Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 1
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT & VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
TÓM TẮT LÝ THUYẾT & CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Vấn đề 1: Tính Đơn Điệu Của Hàm Số
Cho hàm số
( )
y f x
=
xác định trên khoảng
( ; )
a b
.
- Nếu
'( ) 0, ( ; )
f x x a b
≥ ∀ ∈
thì hàm số đồng biến trên khoảng
( ; )
a b
.
- Nếu
'( ) 0, ( ; )
f x x a b
≤ ∀ ∈
thì hàm số nghịch biến trên khoảng
( ; )
a b
.
Lưu ý:

và liên tục trên
[ ; ]
a b
(hoặc
[ ; ),( ; ]
a b a b
) thì hàm số
( )
y f x
=
đơn điệu trên
[ ; ]
a b
(hoặc
[ ; ),( ; ]
a b a b
).
- Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng
( ; )
a b
thì
( ; )
x a b
∀ ∈
ta có:
( ) ( ) ( )
f a f x f b
< <
; nếu hàm
số f(x) nghịch biến trên khoảng

y
Lưu ý: ta phải sắp xếp theo thứ tự
1 2
a x x b
< < <
.
Từ bảng biến thiên trên ta có:
• Hàm số đồng biến trên các khoảng:
1 2
( ; ),( ; )
a x x b

• Hàm số nghịch biến trên khoảng:
1 2
( ; )
x x

Các Dạng Toán Cơ Bản
Dạng 1: Xét chiều biến thiên của hàm số:
Phương pháp:
• Tìm tập xác định
D
.
• Tính đạo hàm
' '( )
y f x
=
.
• Tìm các giá trị
i

như sau:
• Tìm nghiệm của phương trình
( ) 0
P x
=
(chú ý đến bậc của nghiệm).
• Giả sử
1 2
, , ,
k
x x x
là các nghiệm (với
1 2

< < <
k
x x x
), thì dấu của P(x) trên khoảng tận
cùng bên phải
( ; )
+∞
k
x
cùng dấu với a.
• Qua nghiệm bậc lẻ thì P(x) đổi dấu, qua nghiệm bậc chẵn thì P(x) không đổi dấu.
- Chiều biến thiên của hàm số thường được tổng kết trong bảng biến thiên. Ví dụ:
x a
1
x



• Hàm số nghịch biến trên khoảng:
1 2
( ; )
x x

Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 2
Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến) thỏa mãn điều kiện nào đó:
 Đối với hàm bậc ba
3 2
y ax bx cx d
= + + +
ta thường gặp các bài toán sau:
Bài toán 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên
ℝ

Ta có:
2
'
= + +
y Ax Bx C
do đó:
• Hàm số đồng biến trên
0
' 0,
0
= =


⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔

<

ℝ ℝ
A B
y x
C
hoặc
2
'
0
4 0
<



∆ = − ≤


y
A
B AC

Bài toán 2: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến) trên
(a;b)
:
Ta thực hiện các bước sau
 Tính đạo hàm
2

y
cx d
+
=
+
với
0, 0
c ad bc
≠ − ≠
ta thường gặp bài toán sau:
Bài toán: Tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên mỗi khoảng mà hàm số
xác định.
Tập xác định:
\
d
D
c
 
= −
 
 
ℝ
. Ta có:
2
'
( )
ad bc
y
cx d
−

m
D
n
 
= −
 
 
ℝ
. Ta có:
2
2
2
'
( )
amx anx bn mc
y
mx n
+ + −
=
+
do đó:
• Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng mà hàm số xác định khi và chỉ khi:
2
' 0, 2 0,
≥ ∀ ∈ ⇔ + + − ≥ ∀ ∈
y x D amx anx bn mc x D

• Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng mà hàm số xác định khi và chỉ khi:
2
' 0, 2 0,

Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 3
 Dựa vào tính chất của hàm số đồng biến để kết luận.
Lưu ý: Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của
'( )
h x
thì ta đặt
1
( ) '( )
h x h x
=
và quay lại tiếp tục xét
dấu
1
'( )
h x
… cho đến khi nào xét dấu được thì thôi.
Bài toán 2: Chứng minh rằng
( ) ( )
f u f v
>
với
, ( ; );
u v a b u v
∈ >

• Ta chứng minh hàm số
( )
y f x
=

 Ta cần chứng minh một hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến. Khi đó
1
( )
C
và
2
( )
C
giao nhau tại một điểm duy nhất có hoành độ
0
x
. Đó chính là nghiệm duy nhất
của phương trình (*).
Chú ý:
 Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng.
 Hàm số f(x) đơn điệu trên
(a;b)
thì
1 2
, ( ; )
∀ ∈
x x a b
ta có:
1 2 1 2
( ) ( )
= ⇔ =
f x f x x x
.
Vấn đề 2: Cực Trị Của Hàm Số
Định nghĩa: Cho hàm số

( ) ( ), ( ; ) \{ }
f x f x x a b x
< ∀ ∈
.
Khi đó:
0
( )
f x
được gọi là giá trị cực đại của hàm số.
•
0
x
được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại một khoảng
( ; )
a b
thỏa
0
( ; )
x a b
∈
và
( ; )a b
⊂
D
sao cho:
0 0
( ) ( ), ( ; ) \{ }
f x f x x a b x
> ∀ ∈
.

