Phần I: Phần mở đầu
I- Lý do chọn đề tài :
Đất nước đã và đang bước vào kỷ nguyên của khoa học và thông tin, đòi
hỏi chúng ta đều phải đầu tư và suy nghĩ để tìm ra những giải pháp tốt nhất giúp
các tài năng tương lai của đất nước mang lại ánh sáng trí tuệ để xây dựng đất
nước phồn vinh theo sự phát triển của toàn nhân loại.
Toán học là môn khoa học tự nhiên, có từ lâu đời, nó nghiên cứu nhiều
thể loại đa dạng và phong phú. Hiện nay với những yêu cầu chung của sự phát
triển của nhân loại, của nước nhà, đặc biệt sự phát triển của môn toán học đòi
hỏi học sinh phải nắm được kiến thức một cách thật sự. Đặc biệt người thầy
chúng ta phải thực hiện mục tiêu đào tạo học sinh thành người lao động tự chủ,
năng động trong cuộc sống.
Việc bồi dưỡng năng lực sáng tạo, tư duy trừu tượng cho học sinh là một
nhiệm vụ trọng tâm của nhà trường đặc biệt là môn toán.
Qua thực hiện giảng dạy môn toán tôi nhận thấy phần:"Giá trị tuyệt đối"
Trong chương trình toán THCS là đa số học sinh chức nắm được kiến thức này.
- Các em chưa đồng nhất được hai định nghĩa về giá trị tuyệt đối.
- Có nhiều tính chất không được hệ thống, chứng minh. Do đó học sinh
vẫn chưa linh hoạt để giải quyết bài tập. Để tháo gỡ những khúc mắc trên tôi
mạnh dạn đưa ra một chuyên đề nhỏ về giá trị tuyệt đối mà tôi đã tìm hiểu tập
hợp được qua thực tế giảng dạy. Đó là " Giá trị tuyết đối trong chương trình
toán THCS ". Để hoàn thành đề tài này tôi đã cố gắng tập hợp lại những kinh
nghiệm qua thực tế giảng dạy của bản thân và quá trình tìm tòi nghiên cứu các
tài liệu liên quan. Tuy nhiên do thời gian có hạn nên đề tài không tránh khỏi
những hạn chế, rất mong những ý kiến đóng góp, xây dựng của thầy cô giáo và
các bạn để đề tài này hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn!
1
II- Nhiệm vụ nghiên cứu :
- Các khái niệm, tính chất về giá trị tuyệt đối mà học sinh Trung học cơ sở
được học và sử dụng.

<−
≥
=
0 a nÕu
0a nÕu
a
a
aa
Ví dụ : | 1 | =1
|0| = 0
|-1| = -( -1) =1
2
13)31(|31| −=−−=−
12|12| −=−
Mở rộng : Với biểu thức A(x) ta cũng có:
Ví dụ:
3- Định nghĩa 2:
Khoảng cách từ điểm a đến điểm O trên trục số là giá trị tuyệt đối của a
| - a | | a|
Ví dụ 1: | - 3 | | 3 |

* Với a = 3 thì | a| = |3| =3
Với a= -3 thì |a| = |-3|
* Ngược lại:



−
==>=
3




<
≥
=
0A(x) A(x)nÕu -
0 A(x) nÕu
|
)(
|)(
xA
xA







<−
≥
=



<
≥−
=
3

0,,
0
||
>∈∀≤≤−⇔



>
≤
bRbabab
b
ba
03
03
303
3
≤≤−⇔



<≤−
≤≤
⇒



<≤
≥≤
⇒≤
a

0 a nÕu
0a nÕu3a-
0 a nÕu
Rba
ba
ba
b
ba
∈∀



−≤
≥
⇔



>
≥
,
0
||
1) | a | ≥ 0 ∀ a (Theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối)
2) |a| = 0 < => a = 0
3) | a | = | -a | ; | a |
2
= a
2
Thật vậy:

