Tích vơ hướng của hai vectơ Trần Sĩ Tùng
Trang 12

O x
y
M
x
y

1
-1

1. Định nghĩa
Lấy M trên nửa đường tròn đơn vò tâm O. Xét góc nhọn a =
·
xOM
. Giả sử M(x; y).
sin
a
= y (tung độ)
cos
a
= x (hoành độ)
tan
a
=
ytungđộ
xhoànhđộ


¹
90
0
, cot
a
chỉ xác định khi
a

¹
0
0
và
a

¹
180
0
.
2. Tính chất
· Góc phụ nhau · Góc bù nhau

0
0
0
0
sin(90)cos
cos(90)sin
tan(90)cot
cot(90)tan

sin
tan(cos0)
cos
cos
cot(sin0)
sin
tan.cot1(sin.cos0)
a
aa
a
a
aa
a
aaaa
=¹
=¹
=¹

22
2
2
2
2
sincos1
1
1tan(cos0)
cos
1
1cot(sin0)
sin

0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
180
0

sin
a

0
1
2

2
2

3
2

1 0
cos
a



0
||

Trần Sĩ Tùng Tích vô hướng của hai vectơ
Trang 13

Baøi 1. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
abc
000
sin0cos0sin90
++
b)
abc
000
cos90sin90sin180
++

c)
abc
202020
sin90cos90cos180
++
d)
202020
3sin902cos603tan45
-+-

e) aaa

, b nhọn. b)
1
cos
3
a
=-
c)
x
tan22
=

Baøi 4. Biết
0
62
sin15
4
-
= . Tinh
000
cos15,tan15,cot15
.
Baøi 5. Cho biết một giá trị lượng giác của một góc, tính giá trị của một biểu thức:
a) xx
00
1
sin,90180
3
=<< . Tính
xx
A

+=-

c)
xxxx
2222
tansintan.sin
-=
d)
xxxx
6622
sincos13sin.cos
+=-

e)
xxxxxx
sin.cos(1tan)(1cot)12sin.cos
++=+

Baøi 7. Đơn giản các biểu thức sau:
a)
yyy
cossin.tan
+
b)
bb
1cos.1cos
+- c)
aa
2
sin1tan

20202020
cos12cos78cos1cos89
+++
b)
20202020
sin3sin15sin75sin87
+++

Baøi 9.
a) Tớch vụ hng ca hai vect Trn S Tựng
Trang 14

O
A
B

r
r
vi 0
0
Ê
ã
AOB
Ê 180
0
.
Chỳ ý:
+
(
)
ab
,
r
r
= 90
0



ab
^
r
r

+
(

r
ngc hng
+
(
)
(
)
abba
,,
=
rr
rr

2. Tớch vụ hng ca hai vect
ã nh ngha:
(
)
ababab
cos,
=
rrr
rrr
.
c bit:
aaaa
2
2
. ==
rrrr
.


kabkabakb
==
rrr
rrr
;
22
0;00
aaa
==
r
rrr
.
+
( )
2
22
2.
abaabb
+=++
rrr
rrr
;
()
2
22
2.
abaabb
-=-+
rrr

r
r
< 0


(
)
,
ab
r
r
tuứ

.
ab
r
r
= 0


(
)
,
ab
r
r
vuoõng.
3. Biu thc to ca tớch vụ hng
ã Cho
a

2222
1212
cos(,)
.
+
=
++
r
r
; ababab
1122
0
^+=
r
r

ã Cho
AABB
AxyBxy
(;),(;)
. Khi ú:
BABA
ABxxyy
22
()()
=-+- . Baứi 1. Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, AB = a, BC = 2a. Tớnh cỏc tớch vụ hng:
a)

++=
uuuruuuruuuruuruuuruuur
.
b) T ú suy ra mt cỏch chng minh nh lớ: "Ba ng cao trong tam giỏc ng qui".
Baứi 4. Cho tam giỏc ABC vi ba trung tuyn AD, BE, CF. Chng minh:

BCADCABEABCF
0
++=
uuuruuuruuruuuruuuruuur
.
Baứi 5. Cho hai im M, N nm trờn ng trũn ng kớnh AB = 2R. Gi I l giao im ca
hai ng thng AM v BN.
a) Chng minh:
AMAIABAIBNBIBABI
,
==
uuuruuruuuruuruuuruuruuruur
.
II. TCH Vễ HNG CA HAI VECT
Trần Sĩ Tùng Tích vô hướng của hai vectơ
Trang 15

b) Tính
AMAIBNBI

+
uuuruuruuuruur
theo R.
Baøi 6. Cho tam giác ABC có AB = 5, BC = 7, AC = 8.


d)
ABBD
.
uuuruuur
e)
ABACADDADBDC
()()
++++
uuuruuuruuuruuuruuuruuur

HD: a)
a
2
b)
a
2
c)
a
2
2
d)
a
2
-
e) 0
Baøi 8. Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4, CA = 3.
a) Tính
ABAC
.

uuuruuur
, A
1
cos
4
=-
b) AGBC
5
.
3
=
uuuruuur
c) S
29
6
=-

d) Sử dụng tính chất đường phân giác
AB
DBDC
AC
.
=
uuuruuur

Þ

ADABAC
32
55

2222
2.
-+-=
uuuruuur
.
b) Suy ra điều kiện cần và đủ để tứ giác có hai đường chéo vuông góc là:

ABCDBCDA
2222
+=+
.
Baøi 11. Cho tam giác ABC có trực tâm H, M là trung điểm của BC. Chứng minh:

MHMABC
2
1
.
4
=
uuuuruuur
.
Baøi 12. Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì. Chứng minh:
a)
MAMCMBMD
2222
+=+
b)
MAMCMBMD
=
uuuruuuruuuruuuur

g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật.
h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO.
i) Tìm toạ độ điểm T thoả
TATBTC
230
+-=
uuruuruuur
r

k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B.
l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của DABC.
Baøi 15. Cho tam giác ABC. tìm tập hợp những điểm M sao cho:
a)
MAMAMB
2
2.
=
uuuruuur
b) MAMBMBMC
()(2)0
=
uuuruuuruuuruuur

c) MAMBMBMC
()()0
++=
uuuruuuruuuruuur
d)
MAMAMBMAMC
2

sao cho:
MAMBMCMDIJ
2
1

2
+=
uuuruuuruuuruuuur
.
Baøi 18.
a)


a
, m
b
, m
c

– độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: h
a
, h
b
, h
c

– bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r
– nửa chu vi tam giác: p
– diện tích tam giác: S
1. Định lí côsin

abcbcA
222
2.cos
=+-
;
bcacaB
222
2.cos
=+-
;
cababC
222

= ;
c
abc
m
222
2
2()
4
+-
=
4. Diện tích tam giác
S =
abc
ahbhch
111
222
==
=
bcAcaBabC
111
sinsinsin
222
==
=
abc
R
4

=
pr

.
=
,
AHABAC
222
111
=+
·
AHBCABAC

=

·
baBaCcBcC
.sin.costancot
====
;
caCaBbCbC
.sin.costancot
====6. Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)
Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định.
· Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD.
P
M/(O)
=
MAMBMCMDMOR
22

2sinsin
= d)
abc
mmmabc
222222
3
()
4
++=++
e)
( )
ABC
SABACABAC
2
22
1

2
D
=-
uuuruuur

Baøi 2. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) Nếu b + c = 2a thì
abc
hhh
211
=+
b) Nếu bc = a
2

==.
Baøi 5. Cho DAOB cân đỉnh O, OH và OK là các đường cao. Đặt OA = a,
·
AOH
a
=
.
a) Tính các cạnh của DOAK theo a và a.
b) Tính các cạnh của các tam giác OHA và AKB theo a và a.
c) Từ đó tính
sin2,cos2,tan2
aaa
theo
sin,cos,tan
aaa
.
Baøi 6. Giải tam giác ABC, biết:
a)
µ
µ
cAB
00
14;60;40
=== b)
µ
µ
bAC
00
4,5;30;75
===

