TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN – TIN
====***===
ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRONG
TRƯỜNG THCS

Giảng viên hướng dẫn: GS.TS.Tống Trần Hoàn.
Người thực hiện: Vũ Thị Hoa
Hải Dương năm 2006
MỤC LỤC
A. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Trang
3
I: Các định nghĩa 3
II: Các tính chất
B. CÁC DẠNG BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRONG
CHƯƠNG TRÌNH THCS
Chủ đề I: Giải phương trình, hệ phương trình chứa dấu giá trị
tuyệt đối
I. Kiến thức cần lưu ý
II. Bài tập điển hình
Chủ đề II: Giải bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
I. Kiến thức cần lưu ý
II. Bài tập điển hình
Chủ đề III: Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
I. Đồ thị hàm số y = f(
x
)
II. Đồ thị
y

19
20
20
24
24
24
26
30
31
32
PHẦN I: LỜI NÓI ĐẦU
Giá trị tuyệt đối là một khái niệm được phổ biến rộng rãi trong các ngành khoa
học Toán - Lí, Kỹ thuật, Trong chương trình Toán ở bậc THCS, khái niệm
giá trị tuyệt đối của một số được gặp nhiều lần, xuyên suốt từ lớp 6 đến lớp 9.
ở lớp 6, học sinh bắt đầu làm quen với khái niệm " Giá trị tuyệt đối" qua bài 2:
" Thứ tự trong Z", học sinh nắm được cách tìm giá trị tuyệt đối của một số
nguyên và bước đầu hiểu ý nghĩa hình học của nó. Nhờ đó sách giáo khoa dần
2
dần đưa vào các quy tắc tính về số nguyên rồi đến số hữu tỷ. ở lớp 8, tuy
không có trong chương trình giảng dạy song bài: " Giải phương trình có chứa
dấu giá trị tuyệt đối" được rất nhiều giáo viên quan tâm và trang bị đầy đủ cho
học sinh nhất là các học sinh khá giỏi. Đến lớp 9, khi xét các tính chất của căn
thức bậc hai, khái niệm giá trị tuyệt đối lại có thêm ứng dụng mới( đưa một
thừa số ra ngoài căn, đưa một thừa số vào trong căn, khử mẫu của biểu thức
lấy căn, )
Giá trị tuyệt đối là một khái niệm trừu tượng và quan trọng vì nó được sử
dụng nhiều trong quá trình dạy Toán ở THCS cũng như THPT và Đại
Học, Việc nắm vững khái niệm này ở bậc THCS sẽ là nền tảng cơ bản cần
thiết để các em có thể tiếp thu những kiến thức cao hơn ở các bậc học sau.
Trước nhu cầu nâng cao kiến thức của bản thân cũng như nâng cao kiến thức

a
=
-a nếu a < 0
3
Ví dụ1:
1515
=

3232
=−

00 =

11 =−

1717 =−
*Mở rộng khái niệm này thành giá trị tuyệt đối của một biểu thức A(x), kí hiệu
)(xA
là:
A(x) nếu A(x)
≥
0

)(xA
=
-A(x) nếu A(x) < 0
Ví dụ 2:
2x - 1 nếu 2x- 1
≥
0 2x - 1 nếu

a
Do đó đẳng thức đã cho được nghiệm đúng bởi hai số tương ứng với hai
điểm trên trục số ( hình 2)
Hình 2
Tổng quát:



−
=⇒



>
=
b
b
a
b
ba
0
;



−
=⇒=
b
b
aba

-a
≤
3 nếu a < 0 -3
≤
a < 0
Do bất đẳng thức đã được nghiệm đúng bởi tập hợp các số của đoạn
[ ]
3;3
−
và trên trục sôd thì được nghiệm đúng bởi tập hợp các điểm của đoạn
[ ]
3;3
−
( hình 3)
Hình 3
Ví dụ 3:
a
≥
3 nếu a
≥
0 a
≥
3 nếu a
≥
0
a
≤
3
⇒


BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) a =
a
b) a <
a
c) a >
a
d)
a
= -a
e)
a

≥
a
f)
a
+ a = 0
g)
bba
=+
Bài 2:Tìm các ví dụ chứng tỏ các khẳng định sau đây không đúng:
a)
∀
a
∈
Z
⇒


a > b
5
-3
0 3
-3
0 3
Bài 3: Bổ sung thêm các điều kiện để các khẳng định sau là đúng
a)
a
=
b
⇒
a = b
b) a > b
⇒

a
>
b
Bài 4: Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điều kiện sau, sau đó biểu
diễn các số tìm được lên trục số:
a)
a

