Mở đầu
I.Lý do chọn đề tài
Bằng thực tiễn toán học, lý luận đã khẳng định kiến thức vectơ, toạ độ là cần
thiết và không thể thiếu đợc trong chơng trình toán THPT.
Phơng pháp toạ độ là phơng pháp toán cơ bản ở lớp 10, xong việc ứng dụng của
nó thì học sinh cha nhận thấy hết đợc. Đến lớp 12 thì phơng pháp toạ độ là một
công cụ khá hữu hiệu để giải các bài toán hình học. Để giúp các em thấy đợc tầm
quan trọng của phơng pháp toạ độ (PPTĐ) phơng pháp chuyển từ việc nghiên
cứu hình học Ơclit bằng phơng pháp sơ cấp (phơng pháp tổng hợp) sang việc
nghiên cứu nó bằng công cụ mới đại số và giải tích, tôi chọn đề tài này nhằm h-
ớng dẫn học sinh lớp 10 giải các bài toán hình học phẳng bằng PPTĐ để các em
không bị bỡ ngỡ khi giải các bài toán hình học không gian bằng phơng pháp này
trong chơng trình lớp 12.
Trong thực tế, một số bài toán hình học phẳng ở lớp 10 sẽ đợc giải quyết nhanh
gọn, dễ hiểu hơn nếu ta sử dụng PPTĐ để giải so với các phơng pháp sơ cấp khác.
II.Mục đích nghiên cứu
Với những lý do nh ở trên tôi đã chọn dề tài này nhằm mục đích sau:
- Làm sáng tỏ cơ sở khoa học của PPTĐ.
- Đề xuất phơng án xây dựng quy trình giải bài toán hình học phẳng bằng
PPTĐ.
III.Đối tợng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tợng : Hớng dẫn học sinh lớp 10 giải toán hình học phẳng bằng PPTĐ.
- Phạm vi : Hình học lớp 10.
IV.Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nhắc lại các kết quả về PPTĐ.
- Xây dựng quy trình giải toán hình học phẳng bằng PPTĐ.
- Thực hành.
V.Phơng pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận.
- Tổng kết kinh nghiệm.
- Thực nghiệm.

x O x
2.Hệ trục toạ độ y
- Trong mặt phẳng gồm 2 trục ox và oy
vuông góc với nhau.
i
r
Vectơ đơn vị trên trục ox, oy lần lợt là O
j
x
i
r
,
j
.
Điểm O gọi là gốc trục toạ độ; ox, oy lần
lợt là trục hoành, trục tung
Hệ trục toạ độ vuông góc nh trên còn đợc gọi là hệ trục toạ độ kí hiệu là Oxy
hay (O;
i
,
j
).
3.Toạ độ của vectơ, của một điểm đối với hệ trục toạ độ
- Đối với hệ trục toạ độ (O;
i
,
j
) nếu
jy. i x. a +=
thì cặp số (x ;y) đợc gọi là toạ

+ = + +
=
=
ur r
ur r
ur
5.Phơng trình của đờng thẳng
- Mọi đờng thẳng trong mặt phẳng toạ độ đều có dạng ax + by = 0 ,
2 2
a b o+
.
- Đờng thẳng d đi qua 2 điểm A( x
1

;y
1
) và B ( x
2
; y
2
) thì phơng trình của đờng
thẳng d là : - ( y
2
y
1
) ( x x
1
) + ( x
2
x

+ + =
a) Bài toán vuông góc

, ,
. 0 . . 0.u v u v x x y y = + =
r r r r
b) Bài toán cùng phơng
Vectơ
u
r
và
v
r
vectơ cùng phơng
, ,
. . 0.x y x y =
Chứng minh :
Vectơ
u
r
và
v
r
vectơ cùng phơng
, ,
,
,
: . ( ; ) ( ; )
(1)
k R u k v x y k x y

0 (1)
0.
k kxy x ky xy x y
xy x y
= =
=
c) Toạ độ giao điểm của 2 đờng thẳng
Toạ độ giao điểm của
d
và
,
d
là nghiệm của hệ phơng trình :

