Luận văn tốt nghiệp

Đề tài: “ Một cách tiếp cận bài toán
về hàm số ”
10

3.1.2. Phơng trình đa thức 11

3.1.3. Dạng:

( ). ( ( )) ( ). ( ( )) w( ).
u x f g x v x f h x x12

3.1.4. Phơng trình hai biến độc lập 15
3.2

Tính giá trị của hàm số 17
3.2

Bài toán về hàm đơn điệu 19
3.4

Bài toán về hàm liên tục 20
Tài liệu tham khảo 22 Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.

- Tuyển chọn và sắp xếp các bài toán cơ bản, hay theo trình tự hợp lý để học sinh
tiếp nhận chúng một cách không khó khăn, tạo được hứng thú cho học sinh khi gặp
dạng toán này.
- Đưa ra một số nhận xét về cách tiếp cận lời giải trong bài toán cơ bản, điển hình.
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay
3
5. Nội dung
1. Bài toán về tính chất chẵn, lẻ của hàm số.
2. Bài toán về hàm tuần hoàn.
3. Tìm hàm số thỏa mãn điều kiện cho trước.
- Hàm không liên tục.
- Hàm liên tục, có đạo hàm.
- Hàm đơn điệu
4. Tính giá trị của hàm số.
6. Phương pháp nghiên cứu:
- Phương pháp nghiên cứu lý luận.
- Thu thập, nghiên cứu hệ thống lại các tài liệu.
- Thực nghiệm sư phạm qua công tác bồi dưỡng HSG ở trường THPT Lê Xoay.
7. Kết luận.
Với mục đích và nhiệm vụ ở trên, đề tài “ Một cách tiếp cận bài toán về hàm số ”
chỉ đề cập đến một số vấn đề cơ bản của hàm số. Đề tài này chắc chắn vẫn còn nhiều
thiếu xót trong cấu trúc cũng như nội dung của nó. Tôi kính mong các thầy cô đọc và
cho nhận xét, góp ý đề đề tài được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn !


hàm u gọi là hàm số trung gian.
3. Phép tịnh tiến hệ tọa độ. Công thức chuyển đổi hệ tọa độ.
Giả sử I là một điểm của mp có tọa độ
0 0
(x ,y )

đối với hệ tọa độ Oxy.
Gọi IXY là hệ tọa độ mới gốc I và hai trục IX, IY
theo thứ tự có cùng các vectơ đơn vị
i, j
 

với hai trục Ox, Oy.
- Giả sử M là một điểm bất kỳ của mp.
Gọi (x, y) là tọa độ của M đối với hệ Oxy
và (X; Y) là tọa độ của M đối với hệ IXY.
Khi đó:
0
0
x X x
y Y y



 
 
(CT chuyển đổi hệ tọa độ trong phép tịnh tiến tiến theo
OI

)

y
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay
5
Chú ý: Các hàm:
 
y sin x,y cosx
tuần hoàn với chu kỳ là
T 2 .
 

Các hàm:
 
y tanx,y cot x
tuần hoàn với chu kỳ là
T .
 

Hàm f(x) thỏa mãn:
    
f(x T) f(x), x D.
là hàm tuần hoàn vì:

        
f(x 2T) f(x T) f(x) f(x 2T), x D.

5. Hàm số chẵn, hàm số lẻ.
Định nghĩa. Cho hàm số
f :D R.


- Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu
1 2 1 2 1 2
x ,x K,x x f(x ) f (x ).
    

- Hàm đồng biến (hoặc nghịch biến) trên K gọi là hàm đơn điệu trên K.
7. Hàm liên tục.
Định nghĩa 1. (Hàm liên tục tại một điểm).
Giả sử hàm số f xác định trên khoảng (a; b) và
0
x (a;b).

Hàm số f được gọi là
liên tục tại điểm x
0
nếu
0
0
x x
lim f (x) f(x ).



Hàm số không liên tục tại điểm x
0
được gọi là gián đoạn tại điểm x
0
.
Định nghĩa 2. (Hàm liên tục trên một khoảng, trên một đoạn).


khi x dần đến x
0
được gọi là
đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x
0
, kí hiệu f’(x
0
).

