BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH
- - - - - -  - - - - - -
LÊ XUÂN SƠN
CÁC HÀM DUNG LƯỢNG
TRONG KHÔNG GIAN EUCLID HỮU HẠN CHIỀU
VÀ TÍCH PHÂN CHOQUET CỦA CHÚNG
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số: 62. 46. 01. 01
TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
VINH - 2008
Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh.
Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS.TS. Nguyễn Nhụy
2. GS.TSKH. Nguyễn Tố Như
Phản biện 1: PGS. TSKH. Đỗ Hồng Tân
Phản biện 2: GS. TS. Nguyễn Hữu Dư
Phản biện 3: GS. TSKH. Lê Mậu Hải
Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp nhà nước họp
tại Trường Đại học Vinh
vào hồi giờ ngày tháng năm 2008.
Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia
- Thư viện Trường Đại học Vinh.
1
LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết độ đo ra đời với ý nghĩa thực t iễn sâu sắc của nó đã đóng
một vai trò hết sức to lớn trong nhiều lĩnh vực khoa học khác nhau, đặc
biệt là trong lý thuyết xác suất. Tuy nhiên, sự phát triển mạnh mẽ của các
lĩnh vực kinh t ế, kỹ thuật đã khiến độ đo cổ điển trong nhiều tình huống
không còn phù hợp khi đo các vấn đề mới nảy sinh, nhất là những vấn đề
liên quan đến việc xử lí các "đối tượng mờ". Do đó người ta tìm đến một

d
có các tính chất của hàm dung lượng, và tồn tại
những hàm dung lượng không phải là độ đo trên R
d
. Nhiều ví dụ được đưa
ra không chỉ nhằm chứng tỏ sự tồn tại thực sự của các khái niệm mới, mà
còn mang ý nghĩa so sánh và chỉ rõ sự khác biệt của các khái niệm khác
nhau khi xây dựng một lớp các hàm dung lượng trên R
d
. Cùng với sự xuất
hiện của lớp hàm dung lượng, thì khái niệm tích phân kiểu Choquet cho
các hàm dung lượng mới được xây dựng này cũng được đưa vào. Khi ta đề
cập đến tập hợp tất cả các hàm dung lượng, thì bài toán trang bị tôpô cho
lớp hàm này để được không gian tôpô tất yếu phải được đặt ra. Cấu trúc
tôpô cho lớp hàm này được chúng tôi trang bị là tôpô yếu. Khi đó, không
gian các hàm dung lượng đã trở thành một không gian tôpô khả metric và
khả li. Cấu trúc metric của không gian tôpô cho phép ta xây dựng khái
niệm hội tụ yếu trong không gian các hàm dung lượng thông qua sự hội
tụ của dãy. Trong khi tìm một đặc trưng cho khái niệm hội tụ yếu, ta tìm
được một điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ yếu liên quan đến dãy các độ
đo xác suất liên kết với dãy các hàm dung lượng đã cho.
Từ năm 1954, G. Choquet đã xây dựng cấu trúc về hàm dung lượng trên
họ tất cả các tập compact K của một không gian Ba Lan E, mà sau này
ta thường gọi là hàm dung lượng Choquet. Điều lý thú là tồn tại một sự
tương ứng 1-1 giữa lớp các hàm dung lượng trên K với tập tất cả các độ đo
xác suất xác định trên σ-đại số Borel sinh bởi lớp các tập con đóng F của
không gian E khi F được trang bị tôpô miss-and-hit (Định lý Choquet).
Kết quả này giữ vai trò then chốt trong lý thuyết các tập đóng ngẫu nhiên
vì nó đã mô tả được phân phối của các tập đóng ngẫu nhiên, đó chính là
dung lượng trên K. Như vậy các hàm dung lượng Choquet đối với tập đóng

