ET 2060
Khái niệm cơ bản về tín hi ệu và hệ thống
TS. Đặng Quang Hiếu

Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Viện Điện tử - Viễn thông
2011-2012
Tín hiệu hàm mũ thực
x(t) = Ce
at
, x[n] = Ce
an
, C , a ∈ R
0
1
2
3
4
0 1 2 3 4
x(t) = 3e
−2t
0
20
40
60
80
0 1 2 3 4
x(t) = e
t
0
1

t
x(t)
Ví dụ: Cho mạch điện gồm tụ C và cuộn cảm L mắc nối tiếp. Vẽ
điện áp v(t) trên tụ C, nếu ban đầu (t = 0) tụ được nạp điện V
0
.
Tín hiệu hàm mũ phức (liên tục)
Với C và a là số phức: C = |C |e
jθ
và a = r + jω
0
, ta có:
x(t) = |C |e
rt
e
j(ω
0
t+θ)
= |C |e
rt
cos(ω
0
t + θ) + j|C|e
rt
sin(ω
0
t + θ)
1
-1
1 2 3 4 5

:
◮
Không phải lúc nào cũng tuần hoàn (tùy theo giá trị của ω
0
),
chu kỳ?
◮
Chỉ cần xét ω
0
trong đoạn [0, 2π], khi nào tần số thấp / cao?
Minh họa x [n] = e
j(ω
0
n)
1
-1
10 20 30 40 50
n
Im{x[n]}
ω
0
= 0.8π
1
-1
10 20 30 40 50
n
Im{x[n]}
ω
0
= 1.8π

δ[n − k]
Với tín hiệu x[n] bất kỳ?
x[n] =
∞

k= −∞
x[k]δ[n − k]
Hàm delta Dirac (liên tục)
δ(t) = 0, ∀t = 0

∞
−∞
δ(t)dt = 1
t
x(t)
1
t
δ(t)
Một số tính chất:
δ(t) =
d
dt
u(t), u(t) =

t
−∞
δ(τ )dτ
x(t
0
) =

hệ thống rời rạc
Ghép nối các hệ thống
đầu vào đầu ra
hệ thống 1 hệ thống 2
+
đầu vào đầu ra
hệ thống 1
hệ thống 2
+
đầu vào đầu ra
hệ thống 1
hệ thống 2
Tính ổn đị nh của hệ thống
Một hệ thống T ổn định (BIBO stable) nếu đầu ra bị chặn
|y(t)| < ∞, ∀t
khi đầu vào bị chặn
|x(t)| < ∞, ∀t
Ví dụ: Xét tính ổn định của hệ thống
y[n] = r
n
x[n]
với |r| > 1.
Thuộc tính nhớ
◮
Hệ thống gọi là không có nhớ (memoryless) nếu đầu ra chỉ
phụ thuộc vào đầu vào ở thời điểm hiện tại.
◮
Hệ thống gọi là có nhớ nếu đầu ra phụ thuộc vào đầu vào ở
thời điểm quá khứ hoặc tương lai.
Ví dụ: Xét thuộc tính nhớ của các hệ thống

0
Ví dụ: Hệ thống sau có bất biến theo thời gian không?
y[n] = nx[n]
Tính tuyến tính
Hệ thống T gọi là tuyến tính (linear) nếu với các cặp đầu vào /
đầu ra: x
1
(t), y
1
(t) và x
2
(t), y
2
(t) thì ta cũng có cặp đầu vào /
đầu ra như sau
ax
1
(t) + bx
2
(t)
T
−→ ay
1
(t) + by
2
(t), ∀a, b const
Ví dụ: Các hệ thống sau có tuyến tính không?
(a) y(t) = tx(t)
(b) y(t) = x
2

