T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Chuyên đ 8: “PPT trong không gian”

Cao V n Tu n – 097530627

NG D NG PH
NG PHÁP T A
GI I TOÁN
HÌNH H C KHỌNG GIAN
Các em h c sinh nên nh r ng “Không có ph ng pháp gi i nào là v n n ng”, do đó các em ph i
không ng ng luy n t p đ t o ra s i dây liên k t gi a các ph n ki n th c c a mình, khi đó các em m i có
th v n d ng linh ho t các ph ng pháp sao cho bài gi i c a mình khoa h c nh t, hay nh t.
i v i m t s lo i hình chóp, hình l ng tr trong m t s bài toán ta có th s d ng vi c đ t m t h
tr c t a đ thích h p, đ chuy n t vi c gi i hình h c không gian t ng h p thu n túy (mà vi c này có th
g p nhi u khó kh n trong d ng hình, tính toán v i các em h c sinh) sang vi c tính toán d a vào t a đ .
Cách gi i bài toán nh v y g i là ph ng pháp t a đ hóa.
i v i ph ng pháp t a đ hóa, vi c tính toán có th s dài dòng và ph c t p h n ph ng pháp
hình h c không gian thu n túy, tuy nhiên cách gi i này th c s r t h u ích cho nhi u b n h c sinh mà
vi c n m v ng nh ng ph ng pháp trong cách gi i hình h c không gian còn y u ho c nh ng bài toán
hình không gian v kho ng cách khó; v xác đ nh GTLN, GTNN; các bài toán v qu tích đi m,...
có th làn t t đ c các bài toán gi i b ng ph ng pháp t a đ hóa thì các em h c sinh ph i n m
ch c các ki n th c (c th là các công th c tính) c a ph n “Ph ng pháp t a đ trong không gian” và
nh ng ki n th c c b n nh t c a hình h c không gian.
Sau đây th y s trình bày c th ph
không gian”.
1. Ph

ng pháp: “ ng d ng ph

ng pháp t a đ đ gi i toán hình h c


 
+ V i hình h p ch nh t:
A  0;0;0  , B  a ;0;0 

C  a ; b;0  , D  0; b;0 

A  0;0; c  , B  a ;0; c 
C a ; b; c , D 0; b; c
 

 

https://www.facebook.com/ThayCaoTuan

1


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Chuyên đ 8: “PPT trong không gian”

Hình h p ABCD.ABCD có
đáy là hình thoi.

Hình chóp S.ABCD có:
+ ABCD là hình ch
hình vuông.
+ SA (ABCD).



B   0; AB ;0 


  AD AB
;
; SO 
S  
2

  2
C  AD ; AB ;0



D   AD ;0;0 


2


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Chuyên đ 8: “PPT trong không gian”

Hình chóp S.ABCD đ u có:
+
áy là hình thoi, hình
vuông.
+ SO vuông góc v i đáy.

B   0; AB ;0 

C   DH ; AB  AH ;0 

D   DH ; AH ;0 

S   0;0; SA 



A   0;0;0 
B  0; AB ;0




C   DH ; AB  AH ;0 

D   DH ; AH ;0 

S   DH ; AB  AH ; SO 

  2
2



3



C   CH ; AH ;0 

a 3 a 

; ;0 
  
2
2 



S   OH ; AH ; SO 

   a 3 ; a ; SO 
 6 2






Trên đây là m t s d ng c b n c a m t s lo i hình kh i mà chúng ta có th t a đ hóa m t cách
đ n gi n. Các em l u ý r ng chúng ta có th t a đ hóa m t kh i đa di n b t k . Ch c n chúng ta xác
đ nh đ c đ ng cao c a kh i đa di n đó và thông th ng trên lý thuy t ta đ u đ t g c t a đ là chân
đ ng cao c a kh i đa di n; tr c cao (tr c Oz) là đ ng cao, sau đó ta d ng hai tia còn l i. Nh ng trong
th c hành gi i toán chúng ta c n c tùy bài toán đ đ t h tr c mi n sao chúng ta có th tìm các t a đ
các đ nh liên quan đ n hình kh i c n tính có th tìm đ c m t cách d dàng ho c không quá ph c t p.
Ví d nh bài toán sau: (Các em hãy xem và suy ngh nên đ t h tr c ra sao).
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đ u c nh a, m t ph ng (SBC) t o v i đáy góc 60 0. M t
bên (SAB) vuông góc v i đáy, tam giác SAB cân t i S. Tính th tích kh i chóp S.ABC và kho ng cách


