CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

ĐƠN ĐỀ NGHỊ CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP NGÀNH
Chúng tôi ghi tên dưới đây:

TT

Họ và tên

1 Đinh Cao Thượng
2 Doãn Huy Tùng

Ngày tháng
năm sinh

Nơi
công tác

07/07/1983 Trường THPT
Kim Sơn A
05/06/1983 Trường THPT
Kim Sơn A

Tỷ lệ (%)
Trình độ đóng góp
Chức vụ chuyên môn vào việc tạo
ra sáng
kiến
Tổ trưởng


là vấn đề học đều toàn bộ chương trình không còn tình trạng học tủ, cần phải chú ý đến cả
những nội dung mà trước đây hầu như không xuất hiện trong đề thi. Chẳng hạn, trong nội
dung về thể tích khối đa diện, là một nội dung khó đối với học sinh vì đòi hỏi kiến thức tổng
hợp và tư duy trừu tượng cao, trước đây học sinh chủ yếu học tủ một số dạng câu hỏi thường
gặp trong các đề thi.
Qua nghiên cứu và thực tế giảng dạy trong năm học 2016 – 2017, nhằm chuẩn bị tốt
cho kì thi THPT Quốc gia năm 2017 đối với bộ môn Toán nói chung và với dạng bài tập trắc
nghiệm về thể tích khối chóp nói riêng chúng tôi đã viết sáng kiến “Phương pháp giải bài
tập trắc nghiệm thể tích khối chóp và một số bài vận dụng thực tế”.
Mục đích chính của Sáng kiến này là trình bày các phương pháp giải bài tập thể tích khối
chóp trong phần hình học trung học phổ thông, đồng thời khai thác trong các bài toán thực
tế gắn với khối chóp và các khối đa diện liên quan.

2. Giải pháp cải tiến:
2.1 Cơ sở lý luận:
2.1.1. Kiến thức cơ bản
1. Công thức tính thể tích khối chóp
1
V = S .h
3
Trong đó: S là diện tích đáy,
h là chiều cao khối chóp.

2. Các kiến thức cơ bản hình học phẳng
a. Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Cho tam giác ABC vuông ở A ta có :
2
2
2


B

M

H

C

a

2


g) sin B =

b
c
b
c
, cosB = , tan B = ,cot B =
a
a
c
b
b
b
=
,
sin B cosC

2
4R

Đặc biệt Tam giác ABC vuông ở A : S =

p.( p − a )( p − b )( p − c ) với p =

1
AB.AC ;
2

∆ABC

a+b+c
2

a2 3
đều cạnh a : S =
4

b/ Diện tích hình vuông cạnh a : S = a 2 .
c/ Diện tích hình chữ nhật : S = dài x rộng.
d/ Diên tích hình thoi : S =

1
(tích hai đường chéo).
2
1
2



SA , SB , SC

S.ABC

và

A' , B' , C '

là các điểm tùy ý lần lượt

ta có

VS. A 'B'C ' SA ' SB ' SC '
=
.
.
.
VS.ABC
SA SB SC

Phương pháp này được áp dụng khi khối chóp không xác
đinh được chiều cao một cách dễ dàng hoặc khối chóp cần tính
là một phần nhỏ trong khối chóp lớn và cần chú ý đến một số
điều kiện sau
·

Hai khối chóp phải cùng chung đỉnh.

·

D. V = a 3 3

Phân tích, lời giải và bình luận
1) Phân tích:
+ Câu hỏi thuộc mức độ nhận thức: Thông hiểu, tương đương Câu 36 trong đề minh
họa môn Toán của BGD.
Câu 36: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh
bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA =

2a . Tính thể tích V của khối chóp

S.ABCD.
2a 3
6

A. V =

B. V =

2a 3
4

C. V = 2a 3

D. V =

2a 3
3

+ Học sinh cần nắm được : Công thức tính thể tích khối chóp, công thức tính diện tích

