Cao Hào Thi 1
Chương 1
XÁC SUẤT
(Probability)
1.1. THÍ NGHIỆM NGẪU NHIÊN, KHÔNG GIAN MẪU, BIẾN CỐ:
1.1.1. Thí nghiệm ngẫu nhiên (Random Experiment)
Thí nghiệm ngẫu nhiên là một thí nghiệm có hai đặc tính :
- Không biết chắc hậu quả nào sẽ xảy ra.
- Nhưng biết được các hậu quả có thể xảy ra
Ví dụ:
Tung một con xúc sắc là một thí nghiệm ngẫu nhiên vì :
- Ta không biết chắc mặt nào sẽ xuất hiện
- Nhưng biết được có 6 trường hợp xảy ra (xúc sắc có 6 mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6)
Ràng buộc:
- Con xúc sắc đồng chất để 6 mặt đều có thể xuất hiện như nhau.
- Cách tung xúc sắc không cố ý thiên vị cho mặt nào hiện ra.
1.1.2. Không gian mẫu (Sample Space)
Tập hợp các hậu quả có thể xảy ra trong thí nghiệm ngẫu nhiên gọi là không gian mẫu của
thí nghiệm đó.
Ví dụ:

a) Biến cố hội A
∪
B (Union)
Biến cố hội của 2 biến cố A và B được ký hiệu là A ∪ B:
A ∪ B xảy ra Ù (A xảy ra HAY B xảy ra)
b) Biến cố giao A
∩
B (Intersection)
A ∩ B xảy ra Ù (A xảy ra VÀ B xảy ra)

A

B
A∪B
E

A


Ta có:
A ∪ B = {1, 3, 5, 6}
A ∩ B = {3}
A = {2,4,6} : biến cố khi mặt chẵn xuất hiện.
A ∩ C = φ => A và C là 2 biến cố cách biệt.
e) Hệ đầy đủ (Collectively Exhaustive)
Gọi A
1
, A
2
…, A
k
là k biến cố trong không gian mẫu E
Nếu A
1
∪ A
2
∪… ∪A
k
= E thì K biến cố trên được gọi là một hệ đầy đủ.
A
E
A B


2
1
6
3
=

1.2.2. Tính chất:
a. Gọi A là một biến cố bất kỳ trong khơng gian mẫu E
0 ≤ P(A) ≤ 1
b. P (φ) = 0 => φ là Biến cố vơ phương
P (E) = 1 => E là Biến cố chắc chắn
1.2.3. Cơng thức về xác suất :
a) Xác suất của biến cố hội:
P (A
∪ B) = P (A) + P(B) - P( A ∩ B)
Chứng minh:
Gọi N : là số phần tử của khơng gian mẫu E
n
1
: là số phần tử của (A - B)
n
2
: là số phần tử của (A∩B)
n
3
: là số phần tử của (B - A)


2
+ n
3
- n
2

= n(A) + n(B) - n(A ∩ B)
Do đó : n( A ∪ B)/N = n(A)/N + n(B)/N - n(A ∩ B )/N
P(A
∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Ghi chú :
Nếu A và B là 2 biến cố cách biệt, ta có:
A ∩ B = φ => P(A ∩ B) = P(φ) = 0
==> P (A
∪ B) = P(A) + P(B)
b) Xác suất của biến cố phụ (biến cố đối lập)
Biến cố phụ của biến cố A trong không gian mẫu E là
A : P(A) + P ( A ) = 1
Chứng minh:
A∪ A = E
P (A∪ A ) = P(E)
P(A) + P( A ) - P(A ∩ A ) = 1 vì P(A∩ A ) = P(φ) = 0
1.2.4. Công thức nhân về xác suất :
a) Xác xuất có điều kiện :
Gọi P (B / A) là xác suất có điều kiện của biến cố B sau khi biến cố A đã thực hiện.
P(B/A) = P(A
∩ B)/ P(A) Với P(A) > 0 ; P(B) > 0
hay
P(A/B) = P(A ∩ B)/ P(B)
Chứng minh