≤
1
b)
a

≥

∀
a
2.2. Tính chất 2:
a
= 0
⇔
a = 0
2.3. Tính chất 3: -
a

≤
a
≤

a
2.4 Tính chất 4:
a
=
a
−

Dựa trên định nghĩa giá trị tuyệt đối người ta rễ thấy được các tính chất 1,
2, 3, 4.
2.5. Tính chất 5:
baba
+≤+
Thật vậy: -
a

≤

baba
+≤−
6
Thật vậy:
a
=
bababbabba
−≤−⇒+−≤+−
(1)
babababababa
+≤−⇒+=−+≤−+=−
)(
(2)
Từ (1) và (2)
⇒
đpcm.
2.7. Tính chất 7:

baba ≤−
Thật vậy:
baba −≤−
(1)

bababaababab −≤−−⇒−=−−=−≤− )()(
(2)






(1)
a > 0 và b > 0
⇒

a
= a,
b
= b và a.b > 0
⇒
bababababa
=⇒==
(2)
a < 0 và b < 0
⇒

a
= -a,
b
= -b và a.b > 0
⇒
babababababa ))((
=⇒=−−==
(3)
a > 0 và b < 0
⇒

a
= a,
b
= -b và a.b < 0

= b và
b
a
b
a
b
a
b
a
==⇒> 0
(2)
a < 0 và b < 0
⇒

a
= -a,
b
= -b và
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
=
−

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 6:
Điền vào chỗ trống các dấu
≤≥,
, = để khẳng đinh sau đúng
∀
a, b
a)
ba +

a
+
b
b)
ba −

a
-
b
với
a

≥

b
c)
baba
d)
b
a

a
.a
d)
a
: a
e)
32)1(3 +−− xx
f)
)14(32 −−− xx
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRONG CHƯƠNG
TRÌNH THCS
CHỦ ĐỀ I: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA
DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I. CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý
1.1 A(x) nếu A(x)
≥
0
)(xA
= ( A(x) là biểu thức đại số)
-A(x) nếu A(x) < 0
1.2. Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất ax + b (a
≠
0)
Nhị thức bậc nhất ax + b (a
≠
0) sẽ:
+ Cùng dấu với a với các giá trị của nhị thức lớn hơn nghiệm của nhị thức.
+ Trái dấu với a với các giá trị của nhị thức nhỏ hơn nghiệm của nhị thức.
Giả sử x
0

x nằm trong khoảng hai nghiệm
Hay
- Nếu
∆
< 0
⇒
a.f(x) > 0
∀
x
- Nếu
∆

≥
0
⇒
f(x) có hai nghiệm x
1

≥
x
2
nếu x
1
< x < x
2

⇒
a.f(x) < 0
nếu x
≤

ta xét hai trường hợp ứng với hai khoảng của biến x
+ Nếu x
≥
3 thì A = 2(3x - 1) -
3−x
= 2(3x - 1) - (x - 3)
= 6x - 2 - x + 3
= 5x + 1
+ Nếu x < 3 thì A = 2(3x - 1) -
3−x
= 2(3x - 1) - (3 - x)
= 6x - 2 - 3 + x
= 7x - 5
2.2 Rút gọn biểu thức B =
1
−
x
-
5
−
x
Thật vậy
Với x-1
≥
0 hay x
≥
1thì
1
−
x

5
−
x

=1-x-( 5-x)
=1-x-5+x
= - 4
Nếu 1
≤
x<5 thì B =
1
−
x
-
5
−
x
=(x-1)-(5-x)
=x-1-5+x
=2x-6
Nếu x
≥
5 thì B =
1
−
x
-
5
−
x

4f(x) > 0
⇒
f(x) > 0
Vậy ta xét hai trường hợp ứng với ba khoảng của biến
Với 1 < x < 3 thì B = -(x
2
- 4x + 3) - 5
= - x
2
+ 4x - 3 - 5
= - x
2
+ 4x - 8
Với x
≤
1 hoặc x
≥
3 thì B = ( x
2
- 4x + 3) - 5
= x
2
- 4x + 3 - 5
= x
2
- 4x - 2
2.3. Giải phương trình
1321 +=−+− xxx
Thật vậy:
áp dụng định lí về dấu nhị thức bậc nhất và lập bảng, ta xét 3 trường hợp ứng