3) Bình luận:
• Các phương án nhiễu:
+ B : Học sinh quên

1
trong công thức thể tích khối chóp.
3

5


+ C : Học sinh quên

1
trong công thức diện tích tam giác.
2

+ D : Học sinh quên cả

1
1
và trong hai công thức trên.
2
3

• Đề xuất: Có thể có phương án nhiễu khác, đó là: V =

3
, do học sinh sử dụng máy
6


a3
2

D. V =

3a 3
2

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A có AB = a và góc BAC bằng
1200 , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 2 . Tính thể tích V của khối
chóp S.ABC.
6a 3
A. V =
6

6a 3
B. V =
4

6a 3
C. V =
12

6a 3
D. V =
2

Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a, cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy. Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 60 0. Tính thể tích V của khối chóp

24

3a 3
B. V =
12

3a 3
C. V =
8

6a 3
D. V =
4

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD với AB = a và AD = a 2 ,
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a 3 . Tính thể tích V của khối chóp
S.ABCD.
A. V =

6a 3
3

6a 3
6

B. V =

C. V = 6a 3

D. V =

Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V =

3a 3
12

3a 3
4

B. V =

C. V =

3a 3
6

D. V =

3a 3
2

Câu 8: (Trích đề thi TNTHPT năm 2009) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam
giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc BAC bằng 120 0. Tính
thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. V =

2a 3
36

B. V =

12

D. V =

6a 3
2

Câu 9: (Trích đề thi TNTHPT năm 2011) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
thang vuông tại A và D với AD = CD = a, AB = 3a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng
đáy và cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc 45 0. Tính thể tích V của khối chóp
S.ABCD.

7


A. V =

2 2a 3
3

B. V = 2 2a 3

C. V =

2a 3
3

D. V = 4 2a 3

Câu 10: (Trích đề thi TNTHPT năm 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình

3

D. V = 8 3a 3

8


Dạng 2: Thể tích khối chóp có mặt bên vuông góc với mặt phẳng đáy.
Ví dụ: (Trích đề thi TSĐH Khối B năm 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình
vuông ABCD cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt
phẳng đáy. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
A. V =

a3 3
6

B. V =

a3
3

C. V =

a3
6

D. V =

a3 3
2

Do đó: V = .SH.SABCD = .
Đáp án: A

3) Bình luận:
• Các phương án nhiễu:
+ B : Học sinh coi chiều cao là SA.
+ C : Học sinh xác định được SH nhưng tính toán sai trong quá trình áp dụng giá trị
lượng giác của góc trong tam giác vuông SAH hoặc SBH.
+ D : Học sinh quên

1
trong công thức tính thể tích.
3

• Đề xuất: Có thể có phương án nhiễu khác theo các sai lầm đã nói ở Bài 1.
• Đây là dạng toán liên quan đến hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy , do đó việc
khó khăn nhất của bài toán là xác định chiều cao của chóp. Vấn đề này liên quan đến
tính chất hai mặt vuông góc mà học sinh đã được học lớp 11. Ta cần nhấn mạnh rằng:

9


“Đường cao của hình chóp chính là đường cao kẻ từ S của tam giác là mặt bên
nằm trong mặt phẳng vuông góc đáy”. Nói cách khác, hình chiếu của S trên mặt
phẳng đáy nằm trên đường thẳng chứa cạnh đáy, là giao tuyến của mặt bên vuông góc
với đáy và đáy. Để có thể tạo ra các bài tập ở dạng tương tự ta có thể:
Chẳng hạn: + Thay đổi các giả thiết tương tự Bài 1.
+ Cho trước luôn hình chiếu của đỉnh S trên mặt phẳng đáy là điểm cho
trước trên một cạnh đáy nào đó.
Một số câu hỏi cùng dạng:

C. V = 2a 3

D. V = 3a 3

Câu 3:(Trích đề thi TSĐH Khối A năm 2012)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều
ABC cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA
= 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và (ABC) bằng 60 0. Tính thể tích V của khối chóp
S.ABC.
A. V =

7a 3
12

B. V =

7a 3
4

C. V =

7a 3
6

D. V =

7a 3
2

Câu 4:(Trích đề thi TSĐH Khối A, A1 năm 2013)Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác
ABC vuông tại A, góc ABC bằng 300 , tam giác SBC đều cạnh a và mặt bên (SBC) vuông