a b
.
• Nếu
0
'( ) 0, ( ; )
> ∀ ∈
f x x a x
và
0
'( ) 0, ( ; )
< ∀ ∈
f x x x b
thì hàm số đạt cực đại tại
0
x
.
• Nếu
0
'( ) 0, ( ; )
< ∀ ∈
f x x a x
và
0
'( ) 0, ( ; )
> ∀ ∈
f x x x b
thì hàm số đạt cực tiểu tại
0
x
.

f x
<
thì y đạt cực đại tại
0
x
.
• Nếu
0
'( ) 0
f x
=
và
0
"( ) 0
f x
>
thì y đạt cực tiểu tại
0
x
.
Các Dạng Toán Cơ Bản
Dạng 1: Tìm Các Điểm Cực Trị Của Hàm Số
( )
y f x
=
:
Phương pháp 1: Ta thực hiện theo các bước:
 Tìm tập xác định
D
.

.
Phương pháp 2: Ta thực hiện theo các bước:
 Tìm tập xác định
D
.
Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 4
 Tính
'( )
f x
.
 Tìm các điểm
( 1,2, )
∈ =
i
x i
D
mà tại đó
'( ) 0
=
i
f x
.
 Tính
"( )
f x
và
"( )
i

=
y f x m
đạt cực trị (đạt cực đại hoặc đạt cực tiểu)
tại
0
x
:
 Tính
' '( )
y f x
=
.
 Giải phương trình:
0
'( ) 0
f x
=
suy ra giá trị của tham số.
 Thay giá trị của tham số vừa tìm được vào
0
"( )
f x
để kiểm tra yêu cầu bài toán.
 Kết luận.
Lưu ý: Nếu
0
"( ) 0
f x
=
thì ta cần dùng đến bảng biến thiên để kiểm tra.

.
- Nếu
0
'( )
f x
là một tam thức bậc hai thì hàm số f có cực trị khi và chỉ khi
0
'( ) 0
f x
=
có hai
nghiệm phân biệt và không có cực trị khi và chỉ khi
0
'( ) 0
f x
=
vô nghiệm.
Dạng 3: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số có cực trị thỏa mãn một tính chất nào đó:
- Đối với hàm bậc ba (
3 2
y ax bx cx d
= + + +
với
0
a
≠
), hàm phân thức bậc 2 / bậc 1
2
ax bx c
y

≠
) thì hàm số có 1 cực trị khi và chỉ khi
y' 0
=
có nhiều nhất 2 nghiệm; và có 3 cực trị khi và chỉ khi
y' 0
=
có 3 nghiệm phân biệt. Đặc
biệt nếu
4 2
y ax bx c
= + +
thì hàm số có 1 cực trị
0
ab
⇔ ≥
và có 3 cực trị
0
ab
⇔ <
.
- Hàm số
ax b
y
mx n
+
=
+
với
0, 0

v x
≠
và
0
'( ) 0
v x
≠
. Nếu
0
x
là điểm cực trị thì giá
trị cực trị
0 0
( )
y f x
=
được tính như sau:
0 0
0 0
0 0
( ) '( )
( )
( ) '( )
u x u x
y f x
v x v x
= = =
.
Nhận xét: Ta dùng kết quả này để tính các giá trị y cực đại, cực tiểu khi mà hoành độ các điểm cực trị này
phức tạp.

D

• Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số
0 0
, ( )
( )
, ( )
∀ ∈ ≤

⇔

∃ ∈ =

x f x M
f x
x f x M
D
D

Kí hiệu:
max ( )
=
M f x
D

• Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số
0 0
, ( )
( )
, ( )

trên
D
.
- Từ bảng bến thiên suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Cách 2: (nếu hàm số
( )
=
y f x
liên tục trên
[a;b]
=
D
)
- Tính đạo hàm
' '( )
=
y f x

- Tìm các điểm
1 2 n
x ,x , ,x
trên khoảng
(a;b)
mà tại đó
f '(x)
bằng 0 hoặc không tồn tại.
- Tính các giá trị:
1 2 n
f (a),f (b),f (x ),f (x ), ,f (x )


2
x D
∈
thì:

D
min f (x) m
=
khi
1
x x
=D
maxf (x) M
=
khi
2
x x
=

Chú ý:
• Nếu hàm số
( )
y f x
=
đồng biến trên
[
]

trên D. Khi đó ta
thực hiện theo các bước sau:
 Đặt
t (x)
= ϕ

 Tìm miền giá trị của t với x thuộc D (giả sử
t
∈Ω
)
 Thay
t (x)
= ϕ
vào hàm số
y f(x)
=
ta được hàm số:
y g(t)
=

 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
y g(t)
=
trên
Ω

 Kết luận:
D
D
min f (x) min g(t);maxf (x) max g(t)

=
có nghiệm trên D.
Cách giải:
(
)
f x m
=
có nghiệm trên
(
)
(
)
D
D
D min f x m maxf x
⇔ ≤ ≤

Bài toán 2: Tìm m để
(
)
f x m
≤
với mọi x thuộc D
Cách giải:
(
)
(
)
D
f x m, x D maxf x m

)
D
D max f x m
⇔ ≥
.
Bài toán 5: Tìm m để bất phương trình
(
)
f x m
≤
có nghiệm x thuộc D
Cách giải: Bất phương trình
(
)
f x m
≤
có nghiệm trên
(
)
D
D min f x m
⇔ ≤

