Bài tập môn Giải tích - Khoa VT-KT
Nguyễn Văn Kiên
1 Chương 1: Phép tính vi phân hàm một biến
1.1 Tính các giới hạn sau
1. lim
x→0
3

1 +
x
3
−
4

1 −
x
4
1 −

1 −
x
2
2. lim
x→π
sin mx
sin nx
3. lim
x→π
ln cos x
x sin 2x
4. lim

)
8. lim
x→0
1 − cos x. cos 2x. cos 3x
x
2
9. lim
x→0
√
1 − cos x
2
1 − cos x
10. lim
x→0
e
x
2
− cos x
x
2
11. lim
x→0
e
x
−
√
1 + 2x
x
2
12. lim

2
16. lim
x→0
8
x
− 7
x
6
x
− 5
x
17. lim
x→0
3
√
1 − x
2
− 1
xarctg5x
18. lim
x→0
5

(1 + x)
3
− 1
x
19. lim
x→0
ln tg (π/4 + 3x)


5.2
x
x < 0
2a − x x ≥ 0
3. f(x) =



x
2
+ b x ≤ 0
√
1 + x −
3
√
1 + x
x
x > 0
1
4. f(x) =

2.e
x
x ≤ 0
a + 2x x > 0
5. f(x) =





1 − cos
√
x
x
x > 0
a x ≤ 0
10. f(x) =



1
1 + e
1/(x−1)
x = 1
a x = 1
11. f(x) =



ln(1 + x) − x
2x
2
x > 0
a x ≤ 0
12. f(x) =

x ln x x > 0
a x ≤ 0
13. f(x) =

2
+ 1
(x + 1)
2
(x − 1)
dx
4.

x
11
x
8
+ 3x
4
+ 2
.dx
5.

x
3
+ 1
x
3
− 5x
2
+ 6x
.dx
6.

2x

x
4
+ 5x
2
+ 4
.dx
11.

(x + 1)dx
√
x
2
+ x + 1
12.

(2x − 1)dx
√
x
2
+ 3x + 3
13.

xdx
√
x
2
+ 2x − 5
14.

x.arctgx

dx
e
2x
+ e
x
− 2
19.

arctge
x
e
x
dx
20.

dx
(1 + e
x
)
2
21.

xe
arctgx
(1 + x
2
)
3/2
dx
22.

25.

sin
2
x cos
4
xdx
26.

sin x
sin
3
x + cos
3
x
dx
27.

dx
5 − 4 sin x + 3 cos x
28.

sin x cos x
sin
4
x + cos
4
x
dx
29.

sin
2
x
1 + sin
2
x
dx
33.

dx
sin
4
x + cos
4
x
34.

dx
sin
2
x. cos x
35.

dx
sin x. cos
3
x
2.2 Tích phân xác định
1.


1
0
arcsin
√
x

x(1 − x)
dx
5.

3
0
dx
(3 + x
2
)
5
2
6.

3
0
x
√
1 + x +
√
5x + 1
. dx
7.


2
cos
2
x + b
2
sin
2
x
dx
10.

16
1
arctg

√
x − 1dx
11.

3
0
arcsin

x
1 + x
. dx
12.

5π/4
π

+ y
2
4. z = arcsin
x

x
2
+ y
2
5. z = x sin xy + y cos xy
6. z = arctg
x + y
1 − xy
7. z =
2x − y

x
2
+ y
2
8. z = (1 + xy)
y
9. z = ln
1

x
2
+ y
2
10. z = ln tg


(x), y

(x) của hàm ẩn
1. ln

x
2
+ y
2
= arctg
x
y
2. x
y
= y
x
3. x
2
+ y
2
= 1
4. e
xy
= x
2
+ y
2
5. 1 + xy = ln(e
xy

z
4. x
2
+ y
2
+ z
2
= e
(x+y+z)
5. x
2
+ y
2
+ z
2
= 4xyz
3.5 Tính đạo hàm riêng cấp 1, cấp 2
của hàm hợp
1. z = ϕ(x
2
+ y
2
)
2. z =
y
2
3x
+ ϕ(xy)
3. z = yϕ(x
2

