Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS
PHẦN CHUNG

1. Lí do chọn đề tài
1.1. Cơ sở pháp chế
Đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi là một công tác mũi nhọn của ngành giáo dục & đào tạo.
Trong xu thế phát triển hiện nay, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi là một nhu cầu cấp
thiết của xã hội, nó góp phần không nhỏ vào việc đào tạo, bồi dưỡng nhân tài cho đất nước.
Chính vì vậy, trong những năm gần đây, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi được ngành
giáo dục hết sức chú trọng.
1.2. Cơ sở lý luận
Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt bậc học phổ thông. Là một môn
học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri thức
cho mình. Chính vì vậy, việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của SGK, nắm
vững phương pháp dạy học, để từ đó tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả là một công
việc mà bản thân mỗi giáo viên đang trực tiếp giảng dạy bộ môn toán thường xuyên phải làm.
Trong công tác giảng dạy bộ môn Toán, việc đào tạo, bồi dưỡng những học sinh có năng
khiếu về bộ môn Toán. Giúp cho các em trở thành những học sinh giỏi thực sự về bộ môn
toán là một công tác mũi nhọn trong công tác chuyên môn được ngành giáo dục hết sức chú
trọng. Các cuộc thi học sinh giỏi các cấp được tổ chức thường xuyên mỗi năm một lần đã thể
hiện rõ điều đó.
Chương trình Toán bậc THCS có rất nhiều chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, trong đó
chuyên đề “Phân tích đa thức thành nhân tử” là một trong những chuyên đề giữ một vai trò
quan trọng, nó giúp cho học sinh hình thành kỹ năng biến đổi đồng nhất trên các biểu thức đại
số. Chẳng hạn, để thực hiện rút gọn một biểu thức đại số thì không thể thiếu việc phân tích đa
thức thành nhân tử, hay việc giải một phương trình bậc cao sẽ gặp rất nhiều khó khăn nếu học
sinh không thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, thậm chí trong nhiều đề thi
học sinh giỏi cấp huyện ,tỉnh, thành phố, nhiều năm cũng có những bài toán về chuyên đề
phân tích đa thức thành nhân tử, Chính vì vậy, việc bồi dưỡng cho học sinh chuyên đề về
phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những vấn đề mà bản thân tôi hết sức quan tâm.
1.3. Cơ sở thực tiễn

- Sách giáo khoa, sách giáo viên Toán 8, Toán 9.
- Chuyên đề bồi dưỡng Đại số 8 (Nguyễn Đức Tấn)
- “23 chuyên đề giải 1001 bài toán sơ cấp” của Nhóm tác giả: Nguyễn Văn Vĩnh –
Chủ biên, Nguyễn Đức Đồng và một số đồng nghiệp (NKTH).
NỘI DUNG ĐỀ TÀI
1. Nội dung thực hiện
1.1. Cơ sở lí luận
1.1.1. Định nghĩa phân tích đa thức thành nhân tử
a) Định nghĩa 1
+ Nếu một đa thức được viết dưới dạng tích của hai hay nhiều đa thức thì ta nói rằng
đa thức đã cho được phân tích thành nhân tử.
+ Với bất kì đa thức ( khác 0 ) nào ta cũng có thể biểu diễn thành tích của một nhân tử
khác 0 với một đa thức khác. Thật vậy:
a
n
x
n
+ a
n-1
x
n-1
+ … + a
0
= c(
c
a
n
x
n
+

∆
< 0. Vậy mọi đa thức trên R có bậc lớn hơn 0 đều phân tích được thành
tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai với
∆
< 0”.
c) Định lý 3( Tiêu chuẩn Eisenten )
Giả sử f(x) = a
0
+ a
1
x + … + a
n
x
n
, n > 1, a
n

≠
0, là một đa thức hệ số nguyên . Nếu tồn
tại một số nguyên tố p sao cho p không phải là ước của a
n
nhưng p là ước của các hệ số còn
lại và p
2
không phải là ước của các số hạng tự do a
0
. Thế thì đa thức f(x) là bất khả quy trên Q.
1.2. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử
Qua các định lý trên, ta đã chứng tỏ rằng mọi đa thức đều phân tích được thành tích các
đa thức trên trường số thực R. Song đó là mặt lí thuyết , còn trong thực hành thì khó khăn hơn

