Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Trang 1 I
I
.
.

Phương pháp Chứng minh và Áp dụng giải Toán Đ
Đ
A
A
Ï
Ï
I
IS
S
O
O
Á
Á

11
<⇔>

Bài tập áp dụng:
Bài 1:
3223
1232
1823
32 và 23
>
=
=
a) b)
( )
3-3 48
4
1
131 nên 32
1333-3
1348
4
1
3-3 và 48
4
1
>
−>>
−=
⋅=
c)

2
32
2
3
1
2
+
=
+
=
+
=
+
=
+
=+

f)
( )
( )
( )
13
13
13
13
13
3610
324
2
3

( )
( )
( )( )
2
1
a b,a với 12144
2
2
≥≥−−=+−− abaaaba

Bài tập tự rèn luyện:
1. So sánh các số sau (không dùng máy tính):
a) 4 và
15
b) 3 và
22
c)
52
và
19

d)
32
và
23
; e)
54
và
35
. f)

h)
325 và 223 −−
i)
3. So sánh các số sau:
a)
15 và 15101726 ++++

b)
520 và
12
1
19981999
1
19992000
1
+
++
+
+
+


Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Trang 2
Vấn đề 2: Rút gọn, tính giá trò của biểu thức, chứng minh biểu thức
thỏa điều kiện.
 oOo 

0B 0,A với ≥≥= BABA
c)
0B 0,A với >≥=
B
A
B
A

5.Các phép biến đổi:
0B với
2
≥= BABA

a) b)
0B 0,A với A.B
1
>≥=
BB
A

c)
( )
BA 0,B 0,A với ≠≥≥
−
=
±
BA
BAM
BA
M 

3
≠=
B
A
B
A

I. Rút gọn, Thực hiện phép tính,…
Bài tập áp dụng:
Bài 1:
( ) ( )
1122212221222
22
=−+−=−+−=−+−
a)
b)
( ) ( )
4133531533153
22
=−+−=−+−=−+−

c)
( )
( )
3752757275727
22
=−+−=−+−=−+−

Bài 2:
6

2323223
43
2323223
23
23
2
2
2
2
2
2
+






+−−=
−
+






+−
=
−

+
=
+
=
−+
++
=
−
+
x
x

Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Trang 3
d)
( ) ( ) ( )
( )
4 32 2
4332 2
22 2 2
2
A x 2x x 2x 1 khi x x 4
A x x x x 2x 2x 1
Axxxxxx2xx1
A 4 x x 2.4 1
A 4.4 8 1 7
= + − − − +=
=+++− −−
= ++ +− +−
= +− −

2
2
aa
a
a
a
a
a
a

c)
( )
( ) ( )
( ) ( )
0
2
2
=+−+=
+
+
−
−
−+
=
+
++
−
−
−
baba

a
a
a
aaaa
a
aa

c)
( ) ( )
( )( )
aaa
a
aa
a
aa
a
aa
a
aa
−=−+=








−
−


+
+
+ 111
12
12
1
1
1
1
12
2
1
1
1

Bài tập tự rèn luyện:
1. Tính (rút gọn):
1. a)
1471227532 −+−
; b)
12580345220 +−+
;
c)
32450823 −+−
.
2. a)
625
1
625








+
+
+








−
−
+ 1
71
77
71
77
1
; b)
61
5
23

2424
+−−+−
với
2x =
.
3. Rút gọn ( loại bỏ dấu căn thức và dấu giá trò tuyệt đối):
1. a)
( )
2
1x −
; b)
( )
2
x2 −
; c)
2
x
1
.
2. a)
4x4x
2
+−
; b)
2
xx69 +−
; c)
1x4x4
2
−+−

; b)
( )
4
x2x8 −+

4. Cho biểu thức
3223
3223
yxyyxx
yxyyxx
A
−−+
+
−−
=

a. Rút gọn biểu thức A. b. Tính các giá trò của A khi cho
3x =
và
2y =

Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Trang 4
c. Với giá trò nào của x và y thì A = 1.
5. Cho biểu thức
x2
1
6xx
5
3x








