Hồng Đình Hợp Đại số 11
I. HỆ THỨC CƠ BẢN
1. Đònh nghóa các giá trò lượng giác:
cos
sin
tan
' cot
OP a
OQ a
AT a
BT a
=
=
=
=
Nhận xét:
•
, 1 cos 1; 1 sin 1a a∀ − ≤ ≤ − ≤ ≤
α
• tana xác đònh khi
,
2
a k k Z≠ + ∈
π
π
,
• cota xác đònh khi
,a k k Z≠ ∈
π
2. Dấu của các giá trò lượng giác:
Cung phần tư

 ÷
 
π
sin( ) sina a− = − cos( ) cosa a− = −
π
cos sin
2
a a
 
− =
 ÷
 
π
tan( ) tana a− = −
tan( ) tana a− = −
π
tan cot
2
a a
 
− =
 ÷
 
π
cot( ) cota a− = −
cot( ) cota a− = −
π
cot tan
2
a a

π
sin( ) sina a+ = −
π
sin cos
2
a a
 
+ =
 ÷
 
π
cos( ) cosa a+ = −
π
cos sin
2
a a
 
+ = −
 ÷
 
π
tan( ) tana a+ =
π
tan cot
2
a a
 
+ = −
 ÷
 

2
π
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
180
0
270
0
360
0
sin 0
1
2
2
2
3
2
1

3
3
0
3
3
−
–1 0
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = +
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a− = −
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = −
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b− = +
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
+ =
−
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
−
− =
+
Hệ quả:

−
= =
−
2. Công thức hạ bậc: 3. Công thức nhân ba:
4. Công thức biểu diễn sina, cosa, tana theo t = tan
2
a
:
Đặt:
tan ( 2 )
2
a
t a k= ≠ +
π π
thì:
2
2
sin
1
t
a
t
=
+
;
2
2
1
cos
1

cos cos 2cos .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
+
+ =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
−
− =
sin( )
cot cot

2. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
cos .cos cos( ) cos( )
2
1
sin .sin cos( ) cos( )
2
1
sin .cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
 
= − + +
 
 
= − − +
 
 
= − + +
 
Trang 3
3
3
3
2
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
3tan tan

a
−
=
+
=
−
=
+
Đại số 11 Trần Só Tùng
Vấn đề 1: TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ, TÍNH CHẴN – LẺ, CHU KỲ
siny x=
: Tập xác đònh D = R; tập giá trò
1, 1T
 
= −
 
; hàm lẻ, chu kỳ
0
2T =
π
.
* y = sin(ax + b) có chu kỳ
0
2
T
a
=
π
* y = sin(f(x)) xác đònh
( )f x⇔

 
π
π
; tập giá trò T = R, hàm lẻ, chu kỳ
0
T =
π
.
* y = tan(ax + b) có chu kỳ
0
T
a
=
π
* y = tan(f(x)) xác đònh
( )f x⇔

( )
2
k k Z≠ + ∈
π
π
coty x=
: Tập xác đònh
{ }
\ ,D R k k Z= ∈
π
; tập giá trò T = R, hàm lẻ, chu kỳ
0
T =

Trang 4


Hồng Đình Hợp Đại số 11
Bài 1. Tìm tập xác đònh và tập giá trò của các hàm số sau:
a/
2
sin
1
x
y
x
 
=
 ÷
−
 
b/
siny x=
c/
2 siny x= −
d/
2
1 cosy x= −
e/
1
sin 1
y
x
=

tan 1x −
Bài 2. Tìm giá trò lớn nhất, giá trò nhỏ nhất của hàm số:
a/ y =
2sin 1
4
x
 