0
0
x x
0
0
f '(x ) lim .
f(x) f(x )
x x





Định nghĩa 2.(Đạo hàm của hàm số trên một khoảng).
- Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp J (J là một khoảng hay hợp nhiều khoảng).
Hàm số f gọi là có đạo hàm trên J nếu nó có đạo hàm f’(x) tại mọi điểm x thuộc J.
- Nếu hàm số f có đạo hàm trên J thì hàm số f’ xác định bởi
x f '(x)
f ':J R


Nếu đa thức có nghiệm bội k là x = x
0
thì :
0
( ) ( ) . ( )
k
n
n k
P x x x P x

 

Định lí 2. Cho hai đa thức
1
1 1 0
( ) ( 0)
n n
n n n
n
P x a x a x a x a a


     

và
1
1 1 0
( ) ( 0)
n n
n n n
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay
7
Phần 2. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HÀM SỐ
1. Bài toán về tính chẵn, lẻ của hàm số.
Ví dụ 1. Cho f(x) là một hàm số đồng thời vừa chẵn và vừa lẻ trên R. CMR: f(x)  0.
Giải
. Theo định nghĩa có:
f ( x) f (x) f (x), x R f (x) 0, x R.
         

Ví dụ 2
. Cho
0
x R.

Xác định tất cả các hàm số f(x) sao cho:

0
f (x x) f (x), x R.
   

Giải. Đặt
0


Vậy:
0
x
f (x) g(x )
2
 
, trong đó g(x) là hàm chẵn tùy ý trên R.
Ví dụ 3. Biết rằng đồ thị của đa thức P(x) có tâm đối xứng. CMR đồ thị của P’(x) có trục đối xứng.
Giải. Giả sử P(x) có tâm đối xứng là
0 0
I(x ;y ).
Khi đó qua phép đổi hệ trục tọa độ từ hệ
Oxy sang hệ IXY ( IX, IY tương ứng nhận các véc tơ
i, j
 
là các vectơ đơn vị).
CT đổi hệ trục:
0
0
x x X
y y Y
 


 

Khi đó đồ thị của P(x) trên hệ IXY có phương trình:

0 0

Dễ kiểm tra g(x) là hàm chẵn, h(x) là hàm lẻ trên R, và f(x) = g(x) + h(x).
Bài tập 2. Cho a, b  R. Xác định tất cả các hàm số f(x) sao cho:

f (a x) f (x) b, x R.
    
(*)
HD. Đặt
a
x t,
2
 
khi đó
a a
x t; a x t.
2 2
    
(*) có dạng:
a a
f t f t b.
2 2
   
   
   
   
(**)
Đặt
a b
f t g(t).
2 2
 

1,

CMR : f(x 4) f(x), x R.

2, CMR : f(x) l hm tun hon.
Gii. Ta có:
( 2) ( ) 2 ( 1); ( 4) ( 2) 2 ( 3).
f x f x f x f x f x f x
( 3) ( 1) 2 ( 2)
f x f x f x
( 4) 2 ( 3) ( 2) 2[ 2 ( 2 ( 1)] ( 2)
f x f x f x f x f x f x
( 4) ( 2) 2. ( 1) ( )
f x f x f x f x
( 8) ( 4) ( ) ( )
f x f x f x f x

là hàm tuần hoàn.









( ) 5
2 5
2 ( 2) 5
( ) 3
( 4) ( ),
( ) 5
( 2) 3
2 3
( ) 3
f x
f x
f x
f x f x x R
f x
f x
f x




( 8) ( 4) 0 ( 8) ( 4), .
( 8) ( ) ( 4)
f x f x f x
f x f x f x f x x R
f x f x f x





( 12) ( ) ( 24) ( )
f x f x f x f x


Vớ d 4. Cho hm

f : R R
tha món:

1, f(x 3) f(x) 3
2, f(x 2) f(x) 2


t

g(x) f(x) x, x R.


