Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng
Trang 30 1. Tính chất

2. Một số bất đẳng thức thông dụng
a)
aa
2
0,
³"
.
abab
22
2
+³
.
b) Bất đẳng thức Cô–si:
+ Với a, b
³
0, ta có:
ab
ab
2
+
³ . Dấu "=" xảy ra Û a = b.
+ Với a, b, c

Với a, b, x, y
Î
R, ta có:
axbyabxy
22222
()()()
+£++. Dấu "=" xảy ra Û ay = bx. CHƯƠNG IV
BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I. BẤT ĐẲNG THỨC
Điều kiện Nội dung

a < b
Û
a + c < b + c
(1)
c > 0
a < b
Û
ac < bc
(2a)
c < 0
a < b
Û
ac > bc

Û

ab
<
(6a)

a < b
Û

33
ab
<
(6b)

Điều kiện Nội dung

xxxxx
0,,
³³³-

xaaxa
£Û-££

a > 0
xa
xa
xa
é
£-
³Û

³
với A, B
³
0. +
ABAB
22
2
+³

Chú ý:
– Trong quá trình biến đổi, ta thường chú ý đến các hằng đẳng thức.
– Khi chứng minh BĐT ta thường tìm điều kiện để dấu đẳng thức xảy ra. Khi đó ta có
thể tìm GTLN, GTNN của biểu thức. Bài 1. Cho a, b, c, d, e
Î
R. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
abcabbcca
222
++³++
b)
ababab
22
1
++³++

c)
abcabc

abc
abbcca
111111
++³++
với a, b, c > 0
k)
abcabbcca
++³++ với a, b, c
³
0
HD: a)
Û
abbcca
222
()()()0
-+-+-³
b)
Û
abab
222
()(1)(1)0
-+-+-³

c)
Û
abc
222
(1)(1)(1)0
-+-+-³
d)

-+-+-³

h)
Û

aaaa
bcde
2222
0
2222
æöæöæöæö
-+-+-+-³
ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèøèø

i)
Û

abbcca
222
111111
0
æöæöæö
-+-+-³
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø

k)
Û


+³
d)
abcabc
333
3++³
, với a, b, c > 0.
e)
ab
ab
ba
66
44
22
+£+; với a, b
¹
0. f)
ab
ab
22
112
1
11
+³
+
++
; với ab
³
1.
g)
a

Trang 32

c)
Û
aaa
22
(1)(23)0
-++³

d) Sử dụng hằng đẳng thức
abababab
33322
()33+=+
BĐT
Û
abcabcabbcca
222
()()0
éù
++++-++³
ëû
.
e)
Û
abaabb
2224224
()()0
-++³
f)
Û

2
+³
(1). Áp dụng chứng minh các bất
đảng thức sau:
a)
abcdabcd
4444
4+++³
b)
abcabc
222
(1)(1)(1)8+++³
c)
abcdabcd
2222
(4)(4)(4)(4)256++++³
HD: a)
ababcdcd
44222222
2;2+³+³ ;
abcdabcd
2222
2+³

b)
aabbcc
222
12;12;12
+³+³+³



c)
abbccdda
abcbcdcdadab
23
++++
<+++<
++++++++

HD: BĐT (1)
Û
(a – b)c < 0.
a) Sử dụng (1), ta được:
aac
ababc
+
<
+++
,
bba
bcabc
+
<
+++
,
ccb
caabc
+
<
+++

++++
<<
++++++++

Cùng với 3 BĐT tương tự, ta suy ra đpcm.
Bài 5. Cho a, b, c
Î
R. Chứng minh bất đẳng thức:
abcabbcca
222
++³++
(1). Áp dụng
chứng minh các bất đảng thức sau:
a)
abcabc
2222
()3()
++£++ b)
abcabc
2
222
33
æö
++++
³
ç÷
èø

c)
abcabbcca

.
a) Khai triển, rút gọn, đưa về (1) b, c) Vận dụng a)
d) Sử dụng (1) hai lần e) Bình phương 2 vế, sử dụng (1)
f) Sử dụng d)
Bài 6. Cho a, b
³
0 . Chứng minh bất đẳng thức:
ababbaabab
3322
()
+³+=+
(1). Áp
dụng chứng minh các bất đảng thức sau:
a)
abc
ababcbcabccaabc
333333
1111
++£
++++++
; với a, b, c > 0.
b)
abbcca
333333
111
1
111
++£
++++++
; với a, b, c > 0 và abc = 1.