2
– 3ax)(5y + 2b) – (6a
2
– 4ax)(5y + 2b)
Giải: Ta có: P = (2a
2
– 3ax)(5y +2b) – (6a
2
– 4ax)(5y + 2b)
= (5y+2b)((2a
2
– 3ax) – (6a
2
– 4ax))
= (5y + 2b)(- 4a
2
+ ax)
= (5y + 2b)(x – 4a)a
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
B = 3x
2
(y – 2z ) – 15x(y – 2z)
2
Giải: Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là y – 2z
Do đó : B = 3x
2
(y – 2z) – 15x(y – 2z)
2
= 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z))
=3x(y – 2z)(x – 5y + 10z)

2
+ 3xy
Giải: Ta có: Q = 3x
3
y – 6x
2
y – 3xy
3
– 6xy
2
z – xyz
2
+ 3xy
= 3xy(x
2
– 2x –y
2
– 2yz – z
2
+ 1)
= 3xy((x
2
– 2x + 1) – (y
2
+ 2yz + z
2
))
= 3xy((x – 1)
2
– (y + z)

+ 2)(x + 3)
Bài 8 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 6z
3
+ 3z
2
+ 2z +1
Giải: Ta có : A = 6z
3
+ 3z
2
+ 2z +1
= 3z
2
(2z + 1) + (2z + 1)
= (2z + 1)(3z
2
+ 1)
1.2.2 . Phương pháp nhóm các hạng tử
Phương pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất kết hợp của
phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử chung, rồi sau đó vận dụng
tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng. Sau đây là một số ví dụ :
Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = xy
2
– xz
2
+ yz
2
– yx

= x(y
2
– z
2
) + yz(z – y) + x
2
(z – y)
= x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x
2
(y – z)
= (y – z)((x(y + z) – yz – x
2
))
3
Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS
= (y – z)((xy – x
2
) + (xz – yz)
= (y – z)(x(y – x) + z(x – y))
= (y – z)(x – y)(z – x)
Bài 10 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A= 4x
5
+6x
3
+6x
2
+9
Giải: Ta có : A= 4x
5

2
+ 1
= x
4
(x
2
+ 1) + ( x
2
+ 1)
= (x
2
+ 1)(x
4
+ 1)
Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
2
+ 2x + 1 – y
2
Giải: Ta có: B = x
2
+ 2x + 1 – y
2
= (x
2
+ 2x + 1) – y
2
= (x + 1)
2
– y

m + 4
+ x
m + 3
– x - 1
Giải: Ta có : A = x
m + 4
+ x
m + 3
– x – 1
= x
m + 3
(x + 1) – ( x + 1)
= (x + 1)(x
m + 3
– 1)
Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
2
(y – z) + y
2
(z - x) + z
2
(x – y)
Giải: Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung y - z
Ta có : P = x
2
(y – z) + y
2
z – xy
2

=(y – z)(x
2
– y
2
) – (x – y)(z
2
– y
2
)
= (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y)
= (y – z) (x – y)(x + y – (z + y))
= (y – z) (x – y)(x – z)
4
Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS
Bài 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
Giải: Ta có : A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + bc
2
+ c
2
a + abc – abc
= ( a + b)(bc + ca + ab) + c
2
( a + b)
= ( a + b)(bc + ca + ab + c
2
)
= ( a + b)( c(b + c) + a(b + c))

2
+ abc) + (b
2
c +bc
2
+abc) + (c
2
a + ca
2
+ abc)
= ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c)
= ( a + b + c)(ab + bc + ca)
Bài 19: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = 2a
2
b + 4ab
2
– a
2
c + ac
2
– 4b
2
c + 2bc
2
– 4abc
Giải: Ta có : A = 2a
2
b + 4ab
2

Bài 20: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = 4x
2
y
2
(2x + y) + y
2
z
2
(z – y) – 4z
2
x
2
(2x + z)
Giải: Ta có : P = 4x
2
y
2
(2x + y) + y
2
z
2
(z – y) – 4z
2
x
2
(2x + z)
= 4x
2
y

2
– 4x
2
) – (y
3
+ 8x
3
))
= 4x
2
y
2
(2x + y) + z
2
(z(y – 2x)(y + 2x) – (y + 2x)(y
2
– 2xy + 4x
2
))
= (2x + y)( 4x
2
y
2
+ z
3
– 2xz
3
– z
2
y

