Bộ môn Toán – Khoa CNTT BÀI TẬP
GIẢI TÍCH
32
3
yxxx
x
=−+
6.
()()
32
21yx x=− − 7. arctanyx x=+
8.
()
3
sin 3cosyx x=+
9.
2
41
2
x
y
x
+
=
+

10.
2
4
x
y
x

(
)
2
ln 1yxx=++ 15.
sin
4
x
x
y
+
=

16 - 22
Tìm vi phân của các hàm số.
16.
2
sin
1cos
x
y
x
⎛⎞
=
⎜⎟
+
⎝⎠
17. .cosyx x
=

18.

3
yx x x
=−+ − tại x = 9

2
25.
()
3
112yx=+ − tại x = 0
26.
2
arctan 1yx=+ tại x = 0
27.
()
3
353
x
yx=+
tại
1
ln 3
3
x =

28-31 Chứng minh các bất đẳng thức đúng với mọi x > 0:
28.
2
arctan
1
x

+≥
32.
Vị trí của một vật thể chuyển động trên một đường thẳng, lấy mốc tại vị trí khi vật bắt đầu
chuyển động, được cho bởi phương trình
32
() 6 9sftt t t==−+, trong đó t (giây), s (mét).
a. Tìm vận tốc của vật thể tại thời điểm t.
b. Xác định vận tốc của vật thể sau 2 giây? 4 giây?
c. Vật thể dừng lại khi nào?
d. Khi nào vật thể chuyển động theo hướng dương (xuôi chiều).
e. Vẽ biểu đồ mô tả chuyển động của vật thể.
f. Tìm tổng quãng đường đã đi của vật thể trong 5 giây đầu tiên.
33. Một quả bóng được ném thẳng lên không trung có độ cao
2
( ) 102 16st t t=− (m) sau t giây.
a. Vẽ đồ thị s(t), s'(t) trong khoảng thời gian [0, 7] giây. Tính toán hoặc sử dụng đồ thị
này (để ước lượng) để trả lời các câu hỏi sau:
b. Xác định độ cao của quả bóng sau 2 giây.
c. Trong quá trình rơi xuống khi nào quả bóng có độ cao 110 m?
d. Xác định vận tốc sau 6 giây.
e. Khi nào quả bóng đạt vận tốc 70m/s.
f. Xác định vận tốc của quả bóng khi nó chạm đất.
34. Một quả bóng được ném lên thẳng từ mặt đất với vận tốc ban đầu 112m/s, độ cao của quả
bóng so với mặt đất tại thời điểm t là
2
( ) 16 112 ( )st t t m=− +
a. Khi nào thì quả bóng lên đến độ cao lớn nhất, xác định độ cao lớn nhất đó. Sau bao
nhiêu giây thì quả bóng rơi xuống đất.
b. Xác định vận tốc khi bóng tiếp đất.
c. Xác định gia tốc của bóng khi t = 1s, t = 3s.

vật liệu?
42. Một người nông dân muốn làm hàng rào cho 1 khu đất hình chữ nhật với diện tích 1.5 triệu
feet vuông và sau đó chia nó làm đôi bởi một hàng rào song song với một cạnh của hình
chữ nhật. Xác định các kích thước của khu đất để chi phí cho hàng rào là ít nhất. (1 feet =
0.3048 m.)
43. Người ta dự định xây dựng một hình hộp chữ nhật có đáy là một hình vuông và không có
nắp. Hãy xác định các kích thước của hình hộp sao cho với ít vật liệu nhất ta có thể thiết kế
được hình đó có thể tích là 32000cm
3
.
44. Một loại lon nước giải khát có dạng hình trụ và chứa 0.4 lít chất lỏng. Xác định kích thước
của lon nước để lượng vật liệu được sử dụng làm lon là ít nhất.
45. Giả sử một hãng hàng không vận chuyển 8000 lượt hành khách mỗi tháng với giá vé là $50
một lượt. Hãng hàng không muốn tăng giá vé, tuy nhiên bộ phận nghiên cứu thị trường cho
biết cứ tăng giá vé lên thêm 1 đô la thì lượng hành khách sẽ giảm đi 100 người. Xác định
giá vé thích hợp để doanh thu của hãng là tối đa.
46. Một khu vườn cây ăn quả thu được 25 thùng quả mỗi cây khi trồng 40 cây trong vườn. Khi
tăng mật độ cây trong vườn, người ta thấy rằng cứ trồng thêm 1 cây thì lượng quả thu được
trên mỗi cây giảm đi 0.5 thùng. Vậy phải trồng bao nhiêu cây trong vườn thì lượng quả thu
được là tối đa.
47. Một người có một của hàng nhỏ bán các hộp đựng bút. Giả sử số lượng các hộp bán ra tỉ lệ
nghịch với bình phương giá bán mỗi hộp. Nếu người đó bán với giá $20 mỗi hộp thì sẽ bán
được trung bình 125 hộp. Đầu tư ban đầu cho cửa hàng là $750 và chi phí cho mỗi hộp
đựng bút là $5. Tìm giá bán mỗi hộp bút để lợi nhuận của cửa hàng là tối đa. Khi đó có bao
nhiêu hộp được bán ra?
48. Giả sử kích thước (số cá thể) của một bầy ruồi đục quả tăng theo hàm mũ
0
()
kt
Pt Pe= ,

