Sở GD & ĐT Thanh Hoá
Trờng THPT Nông cống I
đề thi học sinh giỏi khối 12 (bảng a)
môn: toán
thời gian: 180
'
Bài 1:(4 điểm). Cho hàm số:
)(
3
1
22
3
1
23
cmmxmxxy +=
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
2. Tìm m

(0;
6
5
) sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (Cm), và các đờng
thẳng: x=0; x=2; y=0 có diện tích bằng 4.
Bài 2: (4 điểm).
1. Giải các phơng trình: 3
1+tgx
(sin x + 2cos x)=5(sin x +3cos x).
2. giải phơng trình: log
2
2
x + x.log

x
a
x
x
a
xx
x
Bài 4( 4 điểm).
1. Cho ABC nhọn nội tiếp trong đờng tròn tâm O bán kính R. Gọi R
1
, R
2
,
R
3
lần lợt là các bán kính đờng tròn ngoại tiếp các tam giác BOC, COA,
AOB. Cho biết: R
1
+R
2
+R
3
= 3R. Tính 3 góc của ABC
2. Cho (E): x
2
+ 4y
2
= 4 . M là điểm thay đổi trên đờng thẳng y=2. Từ M kẻ
đến (E) hai tiếp tuyến. Gọi các tiếp điểm là T
1

CMR:
GDGCGBGAGDGCGBGA ++++++
1111
Đáp án và thang điểm
Đáp án
Thang
điểm
Bài 1: 1.Khi m=1.
3
7
2
3
x
y
2
3
+= xx

TXĐ : D = R
+




+=
=
=+=
31
31
022

Đồ thị hàm số lồi trên (-; -1)
Đồ thị hàm số lõm trên (-1;-)
Nhận I(-1,
3
7

) làm điểm uốn
+
+==
+
yLimyLim
xx
;
Bảng biến thiên

x
- -1-
3
-1+
3
+
y + 0 - 0 +
y
CĐ +
- CT
Đồ thị:
2. Xét phơng trình :
0
3
1

5
;0(0)2().0(
''
< mff
nên : x
1
<0<x
2
<2
+ Ta có bảng biến thiên:
x
- x
1
0 x
2
2 +
f 0 - 0 +
0.5
0,5
0.5
0.5
f
có:








312
[)
3
1
22
3
(
2
0
2
0
2
34
2
3
+
=+++=+++=

m
xmx
mxx
dxmxmx
x
s
+Do
)
6
5
;0(
2

)2(01
2
=



=++

=+ t
ttt
t
ttgx
+ Với
)(32 Zkkxtgtgxt +====

thỏa mản điều kiện
2.ĐK: x>0
+Phơng trình đã cho



+=
=
=+
)2()3(log2log
)1(log2
0))3(log2)(loglog2(
72
2
722

x
x
x
Xét hàm số:
x
x
xf
ln
)( =
trên (0;+) ;
exxf
x
x
xf
==

=
0)(;
ln1
)(
'
2
'
Bảng biến thiên.
x
0 e
f 1 0 +
f
0.5
0.5

7
3
)
7
4
()(
t
t
tg +=
luôn nghịch biến

(2) có nghiệm duy
nhất t =1
Vậy (2) có nghiệm x =2
+ KL: Phơng trình đã cho có 2 nghiệm: x = 2; x=4
Bài 3:
1. + Đặt sinx = t có phơng trình đã cho



=++


2
10
ttaa
t
+ Đặt:
0=+ yta
hệ trên

ytyt
tya
ty
yta
tya
ty
2
2
2
2
10;0
0)1)((
10;010;0
+ Xét hàm số: f(t)= t
2
t trên [0;1].
có:
4
1
)
2
1
(;0)1()0(
2
1
0)(;12)(
''
====== fffttfttf
Hệ trên có nghiệm khi đờng thẳng y=a cắt đờng cong y=f(t)= t
2



=++=
==




=++


2
012)(
12
0)12)(2(
2
2
2
t
atttf
xt
attt
t
+ Do (*) nên để phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt thì PT (1)
phải có đúng 1 nghiệm t>2
Nhận xét: Tính a.c =1 vậy để phơng trình (1) có đúng 1 nghiệm t>2 thì
0.5
0.5
0.5
0.5

=
4
5
0)2(
2
2
2
0
21
21
af
VN
VN
tt
tt
a
Kết luận: Để phơng trình đã cho có đúng 3 nghiệm phân biệt thì : a<
4
5

Bài 4:
1. Theo định lý hàm số sin cho BOC ta có:

A
R
RR
A
AR
R
A

=++
CBA
+ Dễ có :
6
2
3
9
coscoscos
9
cos
1
cos
1
cos
1
=
++
++
CBACBA
(Do ABC
nhọn).
+ ( Phải chứng minh :
++
CBA coscoscos
2
3
)
+ Vậy (1)
o
CBACosCCosBCosA 60=====

4
1
1
=+ yy
xx2
:
1.
4
2
2
=+ yy
xx
Do
1
;
2
đi qua M(a, 2)









=+

2
là; ax + 8y 4 =0.
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
+ Đờng tròn tâm M tiếp xúc T
1
, T
2
có bán kính là:
64
12
64
12
)(
2
2
2
2
21
+
+
=
+
+
==

+
+
= fRt
t
t
tf

đạt đợc khi : t=0

a=0
+ Kết luận: vậy điểm M(0;2).
Bài 5 :
1. Từ:

)0)((
)2(32
)(
)(
)1(32
)(
)(
)()32()(
)()32()(
0)()(4)(
'
'
'
'
2'2'
>

)(
)(
Cxxfdxdx
xf
xf
011)0()(
1
)32(
11
===
++
Cefdoexf
CCx
+ Vậy:
x
exf
)32(
)(
+
=
+ Xét (2) tơng tự : ta đợc kết quả :
.)32(
)(
x
exf

=
Đáp số:
.)32(
)(

)(4 GDGCGBGAOGR +++=
+ Lại có : GA.GA
1
= GB.GB
1
=GC.GC
1
=GD.GD
1
=R
2
OG
2
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
Vậy :
)
1111
)((
22
1111
GDGCGBGA
OGRGDGCGBGA +++=+++
)