−
+
+
⋅








+
−
−
+
−
= x
x1
x1
x
x1
x1









+
−
−
−
−
−
+
=

a. Rút gọn biểu thức D. b. Tính giá trò của D khi
25x =−

8. Cho biểu thức
( )( )
4x9
1x1x
21x4
E
2
2
−
−++−




+
−
−
−
+
=
1x
2
x1
x
1x
1
:
1x
1x
1x
1x
G
2

a. Rút gọn biểu thức G. b. Tính giá trò của biểu thức G khi
324x +=

c. Tìm giá trò của x để G = –3
11. Cho biểu thức
1x
xx


−−+
−
−








+
+=
1xxxx
x2
1x
1
:
1x
x
1K

a. Rút gọn biểu thức K. b. Tính giá trò của biểu thức K khi
324x +=

c. Tìm giá trò của x để K > 1
13. Cho biểu thức




−
+
=
a
b
ba
ba
b
a
ba
ba
:
ba
ba
L
2
22
22

a. Rút gọn biểu thức L. b. Tính giá trò của biểu thức L khi
2
b
a
=

14. Cho biểu thức




22
32
22
2

a. Rút gọn biểu thức M b. Tính giá trò của biểu thức M khi cho
21a +=
và
21b −=

c. Tìm các giá trò của a và b trong trường hợp
2
1
b
a
=
thì M = 1
15. Cho biểu thức
ab
ba
aab
b
bab
a
N
+
−
−
+
+

=

a. Rút gọn biểu thức P. b. Tính giá trò của biểu thức P khi
223x +=

c. Tìm các giá trò của x để P > 1
17. Cho biểu thức








+
−
−








−
+
+
−

−
−−+
+
=

a. Rút gọn biểu thức R. Chứng minh rằng nếu
81b
81b
R
−
+
=
thì khi đó
b
a
là một số nguyên
chia hết cho 3.
19. Cho biểu thức






−
−−





−
+
=
1x
1x
1xx
1x
1xx
2x
:1T

a. Rút gọn biểu thức T. b. Chứng minh T > 3 với mọi giá trò x > 0, x ≠ 1.
21. Cho biểu thức
3x
3x2
x1
2x3
3x2x
11x15
U
+
+
−
−
−
+
−+
−
=




+
−=
6x5
x
2x
x3
2x
2x
3x
:
x1
x
1V

a. Rút gọn biểu thức V. Tìm giá trò của x để V < 0
23. Cho biểu thức
1x
1
x1
1
x1
1
:
x1
1
x1
1
Y


Vấn đề 3:
Vẽ đồ thò, Tương giao của hai đưởng (D) và (P).
 oOo 
Ôn tập giáo khoa:
+ Hàm số y = ax + b.
Tập xác đònh của hàm số y = ax + b là R
Hàm số y = ax + b đồng biến trong R nếu a > 0, nghòch biến trong R nếu a < 0.
Đường thẳng y = ax đi qua O(0;0) và E(1;a).
Đường thẳng y = ax + b đi qua P(0;b) và Q(-b/a;0).
+ Hàm số y = ax
2
.
Tập xác đònh của hàm số y = ax
2
là R.
Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Trang 6
3
2
1
0
1
2 3
2
1
1
2
3
4

Bài 1:
Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:




=
=
⇔





=
+−
⇔



−=
=
1
112
12
2
2
2
y
x

2. Tìm giá trò của x để f(x) = 1.
3. Chứng minh hàm số f(x) đồng biến trên tập xác đònh.
2. Cho hàm số f(x) = (m + 1)x + 2
1. Với giá trò nào của m thì hàm số đã cho đồng biến.
2. Xác đònh giá trò của m để đồ thò hàm số đi qua A(1; 4).
3. Với giá trò nào của m đồ thò hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1. Vẽ đồ
thò hàm số trong trường hợp này.
3. Xác đònh hàm số y = ax + b, biết:
1. Đồ thò hàm số đi qua A(1; –1) và có hệ số góc là 2.
2. Đồ thò hàm số song song với đường thẳng y = 2 – 3x và cắt trục tung tại điểm có tung
độ bằng 1.
4. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm B(1; 4) và C(–2; 3).
5. Cho hàm số: y = – 2x
1. Chứng minh hàm số nghòch biến với x > 0 ; Đồng biến với x < 0 .
2