Bài tập tương tự.
Bài tập 1
. Hàm số y = f(x) xác định với mọi
x ( ; ),
  
và đồ thị của nó nhận hai đường thẳng
x = a, x = b làm trục đối xứng (b > a). CMR f(x) là hàm số tuần hoàn.
HD. Giả thiết có:
f (a x) f (a x); f (b x) f (b x), x R.
       

CM hàm tuần hoàn với chu kỳ T = 2b – 2a.
Bài tập 2. Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi x. Biết đồ thị của hàm số đối xứng qua điểm 0 0
A(x ;y )
và qua đường thẳng x = b ( b ≠ x
0
). CMR f(x) là hàm tuần hoàn.
HD. Theo giả thiết có:
0 0 0
f (x x) f (x x) 2y , x R.
     f (b x) f (b x), x R
    

CM hàm tuần hoàn chu kỳ 4b – 4x

1 1
f (x a) ( f(x) f (x)) f(x) f (x) f(x) f (x)
2 42
1
( 2 ) ( ) ( )
2
f x a f x a f x a
      

2
1 1 1 1
( ( )) ( ) ( ),
2 2 2 2
f x f x f x x R

        

VËy f(x) lµ hµm tuÇn hoµn.
Bài tập 5. Cho hàm

f : R R
thỏa mãn:
   
f(x) a.sin(ux) b.cos(vx), x R.


*

3. TÌM HÀM SỐ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC
3.1. Các bài toán không có điều kiện liên tục.
3.1.1. Xét phương trình dạng:
f( (x)) g(x).
 

- Đặt:
(x) t.
 
Giải x theo t được phương trình: x = h(t).
Được:
f(t) g(h(t))

là hàm số cần tìm.
- Nếu không rút được x theo t hoặc biểu thức quá phức tạp, thì bằng cách nào đó ta biến đổi
cả g(x) theo
(x)

:
g(x) k( (x))
 
khi đó:
f( (x)) k( (x)) f(t) k(t)
    

Ví dụ 1. Tìm f(x) trên R, biết:
2
x 2 2x 5
f , x 1.
x 1 x 1

 
   

 
     
   

 

 

 
.Thö l¹i tho¶ m·n.
Ví dụ 2. Tìm f(x) trên R, biết:
3
3
1 1
f x x , x 0.
x x
 
    
 
 

Giải. §Æt
3 3 3 3
3
1 1 1
1
( ) 3( ) 3 ( ) 3

f( ) 2x 1 2x , x 0.
x

Giải. §Æt
2 2
1 1 2 1 2 1
( ) 1 2. ( ) 1 2.
t x f t f x
x t t t x x
          

Ví dụ 5.
Bài tập tương tự.
Bài tập 1. Tìm f(x) trên R\{1,-2}, biết:
 
   
 
3x 1 x 1
f( ) , x 0,x 1.
x 2 x 1

HD. Đặt
3 1 2 1 1 4
.
2 3 1 3 2
x t x t
t x
x t x t
   
    

 
        
 
  
  Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Mt cỏch tip cn bi toỏn hm s Nguyn Minh Hi THPT Lờ Xoay
11
3.1.2. Phng trỡnh a thc.
Phng phỏp:1 - Tỡm mt s nghim ca a thc: x
1
, x
2
, ,x
k
.
- Biu din
1 2
( ) ( )( ) ( ). ( )
n
P x x x x x x x Q x

thay vo phng trỡnh.
- Tỡm a thc Q(x)

( 1). ( 1) ( 1). ( ) , .
1 1
Q x Q x
x x Q x x x Q x x R
x x x x


2
2
( )
, . ( ) ( 1)( 1)( 2)( 1)
1
Q x
c x R P x cx x x x x x
x x


c l s thc bt kỡ.
Vớ d 2
. Tỡm a thc P(x) vi h s thc, tho món ng thc:

3 2 2 2
( 3 3 2). ( ) ( 1)( 1). ( 1)
x x x x P x x x x P x


Gii. Giả thiết


2 2
2 2
( 1) ( )
, . ( ) ( 1)( 1).
( 1) ( 1) 1 1
Q x Q x
c x R P x c x x x
x x x x