51.
3
ln
lim
x
x
x
→+∞
52.
3
0
tan
lim
x
x
x
x
→
−

53.
0
lim ln
x
x
x
+
→
54.
2

x
x
x
+
→

57.
9
5
1
1
lim
1
x
x
x
→
−
−
58.
2
lim
x
x
x
e
→−∞

59.
2

60.
arcsin arccos
2
xx
π
+=
[1,1]
x
∀∈− 61.
arctan cot ,
2
x
arc x x R
π
+
=∀∈

62.
/2 0
1
arctan arctan
/2 0
khi x
x
khi x
x
π
π
>
⎧

xx x=
tại x = 0.
68.
()
() 1
k
f
xx=+ tại x = 0, k là một số thực.
69.
1
()
4
fx
x
=
−
tại x = 0.
70. ( ) arctan
f
xx= tại x = 0.
71.
()
() ln1 2
f
xx=+ tại x = 0.
72.
()
x
f
xxe=

z
y
=
e)
arctan
x
xy
z
ey
y
+
=− f)
x
zxyz
yz
=+
2. Tìm vi phân toàn phần các hàm số sau
a)
arcsin( 2 )
z
xy=−
b)
22
()
x
y
z
xye
+
=+

xy=+ b) cos( )
y
z
xxy=+
c)
arctan
y
z
x
= d) cot
1
x
y
zarc
x
y
+
=
−

4. Cho hàm số
y
z
x= . Tính
22 2
22
2
z
zz
x

+
. Tính
22
22
z
z
x
y
∂
∂
+
∂
∂

7. Cho hàm số
22
(, ) arctan ln
y
f
xy x y
x
=++
. Tính
22
2
z
z
x
xy
∂∂

z
zz
xx yy
y
∂∂
+=
∂∂
.
10. Chứng minh arctan
1
x
y
z
x
y
+
=
−
thỏa mãn
2
0
z
xy
∂
=
∂∂
.
11. Hàm
442 2
(, ) 2 10fxy x y x xy y=+−− −+ có đạt cực trị tại điểm (1,1) không?

3
fxy x y xy=+ −+

17.
32
( , ) 3 15 12
f
xy x xy x y=+ − +
18.
442 2
(, ) 2 2
f
xy x y x y=+−− 19. (, )
y
f
xy x y xe=+−
20.
2
(, ) ( )
y
f
xy x y e=+

21.
2
(, ) 6 3
f
xy x y x y x
=
−−++

−
∫
2.
2
2
3
1
x
dx
x
+
−
∫
3.
2
(1 )
cos
x
x
e
edx
x
−
−
∫

4 - 9 Tính các tích phân bất định sau bằng phương pháp đổi biến:
4.
1ln
x

x
dx
x
∫
9.
2
14
x
x
dx
−
∫

10 - 15 Tính các tích phân bất định sau bằng phương pháp tích phân từng phần
10.
2
ln
x
dx
∫
11.
22
(1)
x
x
edx+
∫
12.
2
sin

=++ là nguyên hàm của hàm số
22
() (2 8 7)
x
f
xxxe
−
=− − +
17. Xác định các hằng số a, b, c để hàm số
2
() ( )
x
F x ax bx c e
−
=++ là nguyên hàm của hàm số
2
() (2 5 2)
x
f
xxxe
−
=−+
18. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số
32
2
337
()
(1)
xxx
fx

22.
(1 ln )
dx
x
x+
∫

23.
sin
12cos
x
dx
x
+
∫
24.
2
12cos
sin
x
dx
x
−
∫
25.
2
2arcsin
1
x
x

∫
30. cos(ln )
x
dx
∫
31.
2
ln
()
x
dx
x
∫

32.
3
cos
sin
x
x
dx
x
∫
33.
2
ln(cos )
cos
x
dx
x

∫
37.
3
2
x
dx
x
−
∫

38.
32
2
22
x
dx
x
xx
+
−+
∫
39.
2
26 9
dx
x
x−−
∫
40.
2

3
1
dx
x
x−
∫
45.
2
(cos sin )
x
xdx+
∫
46.
54sin 3cos
dx
x
x−+
∫

47.
3
sin sin
cos 2
x
x
dx
x
−
∫
48.

