trờng đại học s phạm hà nội
khoa toán tin
====***===
đề tài nghiệp vụ s phạm
một số vấn đề về giá trị tuyệt đối trong
trờng thcs

Giảng viên hớng dẫn: GS.TS.Tống Trần Hoàn.
Ngời thực hiện: Vũ Thị Hoa
Hải Dơng năm 2006
mục lục
A. những kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt
đối
Trang
3
I: Các định nghĩa
II: Các tính chất
B. các dạng bài toán về giá trị tuyệt đối
trong chơng trình THCS
Chủ đề I: Giải phơng trình, hệ phơng trình chứa
dấu giá trị tuyệt đối
I. Kiến thức cần lu ý
3
6
9
9

9
II. Bài tập điển hình
Chủ đề II: Giải bất phơng trình chứa dấu giá trị
tuyệt đối

14
17
17
18
19
20
20
24
24
24
26
30
31
32
Phần I: Lời nói đầu
Giá trị tuyệt đối là một khái niệm đợc phổ biến rộng rãi trong các
ngành khoa học Toán - Lí, Kỹ thuật, Trong chơng trình Toán ở bậc
THCS, khái niệm giá trị tuyệt đối của một số đợc gặp nhiều lần,
xuyên suốt từ lớp 6 đến lớp 9. ở lớp 6, học sinh bắt đầu làm quen với
khái niệm " Giá trị tuyệt đối" qua bài 2: " Thứ tự trong Z", học sinh
nắm đợc cách tìm giá trị tuyệt đối của một số nguyên và bớc đầu
hiểu ý nghĩa hình học của nó. Nhờ đó sách giáo khoa dần dần đa vào
các quy tắc tính về số nguyên rồi đến số hữu tỷ. ở lớp 8, tuy không có
trong chơng trình giảng dạy song bài: " Giải phơng trình có chứa dấu
giá trị tuyệt đối" đợc rất nhiều giáo viên quan tâm và trang bị đầy
đủ cho học sinh nhất là các học sinh khá giỏi. Đến lớp 9, khi xét các
tính chất của căn thức bậc hai, khái niệm giá trị tuyệt đối lại có
2
thêm ứng dụng mới( đa một thừa số ra ngoài căn, đa một thừa số
vào trong căn, khử mẫu của biểu thức lấy căn, )

Giá trị tuyệt đối của một số thực a, ký hiệu
a
là:
a nếu a

0

a
=
-a nếu a < 0
Ví dụ1:
1515
=

3232
=

00
=

11 =

1717 =
*Mở rộng khái niệm này thành giá trị tuyệt đối của một biểu thức
A(x), kí hiệu
)(xA
là:
A(x) nếu A(x)

0







=
3
3
a
Do đó đẳng thức đã cho đợc nghiệm đúng bởi hai số tơng ứng với
hai điểm trên trục số ( hình 2)
Hình 2
Tổng quát:




=



>
=
b
b
a
b
ba
0

a

3
-a

3 nếu a < 0 -3

a < 0
Do bất đẳng thức đã đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các số của đoạn
[ ]
3;3

và trên trục sôd thì đợc nghiệm đúng bởi tập hợp các điểm của
đoạn
[ ]
3;3

( hình 3)
Hình 3
Ví dụ 3:
a

3 nếu a

0 a

3 nếu a

0
a

-3
0 3
Hình 4
Tổng quát:






ba
ba
ba
bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) a =
a
b) a <
a
c) a >
a
d)
a
= -a
e)
a


a
f)

=
b

a = b
d)

a, b

Q,
a
>
b

a > b
Bài 3: Bổ sung thêm các điều kiện để các khẳng định sau là đúng
a)
a
=
b

a = b
b) a > b


a
>
b
Bài 4: Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điều kiện sau,
sau đó biểu diễn các số tìm đợc lên trục số:
a)

y
< 4
5
-3
0 3
II - một số tính chất về giá trị tuyệt đối
2.1. Tính chất 1:
a


0

a
2.2. Tính chất 2:
a
= 0

a = 0
2.3. Tính chất 3: -
a


a


a
2.4 Tính chất 4:
a
=
a



a
+
b
2.6. Tính chất 6:
a
-
b


baba
+
Thật vậy:
a
=
bababbabba
++
(1)
babababababa
++=++=
)(
(2)
Từ (1) và (2)