Bài toán 6: Tìm m để bất phương trình
(
)
f x m
≥
vô nghiệm
x D

)
f x m
≤
vô nghiệm
(
)
x D f x m
∀ ∈ ⇔ >
có nghiệm
(
)
D
x D min f x m
∀ ∈ ⇔ >
.
Vấn đề 4: Khảo Sát Và Vẽ Đồ Thị Hàm Số:
Hàm bậc ba:
3 2
( ): ( 0)
C y ax bx cx d a
= + + + ≠

• Tập xác định:
D
=
ℝ

• Sự biến thiên:
- Giới hạn tại vô cực:
x x

- Đồ thị nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.
Nhận xét:
• Điểm uốn: hoành độ điểm uốn là nghiệm của phương trình:
" 0
=
y
.
• Nếu hàm số có cực đại và cực tiểu thì điểm uốn của đồ thị hàm số chính là trung điểm của
điểm cực đại và cực tiểu.
Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 7
• Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm uốn là tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất khi
0
a
>
và là
tiếp tuyến có hệ số góc lớn nhất khi
0
a
<
.
Lưu ý: Đồ thị hàm số có 6 dạng:

'
0
y
∆ >

'

y
∆ =

'
0
y
∆ <

0
a
<

x
y

x
y

x
y

Hàm bậc bốn trùng phương
4 2
( 0)
y ax bx c a
= + + ≠

• Tập xác định:
D
=

- Dựa vào bảng biến thiên vẽ đồ thị.
- Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng.
Lưu ý: Đồ thị của hàm bậc 4 trùng phương có 4 dạng:

0
ab
<

0
ab
>

0
a
>

x
y

x
y0
ab
<

0
ab
>

 
= −
 
 
ℝ

• Sự biến thiên:
- Đạo hàm:
2
'
( )
ad bc
y
cx d
−
=
+

Ta có
' 0,
y x D
> ∀ ∈
(hoặc
' 0,
y x D
< ∀ ∈
) nên hàm số luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến)
trên các khoảng mà hàm số xác định.
Hàm số không có cực trị.
- Giới hạn và tiệm cận:

x
c
= −
là tiệm cận đứng.
lim ; lim
x x
a a a
y y y
c c c
→+∞ →−∞
= = ⇒ =
là tiệm cận ngang.
- Lập bảng biến thiên (phải điền đầy đủ các giá trị đặc biệt).
• Đồ thị:
- Giao điểm với các trục tọa độ (hoặc một vài điểm đặc biệt).
- Dựa vào bảng biến thiên vẽ đồ thị.
- Đồ thị nhận giao điểm hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
Lưu ý: Đồ thị hàm số có 2 dạng:
0
ad bc
− <

0
ad bc
− >

x
y

x

( )
y f x
=
và
0 0
( )
y g x
=
, tức là
0 0
( ; )
x y
là nghiệm của hệ
phương trình:
( )
( ) ( ) (*)
( )
y f x
f x g x
y g x
=

⇒ =

=

.
Phương trình (*) được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị
( )
C

và
( ')
C
.
Dạng 2: Xác định số nghiệm của phương trình:
( ) ( )
f x g x
=

- Ta dựa vào số giao điểm của đồ thị hàm số
( )
y f x
=
và
( )
y g x
=
để suy ra số nghiệm của
phương trình.
ng Dng Ca o Hm KSHS Giỏo Viờn: Lờ Hu Hũa
Lu Hnh Ni B
09/12 Trang 9
Dng 3: Cỏc bi toỏn v s tng giao ca th hm s bc 3:
3 2
( ): ( ) ( 0)
= = + + +
C y f x ax bx cx d a

Bi toỏn 1. Tỡm iu kin th (C) v trc honh cú 1 im chung duy nht:



Bi toỏn 3. Tỡm iu kin th (C) v trc honh cú 3 im chung phõn bit:

Cẹ CT
f coự cửùc trũ
y y
2
. 0


<

Phng trỡnh (1) cú 3 nghim phõn bit
Bi toỏn 4. Tỡm iu kin th (C) ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh dng:

Cẹ CT
Cẹ CT
f coự cửùc trũ
y y
x x
a f hay ad
2
. 0
0, 0
. (0) 0 ( 0)


<




Bi toỏn 6. Tỡm iu kin th (C) ct trc honh ti 3 im phõn bit cú honh to thnh
mt cp s cng:
Gi s (1) cú 3 nghim
x x x
1 2 3
, ,
lp thnh cp s cng.
Vit (1) di dng:
ax bx cx d
3 2
0
+ + + =

a x x x x x x
1 2 3
( )( )( ) 0
=

Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 10
⇔
a x x x x x x x x x x x x x x x
3 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
( ) ( ) 0
 
− + + + + + − =
 

x x x
1 2 3
, ,
lập thành cấp số nhân.
– Viết (1) dưới dạng:
ax bx cx d
3 2
0
+ + + =
⇔
a x x x x x x
1 2 3
( )( )( ) 0
− − − =

⇔
a x x x x x x x x x x x x x x x
3 2
1 2 3 1 2 2 3 3 1 1 2 3
( ) ( ) 0
 
− + + + + + − =
 

–
x x x
1 2 3
, ,
lập thành cấp số nhân ⇔
x x x

+ − =
.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y

2. Cho hàm số
y f x x mx m
3 2
( ) 2
= = − +
có đồ thị
( )
m
C
(m là tham số).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số khi
3
=

x x
1 2
2
0 ,
3
= =
.
Do đó đồ thị cắt Ox tại duy nhất 1 điểm khi
(
)
f x f x
1 2
( ). 0
>
m m
m m m
3 2
2
4 2
2 2 0 4 1 0
27 27
   