Bài tập Tích phân xác định và ứng dụng
1 - 20 Tìm các tích phân xác định sau:
1.
2
1
2
1
ln
1 4 ln ln
e
x
dx
x
xx−−
∫
2.
2
4
0
sin 2
5cos
x
dx
x
π
+
∫
3.
1
2

2
0
(2 3)sinttdt
π
+
∫

7.
0
1
1sin
dx
x
π
+
∫
8.
3
2
1
1
dx
xx
+
∫
9.
0
2
1
arctan

ln(tan )
sin 2
x
dx
x
π
π
∫

13.
ln 2
ln 3
1
1
x
x
e
dx
e
−
−
+
−
∫
14.
3
1
52
0
x

22
1
(1 )
arctgx
dx
xx+
∫
18.
2
2
3
1
ln
x
dx
x
∫

19.
2
0
cos
x
exdx
π
∫
20.
1
2
0

∫
23.
2
1
445
dx
xx
+∞
−∞
++
∫

24.
42
1
5
235
+∞
+−
∫
x
dx
xx
25.
2
1
1
(1 )
dx
xx

arctgx
dx
x
+∞
∫
.
30.
costtdt
+∞
−∞
∫
31.
22
0
(1 )
x
arctgx
dx
x
+∞
+
∫
32.
2
2
1
1
dx
xx
+∞

1
x
dx
x
+∞
−∞
+
∫

36.
1/
1
1
(1)
x
edx
x
+∞
−
∫
37.
3
7
0
2
x
dx
x
+∞
+

41.
1
1
ln(1 )
x
dx
x
α
+∞
+
∫
10
42 - 47 Tính độ dài cung của các đường cong sau
42. y =
3
1
62
x
x
+
với
1
1
2
x
≤≤ 43. y =
2

46. y =
2
arcsin
x
xx−+
47.
3
22
ln
a
ya
ax
=
−
từ x = 0 đến x = b (với 0 < b < a)
48. Tìm hàm độ dài cung của đường cong y =
3
1
34
x
x
+ (x > 0) với điểm xuất phát là P(1; 7/12)
49. Một luồng gió ổn định thổi cánh diều bay về hướng tây. Độ cao của diều so với mặt đất từ
điểm x = 0 đến x = 80 mét được cho bởi phương trình
()
2
50
150
40
x

= 2x+4; y = -2; y = -5 + 3x/2
54. y = e
x
; y = sinx; x = 0; x= /2
π
55. y = 3x
2
; y = 8x
2
; 4x + y = 4; 0
x
≥
56. 4x+y
2
=12; y = x 57. y = sin2x; y = cosx; x = 0; x = /2
π

58. Tính diện tích các phần tô đậm sau nếu nó hữu hạn

59. Ở một vùng dân cư có tỷ lệ người sinh và tỷ lệ người chết tại thời điểm t lần lượt là các
hàm số b(t) = 2200e
0,024t
người/năm, d(t) = 1460e
0,018t
người/năm. Tìm diện tích miền giới
hạn bởi hai đường cong trên với
010t
≤
≤ và nêu ý nghĩa của nó.


0
() ()
x
gx ftdt=
∫
, trong đó f là hàm số mà đồ thị
của nó được cho ở hình vẽ bên
(a) Tính g(0), g(1), g(2), g(3), và g(6).
(b) Hàm g tăng trên đoạn nào?
(c) Hàm g đạt giá trị cực đại tại đâu.
(d) Hãy vẽ đồ thị hàm g.