³
.
a) Từ (1)
Þ

ababcababc
33
()
++³++

Þ

ababc
ababc
33
11
()
£
++
++
.
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.
b, c) Sử dụng a).
d) Từ (1)
Û

ababab
3322
3()3()
+³+

ABAB
33
3
33
sinsin4(sinsin)4.2.cos2cos
22
+£+£=
Tương tự,
A
BC
3 3
3
sinsin2cos
2
+£ ,
B
CA
33
3
sinsin2cos
2
+£
Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm.
Bài 7. Cho a, b, x, y
Î
R. Chứng minh bất đẳng thức sau (BĐT Min–cốp–xki):

axbyabxy
222222
()()

82
+++++³ .
Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng
Trang 34

d) Cho x, y, z > 0 thoả mãn xyz
3
++= . Tìm GTNN của biểu thức:
P =
xyz
222
223223223
+++++
.
HD: Bình phương 2 vế ta được: (1)
Û

abxyabxy
2222
()()
++³+
(*)

·
Nếu
abxy
0
+<
thì (*) hiển nhiên đúng.


Chú ý:
abab
114
+³
+
(với a, b > 0).
c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được:
xyzxyz
xyz
xyz
2
2222
222
111111
()
æö
+++++³+++++
ç÷
èø³
xyz
xyz
2
2
9
()82
æö
+++=

c)
abbccaabc
222222444
2220
++ >

d)
abcbcacababc
222333
()()()
-+-++>++

HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có:
abcabbcc
222
2
>-Þ>-+
.
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.
b) Ta có:
aabcaabcabc
2222
()()()
> Þ>+ +
.
Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm.
c)
Û

abcabcbcacab

ab
ab
2
+
. Du "=" xy ra

a = b.
+ Vi a, b, c

0, ta cú:
abc
abc
3
3
++
. Du "=" xy ra

a = b = c.
2. H qu: +
ab
ab
2
2
ổử
+

ỗữ
ốứ
+
abc

abcabc
3
3
(1)(1)(1)1++++ d)
bccaab
abc
abc
++++
; vi a, b, c > 0.
e)
abbccaabc
222222
(1)(1)(1)6+++++
f)
abbccaabc
abbcca 2
++
++Ê
+++
; vi a, b, c > 0.
g)
abc
bccaab
3
2
++
+++
; vi a, b, c > 0.
HD: a)
ababbcbccaca


ị

( )
abcabcabcabcabc
3
3
22233
(1)(1)(1)1331++++++=+
d)
bccaabc
c
abab
2
22
+=
,
caababc
a
bcbc
2
22
+=
,
abbcabc
b
caac
2
22
+=

ÊÊ
++
.

ị

abbccaabbccaabc
abbcca 22
++++
++ÊÊ
+++

(vỡ
abbccaabc
++Ê++
)
g) VT =
abc
bccaab
1113
ổửổửổử
+++++-
ỗữỗữỗữ
+++
ốứốứốứ

=
[ ]
abbcca
bccaab

ốứ
ốứốứ
ởỷ



13
(2223)
22
++-=
.
Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng
Trang 36

Bài 2. Cho a, b, c > 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
abcabc
abc
3332
111
()()
æö
++++³++
ç÷
èø

b)
abcabcabc
333222
3()()()