B. V = a 3

C. V =

a3
6

D. V =

a3
2

Câu 6: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều ,BCD là tam giác vuông cân tại D ,

10


(ABC) ⊥ (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o . Tính thể tích tứ diện ABCD.
A. V =

3a 3
24

B. V =

3a 3
8

C. V =


A. V =

13a 3
2

B. V =

3 13a 3
2

C. V = 3 13a 3

D. V = 13a 3

Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt
·
phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết SB = 2a 3 và SBC
= 300 . Tính thể
tích khối chóp S.ABC.
A. V = 2 3a 3

B. V = 6 3a 3

C. V = 3a 3

D. V =

13a 3
3


tam giác đều, cách xác định chiều cao của hình chóp đều.
2) Lời giải:

+ Xác định công thức: Gọi H là trọng tâm tam giác ABC, do S.ABC là hình chóp đều
1
3

nên SH là đường cao của hình chóp. Do đó: V = .SH.SABC .
2

+ SH =

2 a 3
a 33
.
SA − AH = 4a −  .
=
÷
÷
3
2
3


2

2

1
2


+ C : Học sinh tính AH sai: AH = AM =
+ D : Học sinh quên

a 3
6

1
trong công thức tính thể tích.
3

• Đề xuất phương án nhiễu: như Ví dụ Dạng 1, Dạng 2.
• Đây là dạng toán liên quan đến hình chóp đều vì thế cần nắm vững định nghĩa hình
chóp đều cũng như các tính chất liên quan. Đôi khi giả thiết có thể cho đáy là tam giác
đều và các cạnh bên đều bằng nhau thì bản chất cũng là cho hình chóp đều. Để tạo ra
các bài toán cùng dạng ta có thể áp dụng cách làm trong các bài toán trên.
Một số câu hỏi cùng dạng:
Câu 1: Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a.
A. V =

2a 3
12

B. V =

2a 3
4

C. V =



2a 3
6

B. V =

2a 3
2

C. V =

2a 3
3

D. V = 2a 3

Câu 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo với mặt
phẳng đáy một góc 600. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
3a 3
A. V =
24

3a 3
B. V =
8

3a 3
C. V =
12


A. V =

2a 3
6

B. V =

2a 3
2

C. V =

2a 3
12

D. V =

2a 3
4

13


Câu 7: Tính thể tích của khối bát diện đều cạnh a.
A. V =

2a 3
6

B. V =


D. V =

11a 3
2

Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a 3 , và
SA = SB = SC = SD = a 2 . Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A. V =

2a 3
6

B. V =

2a 3
2

C. V =

2a 3
12

D. V =

6a 3
6

Câu 10: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD có diện tích là 16cm 2, diện tích
một mặt bên là 8 3cm2 . Thể tích khối chóp S.ABCD là:


C. V =

a 3 14
24

D. V =

a 3 14
8

Phân tích, lời giải và bình luận
1) Phân tích: + Câu hỏi thuộc mức độ nhận thức: Thông hiểu.
+ Học sinh cần nắm được : Công thức tính thể tích khối chóp, công thức tính diện tích
hình vuông, cách tính đường cao trong một tam giác.
2) Lời giải:
1
3

+ Xác định công thức: V = .SH.SABC .
2

a 2
a 14
+SH = SA − AH = a − 
.
=
÷
÷
4

trong công thức tính diện tích hình vuông.
2

+ D : Sai lầm của cả B và C
• Đề xuất phương án nhiễu: như Ví dụ Dạng 1, Dạng 2.
• Đây là dạng toán liên quan đến hình chóp mà hình chiếu của S trên mặt phẳng đáy là
điểm không thuộc cạnh đáy, vị trí của nó trên mặt phẳng đáy đã chỉ rõ, vì vậy việc xác
định công thức là tương đối dễ dàng. Để tính được nó chỉ cần dựa vào giả thiết để đưa
chiều cao cần tính về tính chiều cao trong tam giác mà thôi.
• Một số câu hỏi cùng dạng

