Chương 3
Các phép biến đổi trong không gian
2 chiều
Nội dung

Biểu diễn điểm

Phép biến đổi khái quát

Các phép biến đổi hình học

Các phép biến đổi hệ trục

Chuyển đổi quan sát
1. Biểu diễn điểm(1)

Trong hệ toạ độ đề các

M(x,y)

Biểu diễn bằng ma trận:

Ma trận hàng:

Ma trận cột:
O x
y
M (x, y)
x
y
yy

[ ]
1yxM
=










=
1
y
x
M
2. Phép biến đổi hình học khái quát (1)

Phép biến đổi T biến điểm M thành điểm M’:

Công thức biến đổi:

Trong đó: a1, b1, c1, a2, b2, c2 là hằng số

Ma trận biến đổi





Ta có:

Suy ra:
⇔
⇔
[ ]
1yxM =
[ ]
1'y'x'M =
[ ]
=
1'y'x
[ ]
×
1yx










1cc
0bb
0aa
21

T
≡→
I
100
010
001
T
=










=
3.2. Phép tịnh tiến

Tịnh tiến điểm M một vector (m,n) thành
điểm M’:

Công thức biến đổi:

Ma trận biến đổi:
v

)'y,'x('M)y,x(M

=
1nm
010
001
T
3.3. Phép biến đổi tỉ lệ tại gốc toạ độ

Co dãn so với gốc toạ độ:

Công thức biến đổi:
với tlx, tly là các hệ số tỉ lệ

Ma trận biến đổi:
Nhận xét:

tlx=tly: phép biến đổi đồng dạng

tlx=tly >1: phép phóng ảnh

tlx=tly <1: phép thu ảnh

tlx ≠ tly: phép biến dạng (phép nhiễu hình)
)'y,'x('M)y,x(M
T
→



×=
×=





−
=
100
010
001
T










−
−
=
100
010
001
T




x
M' (x', y')
α
( )
)'y,'x('M)y,x(M
,O
T
 →
α



α+α=
α−α=
cosysinx'y
sinycosx'x










αα−
αα
=
100

T = T1
T = T1
×
×
T2
T2
3.6. Phép biến đổi kết hợp (2)

Ví dụ 1:

Tính ma trận T với T1, T2 lần lượt là các phép tịnh tiến vecto
(a1, b1) và (a2, b2) ?
)y,x(M)y,x(M
)y,x(M)y,x(M)y,x(M
222
T
222
T
111
T
21
→⇔
→→
Giải quyết vấn đề:
Ta có:
Suy ra:





1bbaa
010
001
1ba
010
001
1ba
010
001
TTT
21212211
21










=
1ba
010
001
T
11
1


21
≡→→→
Giải quyết vấn đề:
Ta phân tích thành các phép biến đổi
cơ sở:
Trong đó:
T
1
: phép tịnh tiến vecto (-x0,-y0)
T
2
: phép quay tại O góc quay α
T
3
: phép tịnh tiến vecto (x0, y0)
Suy ra: T=T
1
×T
2
×T
3
M(x,y)
M'(x',y')
A
x
0
x
y
0
O


Áp dụng xây dựng bộ công cụ 2D thực

Áp dụng bộ công cụ 2D để vẽ đồ thị hàm sin
5.1.Mục đích

Mô phỏng hình ảnh trong không gian thực
hai chiều lên thiết bị hiển thị (màn hình)

Ví dụ:
Hình ảnh biểu diễn trên màn hình
Màn hình
Không gian th c 2 chi uự ề
5.2. Một số khái niệm

Cửa sổ:

Là một vùng hình chữ nhật
trong không gian thực 2 chiều,
giới hạn hình ảnh cần hiển thị.

Cửa sổ được xác định bởi
đường chéo chính: (xw1,yw1),
(xw2, yw2)
(xw
1
, yw
1
)
HÖ to¹ ®é thÕ giíi thùc


xv1,yv1, xv2, yv2: kiểu int, tlx,tly: kiểu float, là các biến toàn cục

void khungnhin(int x1, int y1, int x2, int y2)
{ xv1=x1; yv1=y1; xv2=x2; yv2=y2;
tlx=(xv2-xv1)/(xw2-xw1); tly= (yv2-yv1)/(yw2-yw1); }
Hệ toạ độ thiết bị hiển thị
Hệ toạ độ màn hình
Màn hình
O
m
x
m
y
m
(xv
1
, yv
1
)
(xv
2
, yv
2
)
Khung nhìn
Hệ toạ độ màn hình
Màn hình
O
m

5.3. Xây dựng công thức chuyển đổi quan sát
Bài toán:

Input:

Cửa sổ

Khung nhìn

Điểm P(x,y)

Output:

Tính Pm(xm,ym)?
xw
1
xw
2
x
yw
1
yw
2
y
O
Cửa sổ
Hệ toạ độ thế giới thực
O
m
x

yw
1
yw
2
y
O
cửa sổ
Hệ toạ độ thế giới thực
Hệ toạ độ màn hình
O
m
x
m
y
m
yv
1
yv
2
xv
1
xv
2
Khung nhìn
P
x
y
P
m
=?

11
BA
MA
AB
AM
11
11
DA
NA
AD
AN
=
Giải pháp 1(2)







=
=
11
11
11
11
DA
NA
AD
AN

yvyyw
ywyw
yvyv
y
xvxwx
xwxw
xvxv
x
12
12
12
12
ywyw
yvyv
tly
xwxw
xvxv
tlx
−
−
=
−
−
=
( )
( )
⇒




−
−
−
=
−
−
⇔
12
1m
12
2
12
1m
12
1
yvyv
yvy
ywyw
yyw
xvxv
xvx
xwxw
xwx
xw
1
xw
2
x
yw
1

y
m
A
1
B
1
C
1
D
1
A
B
CD
M
1
N
1
M
N
Giải pháp 2
xw
1
xw
2
x
yw
1
yw
2
y

O
m
x
m
y
m
yv
1
yv
2
xv
1
xv
2
Khung nh×n
P
m
x
m
y
m
T1: PhÐp tÞnh tiÕn hÖ trôc vecto v(xw1,yw2)
T2: PhÐp ®èi xøng qua trôc Ox
T3: PhÐp biÕn ®æi tØ lÖ
T4: PhÐp tÞnh tiÕn hÖ trôc vecto u(-xv1,-yv1)
T=T
1
*T
2
*T

x
m
y
m
yv
1
yv
2
xv
1
xv
2
Khung nhin
P
m
x
m
y
m
T