=== d)
µ
bcA
0
14;10;145
===
Baøi 8. Giải tam giác ABC, biết:
a)
abc
14;18;20
===
b)
abc
6;7,3;4,8
===

c)
abc
4;5;7
===
d) abc
23;22;62
===-
Baøi 9.
a)
+
=-
+

c)
x
x
xx
2
2
22
tan11
1
2tan
4sin.cos
ổử
-
-=-
ỗữ
ốứ
d)
xx
x
xxx
22
2
442
cossin
1tan
sincossin

cos(cos2sinsintan)1
++=

Baứi 2. Bit
0
51
sin18
4
-
= . Tớnh cos18
0
, sin72
0
, sin162
0
, cos162
0
, sin108
0
, cos108
0
, tan72
0
.
Baứi 3. Tỡm giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht ca biu thc:
a) A =
xxx
422
coscossin
-+

vuụng gúc.
b) Tớnh
ab
+
r
r
, bit abab
11,23,30
==-=
rr
rr
.
c) Tớnh gúc
(
)
ab
,
r
r
, bit
abababab
(3)(75),(4)(72)
+^ ^-
rrrr
rrrr
.
d) Tớnh
abab
,23
-+

,
34
==
uuuruuuruuuruuur
. Tớnh MN.
Baứi 6. Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú AB =
3
, AD = 1,
ã
BAD
0
60
=
.
a) Tớnh
ABADBABC
.,.
uuuruuuruuruuur
.
b) Tớnh di hai ng chộo AC v BD. Tớnh
(
)
ACBD
cos,
uuuruuur
.
Baứi 7. Cho tam giỏc ABC cú gúc A nhn. V phớa ngoi tam giỏc v cỏc tam giỏc vuụng cõn
nh A l ABD v ACE. Gi I l trung im ca BC. Chng minh AI ^ DE.
Baứi 8. Cho t giỏc ABCD cú hai ng chộo ct nhau ti O. Gi H, K ln lt l trc tõm
ca cỏc tam giỏc ABO v CDO. Gi I, J ln lt l trung im ca AD v BC. Chng

++=
uuuruuuruuuruuur
d) MAMBMCMAMBMC
(2)(2)0
++++=
uuuruuuruuuruuuruuuruuur

Tích vô hướng của hai vectơ Trần Sĩ Tùng
Trang 20

Baøi 11. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta có:
a)
bcabCcB
22
(.cos.cos)
-=- b)
bcAacCbB
22
()cos(.cos.cos)
-=-
b)
ABCCBBC
sinsin.cossin.cossin()
=+=+

Baøi 12. Cho DABC. Chứng minh rằng:
a) Nếu
abcbcabc
()()3
+++-=

0
60
=
.
d) Nếu
bbacac
2222
()()
-=- thì
µ
A
0
60
=
.
Baøi 13. Cho DABC. Chứng minh rằng:
a) Nếu
ba
bAaB
c
22
coscos
2
-
=- thì DABC cân đỉnh C.
b) Nếu
B
A
C
sin

5
cos
9
=
, điểm D thuộc cạnh BC sao cho
·
·
ABCDAC
=
, DA = 6, BD
16
3
=
. Tính
chu vi tam giác ABC.
HD: a) MK =
830
15
b) AC = 5, BC =
25
3
, AB = 10
Baøi 16. Cho một tam giác có độ dài các cạnh là: xxxx
22
1;21;1
+++-
.
a) Tìm x để tồn tại một tam giác như trên.
b) Khi đó chứng minh tam giác ấy có một góc bằng
0

B
0
60
=
, R = 2, I là tâm đường tròn nội tiếp. Tính bán kính của đường tròn ngoại
tiếp DACI.
b) Có
µ
A
0
90
=
, AB = 3, AC = 4, M là trung điểm của AC. Tính bán kính đường tròn
ngoại tiếp DBCM.
c) Có a = 4, b = 3, c = 2, M là trung điểm của AB. Tính bán kính của đường tròn ngoại
tiếp DBCM.
Trần Sĩ Tùng Tích vô hướng của hai vectơ
Trang 21

HD: a) R = 2 b) R
513
6
= c) R
823
330
=
Baøi 19. Cho hai đường tròn (O
1
, R) và (O
2

,
·
CAD
b
=
.
a) Tính AC. b) Tính diện tích tứ giác ABCD theo a, a, b.
HD: a) AC =
a
sin()
ab
+
b)
a
S
2
cos()
2sin()
ba
ab
-
=
+
.
Baøi 21. Cho DABC cân đỉnh A,
µ
A
a
=
, AB = m, D là một điểm trên cạnh BC sao cho BC =