HÌNH HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC

Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com

1
Trong các kì thì tốt nghiệp, thi tuyển vào lớp 10 hoặc các kì thi học sinh giỏi, bài toán hình
luôn là bài toán khiến cho nhiều học sinh gặp khó khăn nhất. Để làm một bài toán hình đôi khi
phải qua nhiều giai đoạn nên đòi hỏi học sinh phải có khả năng suy luận tốt. Ngoài ra, học sinh
còn cần phải biết các bài toán cơ bản, bài toán gốc mà từ bài toán đó cho ta ý tưởng để giải các
bài toán khác. Sau đây tôi xin giới thiệu vài bài toán quen thuộc như thế để giúp học sinh có m
ột
sự liên kết tốt hơn.
PHẦN 1
CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH VÀ ĐỊNH LƯỢNG.

Bài toán 1:
Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) Nếu
n
60
o
BAC = thì
222
.BC AB AC AB AC=+− .
b) Nếu
n
120
o
BAC =
thì
222

n
222
11
sin sin60
22
o
AD BD AB
AD
BAD AD AB
A
B
+=
===⇒=

Do đó:
22 22 2
2.
2
BC AC AC AB AB AC AC AB AB
1
=− +=− +
. @
D
A
B C
HÌNH HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC


A
B
+=
===⇒=

Do đó:
22 22 2
2.
2
BC AC AC AB AB AC AC AB AB
1
=− +=+ + .
@
Từ cách chứng minh trên ta có thể chứng minh được nhận
xét 1 và 2.
Ví dụ 1:
a) Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 5 và góc
n
45
o
BAC = . Tính cạnh BC.
b) Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và
21BC = . Tính góc số đo góc A.
Sử dụng bài toán trên giải các bài toán sau:
Bài 1:
Cho tam giác ABC đều cạnh AB = a. Trên cạnh BC lấy một điểm D sao cho BD = 2CD.
Đường trung trực của đoạn AD cắt AB và AC tại E và F. Tính các cạnh của tam giác AEF.
Hướng dẫn giải
Đặt AF = x. Khi đó FD = AF = x và CF = a – x.
Vì

21
36
A
Ea=

Tam giác AEF có
n
60
o
EAF = nên ta có:
D
A
B
C
a
3
a - x
x
E
F
H
A
B CD
HÌNH HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC

Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com

3
22 2
.EF AE AE AF AF=− +

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Hãy tính cạnh BC trong các trường
hợp sau:
a)
n
90
o
BAC = .
b)
n
60
o
BAC = .
c)
n
45
o
BAC =
.
d)
n
30
o
BAC = .
Hướng dẫn giải
a) Với
n
90
o
BAC = thì BC là đường kính của (O) suy
ra BC = 2R.


c) Tương tự ta cũng có
2BC R=
.
d)
BC R
=
Qua bài 2 ta có các nhận xét sau:
D
O
B
C
A
D
O
B
C
A
HÌNH HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC

Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com

4
1. Mối quan hện giữa cạnh BC, góc A và bán kính đường tròn được thể hiện qua công thức
sau:
2
sin
BC
R
A

5. Sử dụng công thức (*) thử chứng công thức về diện tích:
4
ABC
abc
S
R
=
(**) . Với a, b, c là độ
dài ba cạnh của tam giác ABC.
Hướng dẫn
Trong tam giác ABC có ít nhất một góc nhọn giả sử
là góc A. Vẽ đường cao AH. Khi đó ta có
1
.
2
ABC
SAHAC=
Mà
n
sin
A
HAB BAC= suy ra
n
1
sin
2
ABC
SABACBAC=
Theo bài toán 2 nhận xét 1 ta có:
n