2011-2012
Giới thiệu về biến đổi z
Xét hệ thống LTI với đầu vào x[n] = z
n
y[n] = H(z)z
n
trong đó,
H(z) =
∞

n=−∞
h[n]z
−n
◮
Do Ragazzini và Zadeh giới thiệu vào năm 1952.
◮
Tương đương với biến đổi Laplace trong hệ thống liên tục
◮
Chập trên miền n ≡ tích trên miền z
◮
Phân tích, đánh giá hệ thống LTI
Định nghĩa biến đổi z
n z
z
z
−1
Biến đổi z:
x[n]
z
←−−→ X (z)

x[n](re
jω
)
−n
= FT{x[n]r
−n
}
◮
Miền hội tụ (ROC) là những giá trị của z trên mặt phẳng
phức sao cho X (z) < ∞ (tức là tồn tại biến đổi Fourier của
x[n]r
−n
). Điều kiện hội tụ:
∞

n=−∞
|x[n ]r
−n
|dt < ∞
Ví dụ
Tìm biến đổi z và vẽ miền hội tụ cho các trường hợp sau:
(a) x[n] = 2δ[n − 2] + δ[n] − 3δ[n + 1]
(b) x[n] = a
n
u[n]
(c) x[n] = −a
n
u[−n − 1]
(d) x[n] = 2
n

: X (z
0r
) = 0 → nghiệm của N(z)
◮
Các điểm cực (poles) z
pk
: X (z
pk
) = ∞ → nghiệm của D(z)
Ví dụ: Cho dãy x[n ] = a
n
rect
N
[n].
(a) Tìm biến đổi z và miền hội tụ.
(b) Tìm các điểm cực, điểm không và vẽ trên mặt phẳng phức.
Các tính chất của ROC
(i)
Nếu X(z) hội tụ khi z = z
0
thì cũng hội tụ ∀z : |z| = |z
0
|. Do
vậy ROC có dạng vành khăn: r
1
< |z| < r
2
.
(ii) ROC không chứa các điểm cực
(iii) Nếu x[n] có chiều dài hữu hạn thì ROC sẽ là cả mặt phẳng

Các tính chất
◮
Tuyến tính
◮
Dịch thời gian: x[n − n
0
]
z
←−−→ z
−n
0
X (z)
◮
Co dãn trên miền z: a
n
x[n]
z
←−−→ X (z/a)
◮
Đảo trục thời gian: x[−n]
z
←−−→ X (1/z)
◮
Liên hợp phức: x
∗
[n]
z
←−−→ X
∗
(z

dạng
X (z) =
∞

n=−∞
c
n
z
−n
hội tụ trong ROC đã cho. Khi đó, x[n] = c
n
, ∀n.
Nếu X (z) là hàm hữu tỷ, khai triển thường được thực hiện bằng
phép chia đa thức (long-division).
Ví dụ: Tìm biến đổi z ngược của
X (z) =
1 + 2z
−1
1 − 2z
−1
+ z
−2
khi
(a) x[n] là dãy nhân quả
(b) x[n] là dãy phản nhân quả
Khai triển thành các phân thức tối giản (1)
X (z) =
N(z)
D(z)
=

= (z − z
pk
)X (z)


z=z
pk
Nếu M ≥ N thì chia đa thức: X (z) = G (z) +
N
′
(z)
D(z)
với M
′
< N.
Ví dụ: Cho biến đổi z
X (z) =
1
1 − 1.5z
−1
+ 0.5z
−2
Tìm x[n]?
Khai triển thành các phân thức tối giản (2)
Trường hợp điểm cực bội z
pk
bậc ℓ, khai triển của X (z) phải chứa
các phân thức tối giản sau:
A
1k

z
(z −
1
2
)
2
(z − 1)
Trường hợp nghiệm phức?
Tự đọc!
Hàm truyền đạt H(z ) của hệ thố ng LTI rời rạc
x[n] y[n]h[n]
y[n] = x[n] ∗ h[n]
Biến đổi z cả hai vế, áp dụng tính chất chập, ta có hàm truyền đạt
của hệ thống:
H(z) =
Y (z)
X (z)
X (z) Y (z)H(z)
Hàm truyền đạt (2)
Hệ thống LTI được biểu di ễn bởi phương trình sai phân tuyến tính
hệ số hằng
y[n] = −
N