)
(
)
abcabbabcbccaca
333222222
2()++³+++++.
Chú ý:
ababab
33
()
+³+
. Cùng với 2 BĐT tương tự ta suy ra đpcm.
c) Áp dụng b) ta có:
abcabcabc
333222
9()3()()
++³++++ .
Dễ chứng minh được:
abcabc
2222
3()()
++³++
Þ
đpcm.
Bài 3. Cho a, b > 0. Chứng minh
abab
114
+³
+
(1). Áp dụng chứng minh các BĐT sau:

222
++£
++++++

d)
abbccaabc
abbcca 2
++
++£
+++
; với a, b, c > 0.
e) Cho x, y, z > 0 thoả
xyz
2412
++=
. Chứng minh:
xyyzxz
xyyzzx
284
6
2244
++£
+++
.
f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:

papbpcabc
111111
2
æö

++³++
ç÷
++++++
èø
.
d) Theo (1):
abab
1111
4
æö
£+
ç÷
+
èø
Û
ab
ab
ab
1
()
4
£+
+
.
Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm.
e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thì
abc
12
++=


ç÷
+++
èø
.
b) Cho x, y, z > 0 thoả
xyz
1
++=
. Tìm GTLN của biểu thức: P =
xyz
xyz
111
++
+++
.
c) Cho a, b, c > 0 thoả
abc
1
++£
. Tìm GTNN của biểu thức:
P =
abcbaccab
222
111
222
++
+++
.
d) Cho a, b, c > 0 thoả
abc

abbccaabc
1119
2()
++³
+++++
.

Þ
VT
³

abcabc
abc
abcabc
222222
9()33()3
.()
2()22
++++
=³++
++++

Chú ý:
abcabc
2222
()3()
++£++ .
b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P như sau:
P =
xyz

.
Chú ý: Bài toán trên có thể tổng quát như sau:
Cho x, y, z > 0 thoả
xyz
1
++=
và k là hằng số dương cho trước. Tìm GTLN
của biểu thức: P =
xyz
kxkykz
111
++
+++
.
c) Ta có: P
³

abcbcacababc
2222
99
9
222()
=³
+++++++
.
d) VT
³

abbcca
abc

+³+=
++
++

Chú ý: abbccaabc
2
11
()
33
++£++=
.
e) Áp dụng (1):
ABCABC
1119
2cos22cos22cos26cos2cos2cos2
++³
++-++-

Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng
Trang 38 ³

96
3
5
6
2
=

x
31
;1
21
=+>-
+
. d)
x
yx
x
51
;
3212
=+>
-

e)
x
yx
xx
5
;01
1
=+<<
-
f)
x
yx
x
3

2
-
khi x =
6
1
3
-
d) Miny =
301
3
+
khi x =
301
2
+

e) Miny =
255
+
khi x
55
4
-
= f) Miny =
3
3
4
khi x =
3
2

e) yxxx
15
(63)(52);
22
=+ ££
f)
x
yx
x
2
;0
2
=>
+

g)
( )
x
y
x
2
3
2
2
=
+

HD: a) Maxy = 16 khi x = 1 b) Maxy = 9 khi x = 3
c) Maxy =
121

xx
232
(2)27
+³
Û

x
x
2
23
1
27
(2)
£
+Þ
Maxy =
1
27
khi x =
±
1.
Bài 7.
a) Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình
Trang 39


abcabc
2222
()3()
++£++ Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
ab
22
347
+³
, với
ab
347
+=
b) ab
22
735
35
47
+³ , với
ab
237
-=

c) ab
22
2464

-++-+³

HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số
ab
3,4,3,4
.
b) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số
ab
23
,,3,5
35
-
.
c) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số
ab
35
,,7,11
711
-
.
d) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số
ab
1,2,,
.
e) Áp dụng BĐT (B) cho 4 số
ab
2,3,2,3
.
f) Đặt a = x – 2y + 1, b = 2x – 4y + 5, ta có: 2a – b = –3 và BĐT
Û

