Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 56

I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác
Cho
OAOM
(,)
a
=
. Giả sử
Mxy
(;)
.

( )
xOH
yOK
ATk
BSk
cos
sin
sin
tan
cos2
cos
cot
sin

kkZ
,
ap
¹Î

·
k
sin(2)sin
apa
+=
·
k
tan()tan
apa
+=k
cos(2)cos
apa
+=

k
cot()cot
apa
+=

2. Dấu của các giá trị lượng giác

3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt


0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
180
0
270
0
360
0
sin 0
1
2

2
2

3
2

3

1
33
-

–1 0

0
cot

3

1
3
3

0
3
3
-
–1

0 CHƯƠNG VI

B

S

a

T

Trần Sĩ Tùng Lượng giác
Trang 57

4. Hệ thức cơ bản:
22
sin cos1
aa
+=
;
tan.cot 1
aa
=
;
22
22
11
1tan;1cot
cossin
aa
aa
+=+=
5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt

-
==
-

sin()sin.cossin.cos
ababba
+=+

sin()sin.cossin.cos
ababba
-=-

cos()cos.cossin.sin
ababab
+=-

cos()cos.cossin.sin
ababab
-=+tantan
tan()
1tan.tan
ab
ab
ab
+
+=
-

Góc hơn kém
2
p

sin()sin
paa
+=-

sincos
2
p
aa
æö
+=
ç÷
èø

cos()cos
paa
+=-

cossin
2
p
aa
æö
+=-
ç÷
èø


-=

sin()sin
paa
-=

sincos
2
p
aa
æö
-=
ç÷
èø

sin()sin
aa
-=-

cos()cos
paa
-=-

cossin
2
p
aa
æö
-=
ç÷

aa
æö
-=
ç÷
èøLượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 58 3. Công thức biến đổi tổng thành tích

4. Công thức biến đổi tích thành tổng



3
3
3
2
sin33sin4sin
cos34cos3cos
3tantan
tan3
13tan
aaa
aaa
aa
a
a
=-
=-
-
=
- coscos2cos.cos
22
abab
ab
+-
+=
coscos2sin.sin
22

ab
ab
-
-=

sin()
cotcot
sin.sin
ab
ab
ab
+
+=

ba
ab
ab
sin()
cotcot
sin.sin
-
-=
sincos2.sin2.cos
44
pp
aaaa
æöæö
+=+=-
ç÷ç÷
èøèø

=-++
ëû
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
Trang 59

VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác
Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn
của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG. Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau:
a) A =
00
sin50.cos(300)
- b) B =
0
21
sin215.tan
7
p

c) C =
32
cot.sin
53
pp
æö

0
cos(290)
a
+
Bài 3. Cho 0
2
p
a
<<
. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A =
cos()
ap
+
b) B =
tan()
ap
-

c) C =
2
sin
5
p
a
æö
+
ç÷
èø
d) D =
VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)
Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị
lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết.
I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại
1. Cho biết sin
a
, tính cos
a
, tan
a
, cot
a·
Từ
22
sincos1
aa
+=

Þ

2
cos1sin

a
= .
2. Cho biết cos
a
, tính sin
a
, tan
a
, cot
a·
Từ
22
sincos1
aa
+=

Þ

2
sin1cos
aa
=±- .
– Nếu
a
thuộc góc phần tư I hoặc II thì
2
sin1cos

, tính sin
a
, cos
a
, cot
a·
Tính
1
cot
tan
a
a
= .

·
Từ
2
2
1
1tan
cos
a
a
=+
Þ

2

+
.

·
Tính
sintan.cos
aaa
=
.
4. Cho biết cot
a
, tính sin
a
, cos
a
, tan
a·
Tính
1
tan
cot
a
a
= .

·
Từ

.
– Nếu
a
thuộc góc phần tư III hoặc IV thì
2
1
sin
1cot
a
a
=-
+
.
II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức

·
Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức.