– z
2
) + 2xz(2x + z))
= (2x + y)( y – z) (2x + z)(2xy – yz + 2xz)
1.2.3. Phương pháp dùng hằng đẳng thức đáng nhớ
Phương pháp này dùng hằng đẳng thức để đưa một đa thức về dạng tích, hoặc luỹ thừa
bậc hai, bậc ba của một đa thức khác.
Các hằng đẳng thức thường dùng là :
A
2
+ 2AB + B
2
= (A + B)
2
A
2
- 2AB + B
2
= (A - B)
2
A
2
- B
2
= (A + B) (A - B)
(A + B)
3
= A
3
+ 3A

2
- AB + B
2
)
Sau đây là một số bài tập cụ thể:
Bài 21: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4

Giải: Ta có : A = x
4
+ x
2
y
2
+ y
4

= (x
4
+ 2x
2
y
2

– b
6
+ a
4
+ a
2
b
2
+ b
4

Giải: Ta có : B = a
6
– b
6
+ a
4
+ a
2
b
2
+ b
4

= (a
6
– b
6
) + (a
4

+ ab + b
2
) + (a
4
+ 2a
2
b
2
+ b
4
) – a
2
b
2
= (a + b)( a
2
- ab + b
2
) (a - b)( a
2
+ ab + b
2
) +(a
2
+ b
2
)
2
– a
2

+ab + b
2
)(a
2
- ab + b
2
)(a
2
– b
2
+ 1)
Bài 23: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = x
4
+ x
2
+ 1 + (x
2
– x + 1)
2
Giải: Ta có : M = x
4
+ x
2
+ 1 + (x
2
– x + 1)
2
= (x
4

+ x + 1 + x
2
– x + 1)
= 2(x
2
– x + 1)(x
2
+ 1)
Bài 24: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ y
4
+ z
4
- 2x
2
y
2
– 2x
2
z
2
- 2y
2
z
2
Giải: Ta có: A = x
4
+ y

2
z
2
) – 4y
2
z
2
= (x
2
– y
2
– z
2
)
2
– 4y
2
z
2
= (x
2
– y
2
– z
2
– 2yz) (x
2
– y
2
– z

– 3.2x(x
2
– y
2
)
= 2x(4x
2
– 3(x
2
– y
2
))
= 2x(x
2
+ 3y
2
)
Cách 2: A = (x + y)
3
+(x - y)
3

= ((x + y) +(x - y))((x + y)
2
– (x + y)(x – y) + (x – y)
2

= 2x(2(x
2
+ y

3

Giải: Dễ thấy : x – y =(x – z) + (z – y)
Từ đó ta có : (x - y)
3
= (x – z)
3
+ (z – y)
3
+ 3(x – z)(z – y)((x – z) + (z – y))
= - (z - x)
3
- (y - z)
3
+ 3(z – x)(y – z)(x – y)
= 3(z – x)(y – z)(x – y)
6
Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS
Bài 27: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (a + b+ c) – (a
3
+ b
3
+ c
3
)
Giải: Ta có: A = (a + b+ c) –(a
3
+ b
3

- (a
3
+ b
3
+ c
3
)
= 3a
2
(b + c) + 3a(b + c)
2
+ 3bc(b + c)
= 3(b + c)(a
2
+ ab + ac + bc)
= 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b)
= 3(b + c)(a + b)(a + c)
Bài 28: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
8
– 2
8

Giải: Ta có : P = x
8
– 2
8

= (x
4

+ 2
2
)
= (x
4
+ 2
4
)(x
2
+ 2
2
)(x – 2)(x + 2)
Bài 29: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = (x
3
– 1) + (5x
2
– 5) + (3x – 3)
Giải: Ta có: Q = (x
3
– 1) + (5x
2
– 5) + (3x – 3)
= (x – 1)(x
2
+ x + 1) + 5(x – 1) (x + 1) + 3(x – 1)
= (x – 1)( x
2
+ x + 1 + 5x + 5 + 3)
= (x – 1)( x

f(x) = (x + 2)(x
4
+ 4x
3
+ 5x
2
+ 4x + 4) = (x + 2).g(x)
Dễ thấy: g(x) = x
4
+ 4x
3
+ 5x
2
+ 4x + 4 có g(-2) = 0
Nên chia g(x) cho (x + 2), ta được:
g(x) = (x + 2)(x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2)
Đặt h(x) = x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2. Ta có: h(-2) = 0
Nên chia h(x) cho(x + 2), được: h(x) = (x + 2)(x
2
+ 1)
Vậy: f(x) = (x + 2) (x + 2) (x + 2) (x
2


