class="bi x0 y0 w1 h1"
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN – TIN
====***===
ĐỀ TÀI NGHIỆP VỤ SƯ PHẠM
MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRONG
TRƯỜNG THCS

Giảng viên hướng dẫn: GS.TS.Tống Trần Hoàn.
Người thực hiện: Vũ Thị Hoa
Hải Dương năm 2006
MỤC LỤC
A. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Trang
3
I: Các định nghĩa
II: Các tính chất
B. CÁC DẠNG BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRONG
3
6
9
2
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
CHƯƠNG TRÌNH THCS
Chủ đề I: Giải phương trình, hệ phương trình chứa dấu giá
trị tuyệt đối
I. Kiến thức cần lưu ý
II. Bài tập điển hình
Chủ đề II: Giải bất phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối
I. Kiến thức cần lưu ý

14
14
17
17
18
19
20
20
24
24
24
26
30
31
32
PHẦN I: LỜI NÓI ĐẦU
Giá trị tuyệt đối là một khái niệm được phổ biến rộng rãi trong các ngành
khoa học Toán - Lí, Kỹ thuật, Trong chương trình Toán ở bậc THCS, khái
niệm giá trị tuyệt đối của một số được gặp nhiều lần, xuyên suốt từ lớp 6 đến
lớp 9. ở lớp 6, học sinh bắt đầu làm quen với khái niệm " Giá trị tuyệt đối" qua
bài 2: " Thứ tự trong Z", học sinh nắm được cách tìm giá trị tuyệt đối của một
số nguyên và bước đầu hiểu ý nghĩa hình học của nó. Nhờ đó sách giáo khoa
dần dần đưa vào các quy tắc tính về số nguyên rồi đến số hữu tỷ. ở lớp 8, tuy
không có trong chương trình giảng dạy song bài: " Giải phương trình có chứa
3
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
dấu giá trị tuyệt đối" được rất nhiều giáo viên quan tâm và trang bị đầy đủ cho
học sinh nhất là các học sinh khá giỏi. Đến lớp 9, khi xét các tính chất của căn
thức bậc hai, khái niệm giá trị tuyệt đối lại có thêm ứng dụng mới( đưa một
thừa số ra ngoài căn, đưa một thừa số vào trong căn, khử mẫu của biểu thức

a
là:
a nếu a
≥
0

a
=
-a nếu a < 0
Ví dụ1:
1515
=

3232
=−

00 =

11 =−

1717 =−
4
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
*Mở rộng khái niệm này thành giá trị tuyệt đối của một biểu thức A(x), kí
hiệu
)(xA
là:
A(x) nếu A(x)
≥
0





−
=
3
3
a
Do đó đẳng thức đã cho được nghiệm đúng bởi hai số tương ứng với hai
điểm trên trục số ( hình 2)
Hình 2
Tổng quát:



−
=⇒



>
=
b
b
a
b
ba
0
;

≤
3
-a
≤
3 nếu a < 0 -3
≤
a < 0
5
-a
0 a
-a a
-3
0 3
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
Do bất đẳng thức đã được nghiệm đúng bởi tập hợp các số của đoạn
[ ]
3;3
−

và trên trục sôd thì được nghiệm đúng bởi tập hợp các điểm của đoạn
[ ]
3;3
−

( hình 3)
Hình 3
Ví dụ 3:
a
≥
3 nếu a

Hình 4
Tổng quát:



−≤
≥
⇔≥
ba
ba
ba
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Tìm tất cả các số a thoả mãn một trong các điều kiện sau:
a) a =
a
b) a <
a
c) a >
a
d)
a
= -a
e)
a

≥
a
f)
a
+ a = 0

⇒
a = b
d)
∀
a, b
∈
Q,
a
>
b
⇒
a > b
Bài 3: Bổ sung thêm các điều kiện để các khẳng định sau là đúng
6
-3
0 3
-3
0 3
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
a)
a
=
b
⇒
a = b
b) a > b
⇒

a
>

( Các cặp số nguyên (1, 2) và (2,1)là hai cặp khác nhau)
c) Có bao nhiêu cặp số nguyên (x, y) sao cho
x
+
y
< 4
II - MỘT SỐ TÍNH CHẤT VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
2.1. Tính chất 1:
a