Phng phỏp2 Tỡm bc ca a thc (bc n )(so sỏnh bc ca x hai v d oỏn bc ca
a thc v chng minh)
- t
1
1 1 0
( ) ( 0)
n n
n n n n
P x a x a x a x a a



Thay vo phng trỡnh.
- ng nht h s, ta tớnh c a
0
, a
1
2
2. ( ) (1 ) (2 ( 1) )
n n
n n n n
P x P x a a x x


Vì
2
2
1
2 ( 1) 0, .
2 ( 1) 1
3
n
n n
n
n n
n
a a n a
a a








n n n n
P x a x a x a x a a



Theo giả thiết ta có:

1 1
1 1 0 1 1 0
1
1 1 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) 3 ( )
n n n n
n n n n n
n n
n n
a x y a x y a x y a P x a x a x a x a
a y a y a y a xy x y




Đồng nhất hệ số của
2 2
3.
x y xy n


Vậy
3
, .
y x cx c R


Bi tp tng t.
Bi tp 1
. Tỡm a thc P(x) vi h s thc, tho món ẳng thc:

2 2 2 2
(4 2 )(4 4 2). ( ) ( 1)( 3 2). (2 1)
x x x x P x x x x P x


Gii.
2 2
( ) ( 1)( 3 1)
P x c x x x

, c l s thc bt kỡ.
3.1.3. Phng trỡnh dng:
( ). ( ( )) ( ). ( ( )) w( ).
u x f g x v x f h x x

(Phng trỡnh hai bin ph thuc)
Phng phỏp 1: t t = t(x) sao cho: g(x) = h(t); h(x) = g(t).
Khi ú thu c:
'( ). ( ( )) '( ). ( ( )) w'( ).


Gii. t
1
.
x
t

Thay vào PT đợc:

1 1
f( ) 2.f(t) t, t. f( ) 2.f(x) x, x 0. (2)
t x

Từ (1) và (2) suy ra:
2
2 2
3 ( ) ( ) , 0.
3
x
f x x f x x
x x



Vớ d 2
. Tỡm f(x) trờn R\{1}, bit:


1 1
(x 1)f(x) f( ) , x 1. (1)








2 2 2
2
2
1 1 1
[( 1) 1]. ( ) 1 ( ) , 0;1.
1 1 (1 )( 1) 1
x x x x x
x f x f x x
x x x x x x




Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Mt cỏch tip cn bi toỏn hm s Nguyn Minh Hi THPT Lờ Xoay
13
Vớ d 3. Tỡm f(x) trờn R, bit:
2f(x) 3xf( x) 2 3x


f x x R
x



( Thử lại thoả mãn).
Vớ d 4. Tỡm tt c cỏc hm

f : R R
tha món:
2
f(x) xf(1 x) x 1, x R.


Gii. Đặt
2
1 (1 ) (1 ). ( ) (1 ) 1
t x f t t f t t
2
2
. (1 ) (1 ). ( ) ( 2 1)
. (1 ) ( ) 1
x f x x x f x x x x
x f x f x x





(a, b, g(x) cho trc, g(x) xỏc nh trờn R,
a b

)
p dng:

1, 2009.f(x 1) 2010.f(1 x) x, x R.
2
2, 2008.f(x 1) 2009.f(1 x) x 1, x R.
2
3, 2008.f(x 1) 2010.f(1 x) x 2x 2, x R.

HD. Đặt
1 1 2,
t x x t

thay vào PT đợc:

a.f(1 t) b.f(t 1) g(t 2), t R.