đpcm.
2.7. Tính chất 7:

baba
Thật vậy:

2.8. Tính chất 8:

baba =
Thật vậy: a = 0, b = 0 hoặc a = 0, b

0 hay a

0, b= 0

baba =
(1)
6
a > 0 và b > 0


a
= a,
b
= b và a.b > 0

bababababa
===
(2)
a < 0 và b < 0


a
= -a,
b
= -b và a.b > 0

b
a
b
a
(1)
a > 0 và b > 0


a
= a,
b
= b và
b
a
b
a
b
a
b
a
==> 0
(2)
a < 0 và b < 0


a
= -a,
b
= -b và
b

b
a
=

==<
0
(4)
Từ (1), (2), (3) và (4)

đpcm.
bài tập tự luyện
Bài 6:
Điền vào chỗ trống các dấu
,
, = để khẳng đinh sau đúng

a, b
a)
ba +

a
+
b
b)
ba

a
-
b
với

5< ba
Bài 9:
Rút gọn biểu thức:
a)
a
+a
b)
a
- a
c)
a
.a
d)
a
: a
e)
32)1(3 + xx
f)
)14(32 xx
B. các dạng toán về giá trị tuyệt đối trong ch-
ơng trình THCS
chủ đề i: giải phơng trình và hệ phơng trình
chứa dấu giá trị tuyệt đối
I. các kiến thức cần lu ý
1.1 A(x) nếu A(x)

0
)(xA
= ( A(x) là biểu thức đại số)
-A(x) nếu A(x) < 0

< 0, thì f(x) cùng dấu với a

x
- Nếu



0 thì:
+ f(x) cùng dấu với a

x nằm ngoài khoảng hai nghiệm
+ f(x) trái dấu với a

x nằm trong khoảng hai nghiệm
Hay
- Nếu

< 0

a.f(x) > 0

x
- Nếu



0

f(x) có hai nghiệm x
1

3x
Thật vậy:
+ Với ( x - 3)

0 hay x

3 thì
3x
= x - 3
+ Với ( x- 3) < 0 hay x < 3 thì
3x
= -(x - 3) = 3 - x
ta xét hai trờng hợp ứng với hai khoảng của biến x
+ Nếu x

3 thì A = 2(3x - 1) -
3x
= 2(3x - 1) - (x - 3)
= 6x - 2 - x + 3
= 5x + 1
+ Nếu x < 3 thì A = 2(3x - 1) -
3x
= 2(3x - 1) - (3 - x)
= 6x - 2 - 3 + x
= 7x - 5
2.2 Rút gọn biểu thức B =
1

x
-

x
=-(x-5) =5-x
áp dụng định lý về dấu của nhị thức bậc bậc nhất ta có bảng xét dấu
sau:
X 1 5
x-1 - 0 + +
x-5 - - 0 +
Từ bảng xét dấu ta xét ba trờng hợp ứng với ba khoảng của biến x
Nếu x<1 thì B =
1

x
-
5

x

=1-x-( 5-x)
9
=1-x-5+x
= - 4
Nếu 1

x<5 thì B =
1

x
-
5


2
= 3
Với 1 < x < 3

1.f(x) < 0

f(x) < 0
Với x

1 hoặc x

3

4f(x) > 0

f(x) > 0
Vậy ta xét hai trờng hợp ứng với ba khoảng của biến
Với 1 < x < 3 thì B = -(x
2
- 4x + 3) - 5
= - x
2
+ 4x - 3 - 5
= - x
2
+ 4x - 8
Với x

1 hoặc x


2 ta đựoc phơng trình: x - 1 + x - 2 = 3x + 1

x = - 4 < 2 ( không là nghiệm)
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x = 2/5
2.4. Giải phơng trình
512 =x
Thật vậy:
áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:
512
=
x





=
=
)2(512
)1(512
x
x
Giải 1:




=
=
==

Phơng trình thứ nhất đa đến tập hợp hai phơng trình:



=
=
1
1
yx
yx
hay



+=
=
)2(1
)1(1
xy
xy
Việc phân tích phơng trình thứ hai đa đến tập hợp 4 phơng trình
theo các khoảng xác định.
Theo dạng của phơng trình thứ 2 ta thấy dễ dàng là
1

x

3 và
32 y
, từ đó - 2

y

2, x -1 + 2 - y = 3 hay là x - y = 2 (III)
Với 2

y

5, x -1 + y - 2 = 3 hay là x + y = 6 (IV)
Giải 8 hệ phơng trình bậc nhất:
Hệ (1; I)
2
1
;
2
1
0
1
==