8
+³
, với
ab
1
+³
. d)
ab
44
2
+³
, với
ab
2
+=
.
HD: a)
abab
22222
1(11)(11)()
£+£++
Þ
đpcm.
b)
abbabaaaa
3323
11(1)133
+³Þ³-Þ³-=-+-
2
+³
.
abab
2244222
(11)()()4
++³+³

Þ

ab
44
2
+³

Bài 3. Cho x, y, z là ba số dương và
xyz
1
++=
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Pxyz
111
=-+-+-
.
HD: Áp dụng BĐT (B), ta có: P
£

xyz
111.(1)(1)(1)

xyz
1
++Ê
. Chng minh rng:
xyz
xyz
222
222
111
82
+++++
HD: p dng BT (B), ta cú:
xx
x
x
2
222
2
19
(19)
ổửổử
+++
ỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ

ị
xx
x

++
ỗữ
ốứ
(3)
T (1), (2), (3) suy ra:
P


xyz
xyz
1111
()9
82
ộự
ổử
+++++
ờỳ
ỗữ
ốứ
ởỷ
=
xyz
xyzxyz
1111180111
()
99
82
ộự
ổửổử
++++++++

1
3
===
.
Bi 5. Cho a, b, c


1
4
-
tho
abc
1
++=
. Chng minh:
abc
(1)(2)
741414121
<+++++Ê .
HD: p dng BT (B) cho 6 s:
abc
1;1;1;41;41;41
+++

ị
(2).
Chỳ ý:
xyzxyz
++Ê++. Du "=" xy ra


xy
21
;;;
2
ta c:
xyxy
xy
xy
2
252141
()
44
2
ổửổử
Ê+Ê++
ỗữỗữ
ỗữ
ốứ
ốứ

Du "=" xy ra

xy
41
;
55
==
. Vy minA =
25
4

2
2
2323
() 23
æö
æö
++³+=+
ç÷
ç÷
ç÷
èø
èø

Þ

()
xy
2
23
6
+
+³ .
Dấu "=" xảy ra
Û

xy
23322332
;
6362
++

22
+ .
Dấu "=" xảy ra
Û
xy
2
2
== .
Bài 8. Tìm GTLN, GTNN của các biểu thức sau:
a)
Axx
72
=-++
, với –2 £ x £ 7 b)
Bxx
6183
=-+-
, với 1 £ x £ 3
c)
Cyx
25
=-+
, với xy
22
36169
+=
d)
Dxy
22
=

x = –2 hoặc x = 7.

Þ
maxA =
32
khi x
5
2
=
; minA = 3 khi x = –2 hoặc x = 7.
b)
·
B
£
xx
22
(68)(13)102
+-+-= . Dấu "=" xảy ra
Û
x =
43
25
.

·
B
³

xxx
6(1)(3)23


( )
yxyxyx
22
11115
2.4.61636
431694
æö
-=-£++=
ç÷
èøÞ
yx
55
2
44
-£-£

Þ
Cyx
1525
25
44
£=-+£ .

Þ
minC =
15

Þ

( )
xyxyxy
22
2141
2.3.2945
3294
æö
-=-£++=
ç÷
èøÞ

xy
525
-£-£

Þ

Dxy
7223
-£= £
.

Þ
minD = –7 khi xy
89

(
)
x
x
3327
2
53
-
-+> b)
x
x
213
3
54
+
->+

c)
xx
5(1)2(1)
1
63
-+
-< d)
xx
3(1)1
23
84
+-
+<-

Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm:
a)
mxmxm
22
43+-<+
b)
mxmmx
2
1(32)
+³+-
c)
mxmmx
2
4
->-
d) mxxmm
2
32()(1)
-< +