C

x

O
B
y

Tính toán t a đ các đi m (c n c vào ph n tr

3a 


O  0;0;0  , S  0;0; 4 



c), ta có: 
A  0;  a ;0  , B  0; a ;0  , C(a ;0;0)
 

 
2   2 

Áp d ng công th c tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo nhau: SA, BC ta có:
SA,BC  .AB


, ta thu đ c k t qu c n tính.



u

ng trình m t ph ng   đi qua A và vuông góc v i  .

+ Tìm t a đ giao đi m H c a   và  .
+ d(M, d) = MH.
c) Kho ng cách t đi m đ n m t ph ng
Kho ng cách t M0  x0 ; y0 ; z0  đ n m t ph ng  P  : Ax  By  Cz  D  0 là:

d  M 0 , P   

Ax0  By0  Cz0  D
A 2  B2  C2

d) Kho ng cách gi a hai m t ph ng song song
nh ngh a: Kho ng cách gi a hai m t ph ng song song là kho ng cách t m t đi m b t kì c a
m t ph ng này đ n m t ph ng kia.
https://www.facebook.com/ThayCaoTuan

5


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Chuyên đ 8: “PPT trong không gian”
e) Kho ng cách gi a hai đ ng th ng chéo nhau
Cho hai đ ng th ng chéo nhau 1 và  2 , bi t:


+ Khi đó: d  1 , 2   d  2 ,     d  M,    v i M   2 .
C BI T: Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng AB, CD khi bi t t a đ c a chúng:

 AB,CD  AC


d  AB,CD  
 AB,CD 


f) Kho ng cách gi
Kho ng cách gi
th ng này đ n đ

 quay v d
g) Kho ng cách gi

a 2 đ ng th ng song song
a 2 đ ng th ng song song b ng kho ng cách t 1 đi m b t kì thu c đ
ng th ng kia.
ng toán kho ng cách t 1 đi m đ n đ ng th ng .
a đ ng th ng  vƠ m t ph ng   (v i  //   )

ng

d ,   d M,  v i M 
h) Góc gi a hai đ ng th ng
Cho hai đ ng th ng: 1 có m t vect ch ph

ng u1   x1; y1; z1 


x y z . x y z
2
1

2
2

i) Góc g a hai m t ph ng
G i  là góc gi a hai m t ph ng  P  : Ax  By  Cz  D  0 và  P' : A'x  B'y  C'z  D'  0
cos   cos  nP , nQ  

nP .nQ
nP . nQ

A.A'  B.B' C.C '



2

j) Góc gi a đ ng th ng vƠ m t ph ng
Cho:
ng th ng  có m t vect ch ph

2

2

0


2

 0    90 
0

A B C . x  y  z
2

2

2

k) Di n tích thi t di n
1
 AB, AC .

2
  AB, AD .

+ Di n tích tam giác ABC: SABC 
+ Di n tích hình bình hành: SABCD
https://www.facebook.com/ThayCaoTuan

6


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Chuyên đ 8: “PPT trong không gian”


C

B
a) M c đích c a ta là ch ng minh m t đ ng th ng
vuông góc v i m t m t ph ng. Ta s ch ra r ng
VTCP c a đ ng th ng này cùng ph ng v i VTPT
c a m t ph ng  ABD  .
D'
Ta có: AC'   a ; a ; a 

 A'B, A'D   a 2 ; a 2 ; a 2  là véc t


c a m t ph ng  ABD  .

A'=O
pháp tuy n

x

B'

y

C'

Ta th y hai vrct AC' và  A'B, A'D  cùng ph ng.
Vì th ta có AC vuông góc v i m t ph ng  ABD  .
b) Tính th tích t di n ANBD .


sau: cos  a , b   cos a , b 
và d (a , b) 
.
a , b 
a b



 

https://www.facebook.com/ThayCaoTuan

7


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Chuyên đ 8: “PPT trong không gian”
V i a , b là các véc t ch ph ng c a đ
đi m A và B.

Cao V n Tu n – 097530627
ng th ng a,b l n l t đi qua hai

ng th ng a và b.

ng th ng AN và BD là: cos  AN, BD  =

Do đó ta có góc gi a hai đ

Vì th ph

ng trình m t ph ng  ACD  là: x  z – a  0 .

Áp d ng công th c kho ng cách t m t đi m đ n m t ph ng ta có: d  C,  ACD   

a
2

Ví d 2. Cho hình h p ch nh t ABCD.ABCD có c nh AB  1, AD  1, AA  2 .
a) Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng AC và BD.
b) G i  Q  là m t ph ng qua A vuông góc v i AC . Tính di n tích c a thi t di n c a hình chóp
A.ABCD c t b i m t ph ng  Q  .

Gi i:
Chúng ta đ t h tr c t a đ gi ng nh ví d 1. T đây ta tính đ
A  0;0;0  , B 1;0;0  , D  0;1;0  , A 0;0; 2





a) Dành cho các em t tính toán.
b)
V i bài toán này, các em có th vi t
đ c ph ng trình m t ph ng  Q  , các
đ ng th ng: AB, AC, AD và tìm giao

đi m c a nó v i m t ph ng  Q  , ta có
B'


A=O
C

8


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Chuyên đ 8: “PPT trong không gian”
Cao V n Tu n – 097530627
Ví d 3: Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có c nh BD  2 2 . M t bên t o v i m t đáy góc 600 .
a) Tính th tích kh i chóp, xác đ nh tâm và bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp.
b) Tính góc và kho ng cách gi a hai đ ng th ng SB và AC.
c) Tính góc gi a hai m t ph ng  SAB và  SCD  .
d) G i I là tr ng tâm tam giác SAB, tính kho ng cách t I đ n các m t ph ng  ABCD  và  SCD  .
Gi i:
Ch n h tr c t a đ nh hình v , ta có t a đ
các đ nh nh sau:
O  0;0;0  , A 0;  2;0


B 2;0;0 , D  2;0;0

C 0; 2;0 ,S 0;0; 3

n đây công vi c còn l i là tính toán, th y đ
dành cho các em.




Các em có th th y r ng n u nh t a đ hóa m t kh i đa di n đ c thì vi c gi i nh ng bài toán hình
không gian tr nên đ n gi n h n r t nhi u.
Sau đây chúng ta xét m t s kh i đa di n mà vi c t a đ và tính toán ph c t p h n.
Ví d 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi c nh là 5 tâm O, SO vuông góc v i đáy;
các c nh bên SA  2 3,SB  3 . G i M là trung đi m c a c nh SC.
a) Tính góc và kho ng cách gi a hai đ ng th ng SA và BM.
b) M t ph ng  AMB c t SD t i N. Tính th tích kh i chóp S.ABMN.
Gi i:
Ch n h tr c t a đ nh hình v . Ta có t a đ các
O 0;0;0 , A 2;0;0 , B(0;1;0)
 

 

đ nh nh sau: C  2;0;0  , D  0; 1;0 

S 0;0; 2 2 , M 1;0; 2



 

a) Ta có cos  SA,BM  

SA.BM

z





b) Vi t ph

ng trình m t ph ng  AMB và ph

O
By

A

ng trình đ

ng th ng SD. T đó tìm đ

ct ađ

giao đi m D c a  AMB và SD.
Ta có: VS.ABMN  VS.AMB  VS.AMN 

1
1
SA,SB .SM  SA,SN  .SM  ...



6
6

https://www.facebook.com/ThayCaoTuan

a 21
2a 57
S: b) d  O,  SCD   
b) d  A, SBC   
19
14
BƠi 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông, đ ng cao AB, BC = 2a, SA = a. SA
vuông góc v i đáy. Bi t SC vuông góc v i BD.
a) Tính đ dài đo n th ng AD.
b) Tính th tích kh i chóp S.ABCD
c) G i M là đi m trên đo n SA, AM = x, Tính đ dài đ ng cao DE c a tam giác BDM theo a, x.
Tìm x đ DE có giá tr l n nh t, nh nh t.

a 3
khi x  a
DE max 
a
2
c) 
S: a) AD 
2
DE  a
khi x  0
 min 2
BƠi 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông t i C, v i AB = 2a, BAC  300 ,SA  2a và
vuông góc v i đáy.
a) Tính th tích kh i chóp S.ABC.
b) G i M là đi m di đ ng trên c nh AC sao cho AM = x, 0  x  a 3 . Tính kho ng cách t S đ n



BƠi 10: Cho hình h p ch nh t ABCD.A1B1C1D1 có AB = a, AD = 2a, AA1 = a.
a) Tính kho ng cách gi a hai đ ng th ng AD1 và B1C.
AM
b) G i M là đi m chia đo n AD theo t s
 3 . Hãy tính kho ng cách t M đ n m t ph ng
MD
(AB1C).
c) Tính th tích kh i t di n AB1D1C.
BƠi 11: Cho l ng tr đ ng ABC.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân t i B , bi t BA= a. c nh bên
AA '  a 2 . G i M là trung đi m c a c nh BC. Tính th tích kh i l ng tr và kho ng cách gi a hai
đ ng th ng AM, BC .
BƠi 12: Cho hình l ng tr ABC.ABC có đ dài c nh bên là 2a, đáy ABC là tam giác vuông t i A,
AB  a , AC  a 3 , hình chi u vuông góc c a A lên (ABC) là trung đi m c a BC. Tính theo a th tích
kh i chóp A.ABC và tính cos c a góc gi a hai đ ng th ng AA và BC .
BƠi 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông c nh 2a, SA = a, SB  a 3 . M t ph ng
(SAB) vuông góc v i đáy. G i M, N l n l t là trung đi m c a AB và BC. Tính th tích kh i chóp
S.ABCD và cos c a góc gi a hai đ ng th ng SM và DN.

https://www.facebook.com/ThayCaoTuan

11


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

GI I BÀI TOÁN HÌNH H C KH4NG GIAN B NG PH

NG PHÁP T A Đ

Cho hình lăng tr đ ng “”C “ ” C đ{y “”C l| tam gi{c vuông t i A, AB  a,AC  2a,AA'  b .

đó

A  0;0;0  ,

t đi

z

B a;0;0  ,

A'



b  a
C  0;2a;0  ,A'  0;0;b  ,B'  a;0;b  , C'  0;2a;  , M  a;0;  ,N  ;0;0 
2  2



C'

B'

a. Th tích c a t di n “ CMN l|
V

1
A'C,A'M  .A'N



x

a2 b
3a2 b
  A'C,A'M  .A'N  
 0  2a2 b 


2
4
V y VA 'C MN 

1 3a2 b a2 b

6 4
8

b. ởa có B'C   a; 2a;c , AC'   0;2a;b 
B'C  AC'  B'C.AC'  0  0  4a2  b2  0  b  2a 

b
2
a

Bài
Cho hai hình ch nh t “”CD v| “”EF
trong hai m t ph ng vuông góc v i nhau,
AB  2a,BC  BE  a ởrên đ ng chéo “E l y đi m M v| trên đ ng chéo ”D l t đi m N sao cho
AM BN