, , ,
0
0
ax by c
a x b y c
+ + =


+ + =

e) Góc giữa
d
và
,
d
đợc tính bằng công thức sau :

7.Phơng trình đờng tròn
Đờng tròn tâm I ( a ;b ) bán kính R có phơng trình là :
( x-a )
2
+ ( y- b )
2
= R
2
Đặc biệt tâm I là gốc toạ độ và bán kính R thì phơng trình là
x
2
+ y
2
= R
2
5
Chơng 2 : Xây dựng quy trình giải bài toán hình học bằng phơng
pháp toạ độ
1.Diễn đạt sự kiện hình học bằng ngôn ngữ vectơ
a) Điểm M trùng với điểm N
OM ON =
uuuur uuur
( với O là điểm bất kỳ ).
b) I là trung điểm của đoạn thẳng AB
IA IB 0 + =
uur uur r
hay I là trung điểm của đoạn thẳng AB
1
( )
2

uuur uuur
( với vectơ
AB
uuur
có giá là a,
CD
uuur
vectơ có giá là b )
g) Tính độ dài đoạn thẳng AB
Sử dụng công thức
2
AB AB AB= =
uuur uuur
2.Diễn đạt ngôn ngữ vectơ bằng ngôn ngữ toạ độ
Trong hệ trục toạ độ Oxy
a)
1 2
1 2
x x
OM ON
y y
=

=

=

uuuur uuur
với M ( x
1

GA GB GC G
+ + + +
+ + =
uuur uuur uuur r

với A ( x
1
; y
1
) , B ( x
2
; y
2
) và C ( x
3
; y
3
).
d) Vectơ
a
r
và vectơ
b
r
cùng phơng
1 2 2 1
0x y x y =

với
1 1 2 2

các kỹ năng cơ bản sau :
+ Khi lấy M thuộc hình H thì các toạ độ của M phải thoả mãn hệ rằng buộc
về các toạ độ điểm của hình H.
+ Ngợc lại nếu có điểm M có toạ độ thoả mãn hệ rằng buộc về các toạ độ
điểm của hình H thì M thuộc hinh H.
II. Hớng dẫn học sinh giải toán bằng PPTĐ
Với những bài toán hình học phẳng có chứa các quan hệ hình học : thẳng
hàng, song song, vuông góc hay có chứa các yếu tố khoảng cách, tính góc,
nếu ta chọn hệ toạ độ thích hợp thì ta có thể chuyển về bài toán đại số với
quan hệ giữa các số và giữa các vectơ, giữa các phép toán. Các bài toán này
rất có khả năng tìm ra đợc lời giải, thậm chí còn rất ngắn gọn.
Việc giải bài tập bằng PPTĐ đòi hỏi học sinh phải đợc luyện tập vận dụng
tổng hợp các kiến thức liên quan.
Học sinh cần nắm đợc quy trình :
- Chọn hệ trục toạ độ thích hợp ( đây là vấn đề mấu chốt của bài toán, nếu
chọn thích hợp thì bài toan sẽ đợc giải quyết nhanh gọn ).
7
- Phiên dịch bài toán đã cho sang ngôn ngữ vectơ
- Chuyển bài toán từ ngôn ngữ vectơ sang ngôn ngữ toạ độ.
- Dùng các kiến thức toạ độ để giải toán.
- Phiên dịch kết quả từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học.
III. Một số dạng toán cơ bản
Dạng 1 : Bài toán chứng minh 2 đoạn thẳng vuông góc
Bài 1 : Cho
ABCV
cân tại A. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, G là trọng tâm
ACMV
. Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp
ABCV
. Chứng minh rằng

AMCV
1 1
( ) (0 )
3 3 2 6
1 1
( ) ( 0 )
3 3 2 2
G A C M
G A C M
a a
x x x x a
h h
y y y y h

= + + = + =





= + + = + + =


Vậy toạ độ của điểm G là G
( ; ).
6 2
a h

8
Gọi I ( 0 ; y

0
0
2 2
2
a h
y h
h a
y
h
+ =

=

Vậy điểm I có toạ độ là I
2 2
(0; )
2
h a
h

2 2
( ; ).
6 2 2
a h h a
IG
h

=
uur
Ta có

- Để cho bài toán đợc đơn giản nhất ta chọn hệ trục toạ độ sao cho D trùng với
O, 2 cạnh AD, DC nằm trên 2 truc ox và oy.
- Tìm toạ độ của M, N
- Xét
.AM DN
uuuur uuur
Lời giải :
- Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( nh hình vẽ ).
- Trong hệ toạ độ nay D( 0 ; 0), A( 0 ; a), C ( a ; 0) và B ( a ; a).
Khi đó M
( ;0),
2
a
N (
( ; )
2
a
a
9
( ; ); ( ; ).
2 2
a a
AM a DN a = =
uuuur uuur
Do đó
. ( ) . 0
2 2
a a
AM DN a a= + =
uuuuruuur

là : A (-a;-b), B (-a;b), C (a;b), D (a;-b)
AC
2
= 4R
2
= 4a
2
+ 4b
2
Suy ra a
2
+ b
2
= R
2
.
Giả sử M (x
0
; y
0
) bất kỳ thuộc cung AB nên x
0
2
+ y
0
2
= R
2
10
Ta có toạ độ hình chiếu P, Q, R, S

0 0 0
( )( ) ( )( ) 0b y x x a x y b+ + + + =

0 0 0 0
( ) ( ) 0b y x a x y x y ab + + + + =
Tơng tự phơng trình RS là :
0 0 0
( )( ) ( )( ) 0b y x a x a y y =

0 0 0 0
( ) ( ) 0b y x a x y x y ab + + =
Gọi I ( x
I
; y
I
) là giao điểm của PQ và RS thì ta có ( x
I
; y
I
) là nghiệm của hệ
sau :
0 0 0 0
0 0 0 0
( ) ( ) 0 (1)
( ) ( ) 0 (2)
b y x a x y x y ab
b y x a x y x y ab
+ + + + =



- Gọi O là chân đờng cao hạ từ C xuống AB.
- Chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho A

ox, oy qua BC
- Tìm toạ độ của N, Q, I theo toạ độ của điểm A, B, C, M
- Tìm mối liên hệ tung độ và hoành độ của điểm I chú y điều kiện của điểm M
Lời giải :
11
- Gọi O là chân đờng cao hạ từ C
xuống AB
- Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( nh hình
vẽ ).
Giả sử toạ độ các đỉnh A, B, C là :
A ( a;0 ), B ( b;0 ), C ( 0; h ) , h > 0
Phơng trình đờng thẳng AB theo
đoạn chắn :

1
x y
a h
+ =

Phơng trình đờng thẳng BC theo đoạn chắn :

1
x y
b h
+ =
. Giả sử MQ có phơng trình y = m
(0 )m h


Gọi I là tâm của hình chữ nhật ABCD. Suy ra I là trung diẻm của MP
Khi đó
1 ( )( )
( ) (1)
2 2
1
1
( ) (2)
2 2
2 2
I M P
I I
I M p
a b h m
x x x
x Y
h
a b h
m
y y y
+

= + =


+ =

+


a b
x
x
h h
a b
c
y
y h







+


(**)
12
Từ (*) và (**) suy ra quỹ tích tâm I của hình chữ nhật MNPQ là đoạn KH, ở đây
K, H lần lợt là trung điểm của OC và AB. (pcm)
Chú ý : Mọi lập luận ở đây không phụ thuộc vào hình dáng của
ABCV

0 0
x y R + =
(1)
H là hình chiếu của M trên AB

H
( x
0
; 0 )
I là trung điểm của MH
0
0
0
0
0
0
( ; ).
2
2
2
I
I
I
I
x x
x x
y
I x
y
y y

