I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bằng thực tiễn lý luận đã khẳng định kiến thức tọa độ là cần thiết và không
thể thiếu trong chương trình toán THPT.
Phương pháp tọa độ (PPTĐ) là phương pháp cơ bản để giải các bài toán về
hình học và đại số, nhìn thấy rõ nhất là ở các bài toán hình học lớp và hình học
không gian lớp 12 ứng dụng phương pháp tọa độ, hay hơn nữa là các bài toán về
tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất, hoặc bất đẳng thức, phương trình và bất phương
trình…
Để thấy các em thấy được tầm quan trọng của phương pháp tọa độ - phương
pháp chuyển từ hình học Oclit sang việc nghiên cứu nó bằng công cụ đại số và
giải tích, tôi chọn đề tài này nhằm hướng dẫn học sinh khối THPT có thêm một
phương pháp nữa để giải toán.
Trong thực tế, một số bài toán sẽ được giải quyết nhanh gọn, dễ hiểu hơn nếu
ta sử dụng PPTĐ để giải so với các phương pháp sơ cấp khác.
II. Mục đích nghiên cứu
Với những lý do trên tôi đã chọn đề tài này nhằm mục đích sau:
- Đề xuất phương án xây dựng quy trình giải toán bằng PPTĐ
- Nêu một số bài toán sử dụng PPTĐ và ví dụ minh họa
III. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng: Học sinh khối THPT
- Phạm vi: Chương trình toán ở THPT
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nhắc lại các kết quả của PPTĐ
- Xây dựng quy trình giải toán bẳng PPTĐ.
- Thực hành
V. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận
- Tổng kết kinh nghiệm
- Thực nghiệm
NỘI DUNG

( )AB kCD k R =
uuur uuur
( với vectơ
AB
uuur
có giá là a,
CD
uuur
vectơ có giá là b )
e) Ba điểm A, B, C thẳng hàng
( )AB kBC k R =
uuur uuur
f) Đờng thẳng a vuông góc với đờng thẳng b
. 0AB CD =
uuur uuur
( với vectơ
AB
uuur
có giá là a,
CD
uuur
vectơ có giá là b )
g) Tính độ dài đoạn thẳng AB
Sử dụng công thức
2
AB AB AB= =
uuur uuur
2.Diễn đạt ngôn ngữ vectơ bằng ngôn ngữ toạ độ
Trong hệ trục toạ độ Oxy
a)

với A ( x
1
; y
1
) và B ( x
2
; y
2
)
c)
1 2 3 1 2 3
0 ( ; )
3 3
x x x y y y
GA GB GC G
+ + + +
+ + =
uuur uuur uuur r

với A ( x
1
; y
1
) , B ( x
2
; y
2
) và C ( x
3
; y

toán
hình học bằng phơng pháp toạ độ
I. Một số chú ý trong giảng dạy vấn đề PPTĐ
1. Cần hớng dẫn học sinh ôn tập làm cho học sinh nắm vững kiến thức vectơ
đặc biệt là các kiến thức về toạ độ của các phép toán trên các vectơ để làm
cơ sở cho việc nghiên cứu toạ độ .
2. Cần cho học sinh thấy rõ sự tơng ứng 1 1 giữa các tập hợp điểm và tập
hợp số.
-Trên đờng thẳng : mỗi điểm ứng với một số thực xác định.
-Trên mặt phẳng : mỗi điểm ứng với một cặp số thực sắp thứ tự.
Từ đây dần dần làm nổi bật cho học sinh thấy đợc rằng mỗi hình trong mặt
phẳng là một tập hợp điểm sắp thứ tự theo một quy tắc nào đó, do vậy mỗi
hình đó đợc xác định bởi một hệ rằng buộc nhất định tơng ứng nào đó về mối
liên hệ giữa các toạ độ của các điểm trên hình đó, thể hiện học sinh phải có
các kỹ năng cơ bản sau :
+ Khi lấy M thuộc hình H thì các toạ độ của M phải thoả mãn hệ rằng buộc
về các toạ độ điểm của hình H.
+ Ngợc lại nếu có điểm M có toạ độ thoả mãn hệ rằng buộc về các toạ độ
điểm của hình H thì M thuộc hinh H.
II. Hớng dẫn học sinh giải toán bằng PPTĐ
Với những bài toán hình học phẳng có chứa các quan hệ hình học : thẳng
hàng, song song, vuông góc hay có chứa các yếu tố khoảng cách, tính góc,
nếu ta chọn hệ toạ độ thích hợp thì ta có thể chuyển về bài toán đại số với
quan hệ giữa các số và giữa các vectơ, giữa các phép toán. Các bài toán này
rất có khả năng tìm ra đợc lời giải, thậm chí còn rất ngắn gọn.
Việc giải bài tập bằng PPTĐ đòi hỏi học sinh phải đợc luyện tập vận dụng
tổng hợp các kiến thức liên quan.
Học sinh cần nắm đợc quy trình :
-
Chọn hệ trục toạ độ thích hợp ( đây là vấn đề mấu chốt của bài toán, nếu

