BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
1
BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
Loại 1. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, một đường thẳng
A. Tóm tắt lý thuyết
1. Định nghĩa: Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng (hoặc đường thẳng) bằng khoảng cách
từ điểm đó tới hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng (hoặc đường thẳng).

Khoảng cách từ điểm
M
tới mặt phẳng


P
được
ký hiệu là




d M; P

M
lên


thì



d M; MH
 
.
2. Bài toán cơ bản: Nhiều bài toán tính khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng, từ điểm tới đường
thẳng có thể quy về bài toán cơ bản sau
Bài toán: Cho hình chóp
S.ABC
có
SA
vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm
A
đến
mặt phẳng


SBC
và khoảng cách từ điểm
S
đến đường thẳng
BC
.
Cách giải

xuống
SD
. Ta có
+)


SA ABC




BC SA

, lại có
BC AD

(do dựng)




BC SAD




SD BC








d A; SBC AH

.
3. Một số lưu ý
* Về cách tính khoảng cách một cách gián tiếp
+)


MN P












d M; P d N; P

.
+)













d M; P d M; Q
MI NI

.
Trường hợp đặc biệt:
I
là trung điểm của
MN













.
Trường hợp đặc biệt:
I
là trung điểm của
MN







d M; d N;
  
.
* Về cách sử dụng thể tích để tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng: Cho hình chóp
1 2 n
S.A A A
. Ta có
 
3V
S.A A A
1 2 n
1 2 n
S
A A A
1 2 n
d S, A A A
 


P Q

,
M
là một điểm bất kỳ trên


P
. Khi đó
S
A
C
B
D
H

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
3



AB a

. Lấy
C
,
D
lần lượt thuộc


P
và


Q
sao cho
AC
,
BD
vuông góc với

và
AC BD a
 
. Tính khoảng cách từ
A
đến mặt phẳng phẳng


BCD
.


BD AC

. Lại có
BD AB






BD ABC



1
.
Gọi
H
là chân đường vuông góc hạ từ
A

xuống
BC
. Vì
ABC

vuông cân tại
A
nên







2
2
;
a
d A BCD AH  .
Ví dụ 2. [ĐHD12] Cho hình hộp đứng
. ' ' ' '
ABCD A B C D
có đáy là hình vuông, tam giác
'
A AC

vuông cân, '
A C a

. Tính khoảng cách từ điểm
A
đến mặt phẳng


'
BCD
theo
a

vuông cân (tại
A
) nên
'
2
' 2
A C
AC AA a
   .
ABC

vuông cân (tại
B
) nên
2
AC
AB a
 
.
Hạ
'
AH A B

(
'
H A B

) .Ta có
' '
BC ABB A

    



6
3
a
AH 
.Vậy


6
3
; '
a
d A BCD AH AH   .
Ví dụ 3. Cho hình chóp .
S ABC
có
3
SA a

và


SA ABC
 . Giả sử
2
AB BC a
 

, lại có
CD AD


(do dựng)




CD SAD



AH CD

, mà
AH SD






AH SCD



H
là chân đường
vuông góc hạ từ

AH

. Vậy


3
2
;
a
d A SBC AH
 
.
a
a 2
a 2
2a
C
C'
D
D
'
A
A
'
B
B
'
H
2a
2a

4
BC a

;
mặt phẳng


SBC
vuông góc với mặt phẳng


ABC
. Biết
2 3
SB a

và

30
SBC 

. Tính
khoảng cách từ điểm
B
đến mặt phẳng


SAC
theo
a

KC BC BK a a a
    
.
Do đó nếu ký hiệu
1
d
,
2
d
lần lượt là các khoảng cách từ
các điểm
B
,
K
tới


SAC
thì
1
2
4
d
BC
d KC
 
, hay
1 2
4
d d

AC SKD



KH AC

, mà
KH SD

(do dựng)




KH SAC



2
d KH
 .
Từ
ADK ABA
 

suy ra:
CK
DK
CA BA


    



3 7
14
a
KH  .
Vậy




6 7
1 2
7
; 4 4
a
d B SAC d d KH    .
Ví dụ 5. [ĐHB11] Cho lăng trụ
1 1 1 1
.
ABCD A B C D
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật,
AB a

,
3

K
S
C
A
B
D
H

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84
6
AH
là đường cao của tam giác
ABD
vuông tại
A
nên
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 4
3 3
AH AB AD a a a
    

bằng
a
và vuông góc với đáy.
1) Tính khoảng cách từ điểm
S
đến đường thẳng
BC
.
2) Gọi
H
là chân đường vuông góc hạ từ
A
lên
SB
. Tính khoảng cách từ trung điểm
M
của
AC
đến đường thẳng
CH
.
Giải
1) Ta có


SA ABC



BC SA

; 3
d S BC SB a
  .

2) Gọi
H
là chân đường vuông góc hạ từ
A
lên
SB
. Ở câu trên,
ta đã chứng minh


BC SAB



AH BC

, lại có
AH SB


AH CH

.
Lại lấy
K
là trung điểm của

K
M
H
S
A
C
B

Đặt
I AC BD
 
. Từ giả thiết suy ra


1
A I ABCD
 .
Đặt
1 1
J B A A B
 


J
là trung điểm của
1
B A
, đồng thời





1
AH A H

, lại có
AH BD

(do đựng)




1
AH A BD







1
;
d A A BD AH
 .

a 3
a
I

6
;
a
d M CH MK  .
C. Bài tập
Bài 1. Cho tứ diện
OABC
có
OA
,
OB
, OC đôi một vuông góc với nhau. Kẻ


OH ABC

.
1) Chứng minh:
H
là trực tâm
ABC

.
2) Chứng minh:
2 2 2 2
1 1 1 1
OH OA OB OC
  
.
Bài 2. [ĐHD02] Cho tứ diện



,

BSC 60


,

CSA 90


.
Tính khoảng cách từ
S
đến mặt phẳng


ABC
.
Bài 4. Cho tam giác
ABC
vuông tại
A
. Cạnh
AB
có độ dài bằng
a
và nằm trong mặt phẳng


là một điểm nằm ngoài



. Biết rằng
MO 23 cm

và khoảng cách từ
M
đến
Ox
,
Oy
cùng bằng
17 cm
. Tính khoảng cách từ điểm
M
đến mặt phẳng



.
Bài 6. Cho hình chóp
S.ABC
có
SA
vuông góc với đáy. Biết rằng
AB 7 cm

,


,
BA BC a
 
,
AD 2a

. Cạnh
SA
vuông góc với đáy và
SA a 2

. Gọi
H
là hình chiếu
vuông góc của
A
lên
SB
. Tính khoảng cách từ
H
đến mặt phẳng


SCD
theo
a
.
Bài 8. [ĐHD09] Cho hình lăng trụ đứng
ABC.A'B'C'

a
.