đề thi hsg môn toán 12
(thời gian :180 phút)
Câu 1 (2.0đ) Tính tổng sau S
n
=
nn
x
tg
x
tg
x
tg
22
1

22
1
22
1
22
+++
Câu 2 (2.0 đ) Tính tích phân sau


+
2
0
2222
sincos
sin


2
-y
1
)
2
đạt giá trị lớn
nhất
Câu 4 (2.0 đ) Giải phơng trình
12831()112(3
22
+++=+ xxxx

Câu 5 (2.0đ ) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phơng trình sau đây có
nghiệm

xxx
m
222
sincossin
332 +
Câu 6 (2.0 đ ) Tìm giới hạn sau
3
2
)sin1)(sin1)(sin1(
sin1
xxx
x
LimL
pnm
pnm

log
4
4
cos

Câu 8 ( 2.0 đ ) Cho tứ diện OABC có OA ,OB ,OC đôi một vuông góc với nhau. Vẽ
đờng cao OH của tứ diện .
Đặt

COHBOHAOH
BCACABCBCABA
===
===

;;
;;
Chứng minh rằng
CBA 2sin
sin
2sin
sin
2sin
sin
222

==
Câu 9 (4.0đ ) Cho hình chóp tam giác SABC .Biết rằng tồn tại hình cầu tâm O, bán
kính R ( O nằm trên đờng cao hình chóp) tiếp xúc với cả 6 cạnh hình chóp.
1/ Chứng minh rằng SABC là hình chóp đều.
2/ Cho SC =R

cos
2
cos.
2
cos
nn
n
n
PS
xxx
P ==
có

x
x
xxxx
x
P
n
n
nnn
n
n
sin
2
1
.
2
sin
1

.
2
sin
1
ln
/
+=












=
Câu 2
Đặt I là tích phân đã cho.Xét 2 trờng hợp sau:
:
baTH
a
xxd
a
IbaTH

===


=

=
=+=+=

11
2
1
cossin)(2cossin2sincos2sincos
/
2
2
2
2
2222
22222222
Kl :
ba
I
+
=
1
Câu 3
Hệ pt
( )
( )




3
4
1
.2
.2.
_
2
_________
==

===




tgdo
tg
tg
OAtgOAOBOAI
Mặt khác ,
___
OB
là hoành độ giao điểm của D
m
và Ox nên
___
OB
=m
Biện luận
./ m=0 hoặc m=4/3 ,hpt có nghiệm duy nhất.

3.32
22
2
222
sincos
sin
sincossin
mm
xx
x
xxx
+






+


Xét hàm số
( )
)(,3
3
2
22
2
sincos
sin





xx
x
xxx
xx
do đó
( )
Rxf
x
4
. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = k
)( Zk


Kết luận :Bpt có nghiệm với m
4
.
Câu 6
Đặt y= sin x ( khi
)1
2
yx

. Ta có
( )( )( )
( )
( )

y
yyyyyyy
yyyy
Lim
yyy
y
LimL
( )
( )( )
(
)
3
3
111
12
1

1 1) 1(
1
pnm
pnm
yyyyyy
yyy
Lim
pnm
pnm
y
++
=
+++++++++










2
2
2
4
2
2
2
2
2
3cos51
Log
x
Log
)(
36
03cos03cos
2
1
2
3cos51
4

2
6
kx
kx
Xét bất pt thứ hai của hệ, đặt
( )
x
x
f
x
2sin
sin1+
=
do
( )
x
f
có chu kỳ

2
nên ta chỉ cần tính
3
3
;3;
3
3
;3
6
5
6

ffff
Kl :














2
6
5
;2
6
3/
2
6
5
;2
6
3
3
3




Câu 8
Dễ thấy H là trực tâm
ABC

và
ABC

là tam giác nhọn,AH kéo dài cắt BC tại
A
1
,do đó AA
1

BC. Vì OA

(OBC) nên theo đ/l ba đờng vuông góc ,có OA
1

BC. Ta
có
( )
1sin
2
2
2
OA
AH

IB
BC
IB
IM
IB
BM
AAABIMCAB =====
( với R là bán kính đờng tròn ngọài tiếp tam giác ABC)
Từ (1) và (2) ta có :
ABC
S
R
AABC
R
A

==
2
1
22

2
2sin
sin

C/m tơng tự cũng có
ABC
S
R
CB

===
Lập luận tơng tự đợc SA=SB hay SA=SB=SC do đó H là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC ,suy ra tam giác ABC đều,vậy hình chóp SABC đều.
2/
Đặt
AHAS
AS
AH
R
R
OS
OK
ASH .3
3
3
3
sin ======

Đặt SH=h ;HN=x do đó AH =x
Xét tam giác vuông SAH, có : SA
2
=SH
2
+ AH
2
nên h
2
= 8 x
2
từ đó

.34
3.
R
R =
)
Vậy SH=
3
.34 R
Hớng dẫn chấm môn toán 12
Câu 1 (2,0đ)
./ HS biết sử dụng công thức (lnu)
/
=u

/u (1,0 đ)
. / Viết đợc P
n
=
x
x
n
n
sin.
2
1
.
2
sin
1
(0,5đ)

=+=
1
cos.sin) (2sin.cos.
222222
(1.5 đ)
Câu 3 (2,0 đ)
1/
. / Nhận xét đợc số nghiệm của pt là số giao điểm của D
m
và (C) (1.0 đ)
. / Kl đúng (0.5 đ)
2 / m = 1 / 2 (0.5 đ)
Câu 4 (2.0 đ)
./ Đặt t=





=
=
+
xt
x
t
x
31
3
12
2

22
2
sincos
sin







xx
x
(0.5 đ)
. / Kl : m
4
(0.5 đ)
Câu 6 (2.0 đ)
. / Đặt y = sinx ;
)1
2
( yx

(0.5 đ)
. / l =
3
( )
1
pnm
yy

5
2.
6
kx
kx
(0.5 ®)
. / Kl ®óng (0.5 ®)
C©u 8 ( 4,0 ®)
C©u 9 (2.0 ®)
. / Nx : O
SH∈
( 0,5 ® )
. / H lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp ( 0.5 ®)
./ H lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp (0,5 ®)
. / Kl (0,5 ®)