. Phần
đầu của chương này trình bày một số kết quả cơ bản về các hàm tập không
cộng tính trong R
d
. Trọng tâm của Chương 1 là Mục 1.3 và 1.4, ở đó chúng
tôi đưa ra khái niệm về hàm dung lượng trong R
d
. Một số kết quả và ví
dụ chứng tỏ khái niệm này là một mở rộng thực sự của khái niêm độ đo
thông thường. Tích phân Choquet cho các hàm dung lượng trong R
d
được
đưa vào và tính toán tích phân của một số hàm dung lượng cụ thể với mục
đích là chúng s ẽ được sử dụng để nghiên cứu tôpô yếu trong không gian
4
các hàm dung lượng xác suất ở chương sau.
Chương 2 được dành để trình bày về tôpô yếu trong không gian

C, không
gian các hàm dung lượng xác suất với giá compact trong R
d
. Trong Mục
2.1, sau khi trang bị tôpô yếu cho

C chúng tôi đã chỉ ra không gian tôpô
này là khả metric và khả li. Mục 2.2 trình bày các điều kiện cần, điều
kiện đủ cùng với điều kiện cần và đủ cho sự hội tụ yếu t rong

C. Trong
Mục 2.3 chúng tôi chỉ ra rằng không gian

.
1.1 Hàm tập luân phiên
1.1.1 Định nghĩa. Cho X là một tập hợp, A là một đại số các tập con
của X. Hàm tập T : A → R được gọi là luân phiên bậc n (n ∈ N, n ≥ 1)
nếu T đơn điệu tăng (nghĩa là A ⊂ B kéo theo T (A) ≤ T (B)) và với bất kì
A
1
, A
2
, . . . , A
n
∈ A bất đẳng thức sau được thoả mãn
T

n

i=1
A
i

≤

I∈I(n)
(−1)
|I|+1
T


i∈I
A

A ∪ A
1

− T (A)
6
∆
2

A; A
1
, A
2

= ∆
1

A; A
1

− ∆
1

A ∪ A
2
; A
1

. . .
∆
n

(i) ∆
n

A; A
1
, . . . , A
n

=

I∈I(n)
(−1)
|I|+1
T

A

(

i∈I
A
i
)

− T (A).
(ii) T luân phiên bậc n khi và chỉ khi ∆
n
≥ 0.
Như vậy hàm tập T là luân phiên bậc vô hạn khi và chỉ khi ∆
n

d
), G(R
d
) và B(R
d
) lần lượt được kí hiệu là lớp tất cả các
tập con compact, đóng, mở và Borel của không gia n Euclid R
d
. Ta đưa ra
các khái niệm sau đây.
Hàm tập đơn điệu tăng T : B(R
d
) → R thoả mãn T (∅) = 0 được gọi là
(i) bán cộng nếu
T (A ∪ B) ≤ T (A) + T(B), với bất kì A, B ∈ B(R
d
);
7
(ii) σ-bán cộng nếu
T

∞

n=1
A
n

≤
∞


n
∈ B(R
d
);
(iv) liên tục trên nếu
T

∞

n=1
A
n

= lim
n→∞
T (A
n
),
với A
1
⊃ A
2
⊃ . . . ⊃ A
n
⊃ . . . , A
n
∈ B(R
d
);
(v) luân phiên bậc vô hạn nếu

), K ⊂ A} với bất kì A ∈ B(R
d
)
và
T (K) = inf{T (G) : G ∈ G(R
d
), G ⊃ K} với bất kì K ∈ K(R
d
).
Rõ ràng, vì T(∅) = 0 nên (ii) kéo theo (i) và cũng như vậy (v) kéo theo (i).
Ngoài ra ta có
1.2.1 Mệnh đề. Giả sử T thoả mãn (i). Khi đó (iii) kéo theo (ii).
Điều ngược lại nói chung không đúng.
1.2.2 Mệnh đề. (vi) kéo theo (iii)


G(R
d
)
, ở đây ký hiệu (iii)