15


Câu 1:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB = a, hình chiếu của S
trên mặt phẳng đáy là trọng tâm G của tam giác ABC. Biết SA = a. Tính thể tích V của khối
chóp S.ABC.
A. V =

7a 3
18

B. V =

7a 3
6

C. V =

7a 3

3a 3
2

Câu 3:Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều ABC cạnh a. Gọi M là trung điểm BC,
hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của AM. Biết góc tạo bởi SA và
mặt phẳng (ABC) bằng 450. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC.
A. V =

a3
16

B. V =

3a 3
16

C. V =

a3
8

D. V =

3a 3
8

Câu 4:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD tâm O với AB = a và AD =
a 3 , SO = a. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD). Tính thể tích V

của khối chóp S.ABCD.

C. V =

2a 3
2

D. V =

3 2a 3
2

Câu 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a , AD = a .
a
Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho AM = , cạnh AC cắt MD tại H . Biết SH vuông góc
2
với mặt phẳng (ABCD) và SH = a . Tính thể tích khối chóp S. HCD.
4a 3
A. V =
15

4a 3
B. V =
5

8a 3
C. V =
15

8a 3
D. V =
5

Câu 8: Cho hình chóp S.ABC, có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, AB = AC = a và
M là trung điểm của cạnh AB. Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt đáy (ABC) trùng
với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC và góc giữa SA với mặt đáy (ABC) bằng 60 0.
Tính theo a thể tích khối chóp S.BMC.
A. V =

6a 3
16

B. V =

3 6a 3
16

C. V =

6a 3
8

D. V =

3 6a 3
8

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm I, AB = 2a 3 , BC = 2a.Chân
đường cao H hạ từ đỉnh S xuống đáy trùng với trung điểm DI. Cạnh bên SB tạo với đáy góc
600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
A. V = 12a 3

B. V = 4a 3


Dạng 5: Thể tích khối chóp tính theo tỉ số thể tích.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = a; cạnh bên
SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = 2a. Mặt phẳng qua A và vuông góc SC cắt
SB và SC lần lượt tại H và K. Tính thể tích V của khối tứ diện SAHK.
A. V =

8a 3
45

B. V =

8a 3
15

C. V =

16a 3
45

D. V =

16a 3
15

Phân tích, lời giải và bình luận
1) Phân tích:
+ Câu hỏi thuộc mức độ nhận thức: Vận dụng cơ bản.
+ Học sinh cần nắm được : Công thức tính thể tích khối chóp, công thức tỷ số thể tích
của hai khối chóp tam giác, hệ thức lượng trong tam giác vuông.

a3
3

8a 3
.
45

Đáp án: A
3) Bình luận:
• Bài toán trên có thể tính thể tích bằng phương pháp trực tiếp: Tính chiều cao SK và
diện tích tam giác AHK.
• Các phương án nhiễu:
+ B : Học sinh quên

1
trong công thức tính thể tích.
3

18


+ C : Học sinh nhân thêm

1
trong công thức tính diện tích hình vuông.
2

+ D : Sai lầm của cả B và C
• Đây là dạng toán liên quan tính thể tích của khối chóp bằng phương pháp gián tiếp, cụ
thể là tỷ số thể tích. Học sinh cần nắm được tỷ số thể tích của hai khối chóp tam giác:

AB = 6a, AC = 7a và AD = 4a. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm các cạnh BC, CD
và DB. Tính thể tích V của tứ diện AMNP.
A. V =

7a 3
2

C. V =

B. V = 14a 3

28a 3
3

D. V = 7a 3

• Một số bài tập cùng dạng:
Câu 1:Cho tam giác ABC vuông cân tại A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc
với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt
BD tại F và cắt AD tại E. Tính thể tích V của khối tứ diện CDEF.
A. V =

a3
36

B. V =

a3
12


5 3a 3
192

Câu 3:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với
mặt đáy một góc 600. Gọi M là trung điêm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD,
cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích V của khối chóp S.AEMF.
A. V =

6a 3
18

B. V =

6a 3
6

C. V =

6a 3
9

D. V =

6a 3
12

Câu 4: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC và AD đôi một vuông góc với nhau,
AB = a ; AC = 2a và AD = 3a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BD , CD . Tính

thể tích V của tứ diện ADMN .