·
Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết
III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG
Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi:

ABABAB
222
()2
+=+-
ABABAB
4422222
()2+=+-

2
0
-+=
với
SxyPxy
;
=+=
. Từ đó tìm x, y. Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với:
a) aa
00
4
cos,270360
5
=<< b)
2
cos,0
2
5
p
aa
=-<<

c) aa
5
sin,
132
p

apa
=<<
Bài 2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
Trang 61

a)
aa
Akhiaa
aa
cottan3
sin,0
cottan52
p
+
==<<
-
ĐS:
25
7

b)
aa
Bkhiaa
aa
2
00
8tan3cot11
sin,90180
tancot3

tan2
sin2cos
+
==
-
ĐS:
55
6

e)
aaa
Ekhia
aa
33
3
8cos2sincos
tan2
2cossin
-+
==
-
ĐS:
3
2
-

g)
aa
Gkhia
aa

. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
Aaa
sin.cos
=
b)
Baa
sincos
=-
c)
Caa
33
sincos
=-

ĐS: a)
9
32
b)
7
4
± c)
417
128
±
Bài 4. Cho
aa
tancot3
-=
. Tính giá trị các biểu thức sau:

Axx
44
sin3cos
=+
. ĐS:
7
A
4
=

b) Cho xx
44
1
3sincos
2
-=
. Tính
Bxx
44
sin3cos
=+
. ĐS: B = 1
c) Cho xx
44
7
4sin3cos
4
+=
. Tính
Cxx

b)
123
;;23;23
2
223
-
+-
-

hoặc
231
23;23;;
2
223
-
-+
-

Bài 7.
a)
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 62

VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết
Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết).
pp
p
æöæö
= +-+-
ç÷ç÷
èøèø

c)
Cxxxx
3
2sinsin(5)sincos
222
ppp
p
æöæöæö
=++-++++
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø

d)
Dxxxx
33
cos(5)sintancot(3)
22
pp
pp
æöæö
= ++-+-
ç÷ç÷
èøèø

=+++++
ĐS:
C
1
=-

d)
D
20202020
cos10cos20cos30 cos180
=++++
ĐS:
D
9
=

e)
E
00000
sin20sin40sin60 sin340sin360
=+++++
ĐS:
E
0
=

f)
xxxx
0000
2sin(790)cos(1260)tan(630).tan(1260)

xxx
442
sincos12cos
-=-
b)
xxxx
4422
sincos12cos.sin
+=-
c)
xxxx
6622
sincos13sin.cos
+=-
Trn S Tựng Lng giỏc
Trang 63

d)
xxxxxx
882244
sincos14sin.cos2sin.cos
+=-+
e)
xxxx
2222
cotcoscos.cot
-=
f)
xxxx
2222

1sin
+
=+
-

Bi 2. Chng minh cỏc ng thc sau:
a)
ab
ab
ab
tantan
tan.tan
cotcot
+
=
+
b)
aaa
aaaa
a
2
2
sincos1cot
sincoscossin
1cot
+
-=

-


a
2
2
1cos(1cos)
12cot
sin
sin
ộự
+-
-=
ờỳ
ởỷ
f)
aaa
aaaa
224
2222
tan1cot1tan
.
1tancottancot
++
=
++

g)
aa
a
aa
2
2

-
k)
aa
aa
aa
aa
33
33
22
tan1cot
tancot
sin.cos
sincos
-+=+
Bi 3. Cho
xa
vụựiab
abab
44
sincos1
,,0.
+=>
+
Chng minh:
xx
abab
88
333
sincos1
()

22
22
sintan
coscot
-
-
f)
xxx
xxx
224
224
sincoscos
cossinsin
-+
-+

g)
xxxx
22
sin(1cot)cos(1tan)
+++ h)
xx
x
xx
1cos1cos
;(0,)
1cos1cos
p
+-
-ẻ

3(sincos)2(sincos)
+-+ S: 1
b)
xxxxx
88664
3(sincos)4(cos2sin)6sin
-+-+ S: 1
c) xxxx
4422
(sincos1)(tancot2)
+-++
S: 2
d)
xxxxx
22222
cos.cot3coscot2sin
+-+
S: 2
e)
xx
xxx
44
664
sin3cos1
sincos3cos1
+-
++-
S:
2
3