≥
0
∀
a
2.2. Tính chất 2:
a
= 0
⇔
a = 0
2.3. Tính chất 3: -
a

≤
a
≤

a
2.4 Tính chất 4:
a
=

a + b
≤

a
+
b
2.6. Tính chất 6:
a
-
b
≤

baba
+≤−
Thật vậy:
a
=
bababbabba
−≤−⇒+−≤+−
(1)
7
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
babababababa
+≤−⇒+=−+≤−+=−
)(
(2)
Từ (1) và (2)
⇒
đpcm.
2.7. Tính chất 7:

Từ (4) và (5)
⇒
đpcm.
2.8. Tính chất 8:

baba =
Thật vậy: a = 0, b = 0 hoặc a = 0, b
≠
0 hay a
≠
0, b= 0
⇒
baba =
(1)
a > 0 và b > 0
⇒

a
= a,
b
= b và a.b > 0
⇒
bababababa
=⇒==
(2)
a < 0 và b < 0
⇒

a
= -a,

b
a
b
a
b
a
(1)
a > 0 và b > 0
⇒

a
= a,
b
= b và
b
a
b
a
b
a
b
a
==⇒> 0
(2)
a < 0 và b < 0
⇒

a
= -a,
b

b
a
b
a
=
−
=−=⇒<
0
(4)
Từ (1), (2), (3) và (4)
⇒
đpcm.
8
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 6:
Điền vào chỗ trống các dấu
≤≥,
, = để khẳng đinh sau đúng
∀
a, b
a)
ba
+

a
+
b
b)
ba

Cho
3<− ca
,
2<− cb
Chứng minh rằng
5<− ba
Bài 9:
Rút gọn biểu thức:
a)
a
+a
b)
a
- a
c)
a
.a
d)
a
: a
9
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
e)
32)1(3 +−− xx
f)
)14(32 −−− xx
B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI TRONG CHƯƠNG
TRÌNH THCS
CHỦ ĐỀ I: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA
DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

≠
0)
- Nếu
∆
< 0, thì f(x) cùng dấu với a
∀
x
- Nếu
∆

≥
0 thì:
+ f(x) cùng dấu với a
∀
x nằm ngoài khoảng hai nghiệm
+ f(x) trái dấu với a
∀
x nằm trong khoảng hai nghiệm
Hay
- Nếu
∆
< 0
⇒
a.f(x) > 0
∀
x
- Nếu
∆

≥

10
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
hoặc định lí về dấu của tam thức bậc hai). Dấu của biểu thức thường được
viết trong bảng xét dấu.
II. CÁC BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
2.1 Rút gọn biểu thức A = 2(3x - 1) -
3−x
Thật vậy:
+ Với ( x - 3)
≥
0 hay x
≥
3 thì
3−x
= x - 3
+ Với ( x- 3) < 0 hay x < 3 thì
3−x
= -(x - 3) = 3 - x
ta xét hai trường hợp ứng với hai khoảng của biến x
+ Nếu x
≥
3 thì A = 2(3x - 1) -
3−x
= 2(3x - 1) - (x - 3)
= 6x - 2 - x + 3
= 5x + 1
+ Nếu x < 3 thì A = 2(3x - 1) -
3−x
= 2(3x - 1) - (3 - x)
= 6x - 2 - 3 + x

−
x
= x+5
Với x-5<0 hay x<5 thì
5
−
x
=-(x-5) =5-x
áp dụng định lý về dấu của nhị thức bậc bậc nhất ta có bảng xét dấu sau:
X 1 5
x-1 - 0 + +
x-5 - - 0 +
Từ bảng xét dấu ta xét ba trường hợp ứng với ba khoảng của biến x
Nếu x<1 thì B =
1
−
x
-
5
−
x

=1-x-( 5-x)
=1-x-5+x
= - 4
Nếu 1
≤
x<5 thì B =
1
−

∆
' = 4 -3 = 1 > 0
⇒
x
1
= 1; x
2
= 3
Với 1 < x < 3
⇒
1.f(x) < 0
⇒
f(x) < 0
Với x
≤
1 hoặc x
≥
3
⇒
4f(x) > 0
⇒
f(x) > 0
Vậy ta xét hai trường hợp ứng với ba khoảng của biến
Với 1 < x < 3 thì B = -(x
2
- 4x + 3) - 5
= - x
2
+ 4x - 3 - 5
= - x