63.
Nếu
2
() 2,0 3,fx x x x=− ≤≤ hãy tính tổng Riemann với n = 6, bằng cách chọn các điểm
mút phải. Tổng Riemann này biểu thị đại lượng nào? Minh họa bằng hình vẽ.
64. Vận tốc của một vận động viên thi chạy tăng đều đặn trong suốt 3 giây đầu của cuộc đua.
Kết quả đo vận tốc của cô ấy sau mỗi quãng thời gian nửa giây thu được ở bảng sau. Hãy
ước lượng cận trên và cận dưới của quãng đường mà cô ấy chạy được trong 3 giây này.
t (s) 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3
v (m/s) 0 1,9 3,3 4,5 5,5 5,9 6,2

65.
Đồ thị hàm vận tốc của một chiếc ô tô trong
một qúa trình sử dụng phanh được cho ở hình
bên. Tính tổng Riemann với n = 6 đoạn chia
có độ dài bằng nhau và chọn
i
ε

biểu thức 100 +
15
0
'( )Ntdt
∫
biểu diễn cái gì?
69. Tốc độ tăng trưởng của sinh khối (số lượng sinh vật sống trong một đơn vị diện tích, thể
tích vùng hoặc tổng trọng lượng của sinh vật sống trong sinh quyển) ở thời điểm t là B’(t),
biểu thức
6
1
'( )Btdt
∫
biểu diễn cái gì?
70. Hàm w’(x) biểu diễn tốc độ tăng trưởng của trẻ ở độ tuổi x (đơn vị kg/năm), khi đó
5
3
w'(x)dx
∫
biểu diễn cái gì?
71. Một mô hình tốc độ tăng trưởng sinh khối ở thời điểm t là B’(t) = cos(
/6)t
π
, với
012t≤≤ . Vẽ đồ thị hàm B’(t) và tìm hàm sinh khối B(t) biết B(0) = 100.
72. Số lượng ban đầu của một nhóm vi khuẩn là 400 con và chúng tăng trưởng với tốc độ
r(t) = 450,268e
1,12567t
con/giờ. Hãy xác định số lượng vi khuẩn của nhóm sau 3 giờ đầu.
73. Dầu chảy ra từ một bể chứa với lưu lượng r(t) = 200 – 4t (lít/phút), 050t≤≤ . Hãy xác

- Kí hiệu V(t) là hàm chỉ thể tích của nước trong bể ở thời điểm t, khi đó V’(t) là lưu lượng
(tốc độ) nước chảy vào bể ở thời điểm t. Vậy lượng nước chảy vào bể trong khoảng thời
gian từ t
1
đến t
2
là:
2
1
21
'( ) ( ) ( )
t
t
V tdx Vt Vt=−
∫

- Kí hiệu [C](t) là hàm chỉ nồng độ của chất tan trong một phản ứng hóa học tại thời điểm t,
khi đó [C]’(t) là tốc độ của phản ứng tại thời điểm t. Vậy sự chênh lệch nồng độ chất tan ở
thời điểm t
2
so với thời điểm t
1
là:
2
1
21
[]'() []()[]()
t
t
C tdx Ct Ct=−

0
lim
t
st
Δ→
Δ
Δ = s’(t). Do vậy sự chênh lệch về vị
trí của vật tại thời điểm t
2
so với thời điểm t
1
là:
2
1
21
() ( ) ( )
t
t
vtdx st st=−
∫

Nếu v(t) > 0 thì vật chuyển động sang phía bên phải, v(t) < 0 thì vật chuyển động sang
phía bên trái, do vậy tổng độ dài quãng đường mà vật đó đã di chuyển trong khoảng thời
gian từ t
1
đến t
2
là:
2
1


14
Bài tập Chương Phương trình vi phân
1 - 6 Giải các phương trình vi phân phân li biến số
1.
'0
x
yy+=
2.
'0yy x
+
=

3.
()
2
10x dy xydx−−= 4. '
x
y
ye
+
=
5.
()()
22
11ydx xydy+=+
6.
12
'
x

11.
'2 4
y
yx+=
12.
3
'2
x
y
ye
−
=

13.
22
'yxyx+=
14 - 15
Giải các phương trình Bernoulli
14.
32
3
'yyxy
x
−=− 15.
22 3
'1xyy xy
+
=
16 - 35
Giải các phương trình vi phân

++++=
22.
()
1',(0)1
xx
eyy e y+= = 23.
(
)
20ydx xy x dy
+
−=
24.
()
3
3 1 sin 3 sin
x
dy y x x y x dx=+ − 25. 'sin ln , 1
2
yxyyy
π
⎛⎞
=
=
⎜⎟
⎝⎠

26.
()
()
22 2

yxxye
x
x
−= = 31.
25
'5
2
y
y
xy
x
−=
32.
2
'cos
y
xy y x
x
=− 33.
22
1
'xy y
x
y
+=
34.
34
43
2
'