2. Vẽ đồ thò của hàm số.
3. Bằng phép tính hãy tìm toạ độ giao điểm của đồ thò hàm số với đường thẳng y = x – 3 .
6. Vò trí tương đối của 2 điểm đối với các trục, đối với gốc O. Đường thẳng qua gốc O.
Trong mặt phẳng toạ độ, cho điểm A(2;1).
1. Tìm các điểm đối xứng của A qua trục hoành, trục tung, gốc hệ trục.
2. Tính khoảng cách OA.
3. Viết phương trình đường thẳng OA.
4. Viết phương trình đường thẳng qua A và vuông góc với OA.
7. Lập phương trình đường thẳng.
Lập phương trình của đường thẳng (D) trong các trường hợp sau và vẽ các đường thẳng ấy trong
mặt phẳng tọa độ:
1. (D) có hệ số góc a = 2 qua A(2; 1).
Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Trang 7

) tại F. Tìm toạ độ của F; tính diện tích của tứ giác ABEF.
2
Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol (P):
(a ≠ 0) và sự tương giao với y = ax + b.
2
xy =
và đường thẳng (D): y = x + 2.
1. Khảo sát và vẽ đồ thò (P) của hàm số
2
xy =
.
2. Vẽ (D).
3. Tìm tọa độ giao điểm của A và B của (P) và (D) bằng đồ thò và phép toán.
4. Từ A và B vẽ AH ⊥ x’x; BK ⊥ x’x . Tính diện tích của tứ giác AHKB.
10. Xác đònh hàm số y = ax
2
Cho hàm số
(a ≠ 0). Đặc điểm hình học qua tọa độ:
2
axy =
có đồ thò (P).
1. Tìm a biết (P) qua điểm A(1; –1). Vẽ (P) với a vừa tìm được.
2. Trên (P) lấy điểm B có hoành độ bằng –2, tìm phương trình của đường thẳng AB và tìm
toạ độ giao điểm D của đường thẳng AB và trục tung.
3. Viết phương trình đường thẳng (d) qua O và song song với AB, xác đònh toạ độ giao
điểm C của (d) và (P). (C khác O).
4. Chứng tỏ OCDA là hình vuông. Vấn đề 4:

Phương pháp dùng đònh nghóa để chỉ rõ sự tồn tại nghiệm của hệ phương trình (phương
pháp này không xác đònh được nghiệm số bằng bao nhiêu).

nghiệm. vô
142
32
1
3
4
2
2
1



=−
=−
⇒≠
−
−
=
yx
yx

Bài 2:
a)
Ôn tập các phép biến đổi tương đương hệ phương trình. Từ đó biến đổi hệ phương trình về
dạng đơn giản nhất, sau đó áp dụng các phương pháp đã học để giải hệ phương trình :
( ) ( )


104521
3
1410
3
5
2
4
3
7
y
x
yx
yx
y
xyx
y
x
yx

Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Trang 8
b)
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )







c)
( )
( )



=
=
⇔



=−−
−=
⇔



=−
=+
⇔







=
−

d)
( ) ( )



=
−=
⇔



−=+
−=−
⇔



−=+
−=−
⇔





+=+−−
=
−
+
1

=
=
⇔







−=
−
=
==
⇔







−=
=
⇔



=+
=−

3
13
2a
:có Ta
2
1
b;
1
a Đặt
01
2
13
2
2
11
y
x
y
x
b
a
ba
b
yx
yx
yx

b)





=−
=−−
0y
2x
0
4
:đó Do
0
4
12b93a-
1243a
43b-a
1243a
:có Ta . b; a Đặt
43
01243
2
2
2
2
yb
xa
b
abb
yx
yx
yx


1
x
1

12. Tìm m và n để hệ phương trình sau có nghiệm (–3; 2) :



−=+
−=+
m57nyx4
11n6y5mx

13. Giải hệ phương trình:







=
+
++
=
+
+
+
4
2y

+=
=
1xy
x2y
; b.



+=
−=
x1y
1x2y
; c.



=+
=−
4yx
2yx2
; d.



=+−
=++−
03y2x4
01yx2
; đ.