G(R
d
)
có
nghĩa là tính chất (iii) được hạn chế trên G(R
d
).
8

T

n

i=1
A
i

≤

I∈I(n)
(−1)
|I|+1
T


i∈I
A
i

;
3. T (A) = sup

T (K) : K ∈ K(R
d
), K ⊂ A

với bất kì A ∈ B(R
d
);

d
đều liên tục dưới trên G(R
d
)
và liên tục trên trên K(R
d
).
9
Chú ý rằng trong trường hợp tổng quát, dung lượng trong R
d
có thể
không liên tục trên.
1.3.4 Định lý. Nếu µ là một độ đo trên B(R
d
), thì µ có các tính chất 3.,
4. trong Định nghĩa 1.3.1 và với bất kì các tập A
1
, . . . , A
n
∈ B(R
d
), n ≥ 2,
ta có
µ

n

i=1
A
i

thoả mãn T (R
d
\ F ) = 0 được gọi là giá của T , và được kí
hiệu là supp T .
1.3.7 Mệnh đề. Giả sử T là một dung lượng trong R
d
. Khi đó ta có
(i) T (supp T ) ≥ T (B) với mọi B ∈ B(R
d
);
(ii) supp T = R
d
\ ∪{G : G ∈ G(T )}, ở đây
G(T ) = {G ∈ G(R
d
) : T (G) = 0}.
1.3.8 Định nghĩa. Dung lượng T được gọi là một dung lượng xác suất
trong R
d
nếu T (supp T ) = 1.
1.3.9 Các ví dụ. a) Với mỗi x ∈ R
d
, ta xác định hàm tập T
x
= δ
x
, bởi
δ
x
(B) =

× R
+
10
ta xác định hàm tập T
A
bởi
T
A
(B) =

max {t
i
: x
i
∈ B} nếu B ∩ A
0
= ∅
0 nếu B ∩ A
0
= ∅,
ở đây A
0
= {x
1
, . . . , x
k
} ⊂ R
d
. Khi đó T
A

t
i
, với B ∈ B(R
d
), ở đây
A
0
= {x
1
, . . . , x
k
} ⊂ R
d
.
Dễ dàng kiểm tra được rằng T
A
là một độ đo trong R
d
. Đó là một độ đo
với giá hữu hạn và số t
i
được gọi là trọng lượng của x
i
, i = 1, 2, . . . , k. Nếu
k

i=1
t
i
= 1, thì T

+
và A ∈ B(R
d
), ta xác định tích phân Choquet

A
fdT
của hàm f ứng với T bởi

A
fdT =
+∞

0
T

{x ∈ A : f(x) ≥ t}

dt.
Với A = R
d
chúng ta viết

R
d
fdT =

fdT.
Chú ý rằng, nếu f là một hàm bị chặn trên A thì


+
(x) = max {f(x), 0} và f
−
(x) = max {−f(x), 0}, giống như trường
hợp tích phân Lebesgue.
1.4.1 Định lý. Với x ∈ R
d
, giả sử T
x
là dung lượng được xác định trong
Ví dụ 1.3.9(a). Khi đó với bất kì hàm đo được f : R
d
→ R
+
, ta có

fdT
x
= f(x) với mỗi x ∈ R
d
. (1.5)
Ngược lại, nếu T là một dung lượng trong R
d
sao cho với x ∈ R
d
nào
đó ta có
f(x) =

fdT với mỗi f ∈ C

1 nếu y ∈ C
0 nếu y /∈ C.
(1.7)
Khi đó

f
C
dT = T (C).
1.4.3 Khẳng định. Dưới điều kiện (1.6), ta có supp T = {x}.
1.4.4 Định lý. Với mỗi tập compact C ⊂ R
d
, xác định
T
C
(A) =

1 nếu A ∩ C = ∅
0 nếu A ∩ C = ∅,
với A ∈ B(R
d
). Khi đó với bất kì hàm đo được f : R
d
→ R
+
ta có

fdT
C
= sup {f(x) : x ∈ C}.
12

k
)