=+
b)
ABC
cos()cos
+=-

c)
ABC
sincos
22
+
= d)
BCAC
cos()cos(2)
-=-+

e)
ABCC
cos()cos2
+-=-
f)
ABC
A
3
cossin2
2
-++
=-
g)
ABC

+=-

cos()cos.cossin.sin
ababab
-=+tantan
tan()
1tan.tan
ab
ab
ab
+
+=
-

tantan
tan()
1tan.tan
ab
ab
ab
-
-=
+ Hệ quả:
1tan1tan

æö
+=<<
ç÷
èø
ĐS:
38253
11
-

b) khi
123
cossin,2
3132
pp
aaap
æö
-=-<<
ç÷
èø
ĐS:
(5123)
26
-

c) ababkhiab
11
cos().cos()cos,cos
34
+-==
ĐS:

Trang 65

suy ra a, b . ĐS:
222
-
; ababtantan21,
8
p
==-==

Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:
a) A =
ooo
222
sin20sin100sin140
++
ĐS:
3
2

b) B =
ooo
22
cos10cos110cos130
++
ĐS:
3
2

c) C =

0
1tan15
1tan15
-
+
ĐS:
3
3

h) H =
00
tan15cot15
+
ĐS: 4
HD:
000000
406020;806020
=-=+;
000000
506010;706010
=-=+
Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau:
a)
xyxyxy
22
sin().sin()sinsin
+-=-
b)
xy
xy

(cos70cos50)(cos230cos290)
++
oooo
(cos40cos160)(cos320cos380)0
+++=

f)
xx
xx
xx
22
22
tan2tan
tan.tan3
1tan2.tan
-
=
-

Bài 5. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước:
a)
aabkhibacosab
2tantan()sinsin.()
=+=+

b)
aabkhibab
2tantan()3sinsin(2)
=+=+


0
sin
tantan(,90)
cos.cos
=+¹
c) ABCABCABC
0
tantantantan.tan.tan(,,90)
++=¹
d)
ABBCCA
cot.cotcot.cotcot.cot1
++=

Lng giỏc Trn S Tựng
Trang 66

e)
ABBCCA
tan.tantan.tantan.tan1
222222
++=

f)
ABCABC
cotcotcotcot.cot.cot
222222
++=
g)
o

g) VT = VP = tanA h) Khai trin
ABC
cos
222
ổử
++
ỗữ
ốứ

i) Khai trin
ABC
sin
222
ổử
++
ỗữ
ốứ
.
Chỳ ý: T
BCA
cossin
222
ổử
+=
ỗữ
ốứ

ị

BCABC

ABC
222
tantantan1
222
++

e)
ABC
tantantan3
222
++
HD: a, b, c) S dng
ABCABC
tantantantan.tan.tan
++=
v BT Cụsi
d) S dng
abcabbcca
222
++++

v
ABBCCA
tan.tantan.tantan.tan1
222222
++=

e) Khai trin
ABC
2

2tancot1
tan2;cot2
2cot
1tan
aa
aa
a
a
-
==
-
Bài 1. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a) khi
53
cos2,sin2,tan2cos,
132
p
aaaapa
=-<<
b)
khi
cos2,sin2,tan2tan2
aaaa
=

c) khi
43

45
cos.cos.cos
777
ppp
= ĐS:
1
8

d)
D
000
cos10.cos50.cos70
=
ĐS:
3
8

e)
oooo
E
sin6.sin42.sin66.sin78
= ĐS:
1
16

f) G
2481632
cos.cos.cos.cos.cos
3131313131
ppppp

ppppppp
= ĐS:
1
128

Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)
2
2
2
1cos2
sin
2
1cos2
cos
2
1cos2
tan
1cos2
a
a
a
a
a
a
a
-
=
+
=
-

ppp
= ĐS:
2
8

Bài 3. Chứng minh rằng:
a)
n
n
n
aaaaa
P
a
23
sin
coscoscos cos
2
222
2.sin
2
==
b)
n
n
Q
nnn
21
cos.cos cos
212121
2

xxxxx
33
1
sin.coscos.sinsin4
4
-= d)
xx
xx
662
1
sincoscos(sin4)
224
-=-

e)
x
x
2
1sin2sin
42
p
æö
-=-
ç÷
èø
f)
x
xx
2
2

+=
ç÷
èø
æö
+
ç÷
èø
h)
x
x
x
1sin2
tan
4cos2
p
æö
+
+=
ç÷
èø

i)
xx
x
cos
cot
1sin42
p
æö
=-

22222282
p
+++=<<

Bài 5.
a)
VẤN ĐỀ 7: Công thức biến đổi
1. Công thức biến đổi tổng thành tích

coscos2cos.cos
22
abab
ab
+-
+=
coscos2sin.sin
22
abab
ab
+-
-=-
sinsin2sin.cos
22
abab
ab
+-
+=

