- 1 -
§ 1. ÔN TẬP LƯỢNG GIÁC
1. Công thức cộng
sin( ) sin cos sin cos
cos( ) cos cos sin sin
tan tan
tan( )
1 tan tan
a b a b b a
a b a b a b
a b
a b
a b
2. Công thức nhân
2 2 2 2
sin 2 2 sin cos
5. Biến đổi tích thành tổng
1
cos cos cos( ) cos( )
2
1
sin sin cos( ) cos( )
2
1
sin cos sin( ) sin( )
2
1
cos sin sin( ) sin( )
2
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b
a b
a b a b
a b
a b
a b
a b
a b a a
8. Một số phép biển đổi cơ bản
2
2
2
4 4 2
1 sin 2 cos sin
x x
- 3 -
2)
2 sin 1 sin 2
4
1 tan
cos
x x
x
x
x x
x x x
Đẳng thức lượng giác trong tam giác
Trong
ABC
ta có:
sin( ) sin
cos( ) cos
sin cos
2 2
cos sin
2 2
A B C
A C B
A B C
B C A
1) CM:
sin sin sin 4 cos cos cos
A B C
HD: VT
2
2 cos cos cos 2 sin cos 1 2 sin
2 2 2 2 2
A B A B C A B C
C
4) CM:
2 2 2
cos cos cos 1 2cos cos cos
A B C A B C
HD: Dùng công thức hạ bậc - 4 -
Trong
ABC
không vuông ta có:
tan tan tan tan tan tan
tan tan tan tan tan tan 1
2cos cos cos 0
A B c
A B C
2) CMR nếu :
sin sin sin 1 cos cos cos
A B C A B C
thì
ABC
vuông.
HD:
)sin sin sin 4 cos cos cos
2 2 2
)1 cos cos cos 4 sin cos cos
2 2 2
A B C
A B C
A B C
A B C
3)
Nếu
A B
GT
A B A B A B
C
A B
A B
- 5 -
§ 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
I. Định nghĩa: Là một trong các phương trình sau:
(1)
(2)
(3)
(4)
sin
cos
tan
cot
x m
x m
x k
Trong đó
là một số thực sao cho
sin
m
Ví dụ:
2
3
3
sin sin sin
2
2 3
2
3
( ) ( ) 2
sin ( ) sin ( )
( ) ( ) 2
f x g x k
f x g x
f x g x k
Nếu đo bằng đơn vị độ thì
0 0
0 0 0
thì
sin
x m
có duy nhất một nghiệm. Nghiệm này gọi là
arcsin
m
Khi
0; 1; 1
m m m
thì ta có công thức nghiệm đặc biệt
sin 0
sin 1 2
2
sin 1 2
2
x x k
x x k
x x k
III. Công thức nghiệm của PT
(2)
cos
x m
+ Nếu
1
m
thì (1) vô nghiệm
+ Nếu
1
m
thì (1) có nghiệm
cos 2
x m x k
Trong đó
là một số thực sao cho
cos
m
cos 360
x m x a k
Với
1
m
trên
0;
thì
cos
x m
có duy nhất một nghiệm. Nghiệm này gọi là
arccos
m
Khi
0; 1; 1
m m m
thì ta có công thức nghiệm đặc biệt
cos 0
2
tan
x m x k
V. Công thức nghiệm của pt
cot
x m
+ TXĐ:
x k
+ PT
cot
x m
có nghiệm
m
cot
x m x k
LUYỆN TẬP
1. Giải các phương trình sau
2 2 2 2
1.1) 2 sin2 2 sin 0
1.2) sin sin tan 3
1.3) cos sin sin 0
1.4) 1 sin2 cos 3 sin 3
1.5) cos2 3cos 4 0
7
1.6) sin ( 5 ) sin cos sin 1
2
1.7) cos cos 2 cos 3 cos 4 2
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x x x
x x x x- 8 -
2. Giải các pt sau
6 6 4 4 2
3 3
5 7
2.8) sin 2 3cos 1 2 sin
2 2
2.9) cos cos 3 sin sin 3 3
2.10) tan tan 2 1
3 3
x x x
x x x x
x x
- 9 -
§ 3. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC ĐƠN GIẢN
I) Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Dạng:
sin 0 ( 0)
cos 0 ( 0)
tan 0
a x b a
a x b a
a x b