Vì
2 2
2 2



HD
2010 ( 1)
( )
3 2
x x
f x
x




Bi tp 3
. Tỡm hm f(x) tha món:
1 1
( 1) 3 1 2 , .
1 2 2
x
f x f x x
x




HD.
2

t t t tx x
x t



thế vào (1) đợc:
Generated by Foxit PDF Creator â Foxit Software
For evaluation only.
Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay
14

1 1
( ) 1, 0;1 ( ) 1, 0;1. (2)
2( 1) 2( 1)
t t x x
f f t t f f x x
t t x x
 
   
        
   
 
   

§Æt
(1)
1 1 1 1 1
1, 0;1.
1 1 2
x t t

( ) , 0;1. (4)
1 4 2
x x
f f x x
x

 
   
 

 

LÊy (1)x (2x) – (4) ®îc:
1 6 2
(2 ) ( ) 2 ( ) , 0.
4 2 7
x x x
x f x x f x x
x x
 
      

Ví dụ 2. Tìm tất cả các hàm
 
f : R \ { 1} R
thỏa mãn:
 
   
    
   

 

§Æt
3 3 3 3
1 1 1 1
x y x y
y x
x y x y
   
    
   
Khi ®ã (1) trë thµnh:

3 3 3 3
( ) , 1. ( ) , 1. (3)
1 1 1 1
y y x x
f f y y f x f x
y y x x
 
   
 
          
   
   
 
 

LÊy (2) + (3) – (1) ®îc:
3

ax
(2)
a a a
f f
a x x a x
   

 
   
 
   

Trong (2) thay x bởi
2
a
a x

được:
2 2
ax ax
( ) (3)
a a
f f x
x x
 
 
 
 
 



HD.
3 2
2
9 6 2 1
( ) , .
18 2 3
x x x
f x x
x
  
  


Bài tập 2. Tìm hàm f(x) xác định
\{-1;0;1}
x R
 
thỏa mãn:
1
. ( ) 2 1 (1)
1
x
x f x f
x

 
 
 


f(x)f(y) f(xy) , x,y R .
x y
    

Giải
. Chọn y = 1. Từ đó lập luận theo x.
Chän y = 1 ®îc:

       
1 1 1 x
f(x)f(1) f(x) 1 f(x).(f(1) 1) 1 (2)
x x x

NÕu tÝnh ®îc f(1) th× ta tÝnh ®îc f(x). Cho x = 1 ta ®îc:

2
(1) 1
(1) (1) 2 0
(1) 2
f
f f
f
 

   




VËy f(1) = 2

f x f x f x x
      

LÊy (4) – (1) ®îc:
( 3) 3 (0). (5)
f x x f
   
TÝnh f(0) ?
Thay x = 0 vµo (2), x = -2 vµo (5) ®îc :

2 (0) (1) 1
(0) 0
(1) (0) 1
f f
f
f f
 

 

 


VËy f(x+3) = x + 3 suy ra f(x) = x,  x R.
Ví dụ 3
. Tìm hàm
:
f R R

thỏa mãn 3 điều kiện sau:

, 0, 1.
x R x x
   
Ta có:

2
2
1
1 1 1 1 ( 1)
1
1
1 1 1 1 ( 1)
1
x
f
x x f x
x
f f f f f
x
x x x x x
x
x
x

 
 
 
 
 
       

  
2 2
2
( ) 1
1 ( ) 1
1 1
x f x
f x
x x x
     
   
     
 
     

(lo¹i)

Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Một cách tiếp cận bài toán hàm số Nguyễn Minh Hải – THPT Lê Xoay
16

2 2
2 2 2 2 2
( ) ( ) 1 1 2 ( )
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
x f x f x x f x

f(x y) f(x y) 2f(x).cosy, x,y R.
f(0) f( ) 1
2 HD. CM: f(t) + f(-t) = 2cos t (1)
( ) ( ) 0 (2)
f t f t

  ( ) ( ) sin (3)
f t f t t

   

LÊy (1) + (2) – (3) ®îc:
( ) sin cos ( ) sin cos
f t t t f x x x
    
( Thö l¹i tho¶ m·n)
Bài toán 2
. Tìm hàm
:
f R R

thỏa mãn 3 điều kiện sau:

4

 
 

Cho x = y = 1/t được:
2
2 1
( ) 2 , 0.
2
t
f f t
t t
 
   
 
 

Theo (3) ta có:
 