ab
+
+=

ba
ab
ab
sin()
cotcot
sin.sin
-
-=
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
Trang 69 2. Công thức biến đổi tích thành tổng Bài 1. Biến đổi thành tổng:
a)
abab
2sin().cos()
+-
b)
abab
2cos().cos()
+-

c)

pp
æöæö
+-
ç÷ç÷
èøèø
k)
abbcca
4cos().cos().cos()Bài 2. Chứng minh:
a)
xxxx
4cos.coscoscos3
33
pp
æöæö
-+=
ç÷ç÷
èøèø
b)
xxxx
4sin.sinsinsin3
33
pp
æöæö
-+=
ç÷ç÷
èøèø


-

c)
x
2
13tan
-
d)
xxx
sin2sin4sin6
++

e)
xx
34cos4cos8
++
f)
xxxx
sin5sin6sin7sin8
+++

g)
xxx
1sin2–cos2–tan2
+
h)
oo
xx
22
sin(90)3cos(90)

c)
xxx
C
xx
2
1coscos2cos3
cos2cos1
+++
=
+-
d)
xxx
D
xxx
sin4sin5sin6
cos4cos5cos6
++
=
++

Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a) A
2
coscos
55
pp
=+ b) B
7
tantan
2424

= +
ëû
éù
=-++
ëû
sincos2.sin2.cos
44
pp
aaaa
æöæö
+=+=-
ç÷ç÷
èøèø
sincos2sin2cos
44
pp
aaaa
æöæö
-=-=-+
ç÷ç÷
èøèø

Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Trang 70

e)
o

=- C
1
64
= D
3
4
=

E = 1 F = 4 G = 1 H = 4
Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
7131925
sinsinsinsinsin
3030303030
ppppp
ĐS:
1
32

b)
ooooo
16.sin10.sin30.sin50.sin70.sin90
ĐS: 1
c)
oooo
cos24cos48cos84cos12
+
ĐS:
1
2

pppp
+++ ĐS: –1
h)
3579
coscoscoscoscos
1111111111
ppppp
++++ ĐS:
1
2

Bài 7. Chứng minh rằng:
a)
oooo
tan9tan27tan63tan814
+=

b)
ooo
tan20tan40tan8033
-+=
c)
oooo
tan10tan50tan60tan7023
-++=
d)
ooooo
83
tan30tan40tan50tan60.cos20
3

nnnn
3
35(21)
coscoscos cos.
pppp
-
=+++
d) Svôùia
aaaaaa
4
111
,.
cos.cos2cos2.cos3cos4.cos55
p
=+++=
e)
n
S
xxx
x
5
1
1111
111 1
coscos2cos3
cos2
-
æöæöæöæö
=++++
ç÷ç÷ç÷

a
4
tan5tan
15
sin
-
==- ;
n
x
S
x
1
5
tan2
tan
2
-
=
Bài 9.
a) Chứng minh rằng: xxx
3
1
sin(3sinsin3)(1)
4
=-
b) Thay
n
n
nn
aaaa

2sin
= .
b) Tính
n
n
xxx
P
2
coscos cos.
2
22
= ĐS:
n
n
n
x
P
x
sin
.
2sin
2
=
Bài 11.
a) Chứng minh rằng:
x
x
x
1
cotcot

2
tan.tan2tan22tan
=
b) Tính
n
n
nn
aaaaa
Sa
2212
21
tan.tan2tan.tan 2tan.tan
22
222
-
-
=+++
ĐS:
n
n
n
a
Sa
tan2tan
2
=-
Bài 13. Tính
x
2
sin2,