Cách giải: chuyển vế đưa về phương trình lượng giác cơ bản
II) Phương trình bậc hai với một hàm số lượng giác
Dạng: 2
2
sin sin 0 ( 0)
tan tan 0 ( 0)
a x b x c a
a x b x c a
x x
x x
x x
x x
x x x x
D x x x x
x x x
6 6
2(cos sin ) sin cos
8) 0
2 2 sin
:
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
PT x x
a b a b a b
Vì
2 2
2 2 2 2
1
a b
a b a b
nên ta đặt
:
LUYỆN TẬP
Giải các phương trình sau 5 4
2 2
6 6
2
4
1) 3 cos2 sin 2 2
2) 3sin 2 4 cos 2 1
3) 4 sin 5 cos 4 cos sin cos 1
cos sin
4) 4 cot2
cos sin
1 1 2
5)
cos sin 2 sin 4
sin (sin cos ) 1
6) 0
cos sin 1
4
2
2 2 2
cos 1 1
cot2
5 sin2 2 8 sin2
9) 2 sin sin 3 3 cos 2 2 0
10) sin cos 2 cos 3
x
x
x x
x x x
x x x
- 11 -
Dùng Phương trình bậc nhất đối với
sin
x
và
cos
x
để tìm min , max
2 2
Bài tập 1: Cho
.sin 1
cos 2
k x
y
x
a) Tìm min, max khi
1
k
b) Tìm k để min
1
y
c) Tìm k để max của y là nhỏ nhất
Bài tập 2: Cho
2 cos 1
cos sin 2
k x k
y
x x
Cách giải:
+ Xét
cos 0
x
+ Với
cos 0
x
,
2
(4) tan tan 0
a x b x c
Lưu ý:
- 12 -
1) Nếu thay:
2 2
1 cos2 1 cos2 1
sin ; cos ; sin cos sin2
2 2 2
x x
x x x x x
thì pt
(4) trở thành bậc nhất đối với
và dùng công thức
2
2
1 tan
cos
d
d x
x
3) Một cách tổng quát: với pt đẳng cấp bậc n đối với
sin
x
và
cos
x
ta thường chia 2 vế
cho
cos
n
x
Ta thường gặp pt đẳng cấp bậc 3 dạng sau:
3 2 2 3
sin sin cos sin cos cos 0
a x b x x c x x d x
2 2
2 2
2
32 2
32 2
1 0
1.6) sin 2 sin cos 3cos
1.7) sin sin 2 3cos 0
1.8) cos 2 sin2 1 0
1.9) sin 6 sin2 3 cos 2. 66 0
1.10) 7 sin 2sin 2 3 cos 3 15 0
x x x x
x x x
3 2
3 3
3 3
3
3
2
2.3) cos sin 3sin cos 0
2.4) cos sin sin cos
2.5) 4 cos 2sin 3sin 0
2.6) sin sin 2 sin 3 6cos
2.7) sin cos 4 sin 0
2.8) 1 3 sin2 2 tan
2.9) sin (tan 1) 3 sin (cos sin ) 3
2.10) 2
x x x x
x x x x
x x x
x x x x
x x x
x x
x x x x x
Khi đó
2
1
sin cos
2
t
x x
2
1
. . 0
2
t
PT a t b c
LUYỆN TẬP
Giải các phương trình sau
x x x
x x x
x x x x
x x
- 14 -
9) sin cos 7 sin2 1
10) sin 2 2 sin 1
4
x x x
x x
tan cot 2
t
t x x
x x t
BÀI TẬP TỔNG HỢP
1. Giải các phương trình sau
1)
2 2
sin 4 cos 6 sin(10,5 10 )
x x x
(ĐH Dược HN năm 1999)
2)
4 4
7
(ĐH QGHN-Khối A, năm 1999)
4)
2 3
cos 2 2(sin cos ) 3sin 2 3 0
x x x x
(ĐH QGTP.HCM-Khối A,1999)
5)
1
3 sin 2 cos 3(1 tan )
cos
x x x
x
(CĐ SPHN năm 1999)
- 15 -
6)
4(sin 3 cos2 ) 5(sin 1)
x x x
(ĐH Luật Hà Nội, năm 1999)
x x
(ĐH Nông nghiệp I – Khối B 1998)
11)
2 2
cot tan
16(1 cos 4 )
cos2
x x
x
x
(ĐH GTVT năm 1998)
12)
sin cot5
1
cos9
x x
x
(ĐH Huế - Khối A năm 1999)
13)
2
2 tan cot 3
sin 2
cos2 2(2 3)cos 2 2 0
m x m x m
(ĐH Đà Lạt năm 1998)
3. Cho phương trình:
4 6
sin cos 2 cos 0
x x m x
a) Giải pt khi
2
m
b) Tìm các giá trị
m
để pt có nghiệm trên khoảng
0;
4
Copyright: Tài liệu đại học ©