k= 1
a
k
y[n − k] +
M


= 0, 1 ≤ r ≤ M → hệ thống IIR gồm toàn điểm cực
và một điểm không bội bậc N tầm thường tại gốc.
Hệ thống LTI nhân quả và ổn định
◮
Nhân quả: ROC{H(z)} nằm ngoài vòng tròn và có chứa ∞.
◮
Ổn định: ROC{H(z)} chứa vòng tròn đơn vị (z = e
jω
).
◮
Nhân quả, ổn định, H(z) hữu tỷ: Tấ t cả các đi ểm cực của
H(z) nằm bên trong vòng tròn đơn vị.
◮
Tiêu chuẩn ổn định Jury, Schur-Cohn: Kiểm tra xem liệu tất
cả các nghiệm của một đa thức có nằm trong vòng tròn đơn
vị không. Thường được thực hiện trên máy tính.
Hàm truyền đạt và sơ đồ khối của hệ thống
Hãy viết phương trình sai phân của hệ thống LTI được biểu diễn
bởi sơ đồ dưới đây
X (z) Y (z)
z
−1
z
−1
−1
−2
2 3
z
−1
0.5

{x[n + k]} = z
−k
[X
+
(z) −
k− 1

n=0
x[n]z
−n
], k > 0
◮
Định lý giá trị cuối
lim
n→∞
x[n] = lim
z→1
(z − 1)X
+
(z)
Giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng
Ví dụ: Giải phương trình sai phân (tìm y[n], n ≥ 0):
y[n] − 3y[n − 1] + 2y[n − 2] = x[n]
với đầu vào x[n] = 3
n−2
và các điều kiện đầu:
y[−2] = −
4
9
, y[−1] = −

k= −∞
x[k]δ[n − k]
và áp dụng tính chất tuyến tính, ta có:
y[n] =
∞

k= −∞
x[k]T {δ[n − k]}
Phép chập (2)
Với h[n] là đá p ứng của hệ thống T khi đầu vào là hàm xung đơn
vị, h[n] = T {δ[n]} (h[n] gọi là đáp ứng xung của hệ thống)
δ[n] h[n]
T
và áp dụng tính chất bất biến theo thời gian, ta có:
y[n] =
∞

k= −∞
x[k]h[n − k] := x[n] ∗ h[n]
Đầu ra y[n] được t ính bằng phép chập (convolution) của đầu vào
x[n] và đáp ứng xung h[n] của hệ thống.
Các bước để tính phép chập
Cách tính y(n
0
)
y[n
0
] =
∞


k
h[k]
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4
k
h[−k]
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4
k
v
0
[k]
y [0] = 0.75 + 1
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4
k
h[−1 − k]
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4
k
v
−1
[k]
y [−1] = 1
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4
k
h[1 − k]
0 1 2 3 4 5 6-1-2-3-4
k
v
1
[k]
y [1] = 0.5 + 0.75 + 1
Tính phép chập bằng đồ thị (2)

, N
2
+ M − 1]. Hãy xác định chiều dài hữu
hạn của y[n]?
◮
Nếu x[n] hoặc h[n] dịch đi một đoạn N mẫu thì y[n] thay đổi
như thế nào?
◮
Khi h[n] = δ[n]?
◮
Tính trên Matlab?
Phép chập cho tí n hiệu liên tục (1)
Biểu diễn đầu vào theo hàm xung đơn vị
x(t) =

∞
−∞
x(τ)δ(t − τ)dτ
Gọi h(t) là đáp ứng xung của hệ thống, áp dụng tính chất tuyến
tính + bất biến theo thời gian, ta có mối quan hệ:
y(t) =

∞
−∞
x(τ)h(t − τ)dτ := x(t) ∗ h(t)
Ví dụ: Cho mạch điện RC nối tiếp với RC = 1[s], hãy tính điện áp
y(t) trên tụ khi điện áp giữa hai đầu mạch điện là xung vuông:
x(t) = u(t) − u(t − 2)
Gợi ý: Đáp ứng xung của hệ thống là h(t) = e
−t