+=
38.
4x
16 10eyy
′′
+=
39.
2x
44(2x1)yyy e
′′ ′
++=+

40.
1yyx
′′ ′
−=+
41.
3x
9(12x)
y
ye
−
′′
−=−

42.
3x
69
y
yyxe

osyycx
′′
+=

48.
5x
56xyye
′′ ′
−=−
49.
(
)
24x
34 1yyyx e
−
′′ ′
+−=+

50.
22x
442x
y
yy e
′′ ′
−+=Bài tập bắt buộc: 16-50
nnn
∞
=
+− ++
∑

4.
1
1
(3 2)(3 1)
n
nn
∞
=
−+
∑
5.
0
32
6
nn
n
n
∞
=
+
∑
6.
22
1

−+
∑
8.
1
1
112
2
n
n
nn
∞
+
=
+++
∑
9.
()
()
1
21
1
1
n
n
n
nn
∞
=
+
−

2
1
2
3
n
n
n
n
∞
=
+
∑

13.
2
1
21
234
n
n
nn
∞
=
−
+−
∑
14.
2
1
1

n
n
π
∞
=
∑
17.
1
1
sin
5
n
n
n
π
∞
=
∑
18.
2
2
1
51
42sin
n
nn
nn
∞
=
++

+− −+
∑

21.
2
1
1
n
n
n
n
∞
=
⎛⎞
⎜⎟
+
⎝⎠
∑
22.
2
1
1
ln 1
n
n
∞
=
⎛⎞
+
⎜⎟

1
n
n
ne
∞
−
=
∑
26.
2
1
ln
n
n
n
∞
=
∑27 - 40 Xét sự hội tụ chuỗi số
27.
1
2
n
n
n
∞
=
∑

n
n
n
∞
−
=
−
∑
31.
2
1
2
n
n
n
n
∞
=
+
∑
32.
()
()
2
2
1
1
!
3
n

2
1
!
2!
n
n
n
∞
=
∑

36.
2
2
1
221
524
n
n
nn
nn
∞
=
⎛⎞
++
⎜⎟
−+
⎝⎠
∑
37.

=
−
⎛⎞
⎜⎟
+
⎝⎠
∑

39.
1
1
arctan
n
n
n
∞
=
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
∑
40.
2
1
1
n
n
a
n
∞

n
∞
−
=
−
+
∑
43.
()
()
1
1
1
215
n
n
n
n
n
−
∞
=
−
+
∑

44.
()
1
1

1
1
n
n
n
nn
∞
−
=
+
−
+
∑

47.
1
sin
2
n
n
na
∞
=
∑48 - 57
Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa.
48.
()

2!
2!
n
n
n
n
x
n
∞
=
∑

51.
()
1
5x
!
n
n
n
∞
=
∑
52.
()
1
1
4
31
n

1
5
5
n
n
n
x
n
∞
=
−
∑
55.
()
1
25
n
n
nx
∞
=
+
∑
56.
()
1
1
1
!
n

18
Đáp số bài tập Chương nguyên hàm :
1.
31
44
4
8
3
x
xC
−−
−+ 2.
1
2ln
1
x
x
C
x
+
−
+
−

3.
tan
x

+
++

7.
2
35arctg x C++
8.
2
1
ln |sin | sin
2
x
xC
−
+

9.
arcsin 2
ln 2
x
C+ 10. 2(ln| | 1)
x
xC
−
+
11.
22
1
(2 3)
4

15.
2
arcsin 1 1
ln | |
xx
C
x
x
+−
−− +
16. a = 1; b = -3; c = 2.
17. a = 1; b = -3; c = 2. 18.
2
8
()
21
x
Fx x
x
=++
+

19.
1
() ( sin 1)
2
Fx x x
=− + 20.
2
1

2
2 1 (arcsin )
3
x
xC−−− + 26.
1
ln | 2 cos cos 2 |
2
x
xC
−
++

27.
22
2( ln | 1|)
xx
ee C
−−
+++ 28.
3
2
(cos 7 cos ) cos
21
x
xxC
−
+
29.
1

−
++
33.
ln(cos ).tan tan
x
xxxC
+
−+
34.
121
ln | |
423
x
C
x
+
+
+

35.
3ln| 2| ln| 3|
x
xC+− ++ 36.
2
2
1
ln
2
x
C

3
3
x
C
+
+
40.
2
1
ln(2 1 4 4 3)
2
xxx
+
+++

41.
2
11
ln | |
x
C
x
++
−+
42.
2
1
3 2 arcsin
2
x


45.
1
cos 2
2
x
xC−+ 46.
1
2tan
2
C
x
+
−

47.
122cos1
cos ln | |
28
2cos 1
x
x
C
x
−
−+
+
48.
5
1