=+
=
yx
yx
yx
, đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác
định.
Hệ (1; II)




=+
=
yx
yx
yx
đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng
xác định.
Hệ (2; I)
2
1
;
2
1
0
1
==



=+
=
yx
yx
yx
đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác
định.
Hệ (2; II)




=+
=
yx
yx
yx
, đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng
xác định.
Vậy nghiệm của hệ phơng trình là:
x
1
= 1/2; y
1
= -1/2 x
2
= 7/2; y
2
= 5/2
x
3
= -1/2; y
3
= 1/2 x
4
= 5/2; y
4
= 7/2
Bài tập luyện tập
11

2323
22
=+ xxxx
g)
2
1 xx =
h)
023214 =+ xxx
Bài 12: với giá trị nào của a, b ta có đẳng thức:
)2()2( baba =
Bài 13: Tìm các số a, b sao cho:
baba =+
Bài 14: Giải các hệ phơng trình sau
a)





=+
=+
3
2
yx
yx
b)





yx
Bài 15: Giải phơng tình sau:
321
22
=++ xxxx
Bài 16: Tìm x
aaxax 322 =+
( a là hằng số)
chủ đề II: giải bất phơng trình chứa dấu giá trị
tuyệt đối
I. các kiến thức cần lu ý
1.1. Các phép biến đổi bất đẳng thức
a

b

a + c

b + c
a

b

a.c

b.c ( c > 0 )
a

b




g(x)






)()(
)()(
xgxf
xgxf
f(x), g(x): hàm số một đối số
+Dạng 4:
)(xf


g(x)

-g(x)

f(x)

g(x)
f(x), g(x): hàm số một đối số
+Dạng 5:
)(xf



-1

x

6
2.2 Giải bất phơng trình:
1053 x
Thật vậy:

1053 x
























1221
2
xx
x
2
-2x-2

1 và x
2
-2x-2

-1
Từ
032122
22

xxxx
Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai

-1

x

3
Từ
012122
22


x
13
Cách 1:
1
2

+
x
x
2








+


+

2
1
2
2
1
2

x
x
x
+ Với
2
1
2
<

+
x
x



100
1
3
02
1
2
<<<

<+

+
x
x
x
x

+ Nếu x

-2 thì - x- 2 -2(1 - x) > 0

x > 4 > -2 ( không là
nghiệm)
+ Nếu -2

x < 1 thì x + 2 - 2(1 - x) > 0

3x > 0

x > 0
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm: 0 < x < 1
+ Nếu x > 1 thì x + 2 - 2(x - 1) > 0

x < 4
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm: 1 < x < 4
Vậy bất phơng trình có ngiệm: 1

x

4; 0 < x < 1
Cách 3 :
Theo định nghĩa và tính chất của giá trị tuyệt đối, ta có:
1222
1
2
2
1

0 < x < 4
Kết hợp với TXĐ

1 < x < 4; 0 < x < 1
III Bài tập luyện tập
Bài 17: Tìm x trong các bất đẳng thức
a)
512 x
b)
9432 < xx
c)
732 x
d)
10523 >+ xx
Bài 18: Tìm x trong các bất đẳng thức
a)
423 <x
b)
123 +< xx
c)
513 >x
d)
11
3
++ xx
14
Bài 19: Tìm x trong các bất đẳng thức
a)
31 >+ xx
b)

c)
10313 <+++ xxx
d)
8741 <+++ xxx
e)
8152
2
<++ xx
f)
3352
2
+< xxx
Chủ đề III: đồ thị hàm số chứa giá trị tuyệt đối
I. Đồ thị hàm số y = f(|x|)
1.1. Kiến thức cần lu ý:
Ta thấy f(
x
) = f(
x
) .Do đó hàm số y = f(
x
)là hàm chẵn nên đồ
thị của hàm số đối xứng qua trục Oy

Cách dựng :
- Dựng đồ thị hàm số y = f(x) đối với x > 0
- Dựng phần đò thị bên trái đối xứng với trục bên phải qua Oy
1.2 Ví dụ:
Dựng đồ thị hàm số y = 2|x| - 2
Thật vậy:



Cách dựng:
- Dựng đồ thị hàm số y = f(x)
- Phần đồ thị nằm ở dới mặt phẳng Ox nghĩa là ở đấy f(x) < 0

ta
dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị đó qua Ox.
* Chú ý: Đồ thị hàm số y = |f(x)| + k đợc xem nh đồ thị hàm số
y = |f(x)|tịnh tiến theo đờng thẳng đứng một đoạn bằn k ( k là số
thực)
2.2 Ví dụ:
Dựng đồ thị hàm số y = |x - 2|
Đồ thị hàm số y = x - 2
x = 0

y = -2

( 0, -2) thuộc đồ thị hàm số
x = 1

y = -1

(1, -1) thuộc đồ thị hàm số

Hình 7
Phần đồ thị in đậm ( hình 7) là đồ thị hàm số y = |x - 2|
III. đồ thị của hàm số y = |f(|x|)|
16
O


y = 1

( 0, 1) thuộc đò thị hàm số
Đồ thị hàm số
y = 1 - x với x

0
a)
Đồ thị hàm số
y = 1 - |x|
b)
Hình 8
Đồ thịi hàm số
y = |1 - |x||
c)
Phần đồ thị in đậm trong phần b ( hình 8) là đồ thị hàm số
y = |1 - |x||
IV. Đồ thị của |y| = f(x) với f(x)

0
4.1 Kiến thức cần lu ý
Ta có: y =

f(x) với f(x)

0

Cách dựng:
- Dựng đồ thị hàm số y = f(x) với f(x)

2
x +
x = 0

y = 1

( 0; 1) thuộc đồ thị
x = -2

y = 0

( -2; 0) thuộc đồ thị
Hình 9
Phần đồ thị in đậm ( hình 9 ) là đồ thị hàm số |y| =
1
1
2
x +
V. Đồ thị của hàm số |y| = |f(x)|
5.1 Kiến thức cần lu ý:
Theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối, ta có: y =

|f(x)|

Cách dựng:
- Dựng đồ thị hàm số y =|f(x)|( hoàn toàn nằm ở nửa mặt phẳng
trên)
- Dựng phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị thu đợc ở trên qua trục
Ox.
5.2 Ví dụ:

hàm số giá trị tuyệt đối không chỉ ở một dạng nêu trên mà nó là sự
kết hợp của nhiều dạng khác nhau. Đối với trờng hợp này chúng ta
có thể dựng hàm số đó bằng cách kết hợp nhiều cách dựng nêu trên,
ngoài ra ta còn có thể dựng hàm số đó bằn cách dựng chung. Cách
dựng này có thể áp dụng cho tất cả các dạng đồ thị hàm số giá trị
tuyệt đối.
18
O
-1
-2
-1
O
x
y
3
O
x
y
3
O
x
y
3
Cách dựng chung
- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét theo từng khoảng của biến
( xem chủ đề 1)
- Mỗi khoảng ta đều thu đợc một hàm tơng ứng

Dựng đồ thị theo
từng khoảng đang xét.

3
c)
Hình 11
Phần đồ thị in đậm trong phần c) (hình 11) là đồ thị hàm số
y = |x - 1| + |x - 3|
Ví dụ 2. Dựng đồ thị hàm số y = ||x| - 2|
Thật vậy: -2 - x nếu x

-2
Với x

0, y = |-2 - x| =
x + 2 nếu x

-2
-2 - x nếu x

-2

y =
x + 2 nếu 0

x

-2
x - 2 nếu x

2
Với x


4
y
3
x
O 1
2
4
y
3
y =
2 - x nếu 0 < x

2
x - 2 nếu x > 2
ĐTHS y= -2 -x
x

-2
a)
ĐTHS y= x + 2
-2 < x

0
b)
ĐTHS y = 2 -
x
0 < x

2
c)

biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối
I. các kiến thức cần lu ý:
Cho A, B là các biểu thức đại số.
1.1 |A|