∩
=
∩
=
∩
=

b) Công thức nhân về xác suất:
Cho hai biến cố A và B trong không gian mẫu E, xác suất của biến cố giao được tính:
P(A∩B) = P(B/A) * P(A) hay P(A∩B) = P(A/B) * P(B)
c) Biến cố độc lập :
Biến cố gọi là độc lập với biến cố A về phương diện xác suất nếu xác suất của biến cố B
không thay đổi cho dù biến cố A đã xảy ra, nghĩa là:
P(B/A) = P(B) ngược lại: P(A/B) = P(A)
Trong trường hợp hai biến cố độc lập, công thức nhân trở thành:
P(A∩B) = P(A) * P(B)
1.2.5. Công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes
a) Công thức xác suất đầy đủ :
Giả sử biến cố B xảy ra khi và chỉ khi một trong các biến cố của hệ đầy đủ cách biệt nhau
từng đôi một A
1
, A
2
…, A
k
xảy ra.
Biết xác suất P(A
i
) và P(B/A
i

Theo giả thiết bài toán thì
B = (B ∩ A
1
) ∪ (B ∩ A
2
) ∪ … ∪ (B∩A
k
)
P(B)= P[(B∩A
1
) ∪ (B∩A
2
) ∪…∪ (B∩A
k
)] = P(B∩A
1
) + P(B∩A
2
) + … + P(B∩A
k
)
Vì: P(B∩A
i
) = P(B/A
i
) * P(A
i
)
P(B) =
∑

3
) ∪ (B∩A
4
)
==> P(B) =
∑
=
4
1i
ii
)A(P*)A/B(P

Theo đề bài:
P(A
1
) = 1/3, P(A
2
) = 1/4, P(A
3
)= 1/4, P(A
4
) = 1/6,
∑
=1)Ai(P
P(B/A
1
) = 0,15, P(B/A
2
) = 0,08, P(B/A
3

i
)
P(A
i
/B) =
P(B)
)P(A*)P(B/A
ii

P(A
i
/B) =
∑
=
k
i
ii
ii
)P(A * )P(B/A
)P(A*)P(B/A
1Cao Hào Thi 8
Công thức này được gọi là công thức Bayes, hay công thức xác suất các giả thiết về các
biến cố A
i
có thể xem như giả thiết theo đó biến cố B xuất hiện. Ta phải tính xác suất của
các giả thiết với điều kiện biến cố B xuất hiện.
Ví dụ:

2
lần trong n phép thử thì ta ký hiệu
xác xuất đó là P
n
(k
1
,k
2
)
Gọi A
ki
là biến cố A xuất hiện k
i
lần
A = A
ki
∪ A
k1+1
∪…∪ A
k2

P
n
(k
1
,k
2
) = P(A) =
∑
=

4
2
p²q
(4-2)
=
27
8
3
1
30
2
21
34
22
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
*
*
≈ 0,3


Xác suất để biến cố A xuất hiện không quá 3 lần
P
10
(0,3) = P
10
(0) + P
10
(1) + P
10
(2) + P
10
(3) ≈ 0.38
Ghi chú:
• Chỉnh hợp A
p
n
=
p)!-(n
n!

•
Tổ hợp C
p
n
=
p)!-(np!
n!

•

25 * 0,7 – 0,3 ≤ k
0
≤ 25 * 0,7 + 0,7
17,2 ≤ k
0
≤ 18,2
Vì k là số nguyên, nên chọn k = 18
c) Các công thức gần đúng để tính P
n
(k) và P
n
(k
1
,k
2
)
Các công thức được rút ra từ các định lý giới hạn.
Công thức Moixre - Laplace :
P
n
(k) ≈ ϕ(x
k
)/
npq

•
Công thức Moixre - Laplace được sử dụng khi n khá lớn

Cao Hào Thi 10
• p là xác suất của biến cố A trong phép thử Bernoulli, p không quá gần 0 và 1

ϕ(x
k
) = ϕ(1,04) = 0,2323
P
26
(13) = ϕ(x
k
) /
npq
= 0,2323/2,5 = 0,093
P
n
(k
1
, k
2
) ≈ ∅ (β) - ∅ (α)
∅(x)
1/2