O
B
A
C
HÌNH HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC

Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com

5
a) Chứng minh rằng điểm đối xứng của H qua BC và M là I và J thuộc đường tròn (O).
b) Chứng minh rằng A, O, J thẳng hàng và
n
n
BAD JAC=
c) Chứng minh rằng AH = 2OM.
d) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Chứng minh O, H, G thẳng hàng và GH = 2GO.
Hướng dẫn giải
a)
+ Vì I là điểm đối xứng của H qua BC nên:
,BH BI HI BC
=
⊥ . HD BC
⊥
⇒ D là trung điểm HI.
Khi đó tam giác BHI cân tại B có BD là đường cao nên
cũng là phân giác, suy
n
n
D
BI DBH

oo o
ABJ ACJ+=+= nên là tứ giác nội tiếp. Suy ra J thuộc đường tròn
(O)
b)Ta có
n
90
o
ACJ = nên AJ là đường kính của (O) suy ra A, O, J thẳng hàng.
c) Trong tam giác AHJ có O là trung điểm AJ, M là trung điểm của HJ nên OM là đường
trung bình, do đó AH = 2OM.
d) G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2MG.
Xét
A
HGΔ và
M
OGΔ có:
+
n
n
HAG MOG=
+
()
2
AH AG
OM MG
==
n
n
~
A

2
4
BC
OM R=−
, nên ta có thể tính được AH trong
những trường hợp cụ thể. Hơn nữa nếu BC cố định thì AH có độ dài không đổi.
4) Từ câu d ta thấy trong một tam giác bất kì trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O và trọng
tâm G thẳng hàng và GH = 2GO. Đường thẳng đi qua 3 điểm này còn được gọi là đường
thẳng Euler.

Bài toán 4:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) có các đường cao AD, BE và CF đồng qui
tại H.
a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp.
b) Chứng minh
OA EF⊥
.
c) Gọi P, Q là hình chiếu của D trên AB và AC. Chứng minh
OA PQ
⊥

d) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác DEF.
Hướng dẩn giải

a)
Ta có
nn
(
)
90


c) Ta có FH// DP nên
A
FAH
A
PAD
=
(dl Thalet)
Và HE // DQ nên
A
EAH
A
QAD
=
(đl Thalet)
Suy ra
A
FAE
A
PAQ
=
theo hệ quả đl Thalet ta có EF // PQ mà OA EF OA PQ
⊥
⇒⊥
F
P
Q
D
E
H

A
P AB AQ AC APQ ACB APQ ACB
AC AB
=⇒=⇒ΔΔ⇒= ( Tới đây thì làm giống
câu b ta cũng có điều cần chứng minh)
d) Tứ giác BFEC nội tiếp nên ta có:
n
n
HFE HBC=
Tứ giác BFHD nội tiếp nên ta có
n
n
HFD HBC=
Suy ra
n
n
HFE HFD= , do đó FH là tia phân giác của góc
n
EFD .
Chứng minh tương tự ta cũng có EH là phân giác của góc
n
F
ED .
Qua bài 3 ta có nhận xét sau:

1) Chứng minh tương tự câu b ta cũng có các kết quả sau:
,OB DF OC DE⊥⊥
. Đây là
một bài toán rất quen thuộc mà kết quả của nó sẽ được dùng rất nhiều để chứng minh
các bài toán khác.

PMB NMC= .
Chứng minh rằng C, H, P thẳng hàng.
c) Giả sử BH = 2HN và AH = HI. Chứng minh rằng tam giác BAC đều.
Bài 8:
(NK 2006 – 2007 CD)
Cho tam giác ABC nhọn, có trực tâm H. Các đường thẳng BH và CH lần lượt cắt AC, AB tại
M và N,
n
120
o
NHM = .
a) Chứng minh
n
n
A
MN ABC= . Tính
M
N
BC

b) Tính
A
H
BC
.
Bài 9:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao BE, CF, cắt
nhau tại H và lần lượt cắt đường tròn (O) tại P và Q.
a) Chứng minh PQ//EF.

9
a) Đường thẳng qua A vuông góc với MN luôn đi qua một điểm cố định.
b) Đường thẳng qua H vuông góc với MN đi qua một điểm cố định.

