
Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian

LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong các đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng gần đây, phần Hình
học khơng gian được ra dưới dạng mà học sinh có thể giải được bằng cả
phương pháp hình học thuần t và cả phương pháp tọa độ. Việc giải tốn
Hình học khơng gian bằng phương pháp hình học thuần túy gây rất nhiều
khó khăn cho học sinh vừa học xong lớp 12, vì phần lớn các em ít nhiều đã
qn kiến thức, kỹ năng chứng minh, dựng hình trong khơng gian.
Việc giải bằng phương pháp toạ độ có rất nhiều ưu việt, tuy nhiên
học sinh cũng gặp khơng ít khó khăn. Bởi vì, phương pháp này khơng được
đề cập nhiều trong các sách giáo khoa, học sinh phổ thơng ít được tiếp cận.
Để giúp các em học sinh lớp 12 có thêm phương pháp giải tốn Hình
học khơng gian, chuẩn bị cho kỳ thi cuối cấp. Trong phạm vi đề tài Sáng
kiến kinh nghiệm của mình, tơi xin trình bày một số bài tốn cụ thể về hình
chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình hộp và lăng trụ giải bằng phương
pháp tọa độ.
Trong q trình biên soạn đề tài tơi đã có nhiều cố gắng song khơng
thể tránh khỏi những thiếu sót. Mong nhận được sự góp ý chân thành của
đồng nghiệp và Hội đồng chun mơn của nhà trường để các đề tài sau của
tơi được tốt hơn.
Xin chân thành cảm ơn.
Quảng Ngãi, tháng 03/2008
Người thực hiện đề tài
Ngơ Văn Hải
A. Cơ sở lý thuyết
Để giải bài tốn hình học khơng gian bằng phương pháp tọa độ ta
thực hiện qua các bước sau:
Bước 1: Chọn hệ trục toạ độ Đề-cac thích hợp.

b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC với I là trung
điểm của cạnh BC.
 Lời giải:
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 2 GV: Ngô Văn Hải

Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian

Do AB, AC, AS đơi một vng góc nên ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz
sao cho O
)0;0;0(A≡
, B(a;0;0), C(0;a;0),
)
2
2
;0;0(
a
S
( xem hình 1 ).
a. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC):
Mặt phẳng (SAC) có vectơ pháp tuyến là
)0;0;1(=i
Mặt phẳng (SBC) có cặp vectơ chỉ phương:
)
2
2
;;0();
2
2
;0;(
a


=
nên mặt phẳng (SBC) có vectơ pháp tuyến
)21;1(=n
Gọi
ϕ
là góc giữa hai mặt phẳng
(SAC) và (SBC) ta có:
0
60
2
1
211
1
.
.
cos =⇒=
++
==
ϕϕ
ni
ni
b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI và SC:
Vì I là trung điểm của BC







2
;
2
2444
3
222
aaaa
SCAI
a
ASSCAI
a
AS
aaa
SCAI
a
aSC
aa
AI
=++=
=⇒








=


4
2
,
.,
),(
2
3
a
a
a
SCAI
ASSCAI
SCAId ==






=
Bài tốn 2: ( Trích đề thi Đại học khối A năm 2002 )
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy bằng
a. Gọi M, N lần lượt là các trung điểm của các cạnh SB và SC. Tính theo a
diện tích của tam giác AMN, biết rằng mặt phẳng (AMN) vng góc với
mặt phẳng (SBC).
 Lời giải:
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 3 GV: Ngô Văn Hải
z
x
y

)0;
2
;
6
3
(),0;
2
;
6
3
(),0;0;
3
3
(
aa
C
aa
B
a
A −−−








−
−

M
a
KhS
Suy ra :








−−=








−=
2
;
4
;
12
35
2
;









−−−=








−−= h
aa
SCh
aa
SB ;
2
;
6
3
;;
2
;
6

aha
nnSBCAMN
6
15a
h =⇒
.
Vậy
[ ] [ ]
16
10
,
2
1
24
35
;0;
24
15
,
222
a
ANAMS
aa
ANAM
AMN
==⇒





62
. Các điểm M, N theo thứ tự là trung điểm của cạnh
AC và AB. Tính thể tích hình chóp S.AMN và bán kính mặt cầu nội tiếp
hình chóp đó.
II/ Các bài tốn về hình chóp tứ giác:
Bài tốn 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
aSAaADaAB === ;2;
và SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) . Gọi M; N
lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Chứng
minh rằng mặt phẳng (SAC) vng góc với mặt phẳng (SMB). Tính thể
tích khối tứ diện ANIB.
( Trích đề thi Đại học khối B – năm 2006 )
 Lời giải:
Theo giả thiết ta có AS, AB, AD đơi một
vng góc, nên ta chọn hệ tọa độ Oxyz
sao cho
)0;0;0(AO ≡
, ( xem hình 3 )
Khi đó ta có:
M là trung điểm của AD
)0;
2
2
;0(
a
M⇒
N là trung điểm của SC
)
2