⇔ − > ⇔ − >
   
   
3 6 3 6
0
2 2
⇔ − < ≠ <m


a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
b) Tìm m để đồ thị (C
m
) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt.
Để (C
m
) cắt trục hoành tại đúng hai điểm phân biệt thì (C
m
) phải có 2 điểm cực trị
⇒

y
0
′
=
có 2 nghiệm phân biệt
x m
2 2
3 3 0
⇔ − =
có
2 nghiệm phân biệt
⇔

m
0
≠

Khi đó
y x m

4. Cho hàm số
y x x
3 2
3 1
= − +
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số.
b) Tìm m để đường thẳng (∆):
y ( m x m
2 1) 4 1
= − − −
cắt đồ thị (C) tại đúng hai điểm phân biệt.
•
Phương trình hoành độ giao của (C) và (
∆
):
x x ( m x m
3 2
3 2 1) 4 2 0
− − − + + =

⇔

x x x m
2
( 2)( 2 1) 0
− − − − =

≠ =

= ≠


⇔

b
a
f
0
2
2
0
(2) 0
∆
∆


=




− ≠






+ >


− + =



⇔

m
m
5
8
1
2

= −



=


.
Vậy:
m
5
8
= −
;

a y
(1) 2
. 0
0, 0
. (0) 0


<


> >

<


(*)
+
y x mx m
2 2
3 6 3( 1)
′
= − + −

+
y
m m m
2 2
9( 1) 9 0,
∆
′

( 1)( 3)( 2 1) 0
( 1) 0

− >

+ >

⇔ ⇔ < < +

− − − − <


− − <


6. Cho hàm số
y x x x m
3 2
3 9
= − − +
, trong đó
m
là tham số thực.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2

m
0
=
.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại 3 điểm phân
biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng.
•
Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
có hoành độ lập thành cấp số cộng
⇔
Phương trình
x x x m
3 2
3 9 0
− − + =
có 3 nghiệm
phân biệt lập thành cấp số cộng
⇔
Phương trình
x x x m
3 2
3 9
− − = −
có 3 nghiệm
phân biệt lập thành cấp số cộng
⇔
Đường thẳng
y m

x y
x x m
2
0 ( 1)
2 6 0 (1)

= =

− + =


d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C
⇔
(1) có 2 nghiệm phân biệt
x x
1 2
, 0
≠

⇔

m m
m
9
0
; 0
0
2
∆




=


(3)
Từ (2) và (3) suy ra
m
4
=
.
8. Cho hàm số
y x m x m x
3 2
(3 1) (5 4) 8
= − + + + −
có đồ thị (C
m
), trong đó
m
là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho khi
0
=
m
.
b) Tìm
m
để (C
m

hoành độ lớn hơn hoặc bằng 1.
•
PT hoành độ giao điểm của (Cm) và d:
x mx m x m x m
3 2
3 ( 1) 1 2 1
− + − + + = − −
(1)
⇔

x
x m x m
2
1
(1 3 ) 2 2 0 (2)

=

+ − − − =


YCBT
⇔
(1) có 3 nghiệm phân biệt lớn hơn hoặc bằng 1
⇔
(2) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 1
Xét PT (2) ta có:
m m m
2
9 2 9 0,

5
x
y
Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 13
Đặt
t x
1
= −
. Khi đó (2)
⇔

t m t m
2
3(1 ) 5 0 (3)
+ − − =

(*)
⇔
(3) có 2 nghiệm dương phân biệt
⇔

S m
P m
0
3( 1) 0
5 0
∆


2
=

⇒

A
y
4
=
. PT đường thẳng d đia qua A(2; 4) có dạng:
y k x
( 2) 4
= − +
.
PT hoành độ giao điểm của (C) và d:
x x k x
3
3 2 ( 2) 4
− + = − +

⇔

x
g x x x k
2
2
( ) 2 1 0

=


+ − + =

= − +


Ta có: (1)
⇒

x x k
1 2
2
− =
; (2)
⇒

y y k x x k k
1 2 1 2
( ) 2− = − =

BC =
2 2

⇔

k k
3
4 4 2 2
+ =

⇔

) tại ba
điểm phân biệt
(0;2)
A
, B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng
2 2,
.
ĐS:
m m
0, 3
= =

12. Cho hàm số
3 2
6 9 2
y x x x
= + + +

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số.
b) Biện luận theo m số nghiệm của phương
trình:
3 2 3 2
6 9 6 9
x x x m m m
+ + = + +

Ta có:

2 4
k m
< − ⇔ < −
phương trình có 1
nghiệm.
• Nếu
2 4 1
k m m
= − ⇔ = − ∨ = −
phương trình có 2 nghiệm.
• Nếu
2 2 ( 4;0) \{ 3; 1}
k m
− < < ⇔ ∈ − − −
phương trình có 3 nghiệm.
• Nếu
2 3 0
k m m
= ⇔ = − ∨ =
phương trình có 2 nghiệm.
• Nếu
2 0
k m
> ⇔ >
phương trình có 1 nghiệm.