Đôi khi các bài toán người ta cho số cụ thể hoặc trường hợp đặc biệt, khi đó bài toán sẽ có thêm
nhiều tính chất khác ngoài các tính chất đã biết. Chúng ta hãy cùng giải những bài toán như thế.
Bài 13:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R) có
3BC R= . Gọi H, I lần lượt là trực tâm,
tâm đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.
a) Tính góc BAC.
b) Chứng minh B, H, I, O, C cùng thuộc một đường tròn.
c) Gọi I’, O’ là điểm đối xứng của I và O qua BC. Chứng minh
(
)
,IO O
′
′
∈
.
d) Tính AH. Suy ra tam giác AOH cân.
Bài 14
:
Cho tam giác ABC nhọn có
n
60
o
BAC = nội tiếp đường tròn (O; R). Hai đường cao BD, CE cắt
nhau tại H. Gọi N là trung điểm của AC.

AD BE CF
′′′
++ =.
c) Thử chứng minh điều sau đây
2222
9
ABC A B C
S S AB BC AC R
′′′
≥⇔++≤.
HÌNH HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC

Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com

10
d) Chứng minh
A
BC ABC
SS
′′′
≥ .
e) Chứng minh trong các tam giác nội tiếp đường tròn thì tam giác đều có chu vi và diện tích
lớn nhất Bài toán 5:

Cho đường tròn (O;R) và I là một điểm nằm trong đường tròn. Một đường thẳng thay đổi
qua I cắt đường tròn tại A và B.
a) Chứng minh rằng IA.IB = R

.IA IB OI R
=
−
Nhận xét:

1) Qua bài trên ta thấy nếu I cố định thì IA. IB luôn không đổi và
22
.IA IB R IO=− . Tính
chất này tuy được chứng minh khá đơn giản nhưng cũng có nhiều ứng dụng.
2) Ta thấy nếu I, A cố định và
22
ROI− không đổi thì suy ra B cũng cố định. Kết quả này
cho ta ý tưởng để chứng minh các bài toán về họ đường tròn đi qua điểm cố định.
3) Nếu I nằm ngoài đường tròn IP là tiếp tuyến của (O). Khi đó ta có IA.IB = IP
2
.
Bài toán 6:

Cho tứ giác ABCD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại I, hai cạnh bên AD và BC kéo dài
cắt nhau tại O. Chứng minh rằng:
a) ABCD là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi IA.ID = IB.IC
b) ABCD là tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi OA.OC = OB.OD
Hướng dẫn giải

I
N
O
A
B
M

b) Chứng minh tương tự câu a.
Nhận xét:

1) Chiều suy ra thực chất là kết quả của bài 5.
2) Bài 6 cho ta một ý tưởng để chứng minh tứ giác nội tiếp, thực ra đó là một cách để
chứng minh tứ giác nội tiếp nhưng trong trình bày chúng ta không được sử dụng. Nếu
ta chỉ nghĩ tới việc chứng minh các góc bằng nhau thì sẽ rất khó khăn và hạn chế về ý
tưởng, nhưng khi ta nghĩ tới việc chứng minh các hệ thứ
c về độ dài thì sẽ có nhiều
hướng hơn để chứng minh.
Sử dụng các bài toán trên chứng minh các bài toán sau:
Bài 18:

Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi D và E là hình chiếu của H trên AB và CD.
a) Chứng minh tứ giác BDEC nội tiếp.
b) Đường tròn (H; HA) cắt AB và AC tại P, Q. Chứng minh PBCQ nội tiếp.
c) Chứng minh
OA PQ⊥
với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 19:

Cho đường tròn tâm O có hai đường kính AB và CD vuông góc nhau. M là một điểm thuộc
bán kính OA. Kẻ dây DE qua M, tiếp tuyến tại E cắt AB tại F, FD cắt (O) tại N.
a) Chứng minh tứ giác FEMN nội tiếp.
b) Chứng minh tứ giác FCON nội tiếp.
Bài 20: (NK 2003 – 2004 CT)

a) Cho đường tròn (C ) tâm O và một điểm A khác O nằm trong đường tròn. Một đường
thẳng thay đổi qua A nhưng không đi qua O cắt (C ) tại M, N. Chứng minh rằng đường
tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn đi qua một điểm cố định khác O.