B 0;2a;0 , C a;2a;0 , D a;0;0 , E  0;2a;a  , F  0;0;a 

Ta có

AM
 k  AM  kAE, k   0;1
AE

M| AM v| AE cùng h
c a M l|

Tr n Đình C

M

y

O A

ng nên AM  kAE đo đó t a đ

x M  kx E  0

y M  ky E  2ka hay M  0;2ka;ka 
z  kz  ka
E
 M

E



ởa có AE   0;2a;a 

BD   a; 2a;0 
4a2  8ka2  ka2  0

4
MN.AE  0

MN l| đo n vuông góc chung c a “E v| ”D  

k
2
2
2
9
MN.BD  0 
 ka  4a  8ka  0


4
9
ng “”CD “ ” C D c nh b ng a ởrên c{c c nh ”” CD “ D l n l

V y MN l| đo n vuông góc chung c a “E v| ”D khi k 
Bài

Cho hình l p ph

t l y c{c


A

MP   a;a  x;x 

x

B


AC'.MN  0 
AC'  MN
 AC'   MNP  đpcm


AC'.MP
0
AC'
MP







D'

y



D u

 
2 
2
4 
8



V y min  S 

3a2 3
khi M, N, P l n l
8

Cho hình l p ph

2 x2  ax  a2

x y ra  x 



a
2

t l| trung đi m c a c{c c nh ”” CD “ D


có

nh

hình

D  0;a;0 , A' 0;0;a , B' a;0;a , C' a;a;a , D' 0;a;a

v

ta

A  0;0;0  , B a;0;0  ,

có



a. ởa có A'C   a;a;  a  , AB'   a;0;a  , AD'   0;a;a 

z

 A'C.AB'  0 v| A'C.AD'  0
 A'C  AB' v| A'C  AD'

D'

A'

 A'C   AB'D'  đpcm


 2 

B


 a

a
 A'N   a;0;   , A'M   0; ; a  v| A'C   a;a; a 
2

 2


C

x

 a2
a2 
a3
a3 3a3
  A'N,A'M    ;a2 ;  v|  A'N,A'M  .A'C   a3  

  4


2 
4




z

CS .

S

Khi đó ta có A  0;0;0  , B 0;a 2;0 , C a 2;0;0 ,



S a 2;0;a 2



M
y
A

B

N
C
x

Tr n Đình C

Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT

M

K

N

J

t

t

x
C

A

H

A

I

C

x

Vì tam gi{c ỞC“ vuông c}n C nên Vì tam gi{c INC vuông c}n
MH“K l| hình vuông có c nh
NC 2 t 2


t 2 t 2
;
a. ởa có MN   2  a  t  ;



2
2


 MN  2  a  t 

2

2

 2a  2a2
t2 t2
2
   3t 2  4at  2a2  3  t   
a
2 2
3 
3
3


Đ ng th c x y ra khi t 



ởa còn có SA  a 2;0;a 2 v| BC  a 2; a 2;0




MN.SA  0 
MN  SA



MN.BC  0 
MN  BC

V y MN l| đ
Bài

ng vuông góc chung c a Ở“ v| ”C đpcm

Cho kh i lăng tr tam gi{c đ u có c nh đ{y b ng a v| AB'  BC' ởính th tích c a kh i lăng tr .
Gi i

G i O l| trung đi m c a AC.
Ch n h tr c t a đ có g c t a đ l| O tia Ox đi qua “ tia Oy đi qua ”

Tr n Đình C

Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT

4

2
2







A'

 h  AA'  BB'  ...
 a a 3 
 a a 3 
; h  v| BC'    ; 
;h
ởa có AB'    ;
 2 2



2





y

a2 3a2


ng th ng “C v| “ ”

b. Ch ng minh AC'   MNP  v| tính th tích c a kh i t di n AMNP.
Gi i
Ch n h tr c t a đ

“ xyz nh

hình v

ta có A'  0;0;0  , B1;0;0  , C' 1;1;0  , D'  0;1;0  , A  0;0;1 ,

1


 1 
1
B1;0;1 , C 1;1;1 , D  0;1;1 , M  ;0;0  , N  1; ;1 , P  0;1; 
2
 2 
2



a. ởa có AC'  1;1; 1 v| A'B  1;0;1

 AC'.A'B  0

 Góc gi a hai đ

 3 3 3
1
V   MN,MP  .MA v i  MN,MP     ;  ;  ,




6
 4 4 4

D'

A'

 1

MA    ;0;1
 2


P
y

M

1 3
3
3
V y V . 0 
đvtt)


ng v i vec-t HS

S

H l| trung đi m c a AD) khi đó A  0;0;0  , B a;0;0  ,

C  a;a;0  ,

D  0;a;0  ,

 a a 3
S  0; ;
,
 2 2 



a a a 3
M ; ;
,
2 4 4 



M

 a  a

N  a; ;0  , P  ;a;0 

x

AM.BP  0  AM  BP đpcm
Th tích c a CMNP l| V 

1
CM,CN  .CP

6


 a

CP    ;0;0 
 2


ởa có 
CM    a ;  3a ; a 3  , CN   0;  a ;0 



 2 4 4 
2 





 a2 3 a2 


T

v|

z

(1)
S

(2)

suy ra IO l| đo n vuông góc chung c a IJ v| “C

J

b. Góc gi a c nh bên ỞD v| đ{y “”CD l| SDO  450

I

 ởam gi{c ỞOD vuông c}n t i O
a 2
2
Ch n h tr c t a đ Oxyz có O trùng v i t}m c a hình vuông
“”CD tia Ox đi qua C tia Oy đi qua D v| tia Oz đi qua Ở \

K

A



6
17


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

 a 2  
a 2 
a 2  a 2 a 2  a 2 a 2 
D  0;
;0  , S  0;0;
;
;
;0 
 , I  0;0;
 , J  0;
, K  

 

2
2  
4  
4
4   4
4

 


4  
32
4
4 




a 2 a 2 

AK   4 ; 4 ;0 




V y VAIJK 

1 a3 2 a3 2


6
32
192

Bài
Cho kh i l p ph ng “”CD “ ” C D có c nh b ng a K l| trung đi m c a DD v| O l| t}m c a
hình vuông ““ ” ” ởính th tích c a kh i t di n “IK“ Ởuy ra kho ng c{ch t “ đ n m t ph ng
“” K
Gi i


2 2 2


B'

B

 a
a a 
a
  AI,AK     ;  ;    AI,AK  .AA' 

  2

4 2  
2

2

K
D

A

a a

a
ởa có AI   ;0;  , AK   0;a;  , AA'   0;0;a 
2
2 2




 



 d A',  AB'K   d A',  AIK  
S

AIK



3VA '.AIK
S

AIK

v i VA '.AIK 

a3
v|
12

1
1 a4 a4 a4 3a2




T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

Ch n h tr c t a đ “ xyz nh hình v .

z

ởa có A'  0;0;0  , B'  a;0;0  , C'  a;a;0  ,
D'  0;a;0  , A  0;0;a  , B a;0;a  ,

a a
 a 
C  a;a;a  , D  0;a;a  , M  0; ;a  , N  ;a; 
 2 
2 2

Ph

N

M t

c u

Ở

đi

qua



B

ng trình m t c u (S) ngo i ti p t di n ”C MN có d ng:

”{n kính m t c u nói trên l| R 

M

A

C'

x

nên

y

2 a  2 a   2a2
 a2  0  a 2  2 a  0  2 a   0
1


2 a  2 a   2a2
 a2  a2  0  2 a  2 a  0   0
2


2


 4
4
4


(1) tr (2)  

(5)

(2) tr (3) k t h p v i  5   2   

3a
4

(6)

(3) tr (4) k t h p v i

a
4

(7)

(6) tr (7)  
Thay ,

v|o

ta đ




2

 

a2 a2 a2
a 35
   2a2 
16 16 16
6

Bài
Cho hình chóp t gi{c đ u Ở “”CD có c nh đ{y b ng a v| chi u cao b ng h. G i I l| trung đi m
c a c nh bên ỞC ởính kho ng c{ch t Ở đ n m t ph ng (ABI)
Gi i

z

Ch n h tr c t a đ Oxyz sao cho g c t a đ l| t}m O c a hình
vuông “”CD tia Ox ch a OA, tia Oy ch a O” v| tia Oz ch a
OS.

S

a 2
  a 2   a 2

;0;0  , B  0;
;a  , C  

C
O

ng trình c a mp(ABI)

x

A

B

y

Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT

8
19


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

x
a 2
2



y
a 2
2


 
  1
 
 a 2
 
  2

2

  2
 1
  
 h
  3 


2



2
a2



2
a2




 ” l| trung đi m c a AE

D

A

  AE  2AB  2 Khi đó

A  0;0;0  , E  2;0;0  , D  0;1;0  , A'  0;0;1 .

Mp “ MD c)ng l| m t ph ng (“ ED nên ph
m t ph ng “ MD l|

D'

B

ng trình c a





C

E

x y z
   1  x  2y  2z  2  0

ởa có BAD  1200  ABC  600

S

“”CD l| hình thoi c nh b ng a v| ABC  600
N

 “”C “DC l| c{c tam gi{c đ u c nh b ng a.
 OA  OC 

Ch n

h

a 3
a
v| OB  OD 
2
2

tr c

t a

đ

Oxyz

C



9
20


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

 a a 3   a 3 
 a
  a 3  
a 3 
C   ;0;0  , B  0;
;a 
;0  , D  0; 
;0  , N  0;
;0  , S  0;0;2a  , M   ; 

 4
 
 

4
4
2
2
 2
 


 

 a2 3 3a2 a2 3 
3a3 3 a3 3 a3 3
 SA,SM    


;
;
  SA,SM  .SN 

 

2
2
8  
8
8
2

a3 3
12
b. M t c u t}m O v| ti p xúc v i b n m t bên

V y VSAMN 

Ph







ng t ta c)ng có d O,  SBC   d O,  SCD   d O,  SDA   2a

3
67

V y t n t i duy nh t m t c u t}m O v| ti p xúc v i b n m t bên Ở“”

Ở”C

ỞCD

ỞD“ b{n kính

3
đpcm
67

c a m t c u n|y b ng 2a

Bài
Cho t di n O“”C có O“ O” OC vuông góc v i nhau t ng đôi m t v| OA2  OB2  OC2  3 .
ởính th tích c a OABC khi kho ng c{ch t O đ n m t ph ng “”C đ t gi{ tr l n nh t.
Gi i
2

Đ t OA  a, OB  b v| OC  c (a,b,c  0) ta có a  b2  c2  3
Ch n

h


ng trình mp “”C l|

hay bcx  acy  abz  abc  0





 d O,  ABC  

y
O

1
1
a

2



1
b

2



1




 1
 1
1
1
1
1
1
1
1
 a2  b2  c2  
   9  3 
 9


 3
2
2
2
2
2
2
2
2
b
c 
b
c 



 d O,  ABC  

3

x y ra  a2  b2  c2  1 hay a  b  c  1

D u



V y d O,  ABC 



đ t gi{ tr

l n nh t b ng

1
3

khi a  b  c  1 v| trong tr

ng h p n|y

1
abc 1
đvtt


z



S

a. Mp ”CM có vtpt
1 
. BC,BM   1;0;1
2 

a
V y ph ng trình c a mp ”CM l|
n

M

1 x  a  0  y  0   1 z  0   0 hay x  z  a  0





 d A,  BCM  

a
2

2


 

2  


 Kho ng c{ch gi a hai đ

b.



SC,SD  0;2a2 ;a2





 BS,CN  .SC
a3
a3
2a


ng th ng Ở” CN l| d  SB,CN  



2
3


l| góc gi a hai m t ph ng ỞCD v| Ở”C ta có cos 

G i

n.n'
n . n'



1
5. 5



1
5

1
1
2a3
c. Th tích c a kh i chóp Ở “”CD l| V  SABCD .SA  a2 .2a 
3
3
3
Mp(BCM) c t SD t i N ta có

 BCM    SAD   MN 
 BCM   BC,  SAD   AD  MN


a
3a2 2
AB  MN  .BM   a   .a 2 

2
2
2
4
2a  a



d S,  BCM  

12  12



1 3a2 2 a
a3
.
 V1  .

3
4
2
2 4

a



2a
a

3
4



3
5

2

ng cao BM.

Cho hình h p ch nh t “”CD “ ” C D có AB  AD  a , AA'  b . G i M l| trung đi m c a c nh
a. ởính th tích c a kh i t di n ”D“ M
b. ởìm t s

a
đ
b

 A'BD   MBD
Gi i

z

Ch n h tr c t a đ Oxyz có g c O  A c{c tia Ox Oy Oz l n


D'

A'

x

B

D

C

12
23

y


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com



 ab ab
b
2
BD   a;a;0  , BM   0;a;    BD,BM   ; ;  a 
2







Hai m t ph ng ”DM v| “ ”D vuông góc v i nhau
a2 b2 a2 b2
a

 a2  0  a  b   1
2
2
b
Bài
Cho hình chóp Ở “”CD có chi u cao SA  a đ{y “”CD l| hình thang vuông t i “ v| ”
AB  BC  a, AD  2a . G i E v| F l n l t l| trung đi m c a “D v| ỞC
 n1.n2  0 

a. ởính kho ng c{ch t “ đ n mp ỞCD v| th tích c a t di n SBEF.
b. X{c đ nh t}m v| tính b{n kính c a m t c u ngo i ti p t di n SCDE.
Gi i
Ch n h tr c t a đô Oxyz sao cho O  A c{c tia Ox Oy
Oz l n l t đi qua c{c đi m ” D Ở Khi đó

z

A  0;0;0  , B a;0;0  , C  a;a;0  ,

S

a a a


2a
11 4



x
x
y z

  1 hay
2a 2a a

E

A

D
B

y

C

2a 6
3

Th tích c a t di n Ở”EF l| V 

1

x2  y2  z2  2Mx  2Ny  2Pz  Q  0
Tr n Đình C

Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT

24 13


T m tài li u To n ? Chuy n nh - www.toanmath.com

a2  2Pa  Q  0

a2  a2  2Ma  2Na  Q  0
M t c u đi qua Ở C D E nên 
2
4a  4Na  Q  0
 2
a  2Na  Q  0
a
3a
3a
ng trình trên ta có M   , N   , P   , Q  2a2 .
2
2
2

Gi i h ph

 a 3a 3a 
V y m t c u ngo i ti p t di n ỞCDE có t}m I  ; ;  v| b{n kính

ởa có A  a;0;0  , B 0;b;0  , C  0;0;c , v i a  0, b  0, c  0

C

( a  OA , b  OB , c  OC )
a. Ch ng minh tam gi{c “”C có ba góc nh n

AB   a;b;0  , AC   a;0;c
y

 AB.AC  a2  0

O

V y góc “ c a tam gi{c “”C l| góc nh n.
Ch ng minh t ng t
l| c{c góc nh n.

c{c góc ” v| C c a tam gi{c “”C c)ng
A

b. Ch ng minh cos2  cos2  cos2  1
Ph

B

x

x y z
  1

2



b

2



b

2

1


1
2

c

 cos2 

1
2

a



c

, cos2 

1
a

2



c2
1
b

2



1
c2

V y cos2  cos2  cos2  1 đpcm
Tr n Đình C

Gv TH PT Gia H i, TP Hu SĐT

14
25