Bài 4.
a)

f(x) = ax + b (a
¹
0)
x

S =
b
a
;
æö
-¥-
ç÷
èø

a < 0
S =
b
a
;
æö
-+¥
ç÷
èø

b
³
0 S = Æ
a = 0
b < 0 S = R

Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình
Trang 43

VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn


ì
-
<+
ï
í
+
ï
>-
î
c)
xx
xx
41
12
32
432
23
ì
-£+
ï
í

ï
<
î

d)
x
x
xx

ï
+³
î
f)
( )
xx
x
x
1
1522
3
314
24
2
ì
->+
ï
í
-
ï
-<
î

g)
xx
x
x
2331
45
5

i)
xx
xx
3127
43219
ì
+³+
í
+>+
î

Bài 2. Tìm các nghiệm nguyên của các hệ bất phương trình sau:
a)
xx
x
x
5
647
7
83
225
2
ì
+>+
ï
í
+
ï
<+
î

b)
î
í
ì
>-
>-
03
01
mx
x
c)
xmmx
xx
2
421
3221
ì
+£+
í
+>-
î

d)
xx
xm
72419
2320
ì
-³-+
í

·
Dạng:
Px
Qx
()
0
()
>
(2) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.)

·
Cách giải: Lập bảng xét dấu của
Px
Qx
()
()
. Từ đó suy ra tập nghiệm của (2).
Chú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu.
3. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ

·
Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định
nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

·
Dạng 1:
gx
fxgx
gxfxgx
()0

ớ
ờ
ợ
ờ
>
ỡ

ờ
ù
ờ
ộ
<-
ớ
ờ
ờ
ù
>
ở
ợ
ở

Chỳ ý: Vi B > 0 ta cú:
ABBAB
<-<<
;
AB
AB
AB
ộ
<-

32
61160
+++>

Bi 2. Gii cỏc bt phng trỡnh sau:
a)
xx
x
(25)(2)
0
43
-+
>
-+
b)
xx
xx
35
12
-+
>
+-
c)
xx
xx
312
53

<
+-

-
<
+-
h)
xx
x
x
2
2
1
12
+
-
-
i)
xx
xx
2532
3225
-+
<
+-

Bi 3. Gii cỏc bt phng trỡnh sau:
a) x
327
->
b) x
5123
-<

21
->+

Bi 4. Gii v bin lun cỏc bt phng trỡnh sau:
a)
xm
x
21
0
1
+-
>
+
b)
mxm
x
1
0
1
-+
<
-
c) xxm
1(2)0
+>

HD: Gii v bin lun BPT dng tớch hoc thng:
axbaxb
1122
()()0

aaxx
1212
.,
-
.
T bng xột du, ta chia bi toỏn thnh nhiu trng hp. Trong mi trng hp ta
xột du ca
axbaxb
1122
()()
++(hoc
axbx
axbx
11
22
+
+
) nh qui tc an du.
a)
m
mS
m
mS
mSR
3
3:(;1);
2
3
3:;(1;)
2

0:;1
0:(;1)
ộ
ổử
-
<=-Ơẩ+Ơ
ỗữ
ờ
ốứ
ờ
ổử
-
ờ
>=
ỗữ
ờ
ốứ
ờ
==-Ơ
ở

c)
mS
mSm
3:(1;)
3:(2;)
ộ
<=+Ơ
ờ
=-+Ơ

a
axbxcxR
2
0
0,
0
D
ì
<
++<"ÎÛ
í
<
î

2. Bất phương trình bậc hai một ẩn
axbxc
2
0
++>
(hoặc ³ 0; < 0; £ 0)
Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai. VẤN ĐỀ 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai một ẩn

Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau:
a)
xx
2
321

(3103)(45)
-+-
h) xxxx
22
(34)(21)

i)
xxx
xx
22
2
(3)(3)
43

+-

Bài 2. Giải các bất phương trình sau:
a)
xx
2
2520
-+<
b)
xx
2
54120
-++<
c)
xx
2