5) | a + b | ≤ | a | + | b |
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0
Thật vậy: theo (4) -|a| ≤ a ≤ |a|
- |b|≤ b ≤ |b|
=> -( |a| + |b| ≤ a+ b ≤ |a| + |b | (đccm)
6) |a|- | b | ≤ |a| + | b |
Dấu "= " (|a| -|b| = |a – b|) xảy ra khi và chỉ khi



≥
≥
ba
ab 0
Thật vậy: |a| =| a-b+b| ≤ |a- b | + | b| => |a| - | b| ≤ |a-b| (1)
|a – b | =| a + ( -b)| ≤ |a| + |- b | => |a| + | b|
=> |a – b| ≤ | a| + | b| (2)
Từ (1) và (2) => |a| - | b| ≤ | a-b | ≤ |a | + |b | (đccm)
7) ||a| - | b| |≤ | a ∓ b|
Đẳng thức | | a| -| b| | = |a – b | khi ab ≥ 0
Thật vậy :
5
Theo (6) |a| – |b |≤ | a - b| (1)
| b | - | a | ≤ | b- a | = | -(b – a ) | = | a – b |
=> -( |a – b |) ≤ | a - b| (2)
)3(
)(




hoÆchoÆc
0
0
0
0
b
a
b
a
0≠= b
b
a
b
a
Đều suy ra | ab| = | a | |b| = 0 (1)
Từ (1);(2);(3);(4) và (5) => đ/c c/m.
6
)5())(()(;
0
0
)4()(;
0
0
)3()(;
0
0
)2(;
0
0
baabbababaabbbaa




>
>
ab 0 ab vµ
ab 0 ab vµ
ab 0 ab vµ
ab 0ab vµ
9) Thật vậy: xét các khả năng sau:
Từ (1);(2); (3) ;(4) và (5) suy ra điều cần chứng minh.
III- Bài tập áp dụng :
1- Bài tập áp dụng khái niệm :
a- Bài tập trắc nghiệm :
Hãy khoanh tròn vào các chữ a), b), c), d)
nếu đó là câu đúng (Các câu 1,2,3)
Câu 1: Giá trị tuyệt đối của a ký hiệu là | a|
a) | a | = a b) | a | = - a
c) | a | = 0 d) | a | ≥ 0
Câu 2 :
Cho a ∈ Z tìm kết luận đúng
a) | a | ∉ N b) | a | = a
c) | a | ∈ N d) | a | = - a
7
)5(
||
||
||
||
;

0
)1(
||
||
0
||
0
||
||
;000,0
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
bbaa
b
a
b
a
b
a
b

a
b
a
b
a
b
a
b
a
bbaa
b
a
b
a
b
a
bb
a
b
a
Taba
==>=
−
−
==
>−=−==>



<

dã Khi
0ab vµ
vµ
b
a
0abvµ thi
b
a
dã Khi
0abvµ thi
b
a
dã Khi
0abvµ thi
b
a
cã
Câu 3 : Cho số nguyên a hãy điền vào chỗ trống các dấu ≤ ;≥ ; >; < = để các
khẳng định sau là đúng :
a) | a |… a với mọi a
b) | a | …0 với mọi a
c) Nếu a> 0 thì a… | a |
d) Nếu a = 0 thì a… | a |
e) Nếu a < 0 thì a… | a |
Câu 4 : Biết | a | = |b|
a) a= b b) a = -b
c) a = b = 0 d) a = b ; a = - b.
Câu 5: hãy nối một dòng ở cột bên phải với một dòng ở cột bên trái để được :
a) | x | < 2 1) x< -3; x >3
b) | 2x | = - 3 2) x∈ [-5 ; 5]

Câu 1: Điền dấu ≥, ≤, = cho thích hợp
a) | a + b | ………….| a | +|b|
b) | a - b | ………….| a | - |b| Với | a | ≥ |b|
c) | a b | ………….| a| |b|
d)
b
a
b
a