22
1
aaACASnaaACaAS −==⇒==
[ ]








==⇒−=−=
2
2
;;
2
2
,);
2
2
;0(),;0;(
2
2
2
2
a
a
a
SMSBna

x
B
C
y
D
N
MA
I
( Hình 3 )
);0;0(),0;2;(),0;2;0(),0;0;( aSaaCaDaB

Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian

* Tính
ANIB
V
?
Ta có :
[ ]








−=⇒



;
2
22
aa
AIAN
aa
AI
aaa
AN
)0;0;(aAB =
Suy ra thể tích của khối chóp AINB là:

[ ]
36
2
.
6
2
6
1
.,
6
1
32
a
a
a
ABAIANV
AINB
=−==

4
(),0;;0(),0;;
2
(
)0;;
2
(),
2
3
;0;0(),0;0;
2
(),0;0;
2
(
aa
P
aaa
MaNa
a
C
a
a
B
a
S
a
D
a
A
−

2
)
4
.(.
(đpcm)
* Tính thể tích khối chóp CMNP:
Ta có:
[ ]
)
4
;
8
3
;0(,)
4
3
;
2
;
4
(),
4
3
;
2
;
4
3
(
22


Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian

[ ]
96
3
16
3
6
1
.,
6
1
33
aa
MPMNMCV
CMNP
=−==
.
* Bài tập tham khảo:
1) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a.
Gọi E là điểm đối xứng của D qua trung điểm SA, M là trung điểm của AE,
N là trung điểm của BC.Chứng minh rằng MN vng góc với BD và tính
( theo a ) khoảng cách giữa MN và AC.
( Trích đề thi Đại học khối B – năm 2007 )
2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang,
aADaBCBABADABC 2,,90
0
=====
∧∧

hệ trục Đề –các vng góc Axyz với tọa độ các điểm là :
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 7 GV: Ngô Văn Hải
x
B
B’
A’
z
C’
D’
D
y
C
A
I
J
K

Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian

);
2
;0(),0;;
2
(
)
2
;0;0(),;;0('),;;('),;0;('),;0;0('),0;;0(),0;;(),0;0;(),0;0;0(

c
b
aBK
ab
acbc
BJBIb
a
BJ
c
aBI
=−−=⇔=⇒
−=






−−−=⇒−=−=
Vậy
48
5
=V
( vì a.b.c =1 )
b) Ta có






2
2
2
2
2
1
2
0
2
0
2
===⇔







=−
=+−
b
ca
c
b
b
a
, từ đó suy ra độ dài
các cạnh của hình hộp chữ nhật.
c) Gọi khoảng cách giữa hai đường thẳng CI và A’J là h , ta có;

322
===
bca
Bài tốn 6:
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 8 GV: Ngô Văn Hải

Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có các mặt bên là hình vng
cạnh a. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BC, A’C’,
C’B’. Tính khoảng cách giữa DE và A’F.
 Lời giải :
Xét hệ trục Đề –các vng góc A’xyz với tọa độ các điểm là :
[ ]
)
8
3
;0;
2
3
(',
)0;
4
3
;
4
('),0;
2
3
;0(');

FA
−=⇒
==−=⇒
Ta có :
[ ]
[ ]
17
64
3
0
4
3
8
3
',
'.',
)',(
22
2
a
aa
a
FAED
EAFAED
FADEd =
++
==
Vậy khỏang cách giữa hai đường thẳng DE và A’F là
17
17a

---  ---
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 10 GV: Ngô Văn Hải

Sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình học không gian

Qua nhiều năm cơng tác, trực tiếp giảng dạy bộ mơn tốn lớp 12, tơi
nhận thấy sử dụng phương pháp tọa độ để giải tốn hình học khơng gian là
một phương pháp có nhiều tính ưu việt, phù hợp với đối tượng học sinh
chuẩn bị thi vào các trường Đại học- Cao đẳng, đặc biệt là các kỳ thi gần
đây khi Bộ giáo dục có chủ trương thực hiện kỳ thi “Ba chung” . Nên bản
thân tơi cũng rất tâm huyết khi thực hiện đề tài này
Trên đây là một số suy nghĩ và đề xuất của tơi, mong đóng góp cùng
đồng nghiệp để giúp đỡ học sinh có thêm phương pháp giải tốn, rèn
luyện tư duy, sáng tạo trong học tốn làm cơ sở cho các kỳ thi cuối cấp.
---  ---
Quảng Ngãi, Tháng 3 năm 2008
Sáng kiến kinh nghiệm Trang 11 GV: Ngô Văn Hải