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2

4 2
2
, 0
0 (1)
0 (2)


= ≥
+ + = ⇔

+ + =



Để xác định số nghiệm của (1) ta dựa vào số nghiệm của (2) và dấu của chúng.
• (1) vơ nghiệm ⇔
vô nghiệm
có nghiệm kép âm
có nghiệm âm
(2)
(2)
(2) 2





• (1) có 1 nghiệm ⇔
có nghiệm kép bằng
có nghiệm bằng nghiệm còn lại âm

0
+ + =
(1) có 4 nghiệm phân biệt.
⇔
at bt c t x
2 2
0 ( )
+ + = =
(2) có 2 nghiệm dương phân biệt
t t
1 2
,
(giả sử
t t
1 2
<
)
– Khi đó các nghiệm của (1) là:
t t t t
2 1 1 2
; ; ;− −
.
– Vì
t t t t
2 1 1 2
; ; ;− −
lập thành cấp số cộng nên
(
)
t t t t t t

4 2
1
= − + −
có đồ thị là
( )
m
C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi
m
8
=
.
b) Tìm các giá trị của m để đồ thị
( )
m
C
cắt trục hồnh tại bốn điểm phân biệt.
•
PT hồnh độ giao điểm của (Cm) với trục hồnh:
x mx m
4 2
1 0
− + − =
(1)
Đặt
t x t
2
, 0
= ≥

m
1
2

>

≠


2. Cho hàm số
y x m x m
4 2
2( 1) 2 1
= − + + +
có đồ thị là
( )
m
C
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi
m
0
=
.
b) Tìm các giá trị của
m
để đồ thị
( )
m
C

− + + + =
(1)
Đặt
t x t
2
, 0
= ≥
thì (1) trở thành:
f t t m t m
2
( ) 2( 1) 2 1 0
= − + + + =
.
Để (C
m
) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt thì
f t
( ) 0
=

phải có 2 nghiệm dương phân biệt
( )
m
m
S m
m
P m
2
' 0
1

x t x t x t x t
1 2 2 1 3 1 4 2
; ; ;= − = − = =

x x x x
1 2 3 4
, , ,
lập thành cấp số cộng
x x x x x x t t
2 1 3 2 4 3 2 1
9
⇔ − = − = − ⇔ =

( )
( )
m
m m
m m m m m m
m m
m
4
5 4 4
1 9 1 5 4 1
4
5 4 4
9

=

= +

= ≥
thì (1) trở thành:
f t t m t m
2
( ) 2( 1) 2 1 0
= − + + + =
.
(C
m
) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn
3

(
)
f t
⇔
có 2 nghiệm phân biệt
t t
1 2
,
sao cho:
t t
t t
1 2
1 2
0 3
0 3

= < <


 
= − ≤
⇔ = + = ⇔ = − ∨ ≥
 
= + >
 
= + <

= + >


. Vậy:
m m
1
1
2
= − ∨ ≥
.
3. Cho hàm số
y x m x m
4 2
(3 2) 3
= − + +
có đồ thị là
( )
m
C
, m là tham số.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
b) Tìm m để đường thẳng

x
x m
2
1
3 1 (*)

= ±

= +


Đường thẳng
y
1
= −
cắt (C
m
) tại 4 điểm phân biệt
có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi phương trình
(*) có hai nghiệm phân biệt khác
±
1 và nhỏ hơn 2
⇔

m
m
0 3 1 4
3 1 1

< + <

=
.
b) Tìm các giá trị của m để
( )
m
C
cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D có hoành độ lần
lượt là
x x x x
1 2 3 4
, , ,
(
x x x x
1 2 3 4
< < <
) sao cho tam giác ACK có diện tích
S
4
=
, biết
K
(3; 2)
−
.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-8
-6
-4
-2
2

= ≥
. (1) trở thành:
t m t m
2
2( 1) 2 1 0
− + + + =
(2)
(Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt
⇔
(2) có 2
nghiệm dương phân biệt
⇔

m m
S m
P m
2
( 1) (2 1) 0
2( 1) 0
2 1 0
∆

′
= + − + >


= + >

= + >


2
=
(3), với
K
d K AC y
( , ) 2
= =
.
Khi đó: (3)
⇔

t t
1 2
4
+ =

⇔

t t t t
1 2 1 2
2 16
+ + =

⇔
m m
2( 1) 2 2 1 16
+ + + =

⇔


AB
5
=
.
•
PT hoành độ giao điểm:
x
x m
x
2 2
2
1
−
= +
+

⇔

x mx m x
2
2  2 0 ( 1)
+ + + = ≠ −
(1)
d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B
⇔
(1) có 2 nghiệm phân biệt
x x
1 2
,
khác –1

)
(
)
A x x m B x x m
1 1 2 2
;2 , ;2+ +
.
AB
2
= 5
⇔

x x x x
2 2
1 2 1 2
( ) 4( ) 5
− + − =

⇔

x x x x
2
1 2 1 2
( ) 4 1
+ − =

⇔

m m
2

có đồ thị là (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Chứng minh rằng đường thẳng d:
y x m
= − +
luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
•
PT hoành độ giao điểm của (C) và d:
x
x m
x
2 1
2
+
= − +
+

⇔

x
f x x m x m
2
2
( ) (4 ) 1 2 0 (1)

≠ −

= + − + − =


nhỏ nhất
⇔

m
0
=
. Khi đó:
AB
24
=
.
3. Cho hàm số
x
y
x
2
1
=
−
có đồ thị là (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4