−=−−
=−−
)2(512
)1(512
x
x
Giải 1:




−=−
=−
⇔=−⇒=−−
)'2(62
)'1(62
62512
x
x
xx
Giải 1':
8862 ±=⇒=⇒=− xxx
( là nghiệm)
Giải 2':
⇒−=⇒−=− 462 xx
x không có giá trị
Giải 2:


+=
−=
)2(1
)1(1
xy
xy
Việc phân tích phương trình thứ hai đưa đến tập hợp 4 phương trình theo các
khoảng xác định.
Theo dạng của phương trình thứ 2 ta thấy dễ dàng là
1
−
x
≤
3 và
32 ≤−y
, từ
đó - 2
≤
x
≤
4 và -1
≤
y
≤
5
Với - 2
≤
x
≤

;
2
1
0
1
−==⇒



=+
=−
yx
yx
yx
, đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định.
Hệ (1; II)



=−
=−
4
1
xy
yx
không có nghiệm
Hệ (1; III)




2
1
0
1
=−=⇒



=+
−=−
yx
yx
yx
đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác định.
Hệ (2; II)



=−
−=−
4
1
xy
yx
không có nghiệm
Hệ (2; III)



=−

2
= 7/2; y
2
= 5/2
x
3
= -1/2; y
3
= 1/2 x
4
= 5/2; y
4
= 7/2
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 10: Tìm x trong các biểu thức
12
a)
532 =−x
b)
735 =−− xx
c)
131 =+− xx
d)
121 =−+− xx
e)
3212 +=− xx
f)
0121 =−−−+ xxx
g)
133 −=−+− xxx





=+
=+
3
2
yx
yx
b)





=+
=−
4
2
yx
yx
c)





=−−
=++

⇔
a + c
≥
b + c
a
≥
b
⇔
a.c
≥
b.c ( c > 0 )
a
≥
b
⇔
a.c
≤
b.c ( c < 0 )
13
1.2 Các dạng cơ bản của bất phương trình
+Dạng 1:
axf ≤)(

⇔
-a
≤
f(x)
≤
a a: số thực không âm
f(x): hàm số một đối số


≤
g(x)
⇔
-g(x)
≤
f(x)
≤
g(x)
f(x), g(x): hàm số một đối số
+Dạng 5:
)(xf

≥

)(xg

⇔
[f(x)]
2
= [g(x)]
2

f(x), g(x): hàm số một đối số
II. BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
2.1 Giải bất phương trình:
752 ≤−x
Thật vậy:

752 ≤−x

−≤
≥
⇔



−≤
≥
⇔



−≤−
≥−
3
5
5
53
153
1053
1053
x
x
x
x
x
x
Vậy x
≥
5 hoặc x

032122
22
≤−−⇔≤−−
xxxx
Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai
⇔
-1
≤
x
≤
3
Từ
012122
22
≥−−⇔−≥−−
xxxx
Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai
⇔




+≥
−≤
21
21
x
x
14
Kết hợp lại ta được các nghiệm của hệ là:

−
+
≥
−
+
⇔
2
1
2
2
1
2
x
x
x
x
+ Với
2
1
2
≥
−
+
x
x

⇔

410
1

02
1
2
<<⇔<
−
⇔<+
−
+
x
x
x
x
x
Vậy bất phương trình có ngiệm: 1
≤
x
≤
4; 0 < x < 1
Cách 2:
Theo định nghĩa và tính chất của giá trị tuyệt đối, ta có:

0122
1222
1
2
2
1
2
>−−+⇔
−>+⇔>

≤
x
≤
4; 0 < x < 1
Cách 3 :
Theo định nghĩa và tính chất của giá trị tuyệt đối, ta có:
1222
1
2
2
1
2
−>+⇔>
−
+
⇔>
−
+
xx
x
x
x
x
⇔
(x + 2)
2
> 4(x - 1)
2
⇔
x

123 +<− xx
c)
513 >−x
d)
11
3
+≥+ xx
Bài 19: Tìm x trong các bất đẳng thức
a)
31 −>+ xx
b)
321 −+>− xx
c)
851 >−++ xx
d)
813 <++− xx
e)
02 ≥−− xx
f)
07352 ≤−−+ xx
Bài 20: Tìm x trong các bất đẳng thức
a)
1
2
1
2
<
+
−
x