Bài toán 7:
Cho đường tròn (O) và một điểm S nằm ngoài đường tròn. Dây Một đường thẳng d thay đổi qua S cắt
đường tròn tại A và B(A nằm giữa S và B). Tiếp tuyển của (O) tại A và B cắt nhau tại D. Vẽ
(
)
D
EOSEOS⊥∈
. Vẽ tiếp tuyến SP, SQ với (O) (P, Q là hai tiếp điểm).
a) Chứng minh tích OE.OS không đổi. Từ đó suy ra E là điểm cố định khi d thay đổi và D
luôn thuộc một đường thẳng cố định khi d thay đổi.
b) Chứng minh tứ giác ABEO nội tiếp.
c) Chứng minh D, P, Q thẳng hàng.
d) Tìm vị trí của d để tứ giác EASQ nội tiếp. Khi đó chứng minh
n
n
SPA ASO= .
Hướng dẫn giải:

a) Gọi I là giao điểm của OD và AB. Khi đó ta có
OD vuông góc AB tại I và I là trung điểm của
AB.
Xét tam giác OED và tam giác OIS có:
+
n
SOD chung
+
n
n
(

Q
S O
P
D
HÌNH HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC

Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com

13
Từ đó suy ra D luôn thuộc đường thẳng qua E và vuông góc với OS.
b) Ta chứng minh được
22
.SA SB OS R=−

Mà
2222
R OE OS OS R OS OE OS OS SE=⇒−=−= SA SB SE SO⇒=
Từ đó ta có tứ giác AEOB nội tiếp.
c) Gọi E’ là giao điểm của PQ và OS. Trong tam giác vuông OPS có PE’ là đường cao nên ta
có:
22
.OE OS OP R
′
==
Suy ra
OE OS OE OS E E
′′
=⇒≡
Khi đó QP và DE cùng vuông góc với OS tại E nên D, P, Q thẳng hàng.
d) Ta có tứ giác SAEQ nội tiếp thì khi và chỉ khi

n
n
SPA ASO=
ta có thể chứng minh được OS tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác
ADS. HÌNH HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC

Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com

14
H
I
M
E
D
C

b) Đường thằng qua O vuông góc với CD cắt AB
tại F và CD tại H. Khi đó ta có
2
2

R
OH OF OE OS R OF
OH
==⇒= không đổi,
suy ra F cố định.
c) Trong tam giác OSF có FE và SH là đường
cao và cắt nhau tại M nên M là trực tâm. Suy
ra
OM SF
⊥
Nhận xét:

1) Câu a thực ra là áp dụng câu b của bài toán 7.
2) Nếu hiểu rõ bài toán 7 ta có thể chứng minh được AB luôn đi qua điểm F, với F là giao
điểm hai tiếp tuyến tại C và tại D của (O).
3) Bài toán 7 và bài toán 8 cho ta một tính chất rất hay về tiếp tuyến của đường tròn. Đó
là tính chất về tính thẳng hàng của F, A, B. Và tính chất nội tiếp được của tứ giác
OECD.
4) Từ câu c ta thấy nếu M là một đi
ểm trong đường tròn, AB và CD là hai dây cung đi qua
M. Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại S, tiếp tuyến tại C và D cắt nhau tại S. Khi đó OM
vuông góc với SF. Hãy chứng minh khẳng định này.

q
CBD , chứng minh
nn
2
D
EC DBC= .
Bài 26:

Cho đường tròn (O) và một điểm I nằm trong đường tròn. Dây AB thay đổi qua I và không
phải đường kính. Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại P. Chứng minh P luôn thuộc một đường
thẳng cố định.
Bài 27: (THTT 8/2007)

