Chương 3
Các phép biến đổi trong
không gian 2 chiều
Giảng viên: Ths.Vũ Minh Yến
Tổ HTTT- Khoa CNTT
Nội dung
 Biểu diễn điểm
 Phép biến đổi khái quát
 Các phép biến đổi hình học
 Các phép biến đổi hệ trục
 Chuyển đổi quan sát
1. Biểu diễn điểm(1)
 Trong hệ toạ độ đề các

M(x,y)

Biểu diễn bằng ma trận:

Ma trận hàng:

Ma trận cột:
O x
y
M (x, y)
x
y
yy














=
1
y
x
M
2. Phép biến đổi hình học khái
quát (1)
 Phép biến đổi T biến điểm M thành điểm M’:
 Công thức biến đổi:

Trong đó: a1, b1, c1, a2, b2, c2 là hằng số
 Ma trận biến đổi



++=
++=
222
111
'
'

⇔
[
]
1yxM
=
[
]
1'y'x'M
=
[
]
=
1'y'x
[
]
×1yx










1cc
0bb
0aa
21










=
3.2. Phép tịnh tiến
 Tịnh tiến điểm M một vector (m,n) thành
điểm M’:
 Công thức biến đổi:
 Ma trận biến đổi:
v
r
)'y,'x('M)y,x(M
v
T
→
r
O
x
y
M (x, y)
x
y
y'
x'

Ma trận biến đổi:
Nhận xét:

tlx=tly: phép biến đổi đồng dạng

tlx=tly >1: phép phóng ảnh

tlx=tly <1: phép thu ảnh

tlx ≠ tly: phép biến dạng (phép nhiễu hình)
)'y,'x('M)y,x(M
T
→



×=
×=
ytly'y
xtlx'x



















−
−
=
100
010
001
T










−=
100
010
001
T

α+α=
α
−
α
=
cosysinx'y
sinycosx'x










αα−
α
α
=
100
0cossin
0sincos
T
3.6. Phép biến đổi kết hợp (1)

Điểm M qua phép biến đổi T1 thành M1, M1 qua phép biến đổi T2
thành M2, suy ra tồn tại một phép biến đổi T biến M thành M2:


)y,x(M)y,x(M
)y,x(M)y,x(M)y,x(M
2
2
2
T
222
T
111
T
21
→⇔
→→
Gi
ả
i quy
ế
t v
ấ
n
đề
:
Ta có:
Suy ra:







001
1ba
010
001
1ba
010
001
TTT
21212211
21










=
1ba
010
001
T
11
1




Gi
ả
i quy
ế
t v
ấ
n
đề
:
Ta phân tích thành các phép bi
ế
n
đổ
i
c
ơ
s
ở
:
Trong
đ
ó:
T
1
: phép tịnh tiến vecto (-x0,-y0)
T
2
: phép quay tại O góc quay
α
T

biến.

Ví dụ:
 Phép tịnh tiến hệ trục bởi vecto (m, n) bằng phép tịnh tiến
vật đi vecto (-m,-n)
 Phép quay hệ trục tại gốc toạ độ góc
α
bằng phép quay vật
tại gốc toạ độ góc -
α
5. Chuyển đổi quan sát
 Mục đích
 Một số khái niệm
 Xây dựng công thức chuyển đổi quan sát
 Áp dụng xây dựng bộ công cụ 2D
 Áp dụng bộ công cụ 2D để vẽ đồ thị hàm sin
5.1.Mục đích
 Mô phỏng hình ảnh trong không gian thực hai
chiều lên thiết bị hiển thị (màn hình)
 Ví dụ:
Hình ảnh biểu diễn trên màn hình
Màn hình
Không gian thực 2 chiều
5.2. Một số khái niệm

Cửa sổ:
 Là một vùng hình chữ nhật
trong không gian thực 2 chiều,
giới hạn hình ảnh cần hiển thị.
 Cửa sổ được xác định bởi

ảnh trong cửa sổ.
 Khung nhìn được xác định bởi
đường chéo chính: (xv1,yv1),
(xv2, yv2)
 Cài đặt:

xv1,yv1, xv2, yv2: kiểu int, tlx,tly: kiểu float, là các biến toàn cục

void khungnhin(int x1, int y1, int x2, int y2)
{ xv1=x1; yv1=y1; xv2=x2; yv2=y2;
tlx=(xv2-xv1)/(xw2-xw1); tly= (yv2-yv1)/(yw2-yw1); }
Hệ toạ độ thiết bị hiển thị
Hệ toạ độ màn hình
Màn hình
O
m
x
m
y
m
(xv
1
, yv
1
)
(xv
2
, yv
2
)

2
, yv
2
)
Khung nhìn
5.3. Xây dựng công thức chuyển đổi quan sát
Bài toán:
 Input:

Cửa sổ

Khung nhìn

Điểm P(x,y)
 Output:

Tính Pm(xm,ym)?
xw
1
xw
2
x
yw
1
yw
2
y
O
Cửa sổ
Hệ toạ độ thế giới thực

xw
2
x
yw
1
yw
2
y
O
cửa sổ
Hệ toạ độ thế giới thực
Hệ toạ độ màn hình
O
m
x
m
y
m
yv
1
yv
2
xv
1
xv
2
Khung
nhìn
P
x


=
⇔
11
11
BA
MA
AB
AM
11
11
DA
N
A
AD
AN
=
Giải pháp 1(2)







=
=
11
11
11

m
11
12
12
m
yvyyw
ywyw
yvyv
y
xvxwx
xwxw
xvxv
x
12
12
12
12
ywyw
yvyv
tly
xwxw
xvxv
tlx
−
−
=
−
−
=
(




−
−
=
−
−
−
−
=
−
−
⇔
12
1m
12
2
12
1m
12
1
yvyv
yvy
ywyw
yyw
xvxv
xvx
xwxw
xwx

P
x
y
P
m
=?
x
m
y
m
A
1
B
1
C
1
D
1
A
B
CD
M
1
N
1
M
N
Giải pháp 2
xw
1

y
3
O
3
T
3
T
4
O
m
x
m
y
m
yv
1
yv
2
xv
1
xv
2
Khung nh×n
P
m
x
m
y
m
T1: PhÐp tÞnh tiÕn hÖ trôc vecto v(xw1,yw2)

P
m
x
m
y
m
O
m
x
m
y
m
yv
1
yv
2
xv
1
xv
2
Khung nh×n
P
m
x
m
y
m
T