∆ > 0 : phương trình có 2 nghiệm số phân biệt.
x
1
a
b
2
∆+−
= ; x
2
a
b
2
∆−−
= .
b) Giải phương trình bậc hai bằng công thức nghiệm thu gọn khi b chẵn.
ax
2
+ bx + c = 0
∆’= b’
2
– 4ac.
∆’ < 0 : phương trình vô nghiệm.
∆’ = 0: phương trình có 1 nghiệm số kép x
1
= x
2
a
b'
−
=
biệt phânâm số nghiệm haicó trình phương
0
0
0
⇔





<
>
>∆
S
Pdấu trái số nghiệm haicó trình phương0
⇔<P hơnlớn đốituyệt trò giá có âm nghiệm dấu, trái số nghiệm haicó trình phương
0
0
⇔





Để tìm tham số theo điều kiện của ẩn ta :
Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Trang 10
Lập ∆ ; ∆’ ≷ 0.
Giải phương trình hoặc bất phương trình theo tham số.
Để chứng minh 1 phương trình có 0, 1, 2, nghiệm số ta:
Lập ∆ ; ∆’ .
Chứng tỏ ∆ ; ∆’ ≷ 0 hoặc bằng 0 để có 0, 1, 2 nghiệm.
d) Hệ thức Vi-et: Nếu phương trình bậc hai ax
2
+bx+c = 0 có hai nghiệm x
1
, x
2
thì tổng và tích
hai nghiệm đó là: S= x
1
+x
2
a
b
= - P= x
1
.x
2
a
c
= .
Nếu phương trình ax

y = x
2
( ) ( )
0.
2
=++ cxbfxfa
.
Mở rộng cho trường hợp sau:
Đặt y = f(x), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai một ẩn số.
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Học sinh nhận đònh thứ tự ưu tiên khi giải phương trình bậc hai một ẩn số: Nhẩm (Dùng
đònh lý nghiệm hay đònh lý Vi-ét), dùng công thức nghiệm khi b lẻ, dùng công thức nghiệm thu
gọn khi b chẵn.
a) x
2
–11x + 30 = 0 x
1
= 5 x
2
= 6 b) x
2
–10x + 21 = 0 x
1
= 3 x
2
= 7
c) 0,3x
2
-2x+1,7= 0 ; x
1

=−
; b)
0x4x
2
=+−
.
2. a)
04x
2
=−
; b)
05x
2
=+−
.
3. a)
09x
2
=+
; b)
016x
2
=−−
.
4. a)
01x2x
2
=+−
; b)
01x4x4

+−=+−
; b)
( )( )
1x8x161x4x82
2
+−=−−
;
c)
( )( )
9x43x3x2
2
−=++
; d)
9x12x48x8x2
22
+−=+−
.
2. Giải các phương trình sau(dùng công thức nghiệm):
1. a)
06x5x
2
=++
; b)
010xx2
2
=−−
.
2. a)
0
6

=+−
; b)
025x20x4
2
=+−
; c)
0
4
1
xx
2
=+−

5. a)
03x4x
2
=+−
; b)
03x5x2
2
=++

6. a)
01x3x2
2
=−−
; b)
01x4x
2
=++

03x1m2x
2
=−+−
; b)
( )
05x1m2x
4
1
2
=+−+−

4.
05mx4x
22
=++−

4. Áp dụng hệ thức Viét (loại 1).
Không dùng công thức nghiệm áp dụng vào phương trình sau:
012xx
2
=−−
.
1. Chứng tỏ rằng phương trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
;x
2
2. Tính:
.
a)
2

21
2
2
2
1
xx với xx <−

5. Áp dụng hệ thức Viét (loại 2)
Cho phương trình bậc hai sau:
(1) 01mx4x
2
=++−
.
1. Tìm điều kiện của m để (1) có nghiệm.
2. Tìm m sao cho có 2 nghiệm x
1
; x
2
a)
thoả mản:
10xx
2
2
2
1
=+
b)
3
10
x

=+
đối nhau. b) c)
( )
2xxxx
2121
=+−Vấn đề 6:
Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình
 oOo 
Ôn tập giáo khoa:
Các bước giải bài tập bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
+Lập phương trình (hoặc hệ phương trình)
-Chọn ẩn số, đơn vò, điều kiện cho ẩn số.
-Biểu diễn các số liệu đã biết qua ẩn số.
-Dùng các quan hệ của bài toán mà lập phương trình (hệ phương trình).
+Giải phương trình (hệ phương trình ): Dùng phương pháp thích hợp.
+Đối chiếu nghiệm với điều kiện của bài toán để chọn nghiệm thích hợp.
Bài tập áp dụng:
Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Trang 12
Bài 1: Học sinh tiến hành bài tập 17 theo thứ tự như giáo khoa. Sau đó học sinh lên bảng giải bài
tập 17.
Chú ý: Độ dài cạnh góc vuông của tam giác bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh huyền và luôn
luôn lớn hơn 0. Phương trình bậc hai một ẩn số khi khuyết b, c thì giải trực tiếp
Bài 2: Học sinh tiến hành bài tập 17 theo thứ tự như giáo khoa. Sau đó học sinh lên bảng giải bài
tập 17.
Chú ý:
1. Hai tỉnh A và B cách nhau 225km. Một ô tô đi từ A đến B. Cùng một lúc ô tô thứ hai đi từ B