h)
xx
xx
2
2
431
0
57
+-
>
++
i)
xx
xx
2
2
538
0
76
+-
<
-+

Bài 3. Giải và biện luận các bất phương trình sau:
a)
xmxm
2
30
-++>
b) mxmxm

xx
xx
2
2
260
31030
ì
ï
+->
í
-+³
ï
î
c)
xx
xx
2
2
2540
3100
ì
ï
+<
í
+>
ï
î

d)
xx

f)
xx
xx
2
2
50
610
ì
ï
++<
í
-+>
ï
î

g)
xx
x
2
2
27
41
1

-££
+
h)
xx
xx
2

x
Î
R
D
= 0
a.f(x) > 0,
"
x
Î

b
R
a
\
2
ìü
-
íý
îþ

a.f(x) > 0,
"
x
Î
(–∞; x
1
)
È
(x
2

2
(3)2(3)20
+++=
d) mxmxm
2
(1)220
+-+=

e) mxmxm
2
(2)4260
+-=
f) mmxmx
22
(23)2(23)30
-+-+ =

Bài 2. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
a) xmxm
2
32(1)40
+-++>
b) xmxm
2
(1)270
++++>

c) xmxm
2
2(2)40

2
2(1)40
+-+³

e) mxmxm
2
(3)2(25)250
+>
f) mxmxm
2
4(1)50
-++-<

Bài 4.
a)
VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui về bậc hai
1. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng
định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

·
Dạng 1:
CC
fx

í
ì
<
ê
ê
ï
=-
í
ë
î
ê
=-
î
ë·
Dạng 2:
fxgx
fxgx
fxgx
()()
()()
()()
é
=
=Û
ê
=-
ë

()()
()()
é
ì
<
í
ê
î
ê
>Û
ì
³
ê
ï
ê
é
<-
í
ê
ê
ï
>
ë
î
ë

Chú ý:
·

AAA

ABABAB
0
-=+Û£Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình
Trang 47

2. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn
Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường dùng phép nâng
luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn.

·
Dạng 1:
[ ]
gx
fxgx
fxgx
2
()0
()()
()()
ì
³
ï
=Û
í
=
ï
î

++=Û
í
++=
ï
î·
Dạng 4:
fxgxhx
()()()
±=. Đặt
ufx
uv
vgx
()
;,0
()
ì
=ï
³
í
=
ï
î
đưa về hệ u, v.

·
Dạng 5:
[ ]

()()
é
ì
<
í
ê
³
î
ê
>Û
ì
³
ï
ê
í
ê
>
ï
î
ë
Bài 1. Giải các phương trình sau:
a) xxxx
22
5465
-+=++
b) xxx
22

<
b) xxx
2
834
->+-
c) xx
2
120
<

d) xxxx
22
4345
++>
e) xx
312
+<
f)
xxxx
22
322
-++>
g)
xx
xx
2
2
4
1
2

5108
+=-
c) xx
254
=

d)
xxx
2
242
++=-
e) xxx
2
3912
-+=-
f) xxx
2
3912
-+=-

g) xx
3712
+-+=
h) xx
22
972
+ =
i)
xx
x

-+-+++-=
b) xxxx
5412211
+-+++-+=

Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng
Trang 48

c) xxxxxx
22212234213286214
+ ++ =

Bài 6. Giải các phương trình sau: (đặt ẩn phụ)
a) xxxx
22
69466
-+=-+
b) xxxx
2
(4)(1)3526
++-++=

c) xxxx
22
(3)32237
-+-=-+
d) xxxx
2
(1)(2)34
++=+-

4356
43565
++
-+-=

Bài 8. Giải các bất phương trình sau:
a)
xxx
2
128
+-<-
b)
xxx
2
127
<-
c)
xxx
2
4213
+<+

d) xxx
2
3102
>-
e) xxx
2
31342
++³-

22
3573521
++-++³

Bài 10. Giải các bất phương trình sau:
a)
xx
x
2
4
2
3
-
£
-
b)
xx
x
2
21517
0
3
+
³
+

c) xxx
22
(3)49
+-£-


Trần Sĩ Tùng Bất đẳng thức – Bất phương trình
Trang 49

BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG IV

Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
abcabc
333
++³++
, với a, b, c > 0 và xyz = 1.
b)
abcabcabc
abc