⊂ R
d
× R
+
. (1.10)
Khi đó với bất kì hàm đo được f : R
d
→ R
+
ta có

fdT
A
=
k−1

i=0
(α
i+1
− α
i
) max {t
n
j
: j = i + 1, . . . , k}, (1.11)
ở đây {x
n

d
→ R
+
, thì T = T
A
, với A được cho bởi (1.10).
1.4.7 Định lý. Giả sử T
A
=
k

i=1
t
i
δ
x
i
là dung lượng được xác định như
trong Ví dụ 1.3.9(c), ở đây A =

(x
1
, t
1
), . . . , (x
k
, t
k
)


lượng xác suất với giá compact trong R
d
và C
+
0
(R
d
) là ký hiệu cho lớp tất
cả các hàm thực không âm liên tục với giá compact trong R
d
. Nội dung
chính của chương này là chỉ ra không gian

C với tôpô yếu là một không
gian khả metric và khả li.
2.1 Tôpô yếu trên

C
Giả sử B là một họ các tập có dạng
B =

U(T ; f
1
, . . . , f
k
; ε
1
, . . . , ε
k
)




f
i
dT −

f
i
dS


< ε
i
, i = 1, . . . , k

=
k

i=1
U(T ; f
i
; ε
i
), (2.2)
2.1.1 Định nghĩa. Rõ ràng họ B được xác định bởi (2.1), (2.2) là một
cơ sở của một tôpô trên

C. Tôpô này được gọi là tôpô yếu trên


d
với f(x
0
) = 0, đặt A = {x
i
: i = 0, 1, . . . , k} và xác
định T
A
f
=

k−1
i=1
(t
i
− t
i+1
)δ
x
i
+ (1 − t
1
)δ
x
0
, ở đây t
i
= T

{x ∈ R

2.1.6 Bổ đề. Giả sử f, g ∈ C
+
0
(R
d
) và ε > 0 sao cho
|f(x) − g(x)| < ε với mọi x ∈ R
d
. (2.13)
Khi đó ta có



fdT −

gdT


≤ ε với mỗi T ∈

C.
Giả sử C và Q tương ứng là các tập con đếm được trù mật của C
+
0
(R
d
)
và (0, 1). Ký hiệu
G =



C như sau.
15
2.2 Sự hội tụ yếu trong

C
2.2.1 Định nghĩa. Một dãy các dung lượng {T
n
}
∞
n=1
⊂

C được gọi là hội
tụ yếu tới dung lượng T ∈

C nếu

fdT
n
→

fdT với mỗi f ∈ C
+
0
(R
d
).
2.2.2 Khẳng định. Giả sử S, T ∈


C, n = 1, 2, . . . và T
n
hội tụ yếu đến T .
Khi đó
(i) lim sup
n
T
n
(K) ≤ T(K) với mọi K ∈ K(R
d
);
(ii) lim inf
n
T
n
(G) ≥ T (G) với mọi G ∈ G(R
d
);
(iii) lim
n→∞
T
n
(A) = T (A) với mọi tập bị chặn, T -liên tục A ⊂ R
d
.
2.2.6 Mệnh đề. Giả sử {T
n
} là một dãy các dung lượng xác suất với
giá compact trong R
d

tập tất cả các hàm thực liên tục với giá compact trong R
d
.
2.2.8 Mệnh đề. Giả sử {P
n
}, P là các độ đo xác suất trên B(R
d
) và
P
n
hội tụ yếu đến P . Khi đó ta có
(i) lim sup
n
P
n
(K) ≤ P(K) với mọi K ∈ K(R
d
);
16
(ii) lim inf
n
P
n
(G) ≥ P (G) với mọi G ∈ G(R
d
);
(iii) lim
n→∞
P
n

∈ G, ở đây
F
K
G
1
, ,G
n
= F
K
∩ F
G
1
∩ . . . ∩ F
G
n
.
Bây giờ lấy E là không gian Euclid R
d
. Giả sử B(F) là họ tấ t cả các tập
Borel của F(R
d
) với tôpô miss-and-hit. Theo Định lý Choquet, mỗi một
dung lượng xác suất T trong R
d
tồn tại duy nhất độ đo xác suất P trên
B(F) sao cho P (F
K
) = T (K) với mỗi K ∈ K. Khi đó chúng ta nói rằng P
là độ đo xác suất liên kết với dung lượng xác suất T .
2.2.9 Định lý. Giả sử T