≠

= − + − =


d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B
⇔
(2) có 2 nghiệm phân biệt khác 1
⇔

m
0
>

Khi đó:
A x mx m B x mx m
1 1 2 2
( ; 2), ( ; 2)
− + − +

⇒

AB m x x
2 2 2
2 1
(1 ) ( )
= + −
Theo định lí Viet, ta có:
m
x x x x

1
=
.
4. Cho hàm số
x
y
x
2 4
1
+
=
−
có đồ thị là (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Gọi (d) là đường thẳng qua A(1; 1) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (C) tại hai điểm M, N
sao cho
MN
3 10
=
.
•
Phương trình đường thẳng
d y k x
( ): ( 1) 1.
= − +

Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai nghiệm
x y x y
1 1 2 2
( ; ), ( ; )

(2 3) 3 0
( )
( 1) 1


− − + + =
⇔

= − +



(I) có 2 nghiệm phân biệt
⇔

kx k x k b
2
(2 3) 3 0 ( )
− − + + =
có 2 nghiệm phân biệt
⇔

k k
3
0, .
8
≠ <

Ta biến đổi (a) trở thành:
( ) ( )

⇔ = − = =
.
Kết luận: Vậy có 3 giá trị của k thoả mãn như trên.
5. Cho hàm số
x
y
x
2 1
1
−
=
−
có đồ thị là (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm m để đường thẳng d:
y x m
= +
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho ∆OAB vuông
tại O.
•
PT hoành độ giao điểm của (C) và d:
x m x m x
2
( 3) 1 0, 1
+ − + − = ≠
(*)
(*) có
m m m R
2
2 5 0,
OAB
∆
vuông tại O thì
(
)
(
)
A B A B
OA OB x x x m x m
. 0 0
= ⇔ + + + =
 (
)
A B A B
x x m x x m m
2
2 0 2
⇔ + + + = ⇔ = −

Vậy: m = –2.
6. Cho hàm số
x
y
x
2 1

+
= + + ⇔

+ + − + =


d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B
⇔
(*) có 2 nghiệm phân biệt
⇔

k
k k
2
0
6 1 0
∆

≠

= − + >
⇔

k
k k
0
3 2 2 3 2 3


⇔

k
3
= −
(thoả (**).
7. Cho hàm số
x
y f x
x
2 1
( )
1
+
= =
−
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm các giá trị của m sao cho đường thẳng (d):
y x m
= +
cắt (C) tại 2 điểm phân biệt M, N sao
cho diện tích tam giác IMN bằng 4 (I là tâm đối xứng của (C)).
•
Tâm đối xứng của (C) là I(1; 2). Xét phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):
x
x
x m
x

2 13 0
(1) 3 0
∆


= − + >
⇔

= − ≠


(đúng với mọi m). Tọa độ các giao điểm là
M M N N
M x y N x y
( ; ), ( ; )
.

M N M N
MN x x x x m m
2 2
2 ( ) 4 2( 2 13)
 
= + − = − +
 
;
m
d d I d
1
( , )
2

d y x m
: 2 3
= +
cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho
OA OB
. 4
= −
 

với O là gốc toạ độ.
•
PT hoành độ giao điểm của (C) và (d):
x
x m
x
3
2 3
2
+
= +
+

⇔

x m x m x
2
2 3(1 ) 6 3 0 (1) ( 2)
+ + + − = ≠

d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

OA OB
12 15
. 4 4
2
−
= − ⇔ = −
 

⇔

m
7
12
=
.

Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 19
Dạng 6: Viết phương trình tiếp tuyến:
Cho hàm số
( )
y f x
=
có đồ thị
( )
C
, điểm
0 0 0
( ; ) ( )

Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc k cho trước.
Cách 1: Phương pháp tìm tiếp điểm.
• Giả sử tiếp tuyến tiếp xúc với
( )
C
tại điểm có hoành độ
'( )
i i i
x f x k x x
⇒ = ⇒ =
là nghiệm
của phương trình
'( )
i
f x k
=
.
• Giải phương trình:
'( )
i
f x k
=
suy ra nghiệm:
{
}
0 1
; , , , ,
i n
x x x x x
∈

= +
thì
k a
=

+ ∆ vuông góc với đường thẳng
d y ax b a
: ( 0)
= + ≠
thì
k
a
1
= −

+ ∆ tạo với trục hoành một góc α thì
k a
tan
=
.
Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến ∆
∆∆
∆ của (C):
y f x
( )
=
, biết ∆
∆∆
∆ cắt hai trục toạ độ tại A và B
sao cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện tích S cho trước.

• Giải (a) hoặc (b) tìm được
x
0
. Từ đó viết phương trình tiếp tuyến ∆.
Bài toán 4: Tìm những điểm trên đồ thị (C):
y f x
( )
=
sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song song
hoặc vuông góc với một đường thẳng d cho trước.
• Gọi
M x y
0 0
( ; )
∈ (C). ∆ là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính
f x
0
( )
′
.
• Vì ∆ // d nên
d
f x k
0
( )
′
=
(1) hoặc ∆ ⊥ d nên
d
f x

∈

⇒
y x x
3 2
0 0 0
2 3 1
= − +
. Ta có:
y x x
2
3 6
′
= −
.
PTTT
∆
tại M:
y x x x x x x
2 3 2
0 0 0 0 0
(6 6 )( ) 2 3 1
= − − + − +
.