Vậy x
4
+ 4x
3
+ 5x
2
+ 4x + 4 = (x + 2)(x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2)
Chia x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2 cho (x + 2) như sau :
1 2 2 2
-2 1 0 1 0
Vậy x
3
+ 2x
2
+ 2x + 2 = (x + 2)(x
2
+ 1)
Vậy h(x) = (x + 2)
3
(x
2

P(-2) = 16 + 16 –44 – 24 +36 = 68 – 68 = 0
Ta có: P = x
4
+ 2x
3
– 4x
3
– 8x
2
– 3x
2
– 6x + 18x + 36
= x
3
(x + 2) – 4x
2
(x + 2) – 3x(x + 2) + 18(x + 2)
= (x + 2)(x
3
– 4x
2
– 3x + 18)
Lại phân tích Q = x
3
– 4x
2
– 3x + 18 thành nhân tử
Ta thấy: Q(-2) = (-2)
3
– 4(-2)

– 2y + 6y – 12
= y(y – 2) + 6(y – 2)
= (y – 2)(y + 6) (1)
Thay : y = x
2
+ x vào (1) ta được :
A = (x
2
+ x – 2)(x
2
+ x – 6)
= (x – 1)(x + 2)(x
2
+ x – 6)
Bài 33: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = (x
2
+ x + 1)( x
2
+ x + 2) - 12
Giải: A = (x
2
+ x + 1)( x
2
+ x + 2) - 12
Đặt y = (x
2
+ x + 1). Đa thức đã cho trở thành :
A = y(y + 1) – 12
= y

+ 1
Giải: B = x
12
– 3x
6
+ 1
Đặt y = x
6
(y
0≥
)
Đa thức đã cho trở thành :
B = y
2
– 3y + 1
= y
2
– 2y + 1 – y
= (y – 1)
2
– y
= (y – 1 -
y
)(y + 1 +
y
) (*)
Thay : y = x
6
vào (*) được :
B = (x

2
)
3
- 3
2
(y +
2
)
2
+ 3(y +
2
) +
2
- 2
= y
3
+ 3y
2
2
+ 3y.2 + 2
2
- 3
2
(y
2
+ 2
2
y + 2) + 3(y +
2
) +

2
- 2)
Bài 36: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
Giải: Ta có:
M = (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) + 15
= ((x + 1)( x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15
= (x
2
+ 8x + 7)( x
2
+ 8x + 15) + 15
Đặt : y = (x
2
+ 8x + 7). Đa thức đã cho trở thành :
M = y(y + 8) + 15
= y
2
+ 8y + 15
= y
2
+ 3y + 5y + 15
= y(y + 3) + 5(y + 3)
= ( y + 3)(y + 5)
Thay : y = (x
2
+ 8x + 7), ta được :
M = (x
2
+ 8x + 10)(x

Giải: Giả sử x
0≠
, ta viết đa thức dưới dạng :
A = x
2
((x
2
+
2
x
1
) + 6( x -
x
1
) + 7 )
Đặt y = x -
x
1
thì x
2
+
2
x
1
= y
2
+ 2
Do đó : A = x
2
(y

+ 3x – 1)
2

Dạng phân tích này cũng đúng với x = 0
Nhận xét :
Từ lời giải bài tập này, ta có thể giải bài tập tổng quát sau : Phân tích đa thức sau
thành nhân tử :
A = a
0
x
2n
+ a
1
x
n – 1
+…….+ a
n – 1
x
n – 1
+a
n
x
n
+ a
n – 1
x
n – 1
+ … + a
1
x + a

n
x
a
0
Sau đó đặt y = x +
x
1
ta sẽ phân tích được A thành nhân tử một cách dễ dàng như bài tập
trên.
Bài 38: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
2
+ 2xy + y
2
– x – y - 12
Giải: Ta có: A = x
2
+ 2xy + y
2
– x – y – 12
= (x + y)
2
– (x + y) – 12
- Đặt X = x + y, đa thức trên trở thành :
A = X
2
– X – 12
= X
2
- 16 – X + 4