0

-1/2

α = (k
1
- np)/ npq

- np)/ npq = 4,14 => ∅ (β) = ∅(4,14) = 0,499968
P
1000
(652, 760) = ∅ (β) - ∅ (α) = 0,999488
Công thức Poisson
• Nếu n →
∞
và p → 0 sao cho np = λ (const) thì
P
n
(k) ≈ (e
-λ
λ
k
) / k!
•
Định lý Poisson cũng có thể dùng để tính gần đúng P
n
(k
1
,k
2
)
P
n
(k
1
, k
2
) =

800
(3) = e
-4
4³/3! = 0,1954
2.
P
800
(0,10) =
k =
∑
0
10
e
-4
4
k
/k! = 0, 997 Cao Hào Thi 13
Chương 2
THỐNG KÊ
Thống kê là một khoa học có mục đích thu thập, xếp đặt và phân tích các dữ liệu về một
tập hợp gồm các phân tử cùng loại
2.1 TẬP HỢP CHÍNH VÀ MẪU (Population and Sample)
2.1.1 Tập hợp chính (tập hợp tổng quát, tổng thể)
Tập hợp chính là tập hợp tất cả các đối tượng mà ta quan tâm nghiên cứu trong một vấn
đề nào đó. Số phần tử của tập hợp chính được ký hiệu là N.
2.1.2 Mẫu
Mẫu là tập hợp con của tập hợp chính. Mẫu gồm một số hữu hạn n phần tử. Số n được gọi

2.2.1 Bảng kê (Table)
• Xếp đặt các dữ liệu vào một bảng theo một qui tắc nào đó ta được một bảng kê.
• Bảng kê thường bắt đầu bằng tiêu đề và chấm dứt bằng một xuất xứ.
+ Tiêu đề : Mô tả đơn giản nội dung của bảng kê
+ Xuất xứ : Ghi nguồn gốc các dữ liệu trong bảng kê.
Cao Hào Thi 14
Thí dụ:
Bảng 2.1: Diện tích các đại dương trên thế giới
Đại dương Diện tích (triệu km²)
Thái Bình Dương
Đại Tây Dương
Ấn Độ Dương
Nam Băng Dương
Bắc Băng Dương
183
106,7
73,8
19,7
12,4
nguồn : Liên Hiệp Quốc
2.2.2 Biểu đồ
Để có ấn tượng rõ và mạnh hơn về dữ liệu người ta trình bày dữ liệu bằng các biểu đồ:
a) Biểu đồ hình thanh (Bar chart)
Biểu đồ hình thanh dọc Biểu đồ hình thanh ngang

TBD DTD ADD NBD BBD
Cao Hào Thi 15
18.5
19
19.5
20
20.5
21
21.5
22
22.5
23
23.5
123456789101112

Nhiệt độ trung bình tại Đà Lạt năm 1969
c) 2.2.2.3 Biểu đồ hình tròn (Pie Chart)

Dieän tích (%)
TBD
DTD
ADD
NBD
BBD

Biểu đồ hình tròn là một vòng tròn chia thành nhiều hình quạt. Cả hình tròn tượng trưng
toàn thể đại lượng, mỗi hình quạt tương trưng một thành phần mà góc ở tâm tỷ lệ với số
dữ kiện thuộc thành phần đó.
2.3 TẦN SỐ
• Nếu mỗi biến cố sơ đẳng A thuộc tập hợp biến cố ω nào đấy có thể đặt tương ứng với

.
nf
l
i
i
=
∑
=1
với n là cỡ mẫu
2.3.2 Tần số tương đối (Relative frequency, tần suất)
Tỉ số giữa tần số f
i
và cỡ mẫu n gọi là tần số tương đối
n
f
i

n
f
W
i
i
=
1
1
=
∑
=
l
i

W
i
w
1
w
2
w
3
… w
l

• Bảng phân phối tần số của biến ngẫu nhiên liên tục.
X
[ξ
o
, ξ
1
) [ξ
1
, ξ
2
) [ξ
2
, ξ
3
)
…
[ξ
l-1
, ξ


