ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Bài toán diện tích
D
D: a ≤ x ≤ b, y nằm giữa 0 và f(x)
a
b
( )y f x=
( ) ( )
b
a
S D f x dx=
∫
1
( )y f x=
2
( )y f x=
2 1
( ) ( ) ( )
b
a
S D f x f x dx= −
∫
D: a ≤ x ≤ b, y nằm giữa f
1
(x) và f
2
(x)
Bài toán diện tích
a
b

Có thể vẽ hình các đường cong đơn giản
hoặc tìm hoành độ(tung độ giao điểm) để xác
định cận tích phân.
•
Tính hoành độ giao điểm ⇒ tích phân tính
theo biến x(ngược lại là tính theo y)
Lưu ý về tính đối xứng
1
( ) 2 ( )S D S D=
Nếu miền D đối xứng qua Ox, D
1
là phần
phía trên Ox của D.
Ví dụ
2
0
( ) ( 2) 0S D x x dx= − −
∫
2
0
16
(2 )
15
x x dx= − =
∫
Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi:
( 2), 0y x x y= − =
Hoành độ giao điểm: 0, 2
Ví dụ
Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi:

Ví dụ
24y = ±
2 2
24
24
16 48
( )
8 24
y y
S D dx
−
− −
= −
∫
2 2
24
24
16 48
8 24
y y
dy
−
 
− −
= −
 ÷
 
∫
Tính diện tích miền D giới hạn bởi các đường:
y

∫
Bài toán thể tích
D: a ≤ x ≤ b, y nằm giữa 0 và f(x)
Quay D xung quanh Ox
Quay D xung quanh Ox
D: a ≤ x ≤ b, y nằm giữa 0 và f(x)
Vật thể tạo ra có dạng tròn xoay.
Bài toán thể tích
Bài toán thể tích
D
D: a ≤ x ≤ b, y nằm giữa 0 và f(x)
a
b
( )y f x=
2
( )
b
x
a
V f x dx
π
=
∫
Bài toán thể tích
D
D: a ≤ x ≤ b, y nằm giữa 0 và f(x)
a
b
Miền D phải
nằm về 1 phía

( )
2
2
1
V x x y x y
π π
= + ∆ −
2
2 xy x y x
π π
= ∆ + ∆
2 CN
V V≤
( )
2
2

x x y
x y
π
π
= + ∆ ∆
− ∆
2
2 +x x y x y
π π
= ∆ ∆ ∆ ∆
Chứng minh
( )
2

V o x⇒ = ∆
Bài toán thể tích
2 2
2 1
( ) ( )
b
x
a
V f x f x dx
π
= −
∫
D: a ≤ x ≤ b, y nằm giữa f
1
(x) và f
2
(x)
a b
Miền D phải
nằm về 1 phía
của trục Ox
1
( )y f x=
2
( )y f x=
Bài toán thể tích
D: a ≤ x ≤ b, y nằm giữa f
1
(x) và f
2

Bài toán thể tích
Lưu ý về tính đối xứng
1
1
( ) ( )
( ) 2 ( )
x x
y y
V D V D
V D V D
=
=



Nếu miền D đối xứng qua Ox, D
1
là phần
phía trên Ox của D.
Ví dụ
D : x ≥ 0, y ≤ 2 – x
2
, y ≥ x.
Tính thể tích khi D quay quanh Ox, oy.
1
2
0
2 (2 )
y
V x x x dx