+ +
 ÷
 
π
b/
2 cos 1 3y x= + −
c/
siny x=
d/
2
4sin 4sin 3y x x= − +
e/
2
cos 2sin 2y x x= + +
f/
4 2
sin 2cos 1y x x= − +
g/ y = sinx + cosx h/ y =
3sin2 cos2x x−
i/ y =
sin 3 cos 3x x+ +
Bài 3. Xét tính chẵn – lẻ của hàm số:
a/ y = sin2x b/ y = 2sinx + 3 c/ y = sinx + cosx

d/
sin2 cos
2
x
y x= +
e/
tan cot3y x x= +
f/
3 2
cos sin
5 7
x x
y = −
g/
2sin . cos3y x x=
h/
2
cos 4y x=
i/ y = tan(−3x + 1)
ĐS: a/
.
π
b/ 6π. c/
.
π
d/ 4π. e/ π. f/ 70π. g/ π. h/
.
4
π
i/

0
. .v k T i=
r r
về bên trái và
Trang 5
Đại số 11 Trần Só Tùng
phải song song với trục hoành Ox (với
i
r
là véc tơ đơn vò trên trục Ox).
2/ Một số phép biến đổi đồ thò:
a/ Từ đồ thò hàm số y = f(x), suy ra đồ thò hàm số y = f(x) + a bằng cách tònh tiến đồ thò y =
f(x) lên trên trục hoành a đơn vò nếu a > 0 và tònh tiến xuống phía dưới trục hoành a đơn
vò nếu a < 0.
b/ Từ đồ thò y = f(x), suy ra đồ thò y = –f(x) bằng cách lấy đối xứng đồ thò y = f(x) qua trục
hoành.
c/ Đồ thò
( ), nếu f(x) 0
( )
-f(x), nếu f(x) < 0
f x
y f x

≥
= =


được suy từ đồ thò y = f(x) bằng cách giữ
nguyên phần đồ thò y = f(x) ở phía trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thò y = f(x)
nằm ở phía dưới trục hoành qua trục hoành.

 ÷
 
π
π
Ví dụ 2: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = cosx.
– Tập xác đònh: D = R.
– Tập giá trò:
1, 1 .
 
−
 
– Chu kỳ: T = 2π.
– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2 :
 
 
π
Trang 6
1
3
2
π
−
−π
2
π
−
0
2
π

π
y = cosx
–1
y
x
x0y
1
0
–1
0 0
x0



 
Hồng Đình Hợp Đại số 11
– Tònh tiến theo véctơ 2 .v k i=
r r
π
ta được đồ thò y = cosx.
Nhận xét:
– Đồ thò là một hàm số chẵn nên nhận trục tung Oy làm trục đối xứng.
– Hàm số nghòch biến trên khoảng
0,
2
 
 ÷
 
π
và nghòch biến trên khoảng

x⇒ = ±
π
là tiệm cận đứng.
– Chu kỳ: T = π.
– Bảng biến thiên trên
,
2 2
 
−
 ÷
 
π π
:
– Tònh tiến theo véctơ .v k i=
r r
π
ta được đồ thò y = tanx.
Nhận xét:
– Đồ thò là một hàm số lẻ nên nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
– Hàm số luôn đồng biến trên tập xác đònh D.
Ví dụ 4: Vẽ đồ thò hàm số y = f(x) = cotx.
– Tập xác đònh: D = R
{ }
\ ,k k Z∈
π
– Tập giá trò: R.
– Giới hạn:

0
lim , lim

−
π
2
π
−

2
π
π
3
2
π
2
π
5
2
π




2
− π
3
2
π
−

2
π

– Từ đồ thò y = cosx, ta suy ra đồ thò
1 cosy x= +
bằng cách tònh tiến đồ thò
cosy x=
lên
trục hoành 1 đơn vò.
– Bảng biến thiên trên đoạn
0, 2
 
 
π
:
Trang 8
y
x
–2π
3
2
π
−
3
2
π
2π
2
π
π
O
−π
2

−
O
y = 1 + cosx
y
x
−
π
2
π
π
3
2
π
y = cosx
2
1
–1