Cao Hào Thi 17
x1 x2 xi xl

b) Biểu đồ tổ chức

Là biểu đồ thiết lập sự liên hệ giữa tần số (hay tần số tương đối) và các khoảng chia mà
các giá trị của biến ngẫu nhiên rơi vào đó.
X
[ξ
o
, ξ
1
) [ξ
1
, ξ
2
)
…
[ξ
i-1
, ξ
i
) [ξ
l-1
, ξ
l
)
f
i

= y
i
* h = f
i

S
i
= f
i

Ghi chú :
Đối với tần số tương đối y
i
= w
i
/h
i
và S
i
= W
i y y
i
f
i

=1 ξ
5
=10
ξ
6
= 5 ξ
7
= 9 ξ
8
= 6 ξ
9
= 8 ξ
10
= 6
ξ
11
= 2 ξ
12
= 3 ξ
13
= 7 ξ
14
= 6 ξ
15
= 8
ξ
16
= 3 ξ
17
= 8 ξ

1 2 3 1 3 5 3 3 2 2
1 3 6 7 10 15 18 21 23 25
2.
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
W
i
=
n
f
i

0.04 0.08 0.12 0.04 0.12 0.2 0.12 0.12 0.08 0.08
Σ w
i
= 1
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
12345678910
w
X



2.4.2 Số trung bình trọng số (Weighted Mean)
∑
∑
=
=
=
N
i
i
N
i
ii
w
xw
1
1
.
µ
w
i
: trọng số
2.4.3 Số trung vị (Median)
• Số trung vị của khối Dữ liệu là số mà phân nửa giá trị quan sát được của khối Dữ liệu
nhỏ hơn nó và phân nữa giá trị quan sát lớn hơn nó.
• Gọi n là số giá trị quan sát được (đối với biến ngẫu nhiên rời rạc)
9 Nếu n là số lẻ thì số trung vị là số có thứ tự (n+1)/2. Nó chính là số có vị trí ở giữa
khối Dữ liệu.
9 Nếu n là số chẵn thì số trung vị là trung bình cộng của hai số có thứ tự
2

i
i
ii
f
xf
=
923,2
13
61534132231102
=
++++++ xxxxxxx

Số trung vị (Median): Cỡ mẫu n = 13 lẻ => (n+1)/2 = 7
0 0 1 2 2 2 3 3 4 5 5 5 6
⇒ Số trung vị là số có thứ tự 7, nghĩa là số trung vị là 3
Số yếu vị là 2 và 5 có tần số lớn nhất là 3
Số trung vị, số yếu vị không bị lệ thuộc vào các Dữ liệu có trị số thái quá.
2.5 SỐ PHÂN TÁN (Measure of Dispersion)
Số phân tán dùng để thể hiện sự khác biệt giữa các số trong dữ liệu đối với số định tâm.
2.5.1 Phương sai (Variance)
a) Phương sai của tập hợp chính (Population Variance)
2
1
2
1
2
2
)(
µ
µ

S
n
i
i

2.5.2 Độ lệch chuẩn (Standard Deviation)
a) Độ lệch chuẩn của tập hợp chính (Population Standard Deviation)
()
∑
µ−=σ=σ
2
2
1
i
x
N

b) Độ lệch chuẩn của mẫu (Sample Standard Deiation)
Cao Hào Thi 21
∑
−
−
==
22
)(
1
1
xx
n
ss

Trong 1 khối dữ liệu xếp thứ tự lớn dần, các số tứ phân là các số Q
1
, Q
2
, Q
3
chia khối
dữ liệu lần lượt thành 4 phần có tần số bằng nhau.
Cao Hào Thi 22
Q
1
Q
2
Q
3