2
+ z
2
= a
xy + yz + zx = b

⇒
( x + y + z)
2
= x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2(xy + yz + zx) = a + 2b
Đa thức A trở thành :
A = a(a + 2b) + b
2

= a
2
+ 2ab + b
2

= (a + b)
2
(*)
Thay : a = x
2

(A + B)
3
= - C
3
↔
A
3
+ 3AB(A + B) + B
3
= - C
3
↔
A
3
+ B
3
+ C
3
= - 3AB(A + B)
↔
A
3
+ B
3
+ C
3
= 3ABC
Thay : A = x – y ; B = y – z; C = z – x, ta được :
(x – y)
3

– 4(x – 1)
= (x – 1)(x – 1 - 4)
= (x – 1)(x – 5)
Cách 3 : A = x
2
– 6x + 5
= (x
2
– 6x + 9) – 4
= (x – 3)
2
– 4
= (x – 3 – 2) (x – 3 + 2)
= (x – 1)(x – 5)
Cách 4 : A = x
2
– 6x + 5
= (x
2
– 1) – 6x + 6
= (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1)
= (x – 1)( x + 1 – 6)
= (x – 1)(x – 5)
Cách 5 : A = x
2
– 6x + 5
= (3x
2
– 6x + 3) – 2x
2

Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS
= 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1)
= (x – 1)(6x – 5(x + 1))
= (x – 1)(x – 5)
Cách 8 : A = x
2
– 6x + 5
Đặt f(x) = x
2
– 6x + 5
Dễ thấy tổng các hệ số của f(x) bằng 0 hay f(x) = 0 nên f(x) chia hết cho
(x- 1). Thực hiện phép chia f(x) cho (x –1) được thương là (x – 5). Vậy
A = (x – 1)(x – 5)
Chú ý: Để phân tích đa thức ax
2
+ bx + c (c
≠
0) bằng phương pháp tách số hạng ta làm như
sau :
Bước 1 : lấy tích a.c = t
Bước 2 : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất cả các trường hợp) t = p
i
.q
i
Bươc 3 : tìm trong các cặp nhân tử p
i
, q
i
một cặp p
a

4
– x
2
+ 3x
2
– 3
= x
2
(x
2
– 1) + 3(x
2
– 1)
= (x
2
– 1) (x
2
+ 3)
= (x – 1)(x + 1)(x
2
+ 3)
Cách 2: B = x
4
+ 2x
2
- 3
= x
4
+ 3x
2

– 1) + 2x
2
– 2
= (x
2
– 1)(x
2
+ 1) + 2(x
2
– 1)
= (x
2
– 1)(x
2
+ 3)
= (x – 1)(x + 1)(x
2
+ 3)
Cách 4 : B = x
4
+ 2x
2
- 3
= (x
4
+ 2x
2
+ 1) - 4
= (x
2

– 9) + 2x
2
+ 6
= (x
2
+ 3)(x
2
- 3) + 2(x
2
+ 3)
= (x
2
+ 3)( x
2
- 3 + 2)
= (x
2
+ 3)(x
2
– 1)
= (x
2
+ 3)(x – 1)(x + 1)
Cách 6 : B = x
4
+ 2x
2
- 3
= (3x
4

2
– 1) (x
2
+ 3)
= (x – 1)(x + 1)(x
2
+ 3)
Bài 43: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ x
2
+ 1
Giải:
Cách 1 : A = x
4
+ x
2
+ 1
= (x
4
+ 2x
2
+ 1) - x
2
= (x
2
+ 1)
2
- x

4
+ x
2
+ 1
= (x
4
- x
3
+ x
2
) + (x
3
- x
2
+ x) + (x
2
- x + 1)
= x
2
(x
2
- x + 1) + x(x
2
- x + 1) + (x
2
- x + 1)
= (x
2
- x + 1)(x
2

= (x + y)(6x – x + y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 3 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (4x
2
+ 4xy) +(x
2
+ 2xy + y
2
)
= 4x(x + y) + (x + y)
2

= (x + y)(4x + x + y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 4 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (3x
2
+ 6xy + 3y
2
) + (2x
2
– 2y
2

= (5x
2
- 5y
2
) + (6xy + y
2
)
= 5(x
2
– y
2
) + 6y(x + y)
= 5(x – y)(x +y) + 6y(x + y)
= (x + y)(5x – 5y + 6y)
= (x + y)(5x + y)
Cách 7 : F = 5x
2
+ 6xy + y
2
= (9x
2
+ 6xy + y
2
) – 4x
2
=(3x + y)
2
– 4x
2
13