2
6
62
13tan
tan1
coscos
-=+
d)
xx
x
xxx
1sin2cos2
tan4
cos4sin2cos2
-
-=
+ e)
xxxxxx
tan6tan4tan2tan2.tan4.tan6
=

f)
x
xxx
x
sin7
12cos22cos42cos6

sin(22)sin22sin2
++=

Bài 16. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a)
ABC
ABC
sinsinsin4coscoscos
222
++=
b)
ABC
ABC
coscoscos14sinsinsin
222
++=+
c)
ABCABC
sin2sin2sin24sin.sin.sin
++=

d)
ABCABC
cos2cos2cos214cos.cos.cos
++=

e)
ABCABC
222
coscoscos12cos.cos.cos

ABC
cos2cos2cos21
++=-
b)
ABC
tan2tan2tan20
++=

c)
bca
BCBC
coscossin.sin
+= d)
Bac
b
cot
2
+
=
Bài 19. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC cân:
a)
AB
aAbBabtantan()tan
2
+
+=+ b)
BCBC
2
2tantantan.tan
+=

coscoscos
2
++£
HD: Cộng
cos
3
p
vào VT.
c)
ABC
tantantan33
++³
(với A, B, C nhọn)
d) ABC
1
cos.cos.cos
8
£
HD: Biến đổi ABC
1
cos.cos.cos
8
-
về dạng hằng đẳng thức.
Bài 21.
a)


tancot
1cos4
+
+=
-
d)
xxx
xxx
1cos1cos4cot
1cos1cossin
+-
-=
-+

e)
xx
xx
xx
22
sincos
1sin.cos
1cot1tan
=
++
f) xxx
00
coscos(120)cos(120)0
+-++=

g)

cos.cos.1cot
22
-
=
æö
+
ç÷
èø

i)
xxxx
662
1
cossincos21sin2
4
æö
-=-
ç÷
èø
k) xxxx
44
cossinsin22cos2
4
p
æö
-+=-
ç÷
èø

Bài 2. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:

ç÷ç÷
èøèø

Bài 3. a) Chứng minh:
1
cotcot2
sin2
aa
a
-=.
b) Chứng minh:
xx
xxxx
1111
cotcot16
sin2sin4sin8sin16
+++=- .
Bài 4. a) Chứng minh:
tancot2cot2
aaa
=-
.
b) Chứng minh:
nnnn
xxxx
x
22
1111
tantan tancotcot
22

b) Chứng minh:
nn
nn
xxxx
x
3313
2
1
sin3sin 3sin3sinsin
34
333
-
æö
+++=-
ç÷
èø
.
Bài 7. a) Chứng minh:
1tan2
1
cos2tan
a
aa
+=.
b) Chứng minh:
n
n
x
xx
xx

sin
cos.cos cos
2
22
2sin
2
= .
Bài 9. Đơn giản các biểu thức sau:
a)
ooooooooo
A tan3.tan17.tan23.tan37.tan43.tan57.tan63
.tan77.tan83
=
b) B
2468
coscoscoscos
5555
pppp
=+++
c) C
115
sin.cos
1212
pp
=
d) D
5711
sin.sin.sin.sin
24242424
pppp

c)
84tan2tantancot
8163232
pppp
+++=
d)
oo
114
3
cos2903.sin250
+=

e)
ooooo
83
tan30tan40tan50tan60cos20
3
+++=
f)
ooooo
31
cos12cos184cos15.cos21.cos24
2
+
+-=-
g)
oooo
tan20tan403.tan20.tan403
++=
h)

Bài 12. a) Chứng minh:
xxx
4
311
sincos2cos4
828
=-+.
b) Áp dụng tính: S
4444
357
sinsinsinsin
16161616
pppp
=+++. ĐS: S
3
2
=

Bài 13. a) Chứng minh:
x
x
x
1cos2
tan
sin2
-
= .
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
Trang 75


HD: a)
0
51
sin18
4
-
= . Chú ý:
00
sin54cos36
=

Þ

00
sin(3.18)cos(2.18)
=
b) A
1
16
= c) B
51
4
-
=
d) C
51
1024
-
= . Sử dụng:
xxxx

SRABC
2
2sin.sin.sin
=

c)
SRaAbBcC
2(coscoscos)
=++
d)
ABC
rR
4sinsinsin
222
=
Bài 17. Chứng minh rằng:
a) Nếu
BC
A
BC
sinsin
sin
coscos
+
=
+
thì tam giác ABC vuông tại A.
b) Nếu
BB
C