∆
đi qua
P
(0;8)
⇔

A a a a B b b b
3 2 3 2
( ; 3 1), ( ; 3 1)
− + − +
thuộc (C), với
a b
≠
.
Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 20
Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau nên:

y a y b
( ) ( )
′ ′
=

⇔

a a b b a b a b a b a b
2 2 2 2
3 6 3 6 2( ) 0 ( )( 2) 0
− = − ⇔ − − − = ⇔ − + − =⇔

a b b a
2 0 2

= − + − − + −
 b a b a b a ab
2
2 2 2
( ) ( ) ( ) 6
 
= − + − + − −
 
b a b a ab
2 2 2
( ) ( ) ( 2 )
= − + − − −2
AB b a ab a a a
2 2 2 2 2
( ) 1 ( 2 ) (2 2 ) 1 ( 2 2)
   
= − + − − = − + − −
   a a a a a
2
2 2 2 4 2
4( 1) 1 ( 1) 3 4( 1) ( 1) 6( 1) 10

t a t
2
( 1) , 0
= − >
. Khi đó (*) trở thành:

t t t t t t t
3 2 2
6 10 8 0 ( 4)( 2 2) 0 4
− + − = ⇔ − − + = ⇔ =

⇒
a b
a
a b
2
3 1
( 1) 4
1 3

= ⇒ = −
− = ⇔

= − ⇒ =


Vậy 2 điểm thoả mãn YCBT là:
A B
(3;1), ( 1; 3)
− −

x
0
0
2
0
0
2 1
1
( )
1
( 1)
+
= − +
+
+

⇔
x x y x x
2 2
0 0 0
( 1) 2 2 1 0
− + + + + =

Ta có:
d A d d B d
( , ) ( , )
=

⇔


.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại
M vuông góc với đường thẳng MI.
•
Giao điểm của hai tiệm cận là I(1; 2). Gọi M(a; b)
∈
(C)
⇒

a
b
a
2 1
1
−
=
−
(a
≠
1)
PTTT của (C) tại M:
a
y x a
a
a
2
1 2 1
( )
1

2 ( 3)

= =

= =


Vậy có 2 điểm cần tìm M
1
(0; 1), M
2
(2; 3)
Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 21
5. Cho hàm số
x
y
x
2
2 3
+
=
+

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung
lần lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
•
Gọi

0
2
0
1
( ) 1
(2 3)
−
′
= = −
+

⇒

x y
x y
0 0
0 0
1 1
2 0

= − ⇒ =

= − ⇒ =



+ Với
x y
0 0
1; 1

x
y
x
2 1
1
−
=
−
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết khoảng cách từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến
bằng
2
.
•
Tiếp tuyến của (C) tại điểm
M x f x C
0 0
( ; ( )) ( )
∈
có phương trình:

y f x x x f x
0 0 0
'( )( ) ( )
= − +

⇔

x x y x x



Các tiếp tuyến cần tìm :
x y
1 0
+ − =
và
x y
5 0
+ − =

7. Cho hàm số
x
y
x
2
2
=
+
(C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị
(C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.
•
Tiếp tuyến (d) của đồ thị (C) tại điểm M có hoành độ
a
2
≠ −
thuộc (C) có phương trình:


16 ( 2) 2.4.( 2)
+ + +
= ≤ = =
+
+ + +d I d
( , )
lớn nhất khi
a
a
a
2
0
( 2) 4
4

=
+ = ⇔

= −

.
Từ đó suy ra có hai tiếp tuyến
y x
=
và
y x
8

x
x m
x
1
2 1
− +
= +
−

⇔

x
g x x mx m
2
1
2
( ) 2 2 1 0 (*)

≠



= + − − =


Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 22
Vì
g

2
− −
+ = − =
. Giả sử:
A x y B x y
1 1 2 2
( ; ), ( ; )
.
Tiếp tuyến tại A và B có hệ số góc là:
k k
x x
1 2
2 2
1 2
1 1
;
(2 1) (2 1)
= − = −
− −⇒
k k m
2
1 2
4( 1) 2 2
+ = − + − ≤ −
. Dấu "=" xảy ra
⇔


( ; )
thuộc đồ thị (C). Tiếp tuyến của (C) tại M
0
cắt các tiệm cận của (C) tại
các điểm A và B. Chứng minh M
o
là trung điểm của đoạn thẳng AB.
•

o o o
M x y
( ; )

∈
(C)
⇒

y
x
0
0
4
1
1
= +
−
. PTTT (d) tại M
0
:
y y x x

0
là trung điểm AB.
10. Cho hàm số:
x
y
x
2
1
+
=
−
(C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Chứng minh rằng mọi tiếp tuyến của đồ thị (C) đều lập với hai đường tiệm cận một tam giác
có diện tích không đổi.
•
Giả sử M
a
a
a
2
;
1
 
+
 
−
 

∈

5
1;
1
 
+
 
−
 
,
B a
(2 1;1)
−
.

IA
a
6
0;
1
→
 
=
 
−
 

⇒
IA
a
6

y
x
2
1
−
=
+
.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến cắt 2 tiệm cận tại A và B sao cho bán kính
đường tròn nội tiếp tam giác IAB là lớn nhất, với I là giao điểm của 2 tiệm cận.
•
(C) có TCĐ
x
1
= −
, TCN
y
1
=
. Giao điểm 2 tiệm cận là
I
( 1;1)
−
.
Gọi
x
M x C
x
0

= − +
+
+
.