2
y
2
= (x
2
+ y
2
)
2
– (xy)
2
= (x
2
+ y
2
– xy)(x
2
+ y
2
+ xy)
Bài 45: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = x
4
+ x
2
+ 1 + (x
2
– x + 1)
2
Giải: Ta có : A = x

– x + 1)(2x
2
+ 2)
Bài 46: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = 4x
4
+ 81
Giải: Ta có : P = 4x
4
+ 81
= 4x
4
+ 36x
2
+ 81 – 36x
2
= (2x
2
+ 9)
2
– (6x)
2
=(2x
2
+ 9 – 6x)(2x
2
+ 9 + 6x)
Bài 47: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
Q = 3x
3

2
– x - 2
= x
3
– 1 – (x
2
+ x + 1)
= (x – 1)(x
2
+ x + 1) - (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)(x – 1 – 1)
= (x
2
+ x + 1)(x – 2)
Bài 49: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
3
+ x
2
– x + 2
Giải: Ta có : B = x
3
+ x
2
– x + 2
= (x

– 8x
2
– 16x + 15x + 30
= x
2
(x + 2) – 8x(x + 2) + 15 ( x + 2)
= (x + 2)(x
2
– 8x + 16 – 1)
= (x + 2)((x – 4)
2
– 1))
= (x + 2)(x – 4 – 1)(x – 4 + 1)
= (x + 2)(x – 5)(x – 3)
14
Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS
1.2.7. Phương pháp hệ số bất định
Phương pháp này dựa vào định nghĩa hai đa thức bằng nhau, ta có thể tính được các hệ số
của sự biểu diễn đòi hỏi bằng cách giải một hệ phương trình sơ cấp.
Sau đây là một số ví dụ :
Bài 51 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
M = x
4
– 6x
3
+ 12x
2
– 14x + 3
Giải: Biểu diễn đa thức dưới dạng :
x



=
−=+
=++
−=+
3
14
12
16
bd
bcad
dbac
ca
Xét bd = 3 với b, d
Z∈
, b
∈
}{
3;1
với b = 3; d = 1
Hệ điều kiện trở thành :






−=+
=

+ aexy + agx + bdxy + bey
2
+ bgy + cdx + cey + cg
= adx
2
+ ( ae + bd )xy + ( ag + cd )x + bey
2
+ ( bg + ce )y + cg
= 3x
2
+ 22xy + 11x + 37y + 7y
2
+ 10
Đồng nhất hai đa thức, ta được hệ điều kiện :












=
=+
=
=+

=
=
=
=
2
7
1
5
1
3
g
e
d
c
b
a
Vậy A = 3x
2
+ 22xy + 11x + 37y + 7y
2
+ 10
= ( 3x + y + 5 )( x + 7y + 2 )
Bài 53: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
B = x
4
– 8x + 63
Giải: Ta có thể biểu diễn B dưới dạng :
B = x
4
– 8x + 63

bd
bcad
dbac
ca

⇔








=
=
=
−=
9
4
7
4
d
c
b
a
Vậy : B = x
4
– 8x + 63 = (x
2

thừa số y – z, z – x . Vậy P có dạng :
k(x – y)(y – z)(z – x)
Ta thấy k phải là hằng số, vì P có bậc đối với tập hợp các biến x, y, z, còn các tích (x –
y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z.
Vì đẳng thức x
2
(y – z) + y
2
(z – x) + z
2
(x – y) = k(x – y)(y – z)(z – x) đúng với mọi x,
y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x = 2; y = 1; z = 0 (*), ta được:
4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2)
2 = -2k
k = -1
Vậy P = -1(x – y)(y – z)(z – x)
= (x – y)(y – z)(x – z)
Chú ý: (*) các giá trị của x, y, z có thể chọn tuỳ ý chỉ cần chúng đôi một khác nhau để (x – y)
(y – z)(z – x)
≠
0.
Bài 55: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
P = x
2
y
2
(y – x) + y
2
z
2

