Trao ®æi vÒ
:
:
Ph
Ph
−¬
−¬
ng
ng
ph
ph
¸
¸
p
p
to
to
¹
¹
®é
®é
trong
trong
gi
gi
¶
¶
i
i
to
to

Chọn gốc l 1 trong 8 đỉnh
Ba cạnh phát xuất từ một
đỉnh nằm trên 3 trục
x
y
z
A
B
C
D
A
B
C
D
II, Chóp tam giác có góc tam diện đỉnh vuông
x
y
z
S
A
B
C
Chọn gốc của hệ
trục trùng với đỉnh
của góc tam diện
vuông
Ba trục chứa ba
cạnh phát xuất từ
đỉnh góc tam diện
vuông đó

Cách II:
Hai trục lần lợt chứa đờng cao v một cạnh tơng ứng của
mặt BCD
Trục còn lại vuông góc với mặt BCD ( cùng phơng với đờng
cao AG).
Chú ý : Chóp tam
giác đều cũng chọn
nh cách 2 ny
x
y
z
O
A
B
C
D
S
Trục Oz chứa đờng cao SO của
hình chóp
Hai trục Ox , Oy lần lợt chứa
hai đờngchéođáy
Chú ý : Hình chóp tứ giác
đều ( đáy l hình vuông
v các cạnh bên bằng
nhau ) cũng chọn nh
vậy.
iV, Chóp tứ giác có đáy l hình thoi , các cạnh
bên bằng nhau
V, Chóp tứ giác có đáy l hình chữ nhật , các
cạnh bên bằng nhau

cao tơng ứng của tam
giác cân l đáy của
chóp
Trục còn lại chứa
đờng trung bình của
mặt bên
Chú ý : Lăng
trụ tam giác
đều cũng chọn
nh vậy.
Vi, Lăng trụ đứng có đáy l tam giác cân
x
y
z
A
B
C
D
A
B
D
C
o
O
Chọn trục cao nằm trên
đờng thẳng nối tâm hai
đáy
Hai trục kia chứa hai
đờngchéođáy
Chú ý : Lăng trụ tứ

BCD
1
A
B
1
B
D
1
BB
11
A
D
1
CN
Các bitoánminhhoạ
Lời giải
z
A1
C1
D1
A
B
C
D
B1
x
y
a
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz nh hình
vẽ : A1 trùng với O , Ox chứa cạnh

( 1;1;1)uBD
a
==−
uuuur
r
A1B vμ B1D lμ hai c¹nh ®èi cña tø
diÖn A1D1B1B nªn chÐo nhau , do
®ã:
[]
[]
u
uuuur
r
r
rr
11 1 2
11
12
A
B.u,u
d(A B ; B D) =
u,u
Cã ,
uuuuur
11
A
B=(a;0;0)
[
]
r

vμ C1N
z
A1
C1
D1
A
B
C
D
B1
x
y
a
A1(0 ; 0 ; 0) ,
B1(a ; 0 ; 0) ,
C1(a ; a ; 0) ,
D1( 0 ; a ; 0 ) ,
A(0 ; 0 ; a) ,
B(a ; 0 ; a) ,
C(a ; a ; a) ,
D (0 ; a ; a)
M
N
P
Ta cã
M(a ; 0 ; ) ,
2
a
N( ; a ; a ) ,
2

uu
hayC N MP
ϕϕ
−−+−
== =⇒=
++ + +
⊥
o
rr
rr
o
A
S
B
C
x
y
z
G
s
z
a
Bi2:(Đại học khối A- năm 2002)
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S , cạnh đáy bằng a.
Gọi M , N lần lợt l trung điểm các cạnh SB , SC . Tính diện
tích tam giác AMN biết mp(AMN) vuông góc với mp(SBC).
Do S.ABC l chóp tam giác đều
nên đáy ABC l tam giác đều cạnh
a . Gọi O l trung điểm cạnh AC ,
ta có BO vuông góc với AC.