Câu 2 Đánh dấu chéo vào câu (trong câu 2 và câu 3)
Ta có a + b = | a | - |b| với
a) a, b trái dấu
b) a, b cùng dấu
c) a>0, b < 0
d) a>0, b < 0 và | a | > |b|
Câu 3: Ta có a + b = - |( a | - |b|)
a) a, b trái dấu
b) a, b cùng dấu
9
c ) a, b cùng âm
d) a, b cùng dương
b – Các bài toán :
Bài 1: Chứng minh
| a – b | < 5 Biết | a – c | < 3 ; | b – c | < 2
Bài 2: Có số nguyên x nào để
a) | 2x + 7 | + | x + 5 | = - 12
b) | x | + | x – 5 | = 0
c) | - x – 3 | + | - 49 | = 27
Bài 3: Một điểm x (điểm biểu diễn bởi số nguyên x ) di chuyển từ điểm – 2 đến

Bài 1: a) sai VD: a = 5 ; b = 5
Thì | a| = 5 = | b | nhưng a ≠ b
điều kiện để khẳng định đúng là a.b >0 ; a = b = 0
b) sai VD: a = 3; b = - 5
điều kiện bổ xung để khẳng định đúng là: a > 0 ; b > 0.
Bài 2:
a) a = 1
b) a = 2 ; a= 0
c) Không có giá trị nào của a
d) – 1 ≤ a ≤ 1
e) a ≤ - 2 ; a ≥ 2
g) a ∈ {∓1; ∓2 ; ∓3; ∓4}
Bài 3: a ) x ∈ {∓1; ∓2 ;………………. ∓29})
=> Có 58 số
b) Do | x | ≥ 0 ; | y | ≥ 0
Mà | x | + | y | = 3 => | x | ; | y | ∈ {0 ; 1; 2; 3}
11
- Nếu | x | = 0 thì | y | = 3 khi đó có hai cặp
- Nếu | x | = 1 thì | y | = 2 = > có bốn cặp.
| x | = 2 thì | y | = 1 = > có bốn cặp.
| x | = 3 thì | y | = 0 = > có hai cặp.
Tất cả có 2 + 4 + 4 = 2 = 12 cặp
c) Giải: Tương tự câu b) có 20 cặp
Bài 4:
| x | = 7 => x = ∓ 7 ; | y | = 20 => y = ∓ 20
Xét bốn trường hợp
Đáp số ∓ 13; ∓ 27
Bài 5: |x | ≤ 3 < = > - 3 ≤ x ≤ 3
| y | ≤ 5 < => - 5 ≤ y ≤ 5
Vì x – y = 2 ta có bảng sau:

c) = a
2
với a ≥ 0
= - a
2
với a<0
d) = 1 với a ≥ 0
= -1 với a< 0
e) = x + 2 với x ≥ 3
= 8 – x với x < 3
f) = - 2x + 3 với x < - 2
= 7 với x – 2 ≤ x ≤ 5
= 2x –3 với x > 5
g) 3x + 2 (với x ≥ - 3)
B – Các dạng toán về giá trị tuyệt đối trong chương trình toán trung học cơ sở
I – Một số dạng phường trình thường gặp
1- Dạng 1:
Ví dụ: Giải các phương trình sau.
a) | 2x – 1 | = 5 (1)
13



=
−=
⇔



≥

Vậy tập nghiệm của phương trình (1) là S = {- 2; 3}
b) | 2x – 1| = m – 1 với m là tham số
+) Nếu m – 1 < 0 = > m < 1 thì phương trình vô nghiệm
+) Nếu m - 1 = 0 thì | 2x- 1 | = 0 => x = 1/2
+) Nếu m –1 > 0 thì






=
−
=
⇔



−=−
−−=−
2
2
2
112
)1(12
m
x
m
x
mx









<
=−



≥
=
<=>=
0
)(
0
)(
)(
x
bxA
x
bxA
bx
Ví dụ : Giải phương trình | x| - 1 =5 (3)
+) Nếu x ≥ 0 (3)  x – 1= 5<= > x = 6
+) Nếu x < 0 (3)  - x- 1= 5<= > x =-6
Vậy tập nghiệm của phương trình (3) là S = {- 6 ; 6}

