tan 3 .tan 2 1 tan 3 1 cos 3 sin 3
x x x x x
x x x x x
  
= = =
  
⇔ ⇔ ⇔
  
= = =
  
  
cos 4 0
cos 6 0
x
x
=

⇔

=


( )
2


Vô lý
2 2
1 tan 3 tan 2 0
x x
⇒ − ≠

Khi đó
( )
( )
tan 3 tan 2 tan 3 tan 2
1 3 tan 5 tan . tan 5
1 tan 3 . tan 2 1 tan 3 tan 2
x x x x
x x x
x x x x
− +
⇔ ⇔ = ⋅ =
+ −

( )
( )
( )
2
tan 5 0 tan 5 0
tan 5 0
5
tan 1 cos 2 0
x x
k

.
Ta có
cot 2 cot 2 tan
a a a
− =
⇒
2
1 2
tan tan 2 2 tan tan tan 2
tan tan 2
a a a a a
a a
− = ⇔ − =

Khi đó:
( ) ( ) ( )
1 1 1
tan 2 2 tan tan 4 2 tan 2 tan 8 2 tan 4 tan 8 2
2 4 4
x x x x x x x
− + − + − = −

( )
tan 1
4
x x k k
π
⇔ = ⇔ = + π ∈

thỏa mãn điều kiện.


2 2 2
4 cot 2 cot tan 2
a a a
⇔ − = −
.

Sử dụng đẳng thức này ta có
( )
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2
1 tan 2 4 tan 2 2 16 tan 4 2 64cot 8 1
x x x x
⇔ − + − + − = −

(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 2
4cot 2 cot 4 4cot 4 cot 2 16 4cot 8 cot 4 64cot 8 1
x x x x x x x
⇔ − + − + − = −

2
2 2
2
8sin cos 2
tan 3 tan
cos 3
a a
a a
a
− =
. Biến đổi phương trình ta có
2 2 2
2 2 2
sin cos 2 sin 3 cos 6 sin 9 cos18
0
cos 3 cos 9 cos 27
x x x x x x
x x x
+ + =

(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2
tan 3 tan tan 9 tan 3 tan 27 tan 9 0
x x x x x x
⇔ − + − + − =