∆
cắt hai tiệm cận tại
x
A B x
x
0
0
0
5
1; , (2 1;1)
1
 
−
− +
 
 
+
 
. Ta có:
IA IB x
x
0
0
6
; 2 1

p IA IB AB IA IB IA IB IA IB IA IB
2 2
2 2 . 2 . 4 3 2 6
= + + = + + + ≥ + = +
.
Dấu "=" xảy ra
⇔

IA IB
=

⇔

x x
2
0 0
( 1) 3 1 3
+ = ⇔ = − ±
.
+ Với
x
1 3
= − −

⇒
PTTT
∆
:
(
)

m
=
.
b) Gọi A là một điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hoành độ bằng 1. Tìm m để khoảng cách từ
điểm
B
3
; 1
4
 
 
 
đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại A là lớn nhất.
•

A Cm
( )
∈
nên
A m
(1;1 )
−
.
y x mx y m
3
' 4 4 '(1) 4 4
= − ⇒ = −

Phương trình tiếp tuyến của (Cm) tại A:
y m y x

x
y
x
2 3
2
−
=
−
có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B
sao cho AB ngắn nhất.
•
Lấy điểm
M m
m
1
; 2
2
 
+
 
−
 
(
)
C
∈
. Ta có:
y m

 
−
 

Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là:
B m
(2 2;2)
−

Ta có:
AB m
m
2 2
2
1
4 ( 2) 8
( 2)
 
= − + ≥
 
−
 
 
. Dấu “=” xảy ra
⇔

m
m
3
1

C
cắt trục hoành tại 3 điểm
(1;0), ,
A B C
và các
tiếp tuyến tại B và C song song nhau.
Phương trình hoành độ giao điểm:
3 2
2
( 1) ( 1) 1 0
( 1)( 1) 0
− + + − + =
⇔ − − − =
x m x m x
x x mx

( )
m
C
cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt khi và chỉ
khi
2
( ) 1 0
= − − =
g x x mx
có 2 nghiệm phân biệt
khác 1
m 0
⇔ ≠
.

09/12 Trang 24
B C B C B C
y'(x ) y'(x ) (x x )[3(x x ) 2(m 1)] 0 m 2
⇔ = ⇔ − + − + = ⇔ =

15. Cho hàm số
3
3 2
y x x
= − +

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số.
b) Tìm 2 điểm A, B phân biệt thuộc đồ thị
( )
C
sao cho các tiếp tuyến tại A, B có cùng hệ số góc
và đường thẳng đi qua A, B vuông góc với
: 2011 0
d x y
+ + =
.
Cách 1: Xét
3 3
( ; 3 2), ( ; 3 2)
A a a a B b b b
− + − +


AB b b b b b

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương
(1; 1)
u
= −

và
đường thẳng AB có vectơ chỉ phương
2
(1; 3)
= −

AB b
nên
. 0
AB d AB u
⊥ ⇔ =
 

2
4 0 2
⇔ − = ⇔ = ±
b b

Với
2 2 ( 2;0), (2;4)
b a A B
= ⇒ = − ⇒ −


3 3
k x
= −
có hai nghiệm phân biệt
3 0 3
k k
⇔ + > ⇔ > −
.
Mặt khác tọa độ điểm A, B là nghiệm của hệ phương trình:
2
3
2
2
(3 3) 2 2 ( 2) 2
3 2
: ( 2) 2
3 3
3
3 3
3 3


= − − + = − +
= − +
 
⇔ ⇒ = − +
 
= −

 

2
3
4
x
y
Ứng Dụng Của Đạo Hàm KSHS Giáo Viên: Lê Hữu Hòa
Lưu Hành Nội Bộ
09/12 Trang 25
Dạng 7: Biện luận số nghiệm của phương trình:
Bài toán:
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
( , ) 0
F x m
=

Phương pháp giải:

Biến đổi
( , ) 0
F x m
=
về 1 trong 2 dạng sau:
( )
f x m
=
hoặc
( ) ( )
f x g m
=


Cho hàm số
4 2
y x 2x 1
= − −

a)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b)

Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình:
4 2
x 2x 1 m
− − =
.
Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị
( )
C
và đường thẳng
y m
=
. Dựa vào đồ thị ta có:
•

Nếu
2
m
< −
đường thẳng d không cắt đồ thị
( )

2 1
m
− < < −
thì đường thẳng d và đồ thị
( )
C
có 4 điểm chung phân biệt nên phương
trình có 4 nghiệm phân biệt.
2.

(TN 2010) Cho hàm số
3 2
1 3
5
4 2
y x x
= − +
.
a)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số.
b)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình
3 2
6 0
x x m

1 2 3
0 1 3 4
x x x
< < < < < <
.
Đặt
3 2
( ) 3 9
f x x x x m
= − + +
, với
4 0
m
− < <
thì:
(0) 0
f m
= <
,
(1) 4 0
f m
= + >
,
(3) 0
f m
= <
,
(4) 4 0
f m
= + >

3 2
cos x 3sin x m 1 0
+ + − =
.
5.

Cho hàm số
3 2
2 3 6( 1) 2( 1)
y x x m x m
= + + − − −
, m là tham số.
a)

Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu.
b)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
( )
C
của hàm số khi
m 1
=
.
c)

Biện luận theo k số nghiệm của phương trình:
3 2
2x 3x k 2 0
− − + =

3
4
5
x
y