.
Sau đó xét
.GI CM
uur uuuur
.
Lời giải :
-
Gọi O là trung điểm cạnh đáy BC
-
Dng hệ toạ độ Oxy ( nh hình vẽ
)

- Các điểm A, B, C có toạ độ
A( 0 ;h ) , B ( - a ; 0 ), C ( a ; 0 ).
( ở đây giả sử BC = 2a, Oa = h ).
Do M là trung điểm của AB nên M
( ; )
2 2
a h

M là trọng tâm
AMCV
1 1
( ) (0 )
3 3 2 6
1 1
( ) ( 0 )
3 3 2 2
G A C M
G A C M

mà
AB
uuur
( 0 ; - h )
Theo giả thiết
. 0IM AB IM AB =
uuur uuur uuur uuur
Hay
0
( ).( ) ( ).( ) 0
2 2
a h
a y h

+ =2 2
0
2 2
0
0
2 2
2
a h
y h
h a
y
h
+ =

2 2 2 2
0.
4 4 4 4
a h h a
IGCM

= + + =
uur uuuur
Vậy
IG CM
uur uuuur
( đpcm ).
Chú ý : Cách giải trên không phụ thuộc vào góc A là nhọn, vuông hay tù. Nếu
giải bằng phơng pháp toán học thuần tuý, thì khi vẽ hình thì phải xét 3 trờng hợp
trên. Đó cũng chính là lợi thế của PPTĐ.
Bài 2 : Cho hình vuông ABCD cạnh a, M, N lần lợt là trung điểm của DC và CB.
Chứng minh rằng
AM DN
.
Giải :
Hớng dẫn :
-
Để cho bài toán đợc đơn giản nhất ta chọn hệ trục toạ độ sao cho D trùng với
O, 2 cạnh AD, DC nằm trên 2 truc ox và oy.
-
Tìm toạ độ của M, N
-
Xét
.AM DN
uuuur uuur

PQ RS
và giao điểm của chúng nằm trên 1 trong 2
đờng chéo của hình chữ nhật ABCD .
Giải :
Hớng dẫn :
-
Nếu gọi O là tâm hình chữ nhật ABCD thì O cũng là tâm đờng tròn ngoại tiếp
hình chữ nhật đó.
-
Do đó ta chọn gốc trục toạ độ là O, các trục thì song song với các cạnh của
hình chữ nhật.
-
Tìm toạ độ của P, Q, R, S theo toạ độ của A, B, C, D.
-
Viết phơng trình của PQ, RS , AC, BD.
Lời giải :
- Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD
( tức cũng là tâm của đờng tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ).
- Dựng hệ toạ độ Oxy( nh hình vẽ ),( trục ox, oy lần lợt song song với AD,
AB ).
- Giả sử bán kính đờng tròn là R. Phơng trình đờng tròn : x
2
+ y
2
= R
2

- Trong hệ trục toạ độ này giả sử toạ độ các đỉnh ABCD của hình chữ nhật
là : A (-a;-b), B (-a;b), C (a;b), D (a;-b)
AC

0
), R (x
0
;b), S (a;y
0
).
Suy ra
0 0 0 0
( ; ), ( ; ).PQ a x y b RS a x y b= + =
uuur uuur
Nên
2 2 2 2
0 0
0PQRS a x y b= + + =
uuuruuur
Vậy
PQ RS
.

Đờng thẳng PQ đi qua P (x
0
;-b) và có vectơ pháp tuyến
0 0
( ; )n y b a x= + +
r
Nên có phơng trình PQ là :
0 0 0
( )( ) ( )( ) 0b y x x a x y b+ + + + =

0 0 0 0

Suy ra bx
I
+ ay
I
= 0 (3)
Do điểm B (-a;b), D (a;-b) nên phơng trình đơng chéo BD có dạng :
( b + b )( x + a ) - ( a + a ) ( y + b ) = 0
Hay ay + bx = 0. Từ đẳng thức (3) chứng tỏ I ( x
I
; y
I
)

BD (đpcm ).
Dạng 2 : Bài toán quỹ tích
Bài 4 : Cho
ABCV
, M là điểm di động trên cạnh BC. Hạ MN, PQ tơng ứng
vuông góc và song song với AB ( N