với một tập
con đóng V (R
d
) của

C. Do đó, không gian

C chứa R
d
một cách tôpô.
17
CHƯƠNG 3
ĐỊNH LÝ CHOQUET CHO CÁC TẬP ĐÓNG NGẪU NHIÊN
Phần đầu của chương này trình bày về Định lý Choquet cho các tập
đóng ngẫu nhiên trong các không gian Hausdorff, khả li và compact địa
phương. Phần sau là một ví dụ chỉ ra rằng Định lý Choquet không còn đúng
trong không gian C[0, 1], không gian các hàm thực liên tục trên đoạn [0, 1].
3.1 Định lý Choquet cho không gian compact
địa phương
Giả sử E là một không gian Hausdorff, khả li và compact địa phương.
Ký hiệu K, F, G tương ứng là lớp tất cả các tập con compact, đóng và mở
của E. Với mỗi A ⊂ E, ký hiệu
F
A
=

F ∈ F : F ∩ A = ∅

và F
A

1
∩ . . . ∩ F
G
n
.
Chú ý rằng trong B có chứa các tập F
K
, K ∈ K; F
G
, G ∈ G; ∅ = F
∅
và
F = F
∅
. Hơn nữa, chúng ta có thể kiểm tra được rằng B là một cơ sở cho
một tôpô trên F, nó được gọi là tôpô "miss-and-hit" hoặc "hit-or-miss"
và được kí hiệu là T (F).
3.1.1 Định lý. Nếu không gian metric khả li E chứa ít nhất một điểm
không compact địa phương thì F với tôpô "miss-and-hit" không phải là
không gian Hausdorff.
18
Ký hiệu B(F) là σ-đại số Borel trên không gian F (σ-đại số sinh bởi họ
tất cả các tập mở). Giả sử (Ω, A, P ) là một không gian xác suất. Khi đó
mỗi phần tử ngẫu nhiên S :

Ω, A, P

→

F, B(F)

thì hàm tập T : K → [0, 1],
được xác định bởi
T (K) = P (F
K
) với mỗi K ∈ K, (3.1)
thoả mãn các điều kiện sau
(i) T (∅) = 0, 0 ≤ T ≤ 1.
(ii) T luân phiên bậc vô hạn trên K.
(iii) T liên tục trên trên K (nghĩa là nếu K
n
 K thì T (K
n
)  T (K)).
3.1.2 Định nghĩa. Hàm tập T : K → [0, 1] thoả mãn các điều kiện (i),
(ii) và (iii) ở trên được gọi là một dung lượng trên K, hay cụ thể hơn là
một dung lượng Choquet trên K.
3.1.3 Định lý (Choquet). Giả sử E là một không gian Hausdorff khả
li compact địa phương và T là một hàm tập xác định trên K. Khi đó
tồn tại duy nhất một độ đo xác suất P trên B(F) thoả mãn
P (F
K
) = T (K) với mỗi K ∈ K,
nếu và chỉ nếu T là một dung lượng Choquet trên K.
Trong trường hợp của không gian Hausdorff khả li compact địa phương,
Định lý Choquet đượ c phát biểu dưới dạng tương đương trên lớp các tập
mở G (thường được gọi là "phiên bản mở" của Định lý Choquet) như sau.
19
Giả sử S : G → [0, 1] là một hàm tập. Khi đó tồn tại duy nhất một độ
đo xác suất P trên B(F) sao cho
P (F

gian C[0, 1] gồm tất cả các hàm thực liên tục trên đoạn [0, 1] với chuẩn sup,
20
nghĩa là
E =

x = x(t) ∈ C[0, 1] : x = sup
0≤t≤1
|x(t)| ≤ 1

.
Chú ý rằng E là một không gian Ba Lan không compact địa phương. Vì
vậy, theo Định lý 3.1.1 không gian F với tôpô miss-and-hit không phải là
Hausdorff. Nếu muốn F là một không gian tôpô Hausdorff thì ta cần sử
dụng một tôpô khác. Một tôpô hợp lí cho không gian tất cả các tập con
đóng là tôpô cảm sinh từ metric Hausdorff.
3.2.1 Định nghĩa. Với bất kì A, B ∈ F xác định khoảng cách
d
H
(A, B) =