⇔
x = 0
∉
[1, 2] ( không là nghiệm)
+ Nếu x
≥
2 ta đựoc phương trình: x - 1 + x - 2 = 3x + 1
⇔
x = - 4 < 2 ( không là nghiệm)
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2/5
2.4. Giải phương trình
512 =−−x
Thật vậy:
áp dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có:
512
=−−
x
⇔




−=−−
=−−
)2(512
)1(512
x
x
Giải 1:


32
1
yyx
yx
Thật vậy:
Phương trình thứ nhất đưa đến tập hợp hai phương trình:
12
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS



−=−
=−
1
1
yx
yx
hay



+=
−=
)2(1
)1(1
xy
xy
Việc phân tích phương trình thứ hai đưa đến tập hợp 4 phương trình theo các
khoảng xác định.
Theo dạng của phương trình thứ 2 ta thấy dễ dàng là

5, 1 - x + y - 2 = 3 hay là y - x = 4 (II)
Với 1
≤
x
≤
4 ta có :
Với -1
≤
y
≤
2, x -1 + 2 - y = 3 hay là x - y = 2 (III)
Với 2
≤
y
≤
5, x -1 + y - 2 = 3 hay là x + y = 6 (IV)
Giải 8 hệ phương trình bậc nhất:
Hệ (1; I)
2
1
;
2
1
0
1
−==⇒



=+

;
2
7
6
1
−==⇒



=+
=−
yx
yx
yx
đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác
định.
Hệ (2; I)
2
1
;
2
1
0
1
=−=⇒



=+
−=−

2
5
6
1
==⇒



=+
−=−
yx
yx
yx
, đó là nghiệm vì nó thuộc khoảng xác
định.
Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
x
1
= 1/2; y
1
= -1/2 x
2
= 7/2; y
2
= 5/2
x
3
= -1/2; y
3
= 1/2 x

c)
211 =−+= xx
d)
422 =−+++ xxx
e)
132 =−+x
f)
2323
22
−−=+− xxxx
g)
2
1 xx =−
h)
023214 =−+−−− xxx
Bài 12: với giá trị nào của a, b ta có đẳng thức:
)2()2( baba −=−
Bài 13: Tìm các số a, b sao cho:
baba −=+
Bài 14: Giải các hệ phương trình sau
a)





=+
=+
3
2



=−+−
=+++
531
413
yx
yx
Bài 15: Giải phương tình sau:
321
22
=−−++− xxxx
Bài 16: Tìm x
aaxax 322 =−−+
( a là hằng số)
CHỦ ĐỀ II: GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT
ĐỐI
I. CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý
1.1. Các phép biến đổi bất đẳng thức
a
≥
b
⇔
a + c
≥
b + c
a
≥
b
⇔

≥
a hoặc f(x)
≤
-a a: số thực không âm
f(x):hàm số một đối số
+Dạng 3:
)(xf

≥
g(x)
⇔



−≤
≥
)()(
)()(
xgxf
xgxf
f(x), g(x): hàm số một đối số
+Dạng 4:
)(xf

≤
g(x)
⇔
-g(x)
≤
f(x)

⇔
-2
≤
2x
≤
12
⇔
-1
≤
x
≤
6
2.2 Giải bất phương trình:
1053 ≥−x
Thật vậy:

1053 ≥−x

⇔




−≤
≥
⇔



−≤

≤−− xx
Thật vậy:
122
2
≤−−
xx

⇔

⇔≤−−≤−
1221
2
xx
x
2
-2x-2
≤
1 và x
2
-2x-2
≥
-1
Từ
032122
22
≤−−⇔≤−−
xxxx
Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai
⇔
-1

−
+
x
x
2≥
Thật vậy: TXĐ:
1≠∀x
15
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
Cách 1:
1
2
−
+
x
x
2≥






−≤
−
+
≥
−
+
⇔

−
⇔≥−
−
+
x
x
x
x
x
+ Với
2
1
2
−<
−
+
x
x

⇔

100
1
3
02
1
2
<<⇔<
−
⇔<+

xx
x
x
x
x
áp dụng định lí và dấu của nhị thức, ta xét 3 trường hợp:
+ Nếu x
≤
-2 thì - x- 2 -2(1 - x) > 0
⇔
x > 4 > -2 ( không là nghiệm)
+ Nếu -2
≤
x < 1 thì x + 2 - 2(1 - x) > 0
⇔
3x > 0
⇔
x > 0
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm: 0 < x < 1
+ Nếu x > 1 thì x + 2 - 2(x - 1) > 0
⇔
x < 4
Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm: 1 < x < 4
Vậy bất phương trình có ngiệm: 1
≤
x
≤
4; 0 < x < 1
Cách 3 :
Theo định nghĩa và tính chất của giá trị tuyệt đối, ta có:

2
- 12x < 0
⇔
3x( x - 4) < 0
⇔
0 < x < 4
Kết hợp với TXĐ
⇔
1 < x < 4; 0 < x < 1
III BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 17: Tìm x trong các bất đẳng thức
a)
512 ≤−x
b)
9432 <−− xx
c)
732 ≥−x
d)
10523 >+− xx
Bài 18: Tìm x trong các bất đẳng thức
a)
423 <−x
b)
123 +<− xx
16
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
c)
513 >−x
d)
11

2
≥
−
−
x
x
c)
10313 <−+−++ xxx
d)
8741 <++−+− xxx
e)
8152
2
<+−+ xx
f)
3352
2
+<−− xxx
CHỦ ĐỀ III: ĐỒ THỊ HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I. ĐỒ THỊ HÀM SỐ y = f(|x|)
1.1. Kiến thức cần lưu ý:
Ta thấy f(
x
) = f(
x−
) .Do đó hàm số y = f(
x
)là hàm chẵn nên đồ thị của
hàm số đối xứng qua trục Oy
⇒

Nhận xét

f(x) với f(x)
≥
0
y =
-f(x) với f(x) < 0

⇒
Cách dựng:
- Dựng đồ thị hàm số y = f(x)
- Phần đồ thị nằm ở dưới mặt phẳng Ox nghĩa là ở đấy f(x) < 0
⇒
ta dựng
phần đồ thị đối xứng với phần đồ thị đó qua Ox.
* Chú ý: Đồ thị hàm số y = |f(x)| + k được xem như đồ thị hàm số
y = |f(x)|tịnh tiến theo đường thẳng đứng một đoạn bằn k ( k là số thực)
2.2 Ví dụ:
Dựng đồ thị hàm số y = |x - 2|
Đồ thị hàm số y = x - 2
x = 0
⇒
y = -2
⇒
( 0, -2) thuộc đồ thị hàm số
x = 1
⇒
y = -1
⇒
(1, -1) thuộc đồ thị hàm số

Thật vậy:
Đồ thị hàm số y = 1- x
x = 1
⇒
y = 0
⇒
( 1, 0 ) thuộc đồ thị hàm số
x = 0
⇒
y = 1
⇒
( 0, 1) thuộc đò thị hàm số
Đồ thị hàm số
y = 1 - x với x
≥
0
Đồ thị hàm số
y = 1 - |x|
Đồ thịi hàm số
y = |1 - |x||
19
1
1
O
y
x
-1
1
O
y

1
2
x +
Thật vậy:
Đồ thị hàm số y =
1
1
2
x +
x = 0
⇒
y = 1
⇒
( 0; 1) thuộc đồ thị
x = -2
⇒
y = 0
⇒
( -2; 0) thuộc đồ thị
Hình 9
Phần đồ thị in đậm ( hình 9 ) là đồ thị hàm số |y| =
1
1
2
x +
V. ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ |y| = |f(x)|
5.1 Kiến thức cần lưu ý:
Theo định nghĩa về giá trị tuyệt đối, ta có: y =
±
|f(x)|

Đồ thị hàm số
y = 1- |x|
b)
Hình 10
Đồ thị hàm số
y = |1- |x||
c)
Phần đồ thị in đậm trong phần c) (hình 10) là đồ thị hàm số
|y| = |x - 3|
VI. MỞ RỘNG
Đối với mỗi dạng đồ thị hàm số giá trị tuyệt đối đều có một cách dựng riêng
tương ứng với nó. Tuy nhiên trong thực tế có thể có các hàm số giá trị tuyệt
đối không chỉ ở một dạng nêu trên mà nó là sự kết hợp của nhiều dạng khác
nhau. Đối với trường hợp này chúng ta có thể dựng hàm số đó bằng cách kết
hợp nhiều cách dựng nêu trên, ngoài ra ta còn có thể dựng hàm số đó bằn cách
dựng chung. Cách dựng này có thể áp dụng cho tất cả các dạng đồ thị hàm số
giá trị tuyệt đối.
Cách dựng chung
- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách xét theo từng khoảng của biến ( xem chủ
đề 1)
- Mỗi khoảng ta đều thu được một hàm tương ứng
⇒
Dựng đồ thị theo từng
khoảng đang xét.
Ví dụ 1: Dựng đồ thị hàm số y = |x - 1| + |x - 3|
Thật vậy:
Xét theo từng khoảng của biến x ta thu được:

4 - 2x nếu x
≤

y
3
O
x
y
3
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
a) b) c)
Hình 11
Phần đồ thị in đậm trong phần c) (hình 11) là đồ thị hàm số
y = |x - 1| + |x - 3|
Ví dụ 2. Dựng đồ thị hàm số y = ||x| - 2|
Thật vậy: -2 - x nếu x
≤
-2
Với x
≤
0, y = |-2 - x| =
x + 2 nếu x
≥
-2
-2 - x nếu x
≤
-2
⇒
y =
x + 2 nếu 0
≥
x
≥

2
x - 2 nếu x > 2
ĐTHS y= -2 -x
x
≤
-2
ĐTHS y= x + 2
-2 < x
≤
0
ĐTHS y = 2 - x
0 < x
≤
2
ĐTHS y = x - 2
x > 2
22
O 1
2
4
y
x
x
O 1
2
4
y
3
x
O 1

1
2
3
x −
b) y = 3 - 1.5|x| c) y = 1 - |x|
Bài 22. Dựng đồ thị của các hàm số sau:
a) y = 2|x - 3| b) y = |x + 2| + 1 c) Y = -|X - 1|
Bài 23. Dựng đồ thị của các hàm số sau:
a) y = |2|x| - 3| b) y =
1
1
x
−
Bài 24. Dựng đồ thị của các hàm số sau:
a) |y| = 1 - x b) |y - 1| = x c) |y| = x
2
+ 1
Bài 25. Dựng đồ thị của các hàm số sau:
a) |y| = |x| b) |y - 2| = |x| c) |y - 1| = |x - 2|
CHỦ ĐỀ IV: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT CỦA CÁC BIỂU
THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
I. CÁC KIẾN THỨC CẦN LƯU Ý:
Cho A, B là các biểu thức đại số.
1.1 |A|
≥
0 ( Đẳng thức xẩy ra khi A = 0 )
1.2 |A + B|
≤
|A| + |B| (Đẳng thức xẩy ra khi A.B
≥

x
⇒
2|3x - 1|- 4
≥
-4
∀
x
⇒
GTNN của B = -4
⇔
3x - 1 = 0
⇔
x = 1/3
2.2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C =
6
3x −
với x
∈
Z
Thật vậy:
Xét |x| > 3
⇒
C > 0
∀
|x| > 3
Xét |x| < 3 thì do x
∈
Z
⇒
|x| = { 0; 1; 2}

* Xét x > 3 thì D = x - 2 + x - 3 = 2x - 5
Do x > 3 nên 2x > 6
⇒
D > 1 (3)
So sánh (1), (2), (3) ta được minD = 1
⇔
2
≤
x
≤
3
Cách 2:
Ta có: D = |x - 2| + |x - 3|= |x - 2| + |3 - x|
≥
|x - 2 + 3 - x| = 1
Do đó minD = 1
⇔
(x - 2)(3 - x)
≥
0
⇔
2
≤
x
≤
3
Cách 3:
Ta có: D = |x - 2| + |x - 3|
≥
| (x - 2) - (x - 3)|

Cách 2:
Ta có:
E = ||x - 1|- |x - 5|| = ||x - 1| + | 5 - x||
≤
|x -1 +5 - x| = 4
Do đó max E = 4 khi (x - 1)(5 - x)
≤
0
⇔
5
≤
x hoặc x
≤
1
III. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 26: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
24
Giá trị tuyệt đối trong trường THCS
a) A = 5 - |2x - 1|
b) B =
1
2 3x − +
c) C =
2x
x
+
với x
∈
Z
Bài 27: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức

≤
a
≤
1; b) a
≥
3 hoặc a
≤
-3; c) a =
±
11; d) -3
≤
a < -1; 1 < a
≤
3
Bài 5:
a) 99 số; b) 20 cặp số
Bài 6:
a)
≤
; b)
≥
; c) =; d) =
Bài 7:
a) Cách 1:
Xét hai trờng hợp:
Nếu b
≥
0 thì a + b = |a| + b
⇔
a = |a|