14




=
≥−=
⇔



<=
≥−=−
⇔
3
4
x
lo¹i) nµy(nghiÖm3)xvíi
3xvíi1)-2x (-3-x
3)xvíi
(2
(123
)2(
x
xx
Ví dụ: Giải phương trình | x | - 1 = 2x + 5 (4)
+) Nếu x ≥ 0 (4) <= > x – 1 = 2x + 5 <= > x = - 6 (loại) vì - 6 < 0
+) Nếu x < 0 (4) – x- 1 = 2x+ 5 <= > x = - 2
Vậy tập nghiệm của phương trình (4) là S= {-2}
15

x+ 3 - - - 0 +
+) Bảng tính giá trị tuyết đối
x -1 2 3
|x + 1| - x- 1 0 x + 1 x + 1 x + 1
|x – 2| 2 – x 2 – x 0 x - 2 x- 2
| x – 3) 3 –x 3 –x 3 –x 0 x – 3
Vế trái (6) - 3x – 4 6 – x x + 2 3x - 4
Nếu x < -1
(6) <= > - 3x + 4 = 5 < => x = 1/3 (loại)
Nêú –1 ≤ x ≤ 2
(6) <= > 6 – x = 5 <= > x = 1
+) Nếu 2 < x ≤ 3
(6) <= > x + 2 = 5 < => x = 3
+) Nếu x > 3
(6) < => 3x – 4 = 5 <= > x = 3 (loại)
16





=
−=
⇔



+=+
+−=+
⇔

5
2
1
≤≤
x
Đây chính là tập hợp các nghiệm của phương trình (6')
Bài tập đề nghị
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a) | x – 3 | + x = 7
b) | x + 3 | = | 5 – x |
e) | x – 3 | = x – 3
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) x - | x + 1 | + 2| x – 1| = 0
b) | x| + | 1 – x | = x + | x – 3 |
c) | | x| - 3 | = x +1
Bài 3 : Giải các phương trình
a) | x – 4 | - x = 2a ( a là hằng số)
b) | x – 3 | + | 5 – x | = 2a ( a là hằng số)
Đáp số :
Bài 1: a) 5 b) 1 c) Vô nghiệm d) Vô nghiệm e) x ≥ 3
17
123)
1212)
−=+
−=+
xd
xxc
Bài 2:
Bài 3: a) Nếu a > -2 thì x = 2 –a
Nếu a = - 2 thì Vô số nghiệm x ≥ 4

+) Nếu m + 5 ≤ 0 (1' ) Vô nghiệm
+) Nếu m + 5 > 0 < => m > - 5
(1') < => | x – 1 | ≤ m + 5 < => - m – 5 ≤ x – 1 ≤ m + 5
< => - 4 - m ≤ x ≤ m + 6
Kết luận : m ≤ - 5 bất phương trình vô nghiệm
m > - 5 bất phương trình có nghiệm – m – 5 ≤ x – 1 ≤ m + 5
Dạng 2: | A (x) | ≥ b (II)
Cách giải :
+) Nếu b < 0 => bất phương trình (II) có nghiệm với ∀ x ∈ R
18
1)1)
2
3
;
2
1
) cba
−
Ví dụ: Giải các bất phương trình sau:
a) | x – 3 | ≥ 9 (2)
Vậy (2) có nghiệm là x ≤ 6 ; x ≥ 12
-6 12
b) | x – 3 | ≥ 1 – m (2')
+) Nếu 1 – m < 0 < => (2') có nghiệm với ∀ x ∈ R
Kết luận : * m > 1 (2' ) có nghiệm với ∀ x ∈ R
* m ≤ 1 (2' ) có nghiệm x ≥ m + 2 ; x ≥ 4 - m
Dạng 3:
Ví dụ: Giải bất phương trình
| 1 – 2x | ≤ x + 5 (3)
19