abc
333
2()6
++³
(1)

aaaa
3
333
11323
++³Þ+³
(2). Tương tự:
bb
3
23
+³
(3),
cc
3
23
+³
(4).
Cộng các BĐT (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta được đpcm.
b) BĐT
Û

babcca
abcbac
6
æöæöæö

Tương tự:
ab
ba1
2
-£ . Cộng 2 BĐT ta được đpcm. Dấu "=" xảy ra
Û
a = b = 2.
Bài 2. Tìm GTNN của các biểu thức sau:
a) Ax
x
1
1
=+
-
, với x > 1.
b) B
xy
41
4
=+ , với x, y > 0 và xy
5
4
+=
.
c) Cab
ab
11
=+++
, với a, b > 0 và
ab

³

xy
xy
41
2.42.455
4
+-=
.
Dấu "=" xảy ra
Û
xy
1
1;
4
==
. Vậy minB = 5.
c) Ta có
abab
114
+³
+

Þ
Babab
ababab
413
³++=+++
+++
³

Þ
abcabbcca
333
2()33()9
+++³++=

Þ

abc
333
3
++³
.
Bất đẳng thức – Bất phương trình Trần Sĩ Tùng
Trang 50

Dấu "=" xảy ra
Û
a = b = c = 1. Vậy minD = 3.
Bài 3. Tìm GTLN của các biểu thức sau:
a) Aab
11
=+++
, với a, b
³
–1 và
ab
1
+=
.

.

Þ
maxA =
6
.
b) Áp dụng BĐT Cô–si: B =
xxx
xxx
3
121
.(12)
327
æö
++-
-£=
ç÷
èø
.

1
3
. Vậy maxB =
1
27
.
c) Áp dụng BĐT Cô–si: C =
xx
xx
2

î
b)
xx
mx
2
340
(1)20
ì
£
í
³
î

c)
xx
xm
72419
2320
ì
-³-+
í
-+<
î
d)
xx
mx
212
2
ì
+>-

x
x
xx
2
251
3
67
-
<
-

b)
xxx
x
xx
2
2
561
56
-++
³
++

c)
x
x
xxx
23
2121
1

(1)2(1)33
+ +-

Bài 9. Tìm m để các biểu thức sau luôn âm:
a) mxmxm
2
(4)(1)21
-+++-
b) mmxmx
22
(45)2(1)2
+ +

Bài 10. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x:
a)
xx
mxmxm
2
2
820
0
2(1)94
-+
<
++++
b)
xx
mxmxm
2
2

-<<
-+-

Bài 11. Tìm m để các phương trình sau có:
i) Một nghiệm ii) Hai nghiệm phân biệt iii) Bốn nghiệm phân biệt
a) mxmxm
42
(2)2(1)210
++-=
b) mxmx
42
(3)(21)30
+ =

Bài 12. Giải các phương trình sau:
a) xxxx
(1)1617(1)(823)
++=+- b) xx
xx
2
2
21
460
410
-+-=
-+

c)
xx
xxxx

22113
=
d) xxxx
1449144914
+-+ =
e) xxx
22
12(21)
+-=

Bài 14. Giải các bất phương trình sau:
a) xxx
2
45417
<-
b) xx
123
-++<
c) xxx
23315
+£+

d)
xx
x
2
2
54
1
4

-+=
b) xxxxx
23132(23)(1)16
+++=+++-

c)
xxx
4112
+ =-
d) xxxx
14(1)(4)5
++-++-=

e) xx
2
41411
-+-=
f) xxxxx
2
321492352
-+-=-+-+

g)
xxxx
2
(5)(2)33
+-=+
h) xxxxx
22
(4)4(2)2

x
x
2
2
3(49)
23
33
-
£+
-
e) xxx
22
(3)49
-+£-
f)
x
x
x
2
2
94
32
51
-
£+
-

Bài 17.
a)