2
4
4 3
2
2 1
2
8 ( ) ( 0) (2)
2
t
f
f t
f f t t t
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
For evaluation only.
Mt cỏch tip cn bi toỏn hm s Nguyn Minh Hi THPT Lờ Xoay
17
3.2. Tớnh giỏ tr ca hm s ti mt im xỏc nh.Phng phỏp quy np.
Phng phỏp: - Thay trc tip cỏc giỏ tr thớch hp ca x, t ú dn n giỏ tr cn tớnh.
- Xõy dng hm s tho món iu kin, sau ú tớnh giỏ tr.
- Xõy dng biu thc truy hi, lp cụng thc tng quỏt ca dóy cỏc giỏ tr x
( trong trng hp tớnh giỏ tr x nguyờn hoc t nhiờn)
Vớ d 1. Cho hm

f : R R
tha món:



1, f(x y) x f(y)
2, f(0) 2
Tớnh: f(2010) ?
Gii
. Ta có: f(1) = f(1+0) = 1 + f(0) = 1 + 2 = 3.
f(2) = f(1+1) = 1 + f(1) 1 + 3 = 4



Vớ d 3
. Cho hm

f : R R
tha món:

f(x)f(y) f(xy) 3(x y 2), x, y R. (1)

Tớnh f(2007) ?
Gii. Trớc hết đi tìm hàm f(x) thoả mãn hệ thức trên.
Cho x = y = 0 ta đợc:
2
(0) (0) 6 (0) 2;3.
f f f

Nếu f(0)= -2 thì: chọn y = 0 (1) trử thành:
3
( ). (0) (0) 3( 2) ( ) 2
2
f x f f x f x x


Thử lại vào (1) thấy không thoả mãn.
Nếu f(0)=3. chọn y = 0 (1) đợc: f(x)=x + 3. Thử lại thấy thoả mãn .
Vậy f(2007) = 2010.
Vớ d 4
. Cho hm f xỏc nh trờn N* tha món:


f f f f f f
        (8) (4 4) 2 (4) 189 315; (16) (8 8) 2 (8) 756 1395.
f f f f f f
         (3) (1 2) (1) (2) 21 30; (19) (16 3) (16) (3) 573 199
8.
f f f f f f f f
           

Bài tập 2
. Cho hàm

f : R R
thỏa mãn:
      
f(x) f(y) f(x y) xy 1, x, y R.

Nếu f(1) = 1. Hãy tìm các số nguyên n sao cho f(n) = n.
HD
. CM:
2
3 2
( ) .
2
n n

(2)
0
0
1
(0). (0) 2. (0) (0) 2 2 .
2
f f f f    
Lại có:
1
1
5 1
(1) 2 .
2 2
f   

Ta chứng minh quy nạp công thức:
1
( ) 2 , . (5)
2
n
n
f n n Z  

Bài tập 4 Tìm tất cả các hàm số
:
f N N

thỏa mãn điều kiện sau:

( ( )) 2, .

2 7
( )
3
( ) ( ( )), 1.
n n
x
f x
x
f x f f x n



 




 

TÝnh
(2010) 2009 2011
(2010); (2010); (2010)
f f f

HD
.
(2010)
(2010) 2010
f 
;


Giải. Từ (1) suy ra:
( ( )) ( ( ) ) ( ) 1, , . (1')
f x f y f f y x f x y x y R
       

Trong (1) thay y = 0 ta được:
( ( )) ( ) 1, . (2)
f f x f x x R
   

Trong (1) thay x bởi f(x) được:

(2)
( ( ( )) ) ( ( ) ) 1 ( ( ) 1) ( ) 2, , . (3)
f f f x y f f x y f f x y f x y x y R           
Trong (2) thay y bởi f(y) được:
( ( ) ( )) ( ( )) 1 ( ) 2 (4)
f f x f y f x f y f x y
      

Từ (3), (4) suy ra:
( ( ) 1) ( ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 1.
f f x y f f x f y f x y f x f y f y y
           

Vậy
( ) 1, .
f x x x R
   

thỏa mãn:

f (xf (y)) yf (x), x, y [1; ).
   