) .Do đó hàm số y = f(
x
)là hàm chẵn nên đồ thị của
hàm số đối xứng qua trục Oy
⇒
Cách dựng :
- Dựng đồ thị hàm số y = f(x) đối với x > 0
- Dựng phần đò thị bên trái đối xứng với trục bên phải qua Oy
1.2 Ví dụ:
Dựng đồ thị hàm số y = 2|x| - 2
Thật vậy:
16
Đồ thị của hàm số y = 2x - 2
với x = 1
≥
⇒
y = 0
⇒
(1, 0) thuộc đồ thị
với x = 0
⇒
y = -2
⇒
( 0, -2) thuộc đồ thị
Hình 6
Phần đồ thị in đậm( Hình 6) là đồ thị hàm số y = 2|x| - 2
II. ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = |f(x)|
2.1 Kiến thức càn lưu ý
Nhận xét


x = 1
⇒
y = -1
⇒
(1, -1) thuộc đồ thị hàm số

Hình 7
Phần đồ thị in đậm ( hình 7) là đồ thị hàm số y = |x - 2|
III. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Y = |f(|x|)|
3.1 Kiến thức cần lưu ý
Ta có: f(|x|) với f(|x|)
≥
0
y = |f(|x|)|=
- f(|x|) với f(|x|) < 0
⇒
Cách dựng
a) Dựng đồ thị hàm số y = |f(|x|)|
+ Dựng đồ thị hàm số y = f(x) với x > 0
+ Dựng phần đồ thị bên trái đối xứng với phần bên phải qua Oy
b) Phần đồ thị nằm ở mặt phẳng dưới Ox nghiã là ở đấy f(|x|) < 0
⇒
ta dựng
phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị đó qua trục Ox.
( Hay biến đổi các phần của đồ thị nằm trong nửa mặt phẳng dưới nên nửa
mặt phẳng trên đối xứng qua trục Ox)
3.2 Ví dụ: Dựng đồ thị hàm số y = |1 - |x||
Thật vậy:
Đồ thị hàm số y = 1- x
x = 1

IV. ĐỒ THỊ CỦA |y| = f(x) với f(x)
≥
0
4.1 Kiến thức cần lưu ý
Ta có: y =
±
f(x) với f(x)
≥
0
⇒
Cách dựng:
- Dựng đồ thị hàm số y = f(x) với f(x)
≥
0
( Phần đồ thị của hàm số y = f(x) phía trên trục hoành )
- Dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị đẫ thu được qua trục Ox.
4. 2 Ví dụ
Dựng đồ thị hàm số |y| =
1
1
2
x +
Thật vậy:
Đồ thị hàm số y =
1
1
2
x +
x = 0
⇒

y
O
-1
-2
-1
5.1 Kiến thức cần lưu ý:
Theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối, ta có: y =
±
|f(x)|
⇒
Cách dựng:
- Dựng đồ thị hàm số y =|f(x)|( hoàn toàn nằm ở nửa mặt phẳng trên)
- Dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị thu được ở trên qua trục Ox.
5.2 Ví dụ:
1. Dựng đồ thị hàm số |y| = |x - 3|
Thật vậy:
Đồ thị hàm số y = x - 3
x = 0
⇒
y = -3
⇒
( 0; -3) thuộc đồ thị
x = 3
⇒
y = 0
⇒
( 3; 0) thuộc đồ thị
Đồ thị hàm số
y = 1- x với
≥

y
3
O
x
y
3
O
x
y
3
Thật vậy:
Xét theo từng khoảng của biến x ta thu được:

4 - 2x nếu x
≤
1
y = 2 nếu 1
≤
x
≤
3
2x - 4 nếu x
≥
3
Đồ thị hàm số
y = 4- 2x với x
≤
1
a)
Đồ thị hàm số

≥
x
≥
-2
x - 2 nếu x
≥
2
Với x
≥
0, y = |x - 2| =
2 - x nếu x
≤
2
x - 2 nếu x
≥
2
⇒
y =
2 - x nếu 0
≤
x
≤
2
Việc dựng đồ thị được thực hiện trong 4 khoảng
-2 - x nếu x
≤
-2
21
O 1
2