1
(2 )
I I
x y
R R
+ =
độ dài trục lớn là 2R, trục bé
là R.
Dạng 3 : Bài toán đi qua một điểm cố định
Điểm M ( x
0
; y
0
) đợc gọi là điểm cố định của họ đồ thị đã cho nếu mọi đồ
thị của họ đó ứng với mọi giá trị m

A đều đi qua M
13
Trong đó giả sử y = f ( m, x ) , m

A là tham số
Bài 7 : Cho góc vuông Oxy, ABCD là hình chữ nhật có chu vi không đổi, A, C là
2 điểm thay đổi thuộc Ox, Oy. Chứng minh rằng đờng d vuông góc kẻ từ B
vuông góc với đờng chéo AC luôn đi qua 1 điểm cố định.
Giải
Hớng dẫn :
- Bài toán này có dáng dấp của 1 bài toán đại số tìm điểm cố định, vì thế rất
thuận tiện khi ta đại số hoá bằng PPTĐ.
- Để đơn giản ta chọn ngay hệ trục toạ độ là Oxy trùng với góc Oxy.
Lời giải :

y x b
c c
= +
do a + c = b
Giả sử d đi qua điểm cố định M ( x
0
; y
0
). Khi đó
0 0
(1 )
a a a
y x b
c c c
= +
0 0
( ) ( ) 0
a a
x b y b
c c
=
0 0
0 0
0
0
x b x b
y b y b
= =
uuur
vectơ cùng phơng để chứng minh.
Lời giải :
- Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( nh
hình vẽ )
- Trong hệ toạ độ này A (0; 0), B
(b; 0), C (0; c)
Giả sử M (x; y)
cos
sin
x AM
y AM


=



=

Do đó M (
cosAM

;
sinAM

).
Vì M

BC nên vectơ

+ b
sinAM

- bc = 0
Hay
cos sin
bc
AM
c b

=
+
(đpcm).
Bài 9 : Cho
ABCV
có trực tâm H. Trên đoạn HB, HC lấy điểm B
1
, C
1
sao cho
góc AB
1
C và góc AC
1
B bằng 1 vuông. Chứng minh rằng AB
1
= AC
1
.
Giải :

pháp tuyến
AC
uuur
= (c; - h) nên có phơng trình :
c ( x- b) - h( y 0 ) = 0

cx hy bc = 0 . Gọi B
1
( x
1
; y
1
) do B
1


BH

cx
1
hy
1
bc = 0

cx
1
hy
1
= bc (1)
Ta có

1 1 1 1
0x y cx hy + =
(2)
Mặt khác : AB
1
2
= x
1
2
+ ( y
1
h )
2
= x
1
2
+ y
1
2
- 2hy
1
+ h
2
= ( x
1
2
+ y
1
2
- hy

về toạ độ còn giúp các em thấy rõ đợc ứng dụng to lớn của phơng pháp này trong
bài toán hình học phẳng và là tiền đề để các em học tốt hơn trong chơng trình
hình học lớp 12. Thực tế cho thấy nhiều bài toán hình học phẳng giải bằng PPTĐ
cho lời giải ngắn gọn, dễ hiểu hơn so với các phơng pháp khác.
Vậy khi giải bằng PPTĐ học sinh cần biết cách phiên dịch yêu cầu và đề bài
của bài toán sang ngôn ngữ toạ độ, sau đó dùng kiến thức toạ độ để giải toán,
cuối cùng là chuyển kết quả từ ngôn ngữ toạ độ sang ngôn ngữ hình học. Cần h-
ớng dẫn cho học sinh chọn trục toạ độ Đecac thích hợp.
Do trình độ còn hạn chế và thời gian làm bài viết này còn ít nên bài viết này
không tránh khỏi sự sơ xuất mong các thầy cô và các bạn thông cảm.
Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn thầy Bùi Đức Thọ và các thầy cô trong
tổ Toán trờng THPT Dơng Xá đã tận tình hớng dẫn em để hoàn thành bài viết
này và dạy dỗ em trong suốt thời gian thực tập .
17