.(-1)
2
.(-2) + (-1)
2
.0.(0 + 1) + 0
2
.1
2
.(1 – 0) = k. 2.(-1).(-1)
-2 = 2k
k = -1
Vậy P = -1(x – y)(y – z)(z – x)
= (x – y)(y – z)(x – z)
Bài 56: Phân tích đa thức sau thành nhân tử
A = ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a)
Giải:
Nhận xét: Nếu hoán vị vòng quanh a, b, c, thì A không thay đổi. Thay a=b vào A ta có:
A = 0 + bc(b – c) + cb(c – b) = 0
Do đó A

(a – b)
16
Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS
Suy ra A

(b – c) và A

(c – a). Từ đó :
A


3
) = 0
Do đó : P

(y – z)
Suy ra P

(z – x) và P

(x – y). Từ đó :
P

(y – z)(z – x)(z – x)
Mặt khác P là đa thức bậc ba đối với x, y, z nên trong phép chia P cho
(y – z)(z – x)(z – x)được thương là hằng số k, nghĩa là :
P = k(y – z)(z – x)(z – x)
Cho : x = 2; y = 1; z = 0, ta được :
2.1
3
+ 1.(-2)
3
+ 0 = k.1.(-2)
- 6 = - 2k
k = 3
Vậy P = 3(y – z)(z – x)(z – x)
Hay x(y
3
– z
3
) + y(z

c. Từ đó :
M

abc
Mặt khác M là đa thức bậc ba đối với a, b, c nên trong phép chia M cho abc thương là hằng số
k, nghĩa là :
M = k.abc
Cho a = b = c = 1, ta được :
1.1
2
+ 1.1
2
+ 1.1
2
+ 1.1.1 = k.1.1.1
k = 4
Vậy M = 4.abc
Hay: a(b +c – a)
2
+ b(c +a – b)
2
+ c(a +b – c)
2
+ (a +b – c)(b +c – a)(c +a – b) = 4abc
2. Kết quả
Tôi đã ứng dụng nội dung nêu trên vào việc bồi dưỡng học sinh giỏi môn Giải toán trên
máy tính tại Trường THCS Nguyễn Thái Học và Trường THCS Dân tộc Nội trú. Kết quả mà
tôi đã thu được như sau:
- Cấp Huyện: Có 11 học sinh tham dự. Kết quả: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 3 giải ba, 4 giải
khuyến khích

4. Kết luận
Bồi dưỡng học sinh giỏi cho học sinh bậc THCS là cả một quá trình lâu dài, bền bỉ. Bởi vì
các em đã có cả một quá trình 9 năm học toán. Để có được những học sinh giỏi, chúng ta cần
phải tập trung bồi dưỡng cho các em ngay từ năm học lớp 6. Với 4 năm liên tục, cùng với sự
nỗ lực của cả thầy lẫn trò, chắc chắn chúng ta sẽ có được những học sinh giỏi thực sự về bộ
môn Toán.
Do năng lực còn hạn chế, và năm học này cũng là năm học thứ hai bản thân tôi tham gia
việc bồi dưỡng học sinh giỏi, nên đề tài của tôi không thể tránh được những thiếu sót, bản
thân tôi rất mong có sự đóng góp, bổ xung của các bạn đồng nghiệp, các nhà quản lý giáo dục
để đề tài của tôi có thể hoàn thiện hơn.
Trên đây, đề tài của tôi cũng mới chỉ đề cập đến một vấn đề nhỏ trong quá trình bồi
dưỡng học sinh giỏi – Tuy nhiên, theo tôi đây cũng là một trong những mạch kiến thức rất
trọng tâm của chương trình toán.
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn tới BGH, các đồng nghiệp của Trường THCS
Nguyễn Thái Học và Trường THCS Dân tộc Nội trú đã có những ý kiến đóng góp, chỉ đạo
thực hiện giúp tôi hoàn thành đề tài này.
5. Kiến nghị đề xuất
- Tăng thêm thời gian bồi dưỡng cho học sinh giỏi môn Toán 9 vì thời gian một tuần 2
buổi không đủ thời gian để thực hiện công tác bồi dưỡng.
- Nếu có thể khi chọn lọc từ đầu vào chúng ta nên chọn ra hai lớp: Chuyên về các môn tự
nhiên và một lớp chuyên về các môn xã hội.
ĐÁNH GIÁ, NHẬN XÉT CỦA TỔ CHUYÊN MÔN VÀ NHÀ TRƯỜNG
18
Đề tài: Phân tích đa thức thành nhân tử trong chương trình Toán THCS
19