A
S
B
C
x
y
z
G
s
z
a
M
N
4
a−
⎡
⎤
′
⎣
⎦
u
uur uuur
r
uuur
uuuur
r
ss
1
s
s

() : ,
3
3
(; ; )
22 6
3
(;0;)
3
3
(;;)
62
ss
s
s
mp SBC co VTPT n SB SC
a
SB z
aa
SC
az
a
z
az
n
⎡
⎤
′
=
⎣
⎦

ss
AMN 1 s s
2
222
AMN
-a z 3a z
15a 15a
(AMN) (SBC) n .n = 0 - + = 0 z =
16 16 6.24 36
az 3az
1 1 1 25.3a 1 a 25a a 25a
S = AM, AN = n = + + = . z + 3z + = 4z +
2226464283163
24
a 15a 25a a 10
S= 4. + =
16 36 3 16
O( 0 ; 0 ; 0) , A(0 ; ;0), B( ; 0 ; 0) ,C ( 0 ; ; 0), S( ; 0 ; )
2
a
3
2
a
2
a
−
3
6
a
s

M
m
K
I
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz nh hình
vẽ : A trùng với O , Ox chứa cạnh
AD , Oy chứa cạnh AB , Oz chứa cạnh
AA
Tronghệtrụcđãchọntacó:
A(0 ; 0 ; 0) , B(0; a ; 0) ,
C(2a ; a ; 0) , D( 2a ; 0 ; 0 ) ,
A(0 ; 0 ; a ) , B(0 ; a ; a ) ,
C(2a ; a ; a ) , D(2a ; 0 ; a )
2
2
2
2
1, Do I l tâm hình hộp nên I l trung điểm
BD,
suy ra I(a ; ; )
2
a
2
2
a
M nằm trên đoạn AD v AM = m nên M(m ; 0 ; 0)
K l trung điểm BM nên
2
(;; )
22 2

VAIAKADa
a
aaa
aa ama aama
ama
Hay V
=
=
=


==+




=+++=+=



uuur
uuuur
uuuur
uuur uuuur uuuur
2
'
2
(2 ) ( 0 2 )
24
KID

B’
x
y
z
2a
2a
a
M
N
K
2a, mp(B’CK) còng chÝnh lμ
mp(B’CM) , mp nμycã®iÓmchung
víi mÆt AA’D’D ë ®iÓm M nªn nã
c¾t mÆt AA’D’D theo giao tuyÕn
qua M vμ song song víi B’C ( v×
B’C song song víi mÆt AA’D’D ) ,
giao tuyÕn nμyc¾t AA’ t¹i N . Nèi
NB’ ta thu ®−îc thiÕt diÖn lμ h×nh
thang B’CMN ( do MN song song
víi B’C)
V× M lμ trung ®iÓm AD
nªn M( a ; 0 ; 0)
1
'(2;0;1)
2
uBC
a
−
==−
uuuur

x
y
z
2a
2a
a
M
N
K
22 2
(;;0)
(2;0;1)
,(;;2)
22
201 3
MC a a
u
MC u a a a
aa a a
h
=
=−
⎡⎤
=−
⎣⎦
++
==
++
uuuur
r

a
BC MN h a
Vay S
+
+
== =
&
2b, CMR ®−êng th¼ng B’M tiÕp xóc víi mÆt cÇu
®−êng kÝnh AA’
A
D
C
B
A’
D’
C’
B’
x
y
z
2a
2a
a
M
N
K
N lμ trung ®iÓm AA’ nªn
MÆt cÇu ®−êng kÝnh AA’ cã t©m lμ N , cã b¸n
kÝnh R = AA’/2 , ta cã :
2

'
(;' )
2
a
N
Dt B M co VTCP
BM a a a
aa
a
MN a
aa
a
a
MN
a
dNBM
AA
Hay d N B M R
ξ
ξ
ξ
′
−−
==−−=−
−
−
−
++
−
⎡⎤