Tính z

u
, z

v
.
2. Cho z = (1 + xy)
y
, x = u + v, y = u
2
− v
2
.
Tính z

u
, z

v
.
3. Cho z = e
x
2
+y
2
, x = u + v, y = uv. Tính
z

u

2
3. C =

(1, 02)
3
+ (1, 97)
3
4. D =
(1, 03)
2
3

0, 98
4

(1, 05)
3
5. E =
1

3, 02
2
+ 3, 98
2
3.9 Tìm cực trị của hàm số
1. z = 4x − x
3
− xy
2
2. z = x

y
, (x > 0, y > 0)
7. z = x
2
+ xy + y
2
− 4 ln x − 10 ln y
4
8. z = x + y −xe
y
9. z = e
2x
(x + y
2
+ 2y)
10. z = xy −
1
3
(x
3
+ y
3
)
3.10 Tìm cực trị có điều kiện
1. z = x
2
+ 12xy + 2y
2
nếu 4x
2

y
2
2
= 1
3.11 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất
1. z = x
2
−xy+y
2
trên miền D = {|x|+|y| ≤ 1}
2. z = 2(x
2
+y
2
)+ (x −1)
2
+(y −1)
2
trên miền
OAB, O(0; 0), A(1; 0), B(0; 1)
3. z = x
2
+ y
2
− 6x + 8y trên miền D =
{x
2
+ y
2
≤ 1}


+ x cos
y
x
− y + x = 0
4. y

=
x + y
x − y
4.1.2 Phương trình tuyến tính + Becnuli
1. 3y
2
y

+ y
3
+ x = 0
2. xy

− 2x
2
√
y = 4y
3. y

= y
4
cos x + y tg x
4. (x + 1)(y

+ y
2
cotg x = cos x
10. y

= y
4
cos x + y tg x
4.1.3 Phương trình vi phân toàn phần
1. (1 − x
2
y)dx + x
2
(y − x)dy = 0
2. (x − y
2
)dx + 2xydy = 0
3.
dx
y
−
x
y
2
dy = 0
4. 2xydx + (x
2
− y
2
)dy = 0

3
dy = 0
9. 2x(1 +

x
2
− y)dx −

x
2
− ydy = 0
10. (1 + y
2
sin 2x)dx − 2y cos
2
xdy = 0
4.1.4 Thừa số tích phân
1. (x
2
+ y)dx = xdy
2. (2xy
2
− y)dx + (y
2
+ x + y)dy = 0
3. (xy + 1)dx + (xy −1)dy = 0
4. (xy
2
+ y)dx − xdy = 0
5. (x

2. y

− 4y

+ 4y = 2e
2x
3. y

− y = x
2
− x + 1
4. y

− 4y

= −12x
2
+ 6x − 4
5. y

+ y

= 3
6. y

− 2y

+ y = 4e
x
7. y

14. y

− y = 2 sin x − 4 cos x
15. y

+ y = 6 sin 2x
16. y

+ y = 4e
x
, y(0) = 1, y

(0) = −3
17. y

− 2y

= 2e
x
, y(1) = −1, y

(1) = 0
18. y

+ 2y

+ 2y = xe
−x
, y(0) = y


= 3
n
3. 5y
n+2
− 6y
n+1
+ 5y
n
= n
2
+ 1
4. y
n+2
+ y
n
= 2
n
5. y
n+2
+ 5y
n
= 5n
2
− 2n − 1
6. y
n+2
− 3y
n+1
+ 2y
n

n
+ 3n
2
+ 2
11. y
n+2
+ y
n
= n + 1
12. y
n+2
+ y
n
= 3, y
0
= 0, y
1
= 1
13. y
n+2
−4y
n+1
+ 4y
n
= 2n +1, y
0
= 0, y
1
= 1
14. y

= 5x
n
− y
n
, x
0
= 0, y
0
= 6
2.

x
n+1
= 2x
n
− 8y
n
y
n+1
= 2x
n
− 6y
n
, x
0
= −1, y
0
= 2
3.


5. x
n+1
=
2x
n
− 3
3x
n
− 4
, x
0
= −1
6. x
n+1
=
x
n
+ 1
−x
n
+ 4
, x
0
= 0
6