AB, Q

BC ). Gọi P là hình chiếu của Q
trên AB, I là tâm của hình chữ nhật MNPQ.
Tìm quỹ tích tâm I khi M chạy trên cạnh AB.
Giải :
Hớng dẫn :
-
Gọi O là chân đờng cao hạ từ C xuống AB.
-


Toạ độ của điểm Q là nghiệm của hệ phơng trình
( ( ); )
1 ( )
y m y m
a
Q h m m
x y a
h
x h m
a h h
= =

+ = = Tơng tự ta có :
( ( ); )
b
M h m m
h

. Toạ độ của điểm P là
( ( );0)
a
P h m
h


= + =


(*)
Từ (1) suy ra
2
(1 )
I
x
m h
a b
=
+
(2) suy ra m = 2y
I
. Vì
0 m h
nên

2
0
0 (1 )
2
0
0 2
2
I
I
I

Bài 5 : Cho đờng tròn ( C ) có đờng kính AB không đổi, một điểm M di động
trên ( C ). Gọi H là hình chiếu của M trên AB. Tìm quỹ tích trung điểm I của
MH.
Giải :
Hớng dẫn :
-
Để phơng trình của đờng tròn đơn giản ta chọn hệ trục toạ độ có gốc O trùng
với tâm O của đờng tròn
-
Trục Ox đi qua AB
-
Tìm toạ độ trung điểm I của MH theo toạ độ điểm M
-
Tìn mối liên hệ giữa tung độ và hoành độ của điểm I
Lời giải :
- Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( nh hình
vẽ )
- Đặt R =
2
AB
, R là không đổi .
Đờng tròn ( C ) có phơng trình :

2 2 2
x y R+ =
.
Xét điểm M ( x
0
; y
0

y
I x
y
y y
y
=

=




=
=



9
Thay vào (1)
2 2 2
4
I I
x y R + =
hay
2 2
2 2
1
(2 )
I I
x y

- Bài toán này có dáng dấp của 1 bài toán đại số tìm điểm cố định, vì thế rất
thuận tiện khi ta đại số hoá bằng PPTĐ.
- Để đơn giản ta chọn ngay hệ trục toạ độ là Oxy trùng với góc Oxy.
Lời giải :
- Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( nh hình
vẽ )
- Trong hệ trục toạ độ này giả sử
A (a; 0), B (a; c), C ( 0; c)
Đặt a + c = b = const
( vì chu vi OABC không đổi ).
Phơng trình đờng thẳng AB theo
đoạn
chắn là :
1
x y
a c
+ =

c
y x c
a

= +
10
Phơng trình đờng thẳng d qua B (a; c) và
vuông góc với AC có dạng :

2
( )
a a a

x b x b
y b y b
= =
= =

Do b không đổi chứng tỏ d luôn đi qua diểm cố định M ( b; b ). (đpcm )
Dạng 4 : Một số bài toán áp dụng khác
Bài 8: Cho
ABCV
vuông tại A, AB = c, AC= b. M nằm trên cạnh BC sao cho
góc BAM bằng

. Chứng minh rằng
cos sin
bc
AM
c b

=
+
.
Giải :
Hớng dẫn :
-
Để thuận tiện ta chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho 2 cạnh góc vuông của nằm
trên 2 trục toạ độ
-

;
sinAM

).
11
Vì M

BC nên vectơ
CM
uuuur
và
CB
uuur
vectơ cùng
phơng mà
CM
uuuur
(
cosAM

sinAM

- c )
và
CB
uuur
( b; - c ) nên
cosAM

.(- c) - (

1
B bằng 1 vuông. Chứng minh rằng AB
1
= AC
1
.
Giải :
Hớng dẫn :
-
Do bài toán cho trực tâm H nên ta chọn hệ trục toạ độ Oxy sao cho H nằm
trên Oy, BC nằm trên Ox.
-
Giả sử B
1
( x
1
; y
1
)
-
Dựa vào điều kiện vuông góc tính AB
1
theo toạ độ điểm A, B, C và B
1
-
Tơng tự tính AC
1
Lời giải :
- Chọn hệ trục toạ độ Oxy ( nh hình
vẽ )

hy
1
bc = 0

cx
1
hy
1
= bc (1)
Ta có
1
AB
uuur
= ( x
1
; y
1
h ),
1
CB
uuur
= ( x
1
c; y
1
)
12
Vì
1 1 1 1
0AB CB AB CB =

- 2hy
1
+ h
2
= ( x
1
2
+ y
1
2
- hy
1
- cx
1
) + ( cx
1
hy
1
) + h
2
(3)
Thay (1),(2) vào (3) ta đợc AB
1
= bc + h
2
Tơng tự ta có : AC
1
= bc + h
2
Từ đó suy ra AB