−≥
+≤
⇔



≥
≤
⇔⇔≥+
mx
mx
4
2
)
m -13- x
1 -m3-x
)(2' 0 m - 1 NÕu






≥
≤
−⇔


≥+
−≥+
−−≥−
⇔



≥+
+≤−≤−−
⇔
5
6
3
4
3
4
6
05
215
521
05
5215
)3(
x
xx
x
x
xx
xx
x

)()(
)()(
0)(
)()(
xB
xBxA
xBxA
xB
xBxA
Ví dụ: Giải bất phương trình : | x + 1 | ≥ 2x - 1 (4)
Vậy nghiệm của bất phương trình (4) là






∈≤≤ 2;
2
1
2
2
1
xhayx
Dạng 5:
[ ] [ ]
22
)()()()( xBxAxBxA
≥<=>≥
Ví dụ : Giải bất phương trình














≥
≤





≥
≤
⇔








2
0
012
121
211
)4(
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xcña trÞ gi¸ cã Kh«ng
Cách giải : Lập bảng chia khoảng xét dấu phá bỏ dấu giải trị tuyệt đối (Đặc biệt
có thể dùng tính chất | a | + | b | ≥ | a + b |)
Ví dụ: Giải bất phương trình
| x - 1 | + | x - 2 | > x + 3
+) Lập bảng xét dấu
x 1 2
x-1 - 0 + +
x-2 - - +
+ Nếu x < 1
(6) <= > 1 - x + 2 - x > x + 3
< => 3x < 0 => x < 0
Trong khoảng này x< 0 (*)

Hướng dẫn đáp số :
* Trước hết ta quan tâm đến khái niệm điểm đối xứng với một điểm qua một
đường thẳng.
Điểm A' được gọi là đối xứng với điểm A qua đường thẳng a là đờng trung trực
của đoạn thẳng AA'
- Cách vẽ điểm đối xứng với điểm A qua đường thẳng a
+ Vẽ đường thẳng AM ⊥ a (M ∈ a)
22
xxxd
xxxc
x
x
b
x
x
a
+<−−
<++−+−
≥
−
−
<
+
−
5|573|)
5331)
1
1
23
)

<<
<<
+
≤≤
−
+><
<<
><
<
>
≥≤
><
≥−≤
<<
<<
x
x
c
xb
x
xxd
xxc
x
-4
d)
nghiÖmV«
8-1xa):6 Bµi
5 x-e)
7x ;1-xd)
1xc)



≤−
≥
==
0x nÕu
0x nÕu
xf( y thÊyTa
)(
)(
)
xf
xf



<−−
≥
==
0x nÕu
x nÕu2-x
2 - | x | y thÊyTa
2
0
x



<
≥

+) Lấy đối xứng với (C
1
) qua oy (C
2
)
+)Lấy đối xứng qua ox phần bên dưới trục hoành của (C
1
) và (C
2
) là (C
3
)
+) Đồ thị cần vẽ là (C
1
) ∪ (C
2
) ∪ (C
3
) y
c) Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số y = | 3 - 2|x| |
- 3
0 x
24





<−
<−−

)
Đồ thị hàm số cần vẽ là (C
1
) ∪ (C
2
) ∪ (C
3
)như hình vẽ.
4- Đồ thị hàm số | y| = f (x)
a) Khái niệm : Tập hợp các điểm M(x, y) trên mặt phẳng Oxy có toạ độ thoả
mãn |y| =f(x) là đồ thị hàm số |y| = f(x).
Đồ thị hàm số có trục đối xứng là ox
c) Cách vẽ :
+) Vẽ đồ thị hàm số y = f(x)
+) Lấy phía trên trục ox (C
1
)
+) Lấy đối xứng với (C
1
) qua ox ta được (C
2
) y
Đồ thị hàm số cần vẽ là (C) =(C
1
) ∪ (C
2
)như hình vẽ.
d) Ví dụ: Vẽ đồ thị hàm số |y| = x -1
+) Vẽ y = x -1
+) Lấy phía trên trục ox (C

3
x nÕu
2
3
- nÕu
2
3
x0 nÕu
x2-3 y thÊyTa



<−=
≥=
⇒=
0y nÕu
0y nÕu
)(
)(
)()
xfy
xfy
xfyb