HD. CM: f(1) = 1 và f đồng biến.
Xét f(x) > x và f(x) < x đều dẫn đến mâu thuấn. Vậy f(x) = x.
Bài tập 2
. Tìm tất cả các hàm đơn điệu
f : R R

thỏa mãn:

( ( )) ( ) , , .
f x f y f x y x y R
    

3.4. Các bài toán về hàm liên tục
Sau đây là một số hàm chuyển đỏi các phép toán số học, kết quả của các bài toán này là cơ sở
để chúng ta giải các bài toán phức tạp hơn.
Bài toán 1.(Phương trình Cauchy)

Xác định các hàm
( )
f x
liên tục trên R thỏa mãn điều kiện:

( ) ( ) ( ), , . (1)
f x y f x f y x y R
    

20

( ) ( ) ( 1) ( ),
kf x f x k f x x R
     

Kết hợp với tính chất
( ) ( )
f x f x
  
được:
( ) ( ), , .
f mx mf x m Z x R
     
( )
( ) ( . ) ( ) , *, .
x
m
x x f x
f x f m mf f m Z x R
m m m
        

2. Ta đi chứng minh:
( ) ( ), , .
f px pf x p Q x R
    

p
sao cho
lim lim
n n
n n
p r p x rx
 
  

Vì hàm liên tục trên R nên:

lim ( ) ( ) ( ) lim . ( ) . ( ), .
n n
n n
f p f rx f rx p f x r f x x R
 
     

4. Vậy
( ) ( .1) . (1), .
f x f x x f x R
   
Thử lại thấy
( ) , (1)
f x ax a f
 
thỏa mãn.
Kết luận:
( ) ax, ,
f x x R a R

'( ) '( ), , '( ) ( ) .
f x f y x y R f x const f x ax b
        

Thử lại vào (2) suy ra b = 0. Vậy
( ) ax, ,
f x x R a R
   
tùy ý.
Nhận xét. Nếu thay điều kiện hàm liên tục bằng điều kiện hàm đồng biến (hoặc nghịch biến
trên R) ta vẫn thu được kết quả tương tự.
Bài toán 1.2
. Tìm các hàm
( )
f x
xác định và đồng biến trên R thỏa mãn điều kiện:

( ) ( ) ( ), , . (2)
f x y f x f y x y R
    

Giải. Theo bài toán 1, có:
1
( ), , *.
x
f f x x R m N
m m
 
    
 

( ) ax, , 0
f x x R a
   
tùy ý.
Nhận xét. Nếu hàm số nghịch biến trên R thì
( ) ax, , 0
f x x R a
   
tùy ý.
Bài toán 2. Xác định các hàm
( )
f x
liên tục trên R thỏa mãn điều kiện:

( ) ( ) ( ), , . (3)
f x y f x f y x y R
   

Giải. – Nhận thấy:
( ) 0
f x

thỏa mãn.
- Nếu tồn tại
0
( ) 0.
f x

Khi đó theo (3) có:


         

Theo bài toán 1 thì
( ) ,
g x bx b R
 
tùy ý. Vậy
( )
bx x
f x e a
 
với a > 0 tùy ý.
Bài toán 3. Xác định các hàm
( )
f x
liên tục trên R thỏa mãn điều kiện:

f (x)
f (x y) , x, y R.
f (y)
f (x) 0, x R.

   



  


Giải. Đặt x – y = z. Khi đó hệ điều kiện trở thành:

        

Từ (*)
f (x y) f(x) f (y), x, y R.
     

- Theo Bài toán 1.2 suy ra
f (x) kx, k

tùy ý. Thay vào (4) được:
- Kết luận: f(x) = x và f(x) = - x thỏa mãn.
Hoàn toàn tương tự, ta giải được bài toán sau.
Bài toán 5
. Xác định các hàm f(x) liên tục trên
R \{0}
thỏa mãn điều kiện:

f (xy) f (x) f (y), x, y R \{0}.
   
(*)
HD. Vậy
f (x) bln | x |, x R,b R
   
tùy ý.
Bài toán 6. Xác định hàm f(x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện:

f (xy) f (x) f (y), x, y R.
   

HD. – CM: f(0) = 0  f(x) = 0 ,  x  R.