B. VS . AHK =
. C. VS . AHK =
. D. VS . AHK =
.
20
30
60
90
Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA=3a vuông góc với mặt
3

1
3

1
5

phẳng đáy. Trên các cạnh SB, SC ta lần lượt lấy các điểm E, F sao cho SE = SB, SF = SC .
Tính thể tích của khối chóp S.AEF.

20


A.

a3 3
60

B.



C.

a3
4

C.

a3
6

D.

a3
6

D.

a3
3

Câu 8: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a . Trên đường thẳng qua C và vuông
góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a . Mặt phẳng qua C vuông góc với BD,
cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
A.

a3
36

Câu 9: Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có thể tích bằng V . Lấy điểm A ' trên cạnh SA sao


B.

a3
36

C.

a3
12

D.

a3
24

21


Dạng 6: Tính tí số thể tích.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là trung điểm
SC, mặt phẳng đi qua AM và song song với BD cắt SB tại E và cắt SD tại F. Đặt V 1 =
VS.AEMF và V2 = VS.ABCD. Tính tỷ số
A.

V1 1
=
V2 3

B.

SE SF 2
=
= .
SB SD 3

VS.EMF SE SM SF 2 2 1 2
=
.
.
= . . =
VS.BCD SB SC SD 3 3 2 9
VS.AE F SE SF 2 2 4
=
.
= . =
VS.AB D SB SD 3 3 9
VS.BCD = VS.ABD =

→

1
V2
2

V1 VS.EM F + VS.AEF 1
=
= .
V2
V2
3

V1 1
=
V2 2

V1
.
V2

C.

V1
=2
V2

D.

V1 2
=
V2 9

Câu 2:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt phẳng đi qua A, B và trung điểm M
của SC cắt SD tại N. Đặt : V1 = VS.ABMN ; V2 = VABMNDC . Tính tỷ số:
A.

V1 3
=
V2 5

B.


mãn SA ' = SA , SB' = SB, SC ' = SC . Khi đó tỉ số
A.

1
30

B. 30

C.

VS.ABC
bằng:
VS.A 'B'C '

1
15

D. 15

Câu 4: Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, và đáy là tam giác vuông đỉnh B.
Biết độ dài các cạnh SA =AB = BC = a . Gọi M, N tương ứng là hình chiếu vuông góc của
đỉnh A trên các cạnh SB, SC. Gọi V và V’ tương ứng là thể tích của các khối chóp S.ABC và
S.AMN. Tỉ số
A.

1
3

V'
bằng :

A.

3
5

B.

5
36

Câu 7: Cho hình chóp tam giác đều

C.

5
3

D.

5
24

có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác

S.ABC
ABC, góc giữa SG và mặt phẳng ( SBC ) là 300. Mặt phẳng ( P ) chứa BC và vuông góc với SA

chia khối chóp S.ABC thành hai phần. Tỉ số thể tích hai phần là:
A. 1
6


B.

1.
4

C.

1.
6

D.

1
8

24


Dạng 7: Thể tích khối đa diện tính bằng cách phân chia, lắp ghép.
Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại C, AB = 2a và góc CAB
bằng 300. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu
của A trên SC và SC. Tính thể tích V của khối đa diện ABCHK.
A. V =

5a 3 3
21

B. V =


5
=
.
= → ABCHK =
Cách 1:
VS.ACB SC SB 7
VS.ACB 7

+ Tam giác SAB cân nên:

a3 3
5a 3 3
VS.ABC =
⇒V=
3
21
Cách 2: Phân chia: V = VH.AKB + VH.ABC .

Đáp án: A

3) Bình luận:
• Các phương án nhiễu: + B : Học sinh quên

1
trong khi tính thể tích .
3

+ C : Học sinh nhầm H là trung điểm SC.
+ D : Học sinh không nhân