≤
0
b)
ĐTHS y = 2 - x
0 < x
≤
2
c)
ĐTHS y = x - 2
x > 2
d)
Hình 12
Phần đồ thị in đậm trong phần d) (hình 12) là đồ thị hàm số:
y = ||x| - 2|
VIII.BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 21. Dựng đồ thị của các hàm số
a) y =
1
2
3
x −
b) y = 3 - 1.5|x| c) y = 1 - |x|
Bài 22. Dựng đồ thị của các hàm số sau:
a) y = 2|x - 3| b) y = |x + 2| + 1 c) Y = -|X - 1|
Bài 23. Dựng đồ thị của các hàm số sau:
a) y = |2|x| - 3| b) y =
1
1
x
−

≥
0 ( Đẳng thức xẩy ra khi A = 0 )
1.2 |A + B|
≤
|A| + |B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B
≥
0 )
1.3 |A - B|
≥
|A| + |B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B
≤
0 )
1.4 |A - B|
≥
|A| - |B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B
≥
0 )
1.5 ||A| - |B||
≤
|A + B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B
≤
0 )
1.5 ||A| - |B||
≤
|A - B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B
≥
0 )
II. CÁC BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
2.1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B = 2|3x - 1| - 4
Thật vậy:

∈
Z
⇒
|x| = { 0; 1; 2}
Nếu |x| = 0
⇒
C = -2
Nếu |x| = 1
⇒
C = -3
Nếu |x| = 2
⇒
C = -6
⇒
GTNN của C = -6
⇔
|x| = 2
⇔
x =
±
2
2.3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: D = |x - 2| + |x - 3|
Thật vậy:
Cách 1: áp dụng định lí về dấu của nhị thức bậc nhất và lập bảng ( chủ đề I),
ta có:
* Xét x < 2 thì D = 2 - x + 3 - x = 5 - 2x
Do x < 2 nên -2x > -4
⇒
D > 1 (1)
* Xét 2

Cách 3:
23
Ta có: D = |x - 2| + |x - 3|
≥
| (x - 2) - (x - 3)|
≥
|x - 2 + 3 - x| = 1
Do đó minD = 1
⇔
(x - 2)(3 - x)
≥
0
⇔
2
≤
x
≤
3
2.4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: E = ||x - 1|- |x - 5||
Thật vậy:
Cách 1:
Ta có: E = ||x - 1|- |x - 5||
≤
|(x - 1)- (x - 5)|= |x -1 +5 - x| = 4
Do đó max E = 4
⇔
(x - 1)(x + 5)
≥
0
⇔

∈
Z
Bài 27: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
a) A = 2|3x - 2| - 1
b) B = x
2
+ 3|x - 2| - 1
c) C = |x + 2|+ |x + 3|
d) D = |2x - 1|+ | 2x + 4|
e) E = |x
2
- x - 1|+ |x
2
- x - 2|
f) F = (0,5x
2
+ x)
2
- 3|0,5x
2
+ x|
Bài 28: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức H = ||x - 2|- |x + 3||
C. ĐÁP ÁN
Bài 1:
a) a > 0; b) không tồn tại; c) d) a < 0; e) a > 0; f) a < 0; g) a = -5;
h) a = 0
24
Bài 2:
a) a = 0; b) a = 2; c) a = 1, b = -1; d) a = - 5, b = -2
Bài 3:

≥
0 thì a + b = |a| + b
⇔
a = |a|
⇔
a
≥
0
Nếu b < 0 thì a + b = |a| - b
⇔
|a| - a = 2b
⇒
VT
≥
0, VP < 0
⇒
đăng thức
không xẩy ra
⇒
a
≥
0, b
≥
0 là các giá trị thoả mãn
Cách 2:
Ta có a
≤
|a|, b
≤
|b|. Do đó a + b = |a| + |b|

≥
- 3, BT = 5x + 3 với x < - 3
f) BT = 2x + 5 với x < 1/4, BT = -6x + 7 với 1/4
≤
x < 3, BT = -2x - 5 với x
≥

3
Bài 10:
a) x
1
= 4, x
2
= -1; b) x = -1/2 c) x
1
= 5/2, x
2
= -2/3
d) x
1
= 1/2, x
2
= 3/2 e) x = 0 f) x = -1/2 g) 1
≤
x
≤
2 i) x
≥
2
Bài 11: