www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

Sở giáo dục & đào tạo hà tây

Cộng hoà xã hội chủ nghĩa việt nam

Trờng THPT Chuyên Nguyễn Hụê

Độc lập Tự Do Hạnh Phúc

đề tài sáng kiến kinh nghiệm
Năm học 2007 2008
I Sơ yếu lý lịch:
- Họ và tên: Lê Trung Tín
- Ngày tháng năm sinh: 1/5/1976
- Năm vào ngành: 1998
- Chức vụ : Giáo viên , đơn vị công tác: Trờng THPT Chuyên Nguyễn Hụê
- Trình độ chuyên môn: Thạc sĩ ngành Toán , Hệ đào tạo: Chính quy tập trung
- Bộ môn giảng dạy: Toán

Trình độ ngoại ngữ: Tiêng Anh trình độ C

II Nội dung đề tài:
1- Tên đề tài: Giải bài toán hình học không gian bằng phơng pháp toạ độ
2 Lý do chọn đề tài:
Trong toán học nói chung và trong hình học nói riêng không có một phơng pháp nào chung để giải các bài toán. Mỗi phơng pháp đều có những u, nhợc điểm riêng. Với mỗi loại bài toán luôn đòi hỏi một phơng pháp cụ thể để
giải quyết một cách đơn giản nhất. Sự ra đời của phơng pháp toạ độ đã đơn

10% học sinh biết cách giải bài tập hoàn chỉnh tối u
Chất lợng bài giải của học sinh thấp, kĩ năng giải toán dạng này yếu
2- Các biện pháp thực hiện đề tài:
Bớc 1: Hệ thống hoá các kiến thức
Bớc 2: Đa ra một số ví dụ điển hình
Bớc 3: Rèn luyện kĩ năng giải các bài tập ứng cho học sinh thông qua một số
bài tập bổ sung nâng cao. Gợi mở cho học sinh những hớng phát triển, mở
rộng .
3 Kết quả thực hiện đề tài:
Tôi đã tiến hành kiểm tra qua bài toán sau: Tìm lời giải bằng phơng pháp toạ
độ: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Từ trung điểm H của cạnh AB dung
SH vuông góc với mp(ABCD) sao cho nhị diện cạnh AD của hình chóp
S.ABCD có số đo bằng 600.
a. Tính SH và khoảng cách từ H đến mp(SCD).
b. Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh CK SD và tính số
đo nhị diện (A, SD, C).
c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK).
Kết quả :
100% học sinh biết Dựa vào giả thiết để lựa chọn gốc toạ độ sao cho toạ độ
các điểm trong bài toán đợc thuận tiện.
80% Phiên dịch đúng từ bài toán hình học không gian sang ngôn ngữ toạ độ
75% học sinh biết cách giải bài tập hoàn chỉnh tối u.

III Những bài học kinh nghiệm và kiến nghị sau khi thực hiện đề tài

Qua kết quả điểu tra khảo sát thực tiễn ta thấy rằng khi giải các bài toán
hình học không gian, học sinh thờng không chú ý đến phơng pháp toạ độ và
tính u việt của nó hoặc rất lúng túng khi giải bằng phơng pháp toạ độ. Do đó
học sinh rất ngại khi giải các bài toán không gian.
Vì vậy, để giúp học sinh có hứng thú học môn hình học không gian và

4


www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

Nội dung
------

- - - - - -

Chơng I

Một số kiến thức cơ bản.
1/ Hệ trục toạ độ.
Cho ba trục toạ độ xOx, yOy,
zOz vuông góc với nhau
từng đôi
r r r
một tại điểm O. Gọi i, j , k là các
véctơ đơn vị tơng ứng trên các trục
xOx, yOy, zOz.
Hệ ba trục toạ độ nh vậy gọi là
hệ trục toạ độ Đề các vuông góc
Oxyz hoặc đơn giản là toạ độ Oxyz.
+ Trục Ox gọi là trục hoành.
+ Trục Oy gọi là trục tung.

M 1M 2 = ( x2 x1 , y2 y1 , z2 z1 )
ur
uu
r
+ Nếu có hai vectơ v1 = ( x1 , y1 , z1 ) và v2 = ( x2 , y2 , z2 ) thì:

(i).
(ii).
(iii).
(iv).

ur uu
r
v1 + v2 = ( x 1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2 )
ur uu
r
v1 v2 = ( x 1 x2 , y1 y2 , z1 z2 )
ur
kv1 = (kx1 , ky1 , kz1 )
ur uu
r
v1.v2 = x 1.x2 + y1. y2 + z1.z2

5


www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ



3/ Khoảng cách giữa hai điểm.
Cho hai điểm M 1 ( x1 , y1 , z1 ) và M 2 ( x2 , y2 , z2 ) , thì khoảng cách d giữa M 1
uuuuuur
và M 2 là độ dài của vectơ M 1M 2 :
uuuuuur
d = M 1M 2 =

( x1 x2 )

2

2
2
+ ( y1 y2 ) + ( z1 z2 ) .

4/ Chia một đoạn thẳng cho trớc theo một tỷ số cho trớc.
uuuuur

uuuuur

Điểm M ( x, y, x ) chia đoạn thẳng M 1M 2 theo tỉ số k: MM 1 = k MM 2 đợc
xác định bởi công thức:
x1 kx2

x = 1 k

y1 ky2

y =

cos =

x1.x2 + y1. y2 + z1.z2
x11 + y11 + z11 . x22 + y22 + z22

.

6/ Hai vectơ cùng phơng
ur

r

uu
r

r

Hai vectơ v1 = ( x1 , y1 , z1 ) 0 và v2 = ( x2 , y2 , z2 ) 0 cùng phơng với nhau khi
và chỉ khi tồn tại số thực k sao cho:
6


www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

uu
r

trình dạng:
Ax + By + Cz + D = 0

( A2 + B 2 + C 2 0)

và ngợc lại mỗi phơng trình dạng đó là phơng trình của một mặt phẳng.
8/ Phơng trình đờng thẳng
r

a. Định nghĩa: Vectơ a là vectơ chỉ phơng của đờng thẳng (d)
r r
a 0
r
a //(d )

b. Phơng trình tổng quát của đờng thẳng:
Vì đờng thẳng (d) trong không gian có thể xem là giao tuyến của hai
mặt phẳng (P) và (Q) nào đó, nên phơng trình tổng quát của (d) có dạng:
A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0
(d ) :
A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

( 1)
với điều kiện
( 2)

A1 : B1 : C1 A 2 : B2 : C2

trong đó (1), (2) theo thứ tự là phơng trình của hai mặt phẳng (P) và (Q).
9/ Phơng trình mặt cầu

hình học.
Trong các bớc trên, bớc 2 và bớc 4 học sinh có thể hoàn toàn làm đợc
nhờ các kiến thức liên hệ giữa hình học không gian và hệ toạ độ đã biết, ở bớc
3 học sinh có thể sử dụng các kiến thức trên hệ toạ độ một cách sáng tạo để
giải các bài toán. Buớc 1 học sinh gặp khó khăn hơn cả do không có phơng
pháp cụ thể. Để khắc phục khó khăn đó, học sinh phải tập luyện và phải biết
dựa vào một số dặc điểm của bài toán này. Chọn hệ toạ độ sao cho gốc trùng
với điểm cố định đã biết, dựa vào các đờng thẳng vuông góc để gắn với các
trục toạ độ, các điểm đã biết gắn với các toạ độ đơn giản, thuận lợi.

II/Giải bài toán định lợng trong hình học không gian.
Đối với loại bài toán tính toán, nếu không chuyển về phơng pháp toạ độ
thì rất khó khăn vì hầu hết sử dụng đến khoảng cách mà chỉ có phơng pháp toạ
độ ta mới biểu diễn đợc khoảng cách một cách đơn giản.
phơng pháp chung

Ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các
điểm cần thiết.
Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho giá trị cần xác định, thông thờng
bao gồm:
- Khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng hoặc mặt phẳng.
- Góc, khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau.
8


www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ


Ta có AB ( a;0; a ) & AC ( a; a; a )
Gọi là góc tạo bở AB và AC ta có:

x

B A

D
C
Dy
C

uuur uuuu
r
AB. AC

cos = uuuur uuuu
r =0 = .
2
A ' B . AC '

Gọi d1 là khoảng cách giữa AB và AC. ta có:
uuuur uuuur uuur
A ' B, A ' C . AA '
a


d1 =
=
.



d2 =
=
uuur uuuur
3
KC , A ' D



c. Ta có BB là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABBA) và (BCCB) nên:
y = 0
x a = 0
( BB ' ) :
x = a
y = 0

( BB ') :

Mặt phẳng (P) qua BB có dạng:
9


www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

r

2


(

)

2
6 2 + 1


=

6 2
22 8 6

=

6 2

( 4 6)

2

6 1
5

=

Với m = 2 6 ta đợc:


Bài 2: Cho tứ diện ABCD có góc tam diện vuông đỉnh A, AB=a. AC=b,
AD=c.
a) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.
b) Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mp(ABCD).
z
Giải
D
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz sao cho:
A = (0;0;0); B = (a;0;0)
C y
A I
C = (0; b;0); D = (0;0; c)
B
a/ Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
x
tứ diện, giả sử toạ độ của I là I ( x; y; z ) .
a

x
=

2

b

a b c
Tacó y =
Toạ độ điểm I là: I = ( ; ; ) .
2



www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

và bán kính: R =

1 2
a + b2 + c 2
2

b. Phơng trình mp(BCD):
x y z
x y z
+ + = 1 + + 1 = 0
a b c
a b c
Gọi khoảng cách từ A đến mp(BCD) là h. ta có:
0 0 0
+ + 1
1
abc
a b c
h=
=
=
1

AC = ( a; a; a ) ; BC = ( 0; a; a )
uuuur
D ' C = ( a;0; a ) .

z

A
C

B

x

B

D

D y

A
O

uuuu
r uuuu
r
uuuu
r uuuur
AC .BC = a.0 + a.a + a. ( a ) = 0 AC ' B ' C AC ' B ' C
uuuu
r uuuur

vuông góc với đáy. Tính độ dài đoạn SA biết rằng số đo góc nhị diện (B. SC.
D) bằng 1200.
Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a. Từ trung điểm H của cạnh AB
dung SH vuông góc với mp(ABCD) sao cho nhị diện cạnh AD của hình chóp
S.ABCD có số đo bằng 600.
d. Tính SH và khoảng cách từ H đến mp(SCD).
e. Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Chứng minh CK SD và tính số
đo nhị diện (A, SD, C).
f. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCK).

III/ Giải bài toán định tính trong hình học không gian
phơng pháp chung

Ta thực hiện theo các bớc sau:
Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của các
điểm cần thiết.
Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểu kiện, từ đó suy ra kết quả
cần chứng minh.
Bài 1: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh bằng nhau:
AB=CD=a;
BC=AD=b;
AC=BD=b.
Chứng minh rằng đoạn thẳng nối hai trung điểm vủa cặp cạnh là đờng
vuông góc chung của hai cạnh đó.
Giải
CD.

cho

z

x + x y + y3 z2 + z3
I = ( 1 ; 1 ; 1 );
K =( 2 3; 2
;
)
2 2 2
2
2
2
uur x + x x y + y y z + z z
3
1
IK = ( 2 3 1 ; 2
; 2 3 1)
2
2
2
Theo giả thiết, ta có:

12


www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

uuu
r

x +x x
y + y3 y1
z +z z
IK . AB = x1 2 3 1 + y 2
+ z1 2 3 1
2
2
2
2
2
x x + x x x + y1 y2 + y1 y3 y1 + z1 z2 z12
= 1 2 1 3 1
2
2
2
2
2
2
a + b c a + c b2
ì
a2
2
2
=
2
=0
uur uuu
r
IK AB
uur uuur

C = ( a; a;0)
D = (0; a; a)
Gọi M = ( x1; y1; z1 ), N = ( x2 ; y2 ; z2 )
uuur
uuu
r
BC = (0; a;0); BA = (a;0;0);
Ta có: uuuu
r
MN = ( x2 x1; y2 y1; z2 z1 )
Vặt khác theo giả thiết:
DM = AN = x
Đặt

k=

z
A
C

B

N

(0 x a 2)
x
a 2

(0 k 1)


AN = k AD y2 = 0
z = ka
2
uuur uuur uuuu
r
Xét D ( BC , BA ', MN ) = a. ( a ) . ( z2 z1 ) + 0. ( y2 y1 ) .0 + ( x2 x1 ) .0.a

( x2 x1 ) . ( a ) .0 a ( y2 y1 ) .a 0.0. ( z2 z1 )

= a 2 ( z2 z1 ) a 2 ( y2 y1 )
= a 2 ( z2 z1 y2 + y1 )
= a2 ( ka 0 0 ka )

uuur uuur uuuu
r =0
Suy ra BC , BA ', MN luôn luôn đồng phẳng.

Suy ra MN luôn luôn song song với (ABCD) cố định.
Bài 3: Cho tứ diện DABC trong đó góc tam diện đỉnh D là vuông. Gọi O là
14


www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

tâm hình cầu ngoại tiếp tứ diện. Chứng minh nếu ( ) là mặt phẳng bất kỳ
qua O thì khoảng cách từ D xuống ( ) bằng tổng đại số 3 khoảng cách A,

a
+ + + d = 0
2
2
2
b + c + a + 2d = 0 ( 1)




Kí hiệu hD , hA , hB , hC tơng ứng là khoảng cách từ D, A, B, C xuống mặt phẳng

( ) . Theo công thức tính khoảng cách ta có:
hD =
hB =
hA =
hC =

d

2 + 2 + 2
a + d
2 + 2 + 2

a + d
2 + 2 + 2
c+d
2 + 2 + 2

=

b + c + a + 3d
2 + 2 + 2

= Sgn ( a + d ) hA + Sgn ( b + d ) hB + Sgn ( c + d ) hC

( 6)

Từ (1), (2), (6) suy ra:
hD = Sgn ( a + d ) hA + Sgn ( b + d ) hB + Sgn ( c + d ) hC

Điều đó chứng tỏ hD là tổng đại số của hA , hB , hC
1

Chú ý: Sgn( x) = 0
1


x>0
x=0
x
điểm cần thiết.
Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích cho điểm càn tìm quỹ tích, từ đó suy
ra quỹ tích của nó.
Bài 1: Cho hình lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy ABC vuông cân với
AB=AC=a và AA1=h. Gọi E, F lần lợt là trung điểm của BC và A1C1. Tìm
trên đoạn EF điểm I cách đều hai mặt phẳng (ABC) và (ACC1A1). Tính
khoảng cách đó.
Giải.
z

Chọn hệ trục toạ độ Axyz với B Ax,
khi đó:
A(0;0;0). B(a;0;0). C(0;a;0).
A1(0;0;h). B1(a;0;h). C1(0;a;h).
Vì E, F là trung điểm của BC và A1C1
nên:
a a
2 2

a
2

E ( , ,0) và F (0, , h) .

A1
F

C1

A

vtcp EF ( ,0, h)

z = ht

2


a
2

a a
2 2

Vì I EF nên I ( t , , ht ) . t[0. 1].
Vì I cách đều (ABC) và (ACC1A1) nên
a a
a
ah a ah
t = ht t =
I(
, ,
).
2 2
a + 2h
a + 2h 2 a + 2h

Khi đó điểm I chia đoạn EF theo tỉ sô k, tức là:
17



2
AM
AM 2 ( x + a ) + y + z
= k k2 =
=
BM
BM 2 ( x a ) 2 + y 2 + Z 2
2

2

a(1+ k2 )
2ak
2
2
x +
+ y +z =
2 ữ
1 k 2
1 k


2

Phơng trình trên là phơng trình mặt cầu có:
a ( 1 + k 2 )

2ak
ữ bán kính R =
;0;0


2

h

uuu
r uuur
+ OA, O1B =

(

)

Từ đó suy ra quỹ tích điểm K khi AB di động.
Bài 3: Cho góc tam diện vuông Oxyz trên Ox, Oy, Oz lấy các điểm A, B, C sao
cho OA=OB=OC. Giả sử (d) là đờng thẳng qua O, các điểm A, B, C là các
điểm đối xứng với A, B, C qua (d). Các mặt phẳng đi qua A, B, C tơng ứng
vuông góc với các đờng thẳng OA, OB, OC cắt nhau tại M. Tìm tập hợp các
điểm M.

19


www.huongdanvn.com

Giải bài toán hình học không gian bằng ph ơng pháp toạ độ

Ngời thực hiện:Lê Trung Tín

-