N/4 N/2 3N/4 N
Nhận xét: Q
2
là số trung vị (median)
b) Hàng số tứ phân
Là hiệu số Q
3
- Q
1

c) Độ lệch tứ phân
Là phân nửa của hàng số tứ phân: Q = (Q
3
-Q

Cao Hào Thi 22
Chương 3
RA QUYẾT ĐỊNH TRONG QUẢN LÝ
3
3.1 GIỚI THIỆU VỀ RA QUYẾT ĐỊNH TRONG QUẢN LÝ:
3.1.1 Tổng Quát
Trong cuộc sống hằng ngày, mỗi người trong chúng ta đều phải ra không biết bao nhiêu
quyết định liên quan đến các sinh hoạt cá nhân từ ăn gì, uống gì, mặc gì, làm gì, khi nào,
ở đâu, với ai đó là các quyết định rất bình thường. Nội dung chương này muốn đề cập đến
các quyết định trong quản lý.
Vai trò đặc trưng chung của nhà quản lý là trách nhiệm ra quyết định , từ các quyết định
quan trọng như phát triển một loại sản phẩm mới, giải thể công ty đến các quyết định
thông thường như tuyển nhân viên, xác định kế hoạch sản xuất hàng tháng, hàng quí. Ra
quyết định thâm nhập vào cả bốn chức năng của nhà quản lý gồm hoạch định, tổ chức, chỉ
đạo và kiểm tra, vì vậy nhà quản lý đôi khi còn được gọi là người ra quyết định
Các quyết định liên quan đến bốn chức năng quản lý thường có thể thấy qua các ví dụ
sau:
Hoạch định:
- Mục tiêu dài hạn của công ty là gì ?
- Nên theo chiến lược nào để đạt đến mục tiêu ?
Tổ chức :
- Nên chọn cấu trúc tổ chức nào ?
- Nên tập trung thẩm quyền đến mức nào ?
- Ai làm việc gì, Ai báo cáo cho ai ?
Chỉ đạo:
- Nên theo kiểu lãnh đạo nào?
- Làm thế nào để động viên nhân viên hiệu quả?
Kiểm tra:
- Cần kiểm tra ở những khâu nào, khi nào, bằng cách nào?
- Ai chịu trách nhiệm kiểm tra?

3.2 CÁC LOẠI RA QUYẾT ĐỊNH TRONG QUẢN LÝ
Loại vấn đề mà người ra quyết định gặp phải là một yếu tố quan trọng trong quá trình ra
quyết định. Ra quyết định trong quản lý được phân loại dựa trên hai cơ sở : Cấu trúc của
vấn đề và tính chất của vấn đề.
3.2.1 Ra quyết định theo cấu trúc của vấn đề
Theo cấu trúc của vấn đề người ta chia vấn đề làm hai loại:
- Vấn đề có cấu trúc tốt : Khi mục tiêu được xác định rõ ràng thông tin đầy đủ, bài
toán có dạng quen thuộc
Ví dụ: Bài toán quyết định thưởng/phạt nhân viên
- Vấn đề có cấu trúc kém: Dạng bài toán mới mẽ, thông tin không đầy đủ, không rõ
ràng
Ví dụ: Bài toán quyết định chiến lược phát triển của công ty
Cao Hào Thi 24
Thông thường, các vấn đề có cấu trúc tốt có thể được phân quyền cho các nhà quản lý cấp
dưới ra quyết định theo những tiêu chuẩn và các hướng dẫn đã được lập sẵn. Còn các nhà
quản lý cấp cao trong tổ chức sẽ dành nhiều thời gian cho các vấn đề có cấu trúc kém. Do
vậy tương ứng với hai loại vấn đề sẽ có hai loại ra quyết định: Ra quyết định theo chương
trình và ra quyết định không theo chương trình.
- Ra quyết định theo chương trình :
Nhằm giải quyết các bài toán cấu trúc tốt, lặp đi lặp lại, các phương án hầu như có
sẵn, lời giải thường dựa trên các kinh nghiệm. Thường để giải quyết bài toán dạng
này, các nhà quản lý lập ra các quy trình, luật hay chính sách :
o Quy trình (procedure): Bao gồm một chuỗi các bước có liên quan nhau mà
người ra quyết định có thể sử dụng để xử lý các bài toán cấu trúc tốt .
o Luật (Rule): Là phát biểu cụ thể hướng dẫn người ra quyết định nên làm điều gì
và không nên làm điều gì.
o Chính sách (Policy): Là các hướng dẫn để định hướng cho người ra quyết định
trong việc giải quyết vấn đề. Khác với luật, chính sách thường là những khái
niệm chung chung để cho người ra quyết định tham khảo hơn là những điều
buộc người ra quyết định phải làm.