0 ( Đẳng thức xẩy ra khi A = 0 )
1.2 |A + B|

|A| + |B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B

0 )
1.3 |A - B|

|A| + |B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B

0 )
20
O
-2
y
x
O
-2
y
x
O
-2
y
x
2


-4

x

GTNN của B = -4

3x - 1 = 0

x = 1/3
2.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C =
6
3x
với x

Z
Thật vậy:
Xét |x| > 3

C > 0

|x| > 3
Xét |x| < 3 thì do x

Z

|x| = { 0; 1; 2}
Nếu |x| = 0

C = -2

D > 1 (3)
So sánh (1), (2), (3) ta đợc minD = 1

2

x

3
Cách 2:
Ta có: D = |x - 2| + |x - 3|= |x - 2| + |3 - x|

|x - 2 + 3 - x| = 1
Do đó minD = 1

(x - 2)(3 - x)

0

2

x

3
Cách 3:
Ta có: D = |x - 2| + |x - 3|

| (x - 2) - (x - 3)|

|x - 2 + 3 - x| = 1
Do đó minD = 1


|x -1 +5 - x| = 4
Do đó max E = 4 khi (x - 1)(5 - x)

0

5

x hoặc x

1
III. bài tập luyện tập
Bài 26: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
a) A = 5 - |2x - 1|
21
b) B =
1
2 3x +
c) C =
2x
x
+
với x

Z
Bài 27: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
a) A = 2|3x - 2| - 1
b) B = x
2
+ 3|x - 2| - 1


3 hoặc a

-3; c) a =

11; d) -3

a < -1; 1 < a

3
Bài 5:
a) 99 số; b) 20 cặp số
Bài 6:
a)

; b)

; c) =; d) =
Bài 7:
a) Cách 1:
Xét hai trờng hợp:
Nếu b

0 thì a + b = |a| + b

a = |a|

a

0

0, a

0 hoặc b < 0, a = -b
Bài 8: |a - b| = |(a + c) + (c - b)|

|a - c| + |c - b| = 3 + 2 = 5
Bài 9:
a) BT = 2a với a

0; BT = 0 với a < 0
22
b) BT = 0 víi a
≥
0, BT = -2a víi a < 0
c) BT = a
2
víi a
≥
0, BT = - a
2
víi a < 0
d) BT = 1 víi a > 0, BT = -1 víi a < 0
e) BT = x - 9 víi x
≥
- 3, BT = 5x + 3 víi x < - 3
f) BT = 2x + 5 víi x < 1/4, BT = -6x + 7 víi 1/4
≤
x < 3, BT = -2x - 5
víi x
≥

− ±
e) x
≥
1 f) -3/2 g) 0 h) 0 vµ 3/2 i) 2,0,-4 vµ -6 k)
-5,7,3,-1,1
Bµi 12:
a > 0 vµ b < 2 hoÆc a < 0 vµ b > 2
Bµi 13:
a = b = 0 hoÆc a > 0; b< 0 hoÆc a = -b
Bµi 14:
a)
1 1
; 2
2 2
 
−
 ÷
 
;
1 1
2 ;
2 2
 
−
 ÷
 
;
1 1
; 2
2 2

 
;
1
3 ;3
2
 
−
 ÷
 
Bµi 15:
|A|
≥
-A, dÊu " = " xÈy ra
⇔
A
≤
0
⇔
x
2
- x - 2
≤
0
⇔
(x + 1)(x - 2)
≤
0
⇔
-1
≤

Bµi 18:
a)
3
2
2
x− < <
b)
3
4
2
x< <
c)
4
; 2
3
x x< − >
d) x
≤
0, x
≥
1
Bµi 19:
a) x < 1; b) x < -1; x > 7; c) -3 < x < 5 d) x
≤
1 e) 0
≤
x
≤
1
g)

2 hoÆc x
≥
3 21
2
+

hoÆc x
≤

3 21
2
−
Bµi 21:
a b) c)
Bµi 22:
a
b) c)
Bµi 23:
a)
1 1
b)
Bµi 24:
24
x
y
-6
6
O
x
y

3
y
x
O
y
x
y
x
1
O
y
x
1
O
1
y
x
1
O
a) b) c)
Bài 25:
a) b) c)
Bài 26:
a) max A = 5

1
2
x =
b) max A =
1

x
e) min E = 3

-1

x

2
f) Đặt |0,5x
2
+ x| = y

min G = -9/4

y = 3/2

x
1
= 1; x
2
= -30
Bài 28: max H = 5

x

2 hoặc x

-3
d. tài liệu tham khảo
1. Giá trị tuyệt đối- I.I. GAIDUCOP- NXB Giáo dục - 1973