max{ sup
x∈A
x − B, sup
y∈B

Dễ thấy rằng {S
n
(G)} là một dãy giảm. Khi đó ta xác định
S(G) = lim
n→∞
S
n
(G) với mỗi G ∈ G. (3.4)
Rõ ràng S là một hàm tập đơn điệu tăng và 0 ≤ S ≤ 1.
3.2.3 Định lý. Hàm tập S : G → [0, 1] xác định bởi (3.4) có các tính
chất sau:
(i) S(∅) = 0, S(E) = 1;
(ii) S luân phiên bậc vô hạn trên G;
21
(iii) Nếu G
n
 G và sup
x∈G
x − G
n
 → 0 khi n → ∞ thì S(G
n
)  S(G);
(iv) Không có một độ đo xác suất P nào trên B(F) thoả mãn điều kiện
P (F
G
) = T (G) với mỗi G ∈ G.
Lược đồ chứng minh Định lý 3.2.3 như sau.
Giả sử ∆ := [a; a + δ], với a ∈ R, δ > 0. Chúng ta xác định các hàm
α

− 2 nếu a < t < a + δ
0 nếu khác .
(3.6)
Với mỗi n ∈ N, (n ≥ 1), giả sử đoạn [0, 1] được chia thành 3
n−1
đoạn con
bằng nhau, mỗi đoạn có độ dài bằng 3
−n+1
. Chúng ta đặt
∆
n,i
=

i − 1
3
n−1
;
i
3
n−1

với i = 1, . . . , 3
n−1
,
và
I
n
(k) =

i ∈ {1, . . . , 3

∆
n,i
(t) −

i∈I
n
(4)
β
∆
n,i
(t), (3.8)
ở đây α
∆
và β
∆
tương ứng được xác định bởi (3.5) và (3.6).
Rõ ràng từ cách xác định của e
n
(t) ta có
e
n
(t) =





−1 với t ∈

i∈I

cho
∆
n+1,j
⊂ ∆
m+1,i
và ∆
n+1,k
⊂ ∆
m+1,i
. (3.10)
b) Với bất kì r ∈ (0, 1) và với bất kì x ∈ E, hình cầu B(x, r) chứa
nhiều nhất một e
n
.
3.2.6 Bổ đề. S(G) = 1 với bất kì tập con mở G của E chứa {e
n
: n ≥ 1}.
3.2.7 Bổ đề. S là một hàm tập cực đại.
3.2.8 Khẳng định. Với mỗi n ∈ N tồn tại một tập mở G
n
⊃ B
n
sao
cho
S(G
n
) < 2
−n−1
,
ở đây B

d
thông qua
tích phân Choquet, đó là cấu trúc tôpô yếu.
5. Chỉ ra rằng không gian

C, các hàm dung lượng xác suất trong R
d
với
tôpô yếu là một không gian khả metric và khả li. Đồng thời cũng chỉ
ra rằng không gian Euclid hữu hạn chiều R
d
đồng phôi với một tập
con đóng của

C.
6. Dựa vào tính khả metric của tôpô yếu, chúng tôi đã xây dựng khái
niệm hội tụ yếu tr ong không gian các hàm dung lượng trong R
d
qua
sự hội tụ của dãy. Đồng thời cũng tìm được một điều kiện cần và đủ
cho sự hội tụ yếu liên quan đến độ đo xác suất liên kết với dãy các
hàm dung lượng đã cho.
7. Nghiên cứu về Định lý Cho quet trong không gian không compact địa
phương. Cụ thể là chỉ ra rằng Định lý Choquet không còn đúng trong
không gian E là hình cầu đơn vị đóng của C[0, 1] khi trang bị cho lớp F
tất cả các tập con đóng của E tôpô cảm sinh bởi metric Hausdorff.