Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian

Nguyễn Thanh Lam

PHƯƠNG PHÁP CHỌN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Việc hướng dẫn học sinh giải toán không phải chỉ dừng lại ở việc cung cấp cho học
sinh những bài giải mẫu mà còn phải hướng dẫn cho học sinh suy nghĩ, nắm bắt được các
mối quan hệ ràng buộc giữa giả thiết và kết luận của bài toán, từng bước giúp học sinh chủ
động phân tích từng vấn đề và xác định các bước đi thích hợp. Từ thực tế giảng dạy, tôi đã
rút ra được một số kinh nghiệm về việc hướng dẫn học sinh lớp 12 phương pháp chọn hệ
trục toạ độ để giải một số bài toán hình học không gian, giúp các em cảm thấy thoải mái
tiếp thu và chủ động giải quyết các bài toán hình học không gian.
Tôi chọn chuyên đề này với mong muốn được cùng chia sẻ cùng đồng nghiệp, đồng
môn ; cùng chung sức để tìm ra biện pháp nâng cao chất lượng dạy và học môn toán .
II. THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI
1. Thuận lợi
Khái niệm vectơ trong không gian đã được đưa vào nội dung chương trình lớp 11,
làm công cụ cơ bản nghiên cứu quan hệ vuông góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng
với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng, tính góc và tính khoảng cách.
Việc sử dụng vectơ để xây dựng quan hệ vuông góc trong không gian làm cho cách
diễn đạt một số nội dung hình học được gọn nhẹ hơn, học sinh dễ dàng tiếp thu. Mặt khác
một số kiến thức về vectơ này sẽ là cơ sở chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm tọa độ trong
không gian mà nội dung chương trình hình học lớp 12 đã nêu, một công cụ hữu ích để giải
nhiều bài toán hình học không gian.
2. Khó khăn
Không ít học sinh chưa nhận thức đúng về tầm quan trọng của việc chủ động phân
tích đề bài, dựng hình và định hướng cách giải quyết bài toán mà các em chỉ làm một cách
máy móc, lập luận thiếu căn cứ, thiếu chính xác, đôi lúc không phân biệt được đâu là giả
thiết, đâu là phần cần chứng minh. Do đó kết quả đạt được không như mong đợi.


Nguyễn Thanh Lam

tỷ lệ 47,7 %

Trong các lớp tôi được nhà trường phân công giảng dạy có đến 60 % học sinh có kết quả
môn toán cuối năm học 2008 - 2009 xếp loại trung bình - yếu. Qua tìm hiểu, tôi cảm nhận
được rằng trong số những em có học lực yếu, cũng có những em có kỹ năng tính toán tương
đối tốt nhưng khả năng vận dụng kiến thức đã học vào giải toán còn rất hạn chế .
III. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
1. Cơ sở lý luận
Vào năm 1637, nhà toán học kiêm triết học Pháp là Réné Descartes đã cho xuất bản
cuốn “ La Géométrie ” với nội dung xây dựng hình học bằng phương pháp toạ độ đánh dấu
một bước tiến mạnh mẽ của toán học. Descartes là nhà toán học thiên tài đã khai sinh ra
phương pháp toạ độ. Phương pháp toạ độ ra đời đã giúp con người dùng ngôn ngữ đại số
thay cho ngôn ngữ hình học, giúp con người đạt đến đạt đến đỉnh cao của sự khái quát hoá
và trừu tương hoá toán học trong nhiều lĩnh vực.
Quy trình dạy học được hiểu là tổ hợp các thao tác của giáo viên và học sinh được
tiến hành theo một trình tự nhất định trên một đối tượng nhận thức nào đó. Chẳng hạn, quy
trình bốn bước của Polya để giải một bài toán gồm :
•
•
•
•

Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán
Bước 2 : Xây dựng thuật giải
Bước 3 : Thực hiện thuật giải
Bước 4 : Kiểm tra, nghiên cứu lời giải
Một trong những nhiệm vụ dạy học môn toán chương trình phổ thông, đặc biệt là dạy

2. Nội dung, biện pháp thực hiện các giải pháp của đề tài.

Trong chương III - §1 sách giáo khoa (SGK) hình học 12 nâng cao, Đoàn Quỳnh
(Tổng chủ biên), Văn Như Cương (Chủ biên), NXBGD 2008, đã nêu định nghĩa và một số
tính chất sau :

z

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho :
v = x.i + y. j + z.k ⇔ v = ( x; y; z )

M

OM = x.i + y. j + z.k = M ( x; y; z )
Với : a = (a1; a2 , a3 ) và b = (b1; b2 ; b3 ) , ta có :
•
•
•

a.b = a1b1 + a2b2 + a3b3
r
a = a12 + a22 + a32

•

a ⊥ b ⇔ a.b = 0 ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0

Tích có hướng của hai vectơ
• [ a, b ] = (a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 )
rr

y

j

x

M1

Tọa độ của các vectơ đơn vị :
r
i = ( 1;0;0 )
r
j = ( 0;1;0 )
r
k = ( 0;0;1)

a cùng phương với b ⇔ [ a, b ] = O
rr r
rrr
a, b, c đồng phẳng ⇔  a, b  c = 0

a. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz trong không gian
Ta có : Ox, Oy, Oz vuông góc từng đôi một. Do đó, nếu trong mô hình chứa các cạnh
vuông góc thì ta ưu tiên chọn các đường đó lần lượt thuộc các trục tọa độ. Cụ thể :
 Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ABCD. A' B' C ' D'

Với hình lập phương ABCD. A' B' C ' D'

z




Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian

Nguyễn Thanh Lam

 Với hình hộp có đáy là hình thoi ABCD. A' B' C ' D'
z

Chọn hệ trục tọa độ sao cho :

A’

- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của
hai đường chéo của hình thoi ABCD

D’

O’

B’

y

C

A

D


C ' ( a; a; a) ; D(0; a;0) ; D' (0; a; a )

A’
B’

G

x

 A' C ⊥ AB'
⇒ A' C ⊥ ( AB' D' )
Nếu 
 A' C ⊥ AD'

C’
D

A
B

a. Chứng minh : A' C ⊥ ( AB' D' )

D’

y

C

 A' C = (a; a;−a )


x = t

A' C :  y = t (t ∈ R)
z = a − t


Phương trình tổng quát của mặt phẳng
( AB' D ' )

:x+ y−z =0

Trong đó vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng ( AB' D' )

[

]

n1 = AB', AD' = (−a 2 ;− a 2 ; a 2 )

Toạ độ giao điểm G của đường thẳng A' C và
mặt phẳng ( AB' D' ) là nghiệm của hệ :
a

x
=

x = t
3


3

z A + z B ' + z D ' 2a

=
 zG =
3
3


So sánh (1) và (2), kết luận

Vậy giao điểm G của đường chéo A' C và
mặt phẳng ( AB' D' ) là trọng tâm G của tam
giác AB' D'

c. Tính d ( ( AB' D' ), (C ' BD) )
Phương trình tổng quát của mặt phẳng

Ta có :

(C ' BD)

(C ' BD) : x + y − z − a = 0

Trong đó vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng (C ' BD)

[


2

2

Vectơ pháp tuyến của ( DA' C ) : n3 = (0;1;−1)

( ( DA' C ), ( ABB' A' ) ) = 45

1
2

⇒

o

Bài toán 2. Cho hình lập phương ABCD. A' B' C ' D' có cạnh bằng a.
Chứng minh hai đường chéo B' D' và A' B của hai mặt bên là hai đường thẳng chéo nhau. Tìm
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau B' D' và A' B
Hướng dẫn

Bài giải
5


Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian

Nguyễn Thanh Lam

Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac


Ta có : B' D' = (a;−a;0)
A' B = (0; a;−a) ;

BB' = (0;0; a)

[B' D', A' B] = (a ; a ; a )
[B' D', A' B].BB' = a ≠ 0
2

2

2

3

Cần chứng minh:

⇒ ba vectơ B ' D'; A' B, BB ' không đồng phẳng.
hay B' D' và A' B chéo nhau.

uuuuur uuuur uuur
 B ' D ', A ' B  .BB ' ≠ 0



Tính d ( B' D' , A' B ) theo công thức:
d ( B ' D' , A' B ) =

[ B ' D', A' B ].BB '

 2


a 2   a 2 
B 0;−
;0 ; D 0;
;0 ; S (0;0; a 6 )
2
2

 



2



D

A

Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông
 a 2
 a 2

;0;0 ; C 
;0;0 
Khi đó : A −


a2 a 2
SO = SC − OC = a −
=
2
2
2

2

2

y

Chọn hệ trục toạ độ như sau :

a 2
O(0;0;0) ; S  0;0;
÷;
2 ÷


 a 2

a 2

;0;0 ÷
;0;0
A  −
;
C


B

(SCD): a 2

+

y

+

z

a 2 a 2
2
2
2
a 2
⇔ x+ y+z−
=0
2

=1

C

x

a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD


3

=

a 2 a 6 (đvđd)
=
3
3

Bài toán 4 . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi E là
điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của
BC. Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a ) khoảng cách giữa hai đường thẳng
MN và AC.
( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 )

Hướng dẫn

Bài giải
z

7


Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian

Nguyễn Thanh Lam

Dựng hình :
Gọi O là tâm của hình vuông
ABCD ⇒ SO ⊥ ( ABCD)




2
2





Toạ độ trung điểm P của SA P
 a 2
 a 2 a 2 
h
; 0; ÷
;
E
 −
÷  − 2 ; − 2 ; h ÷
÷
4
2




 a 2 a 2 h a 2 a 2 
;−
; ÷ N 
;−

B

N

C

x

uuuur  3a 2
h  uuur
MN = 
;0; − ÷
; BD = (0; −a 2;0)
2÷
 4

Vì : MN .BD = 0 ⇒ MN ⊥ BD

uuuur uuur 
ah 2 
;0 ÷
Ta có :  MN , AC  =  0; −
÷
2


uuuur 
a 2 h
AM =  0; −
; ÷

Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian

Nguyễn Thanh Lam

Hướng dẫn

Bài giải

Dựng hình :

z

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz như sau :
O(0;0;0) ; A(2;0;0) ; B(0;1;0) ;

S

S (0;0;2 2 )

M

N

Ta có :
C (−2;0;0) ; D(0;−1;0) ; M (−1;0; 2 )

(

)



cos α = cos SA, BM =

SA.BM
SA BM

=

3
2

⇒ α = 30o

1b. Tính khoảng cách giữa SA và BM

[ SA, BM ] = (−2 2 ;0;−2) ; AB = (−2;1;0)

Chứng minh SA và BM chéo nhau
Sử dụng công thức tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau

[ SA, BM ]. AB = 4 2 ≠ 0

2. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
Dễ dàng nhận thấy :

MN = ( ABM ) ∩ ( SCD )
VS . ABMN = VS . ABM + VS . AMN

Trong đó :

2


SA = (2;0;−2 2 ) ;

SM (−1;0;− 2 )

SB = (0;1;−2 2 ) ;

SM (−1;0;− 2 )

⇒ [ SA, SM ] = (0;4 2 ;0)
1
4 2 2 2
[ SA, SM ].SB =
=
6
6
3
1
2 2
2
= [ SA, SM ].SN =
=
6
6
3

VS . ABM =
VS . AMN


B

C

x

 Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi và SA ⊥ (ABCD)
z

S

ABCD là hình thoi cạnh a
chiều cao bằng h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho O(0;0;0)

y

D

A
O
B

C

x

Bài tập áp dụng :

x

y

C

10


Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian

uuuur
uuur
BM = ( −a;0; h ) ; BC = ( 0; a;0 )
uuuur uuur
 BM , BC  = −ah;0; − a 2 = − a ( h;0; a )


uuur
AC = ( a; a;0 ) = a ( 1;1;0 )

(

)

Nguyễn Thanh Lam

Pháp vectơ của mặt phẳng ( α ) :
uur uuuur uuur
uur


1
⇔ h 2 = h2 + a 2
2

2 h2 + a2
⇔ h = a ⇒ M là trung điểm của SA

 MN / / BC
⇒ BCNM là hình thang vuông
 BM ⊥ BC

+
∆ABM vuông cân tại A ⇒ BM = a 2
1
a
MN = AD =
2
2

+ Diện tích thiết diện BCNM :
S BCNM

1
3a 2 2
= BM ( MN + BC ) =
2
4

Bài toán 7 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA ⊥ ( ABCD); SA = a 2 .

)

P

M

;

uuur
ur
SC = a; a; −a 2 = a 1;1; − 2 = au1
uur
uur
SB = a;0; −a 2 = a 1;0; − 2 = au2
uuur
uur
SC = 0; a; −a 2 = a 0;1; − 2 = au3

z

Bài giải

D

A
B

x

y


(

)

SC qua C ( a; a;0 ) và nhận u1 = 1;1; − 2 làm
vec tơ chỉ phương.
x = a + t

SC :  y = a + t

 z = − 2t
N = SC ∩ ( P ) .Toạ độ điểm N là nghiệm của hệ:
a

t = − 2

x = a + t
x = a
y = a +t
a a a 2
2


⇔
⇒ N  ; ;
÷

÷
2 2 2 

x = a + t

2a
y = 0

 2a
a 2

x =
3 ⇒ M  ;0;
⇔
÷

 3
3 ÷


 z = − 2t
y = 0
x + y − 2z = 0


a 2

 z = 3

12


Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian

y = a +t
x = 0
 2a a 2 


⇔
2a ⇒ P  0; ;
÷

3 ÷
 3

 z = − 2t
y = 3
x + y − 2z = 0


a 2

 z = 3
uuur  a a a 2 
AN =  ; ;
÷
÷⇒ AN = a
2
2
2


uuur  2a 2a 

1 2a 2 a 2 2
AN .MP = .a.
=
2
2
3
3

 Với hình chóp tam giác đều S.ABC
z
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và
S
đường cao bằng h . Gọi I là trung điểm
của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho I(0;0;0)
 a



a



Khi đó : A  − ;0;0 ÷; B  ;0;0 ÷
 2
 2

 a 3   a 3 


z

Tam giác ABC vuông tại A có
AB = a; AC = b đường cao bằng h .
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)
Khi đó : B ( a;0;0 ) ; C ( 0; b;0 )

S

S ( 0;0; h )

y

C

A

x

B

 Với hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và ∆ ABC vuông tại B

Tam giác ABC vuông tại B có
BA = a; BC = b đường cao bằng h .
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho B(0;0;0)
Khi đó : A ( a;0;0 ) ; C ( 0; b;0 )


y

x
A

B

H

C

a b
S ( ; ; h)
2 2

 Với hình chóp S.ABC có (SAB) ⊥ (ABC), ∆ SAB cân tại S
14


Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian

Nguyễn Thanh Lam

và ∆ ABC vuông tại A
z

∆ ABC vuông tại A AB = a; AC = b
chiều cao bằng h


CA = CB = a đường cao bằng h .

S

H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho H(0;0;0)
 a

 a

;0;0 ÷; A  0;
;0 ÷
Khi đó : C 
2 
 2


a


B  0; −
;0 ÷; S ( 0;0; h )
2 


y

A




Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian

Nguyễn Thanh Lam

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
Oxyz như sau : O(0;0;0) ; A(a;0;0) ;
B(0; b;0) C (0;0; c) ;
AB = (− a ; b ; 0)
AC = (−a ; 0 ; c)

[

Tìm vectơ pháp tuyến của :
• Mặt phẳng (ABC)
• Mặt phẳng (OBC)
• Mặt phẳng (OCA)
• Mặt phẳng (OAB)

]

n = AB, AC = (bc ; ac ; ab)
i = ( 1, 0, 0)

vì : Ox ⊥ (OBC )

j = ( 0, 1, 0)

vì : Oy ⊥ (OCA)

cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ =

b 2 c 2 + c 2 a 2 + a 2b 2
=1
b 2 c 2 + c 2 a 2 + a 2b 2

Bài toán 9 . Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC);
AC = AD = 4cm ; AB = 3cm ; BC = 5cm . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD)
( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối D năm 2002 )
Hướng dẫn
Bài giải
z
Dựng hình :
D

∆ABC có : AB 2 + AC 2 = BC 2 = 25 nên

vuông tại A Chọn hệ trục toạ độ
Đêcac vuông góc Oxyz như sau
O ≡ A(0;0;0) ; B (3;0;0) ; C (0;4;0)
D(0;0;4) ;
Tính : AH = d ( A, ( BCD) )

A
x

Viết phương trình tổng quát của mặt
phẳng (BCD)

B


12
6 34
=
17
34

=

Bài toán 10 . Cho hai nửa đường thẳng Ax và By vuông góc với nhau và nhận
AB = a ( a > 0) là đoạn vuông góc chung. Lấy điểm M trên Ax và điểm N trên By sao cho
AM = BN = 2a . Xác định tâm I và tính theo a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện
ABMN. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và BI
Hướng dẫn

Bài giải

Dựng hình :

z
B

Dựng Ay ' // By ⇒ Ax ⊥ Ay '
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac
vuông góc Axy' z như sau :
A(0;0;0) ; B (0;0; a ) ; M (2a;0;0)

N
A


giác vuông nhận MN là cạnh huyền nên



a
2

trung điểm I  a ; a ;  của MN là tâm
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN
Ta có : MN = a (−2 ; 2 ; 1)
Bán kính mặt cầu : R =

MN 3a
=
2
2

Ta có : AM = (2a;0;0) ;
2. Tính d ( AM , BI )
Chứng minh AM và BI chéo
nhau
Sử dụng công thức tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau

a

BI =  a; a;−  ; AB = (0;0; a )
2



D

Khi đó : B ( c;0;0 ) ; C ( 0; b;0 )

D ( 0;0; a )
uuur
Ta có : BC = ( −c; b;0 )
uuur
BD = ( −c;0; a )
uuur uuur
 BC , BD  = ( ac; ac; bc )



y

C

A

x

B

a. Tính diện tích S của tam giác BCD
1 uuur uuur
1 2 2
S =  BC , BD  =
a b + a 2c 2 + b 2c 2 b.


a 3



 a

Bài giải

z

S
M



;0 ÷
Khi đó : A  0;
÷; B  − 2 ;0;0 ÷
2



a
  a 3   a 3 
C  ;0;0 ÷; S  0;
;h÷
÷; H  0; 6 ;0 ÷
÷
6

x

+ vectơ pháp tuyến của mp (AMN) :
ur uuuur uuur  ah 5a 2 3 
n1 =  AM , AN  =  0; ;
÷
24 ÷
 4

18


Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian

Nguyễn Thanh Lam

+ vectơ pháp tuyến của mp (SBC) :

uuur  a 5a 3 h 
AN =  ; −
; ÷
12 2 ÷
4

uur  a a 3

SB =  − ; −
; −h ÷
÷
6

2 16
242

1 15a 4 75a 4
1
a 2 10
4
+
=
90
a
=
(đvdt)
2 24 2
242
48
16

a 2 h 15a 4
a 2 h 15a 4
+
=0⇔
=
4
24.6
16
242

Bài toán 13 . Cho hình chóp O.ABC có OA = a; OB = b; OC = c đôi một vuông góc. Điểm M
cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mặt phẳng (OBC); (OCA);


O
H

E

B

A
x

+Thể tích khối chóp O.ABC
VO. ABC =

1  uuur uuur uuur 1
OA, OB  OC = abc
6
6

+ Phương trình mặt phẳng (ABC) :
x y z
+ + =1
a b c
1 2 3
M ∈ ( ABC ) ⇒ + + = 1
a b c

(ABC) :

Áp dụng bất đẳng thức Côsi :

a = 3
1 2 3 
MinVO. ABC = 27 ⇔ = = ⇒ b = 6
a b c
c = 9


1=

Bài toán 14 . Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA = SB = SC,
khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) là h. Tính h theo a để hai mặt phẳng (SAB) và
(SAC) vuông góc nhau.
Hướng dẫn

Bài giải

Gọi H là tâm của ∆ ABC và M là trung
điểm của BC

z

SA = SB = SC
Ta có: 
HA = HB = HC (∆ABC ñeàu)

S

Dựng hệ trục tọa độ Axyz,
với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc
A(0; 0; 0),


SA =  0;
; h ÷, SB =  ;
; − h ÷, SC =  − ;
; −h÷
3


2 6

 2 6

uuur  a 3  uur  a a 3
 uuur  a a 3

SA =  0;
; h ÷, SB =  ;
; − h ÷, SC =  − ;
; −h÷
3


2 6

 2 6


r
với n1 = (3h 3; − 3h; a 3)


Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian

Nguyễn Thanh Lam

Bài toán 15 . Cho tứ diện OABC có đáy là ∆ OBC vuông tại O, OB = a, OC = a 3, (a > 0)

và đường cao OA = a 3 . Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và OM.
Hướng dẫn
Bài giải
z

Dựng hệ trục Oxyz, với Ox, Oy, Oz
đôi một vuông góc O(0; 0; 0),

a 3 A
N

A(0; 0; a 3); B(a; 0; 0), C(0; a 3; 0),
a a 3 
 a 3 a 3
M ;
; 0 ÷ và N  0;
;
÷
2
2 
2 2





uuuur uuur  3a2 a2 3 a2 3  a2 3
a2 3 r
[OM; ON] =  ;
;
=
3;
1;
1
=
n
÷
4
4
4
4
4


r
với n = ( 3; 1; 1)

(

)

Phương trình mp (OMN) qua O với pháp
r
vectơ n : 3x + y + z = 0 Ta có:


21
z S
2a
A

B HM

aC 5 y


Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian

Nguyễn Thanh Lam

Dựng hệ trục tọa vuông góc Axyz,
với Ax, Ay, Az đôi một vuông góc

(

)

và A ( 0;0;0 ) ; C 0; a 5;0 ;
 2a a

S ( 0;0; 2a ) ; B 
;
;0 ÷
 5 5 




a 5 
; a÷
2


uuuur 

a 5 
3a
; a ÷ ⇒ MA =

2

2
2a 3a
3a

;
; a ÷ ⇒ MB = .
2
5 2 5 

Ta có: MA =  0;

uuur 
MB =  −





Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian

Nguyễn Thanh Lam

(Trích đề tuyển sinh ĐH khối A năm 2011)
Bài giải

Hướng dẫn
Chọn B làm gốc tọa độ, ta có:

z

S

B ( 0;0;0 ) ; A ( 2a;0;0 ) ;

(

)

S 2a;0; 2a 3 ; N ( a; a;0 )
uuur
uuur
AB = ( −2a;0;0 ) ; SN = − a; a; −2a 3 ;
uuur
NA = ( a; − a;0 )

(

 AB, SN  NA
4a 3 3


d ( AB, SN ) =
=
uuur uuur
 AB, SN 
48a 4 + 4a 4


=

4a 3 3 2a 39
=
13
2a 2 13

Bài toán 18 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a ; SA = a ;
SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của các cạnh AB, BC . Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc
giữa hai đường thẳng SM, DN
( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối B năm 2008 )
Hướng dẫn
Dựng hình :

S

Gọi H là hình chiếu vuông góc
của S trên AB ⇒ SH ⊥ (ABCD)


23


Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian

Nguyễn Thanh Lam

Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông
góc Oxyz như sau : H (0;0;0) ; S

+ Thể tích khối chóp S.BMDN


a 3
 a

; A  − ;0;0 ÷ ; B
 0;0;
÷
÷
2 
 2


 3a

 a

D  − ; 2a;0 ÷ ; M

a 3
SB =  ;0; −
÷
2 ÷
 2

uuur  a
a 3
SD =  − ; 2a; −
÷
2 ÷
 2

uuur
DN = ( 2a; − a;0 )

2
2
uuur uuur  2

 SM , SN  =  a 3 ; − a 3 ; a ÷

  2
2
2 ÷


uuur uuur uur a 3 3
uuur uuur uuur 3a 3 3
 SM , SN  SB =

=
12
4
3

+ Tính cosin của góc giữa SM, DN
a2
1
cos ( SM , DN ) =
=
2
2
5
a 3a
+
4a 2 + a 2
4
4

uuur uuur
SM .DN
cos ( SM , DN ) = uuur uuur
SM . DN

·
·
Bài toán 19 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang , BAD
= ABC
= 900
AB = BC = a , AD = 2a , SA vuông góc với đáy và SA = 2a . Gọi M,N lần lượt là trung điểm


y

C

24


Phương pháp chọn hệ trục toạ độ trong không gian

uuur
uuur
SM = ( 0;0; −a ) ; SC = ( a; a; −a )
uur
uuur
SB = ( a;0; −2a ) ; SN = ( 0; a; −a )
uuur uuur
 SM , SC  = a 2 ; −a 2 ;0



(

)

Nguyễn Thanh Lam

+ Chứng minh BCNM là hình chữ nhật
uuuur uuur
 MN = BC

1
a3

VSMCN =  SM , SC  SN =
6
6
VS . BCNM = VSMCB + VSMCN =

a3
3

(đvtt)

·
Bài toán 20 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang , ·ABC = BAD
= 900 AB = BC = a ,
AD = 2a , SA vuông góc với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Chứng
minh tam giác SCD vuông và tính theo a khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD)
( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2007 )

Hướng dẫn

Bài giải

z

Dựng hình :

S


)

(

= a 2 2 1;1; 2

)

B

)

+ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu
vuông góc của A trên SB
Phương trình tham số của SB :
 x = a + at

SB :  y = 0

 z = a 2t

(t ∈ R )

x

I

D

y