Cho đường tròn (O) và một điểm I nằm trong đường tròn. Dây AB và CD thay đổi qua I
và không phải đường kính. Tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại P, tiếp tuyến tại C và D cắt nhau
tại Q. Chứng minh OI vuông góc với PQ.
Bài 28:

Từ một điểm P nằm ngoài đường tròn (O), kẻ hai tia tiếp tuyến PE và PF tới đường tròn ( E,
F là hai tiếp điểm). Một cát tuyến thay đổi đi qua P, cắt đường tròn tại hai điểm A, B ( A nằm
giữa P và B ) cắt EF tại Q.
a) Khi cát tuyến qua O, chứng minh
PA QA
PB QB
=
(1)
b) Đẳng thức (1) còn đúng không khi cát tuyến không đi qua O. Chứng minh điều đó.
HÌNH HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC

Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ACH cắt IC tại M. AM cắt IB tại K. Chứng minh M là
trung điểm AK.
Bài 32:

Cho đường tròn (O; R), qua điểm K ở bên ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến KB, KD ( B, D
là các tiếp điểm), kẻ cát tuyến KAC (A nằm giữa K và C).
a) Chứng minh rằng hai tam giác KDA và KCD đồng dạng.
b) Chứng minh AB. CD = AD. BC
c) Kẻ dây CN song song với BD. Chứng minh AN đi qua trung điểm BD.

Bài toán 9:
Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với AB, AC, BC tại D, E, F. BI cắt DE tại
K.
a) Chứng minh tứ giác IEKC nội tiếp, suy ra
CK BK
⊥
.
b) Chứng minh K, M, N thẳng hàng. Trong đó M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC.
Hướng dẫn giải

a) Ta có
nn
n
180
2
o
BAC
KEC AED
−
==

N
M
K
D
E
F
I
A
B
C
HÌNH HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC

Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com

17
b) Ta có MN là đường trung bình của tam giác ABC nên MN//AB.
Trong tam giác vuông BKC có KM là đường trung tuyến nên KM = MB, suy ra tam giác MKB
cân tại M. Khi đó ta có
n
nn n
n
2
M
KC KBM BKM KBM ABC=+= = suy ra KM // AB.
Vậy M, N, K thẳng hàng.
Nhận xét:

1) Bài toán trên cho ta một tính chất đó là các đường thẳng DE, BI và MN đồng qui tại
một điểm. Vì thế đề bài có thể yêu cầu chứng minh giao điểm của hai đường thuộc
đường thẳng còn lại.

HÌNH HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC

Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com

18
Bài toán 10:
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm thuộc cung nhỏ BC. Gọi H, I, K
lần lượt là hình chiếu của M trên BC, AC và AB.
a) Chứng minh rằng:H, I, K thẳng hàng.
b) Tìm vị trí của M sao cho IK có độ dài lớn nhất.
Hướng dẫn giải

a) Ta có tứ giác KBHM, HMCI nội tiếp nên:
n
n
KHM KBM=
và
n
n
180
o
HMI ACM+=
Mà
n
n
n
n

a) Chứng minh rằng D, E, F thẳng hàng.
b) Chứng minh rằng đường thẳng đi qua DEF luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi
trên cung nhỏ AC.
Bài 36:

Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). M là một điểm trên cung nhỏ AC. Gọi I, K là hình
chiếu của M trên AB và BC. Gọi P, Q là trung điểm của IK và AB. Chứng minh
M
PPQ
⊥

Bài 37: (NK 2004 – 2005 CT)

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và điểm M là một điểm thay đổi trên
cung nhỏ BC. N là điểm đối xứng của M qua trung điểm I của AB.
a) Chứng minh trực tâm K của tam giác NAB thuộc một đường cố định.
I
H
K
O
A
B
C
M
HÌNH HỌC LỚP 9 NHỮNG BÀI TOÁN QUEN THUỘC

Biên soạn: NGUYỄN TĂNG VŨ www.truonglang.wordpress.com

19
b) Giả sử NK cắt AB tại D, hạ NE vuông góc với BC. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.

e) Tìm vị trí của M để DE đạt giá trị lớn nhất.