thêm vận tốc 10 km/h trên quảng đường còn lại, do đó Ô tô đến Tỉnh B sớm hơn 1 giờ so
với dự đònh. Tính quảng đường AB.
8. Một đội máy kéo dự đònh mỗi ngày cày 40 ha. Khi thực hiện, mỗi ngày đội máy kéo cày
được 52 ha. Vì vậy, đội không những đã cày xong trước thời hạn 2 ngày mà còn cày thêm
được 4 ha nữa. Tính diện tích thửa ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch đã đònh.
9. Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ hoàn thành xong một công việc đã đònh. Họ
làm chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được diều đi làm việc khác, tổ thứ hai làm
nốt phần công việc còn lại trong 10 giờ. Hỏi tổ thứ hai nếu làm một mình thì sau bao lâu sẽ
hoàn thành công việc?
10. Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất được 800 chi tiết máy. Sang tháng hai, tổ I sản
xuất vượt mức 15%, tổ II sản xuất vượt mức 20%, do đó cuối tháng cả hai tổ sản xuất được
945 chi tiết máy. Hỏi rằng trong tháng đầu, mỗi tổ công nhân sản xuất được bao nhiêu chi
tiết máy ?
11. Một đội công nhân hoàn thành một công việc với mức 420 ngày công thợ. Hãy tính số công
nhân của đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày để hoàn thành công việc sẽ
giảm đi 7 ngày.
12. Cho một lượng dung dòch chứa 10% muối. Nếu pha thêm 200 gam nước thì được một dung
dòch 6%. Hỏi có bao nhiêu gam dung dòch đã cho ?
Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng
Trang 13
13. Có hai loại dung dòch chứa cùng một thứ axit; loại I chứa 30% axit, loại II chứa 5% axit.
Muốn có 50 lít dung dòch chứa 10% axit thì cần phải trộn lẫn bao nhiêu lít dung dòch của
mỗi loại ?
14. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau
5
4
4
giờ bể đầy. Mỗi giờ lượng nước của vòi I
chảy được bằng
2

21. Hai đội xây dựng cùng làm chung một công việc và dự đònh làm xong trong 12 ngày. Họ
cùng làm với nhau được 8 ngày thì đội I được điều động làm công việc khác, còn đội II tiếp
tục làm. Do cải tiến kỹ thuật, năng suất tăng gấp đôi nên đội II đã làm xong phần công việc
còn lại trong 3 ngày rưỡi. Hỏi nếu mỗi đội làm một mình thì sau bao nhiêu ngày sẽ làm
xong công việc nói trên (với năng suất bình thường).
22. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy. Nếu mở vòi I chảy trong
10 phút và vòi II trong 12 phút thì đầy
15
2
bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì phải bao
lâu mới đầy bể ?
23. Hai vật chuyển động trên một đường tròn có đường kính 20m, xuất phát cùng một lúc từ
một điểm. Nếu chuyển động cùng chiều thì cứ sau 20 giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển
động cùng chiều thì cứ sau 4 giây lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật ?
24. Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A. Sau 5 giờ 20 phút, một ca nô chạy từ bến
sông A đuổi theo và gặp thuyền cách bến A 20 km. Hỏi vận tốc của thuyền, biết rằng ca nô
chạy nhanh hơn thuyền 12 km mỗi giờ ?
25. Quãng đường AB dài 270 km. Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B. ô tô thứ nhất
chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 12 km/h, nên đến B trước ô tô thứ hai 40 phút. Tính vận tốc của
mỗi ô tô ?
26. Người ta hòa lẫn 8 gam chất lỏng này với 6 gam chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ
hơn nó 200 kg/m
3
để có được một hỗn hợp có khối lượng riêng là 700 kg/m
3
27. Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó, biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần,
nếu thêm 25 vào tích hai chữ só đó sẽ được một số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho.
. Tính khối
lượng riêng của mỗi chất lỏng ?
Phương pháp Chứng minh Đại số 9 oOo Giáo viên: Đinh Vũ Hưng