ĐẠI HỌC QUỐC GIA TH ÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHI ÊN

NGUYỄN VĂN CẦN
TÍCH PHÂN ITÔ – WIENER NHIỀU
CHIỀU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS.DƯƠNG TÔN Đ ẢM
TP.HỒ CHÍ MINH – 2009
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TH ÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHI ÊN
NGUYỄN VĂN CẦN
TÍCH PHÂN ITÔ – WIENER NHIỀU
CHIỀU
Chuyên ngành: XÁC SU ẤT – THỐNG KÊ
Mã số: 60.46.15
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. DƯƠNG TÔN ĐẢM
TP.HỒ CHÍ MINH – 2009
1
LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên tôi xin dành cho b ậc sinh thành và gia đình, những người đã nuôi
dưỡng, giáo dục, động vi ên về tinh thần cũng nh ư vật chất trong suốt quá tr ình
học tập.
Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới Thầy hướng dẫn –
Tiến Sĩ Dương Tôn Đảm đã tận tình hướng dẫn, chỉ bảo những khó khăn, trở ngại
trong quá trình thực hiện luận văn.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn đến Ban Giám hiệu cùng quý Thầy, Cô trong
Khoa Toán – Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên và đặc biệt là các Thầy:

tích ngẫu nhiên đã xâm nhập vào tất cả các lĩnh vực.
Chương II: Phần đầu trình bày về việc xây dựng tích phân ngẫu nhi ên Itô –
Wiener nhiều chiều dựa vào công thức tích phân Itô lặp nghĩa là giữa tích phân Itô
– Wiener nhiều chiều và tích phân Itô lặp có mối liên hệ qua lại với nhau, nh ư vậy
để tính tích phân Itô – Wiener nhiều chiều thực chất là tính tích phân Itô lặp. Tiếp
theo, trình bày về cách xác định đa thức Hermite v à các tính chất quan trọng của
nó. Phần cuối là một kết quả rất đặc biệt, đó l à mối liên hệ giữa tích phân ngẫu
3
nhiên Itô – Wiener nhiều chiều và đa thức Hermite nghĩa là đa thức Hermite được
biểu diễn thành tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều.
Chương III: Phần đầu trình bày về tích phân ngẫu nhiên theo quá trình Lévy, để
xây dựng tích phân này trước hết ta đưa ra các khái niệm, tính chất của quá tr ình
Lévy sau đó ta tiến hành xây dựng tích phân ngẫu nhi ên theo quá trình Lévy và
đưa ra các tính ch ất cơ bản của tích phân n ày. Tiếp theo là trình bày phần ứng
dụng của quá trình Lévy trong tài chính b ằng việc sử dụng biến đổi Esscher (biến
đổi Esscher là sự biến đổi từ độ đo xác suất c ơ sở
P
tương đương địa phương độ
đo
Q
theo quá trình mật độ
t
t
dQ
Z
dP

F
).
4

1.2.8. Định nghĩa tích phân ngẫu n hiên Itô của hàm bất kỳ……………… 18
1.2.9. Các tính chất của tích phân ngẫu nhiên Itô……………………… … 18
1.2.10.Ví dụ……………………………………………………… …………21
§1.3. Vi phân ngẫu nhiên Itô………………… ……………………………… … 23
1.3.1. Định nghĩa………………………………………………… ……… 23
1.3.2. Định lý công thức vi ph ân Itô một chiều………………………… ….24
1.3.3. Ví dụ…………………………………………………… ……………28
1.3.4. Tính chất công thức vi phân của tíc h hai quá trình ngẫu nhiên…… 28
1.3.5. Ví dụ………………………………………………………… ………30
1.3.6. Tính chất công thức vi phân ……………………………………… …31
1.3.7. Ví dụ…………………………………………………………… ……31
1.3.8. Tính chất công thức vi phân ……………………………………… …32
1.3.9. Ví dụ……………………………………………………………… …33
1.3.10.Tính chất công thức tích phân từng phần………………………… …34
1.3.11.Ví dụ………………………………………………………… ………34
1.3.12.Tính chất công thức vi phân vec tơ – Itô………………………… ….34
1.3.13.Tính chất công thức vi phân Itô nhiều chiều…………………… … 35
§1.4. Ứng dụng trong tài chính………………………………………………… 36
1.4.1. Đạo hàm bậc nhất của công thức Black – Scholes……………… 37
1.4.2. Ví dụ…………………………………………………………… ……39
1.4.3. Kỳ vọng và phương sai của quá trình Cox – Ingersoll – Ross………41
Chương II: Tích Phân Itô - Wiener Nhiều Chiều…………………… 44
§2.1. Tích phân ng ẫu nhiên Itô – Wiener nhiều chiều… …………………… 44
2.1.1. Định nghĩa hàm đối xứng…………… …………………………… …44
2.1.2. Định nghĩa………………………………………………………… 44
2.1.3. Ví dụ………………………………………………………… ………45
6
2.1.4. Định nghĩa tích phân Itô lặp……………………………………… …45
2.1.5. Định nghĩa tích phân Itô – Wiener nhiều chiều ……………………47
§2.2. Đa thức Hermite………………………………………………………… ….48

3.4.4. Tính chất……………………………………………………… …… 76
3.4.5. Tính chất…………………………………………………… ……… 78
Kết luận………………………………………………………………………… 80
Tài liệu tham khảo 81
8
BẢNG KÝ HIỆU
d

không gian Euclide
d 
chiều
 
d
B
Borel
 
đại số của
d

P

hội tụ theo xác suất
. .h c c
hầu chắc chắn
d

bằng nhau theo phân phối
 
exp x
x

x

 



toán tử Gradient:
1
, ,
d
f f
f
x x
 
 
 
 
 
 

 
0
o t t
hàm vô cùng bé có b ậc cao hơn bậc
của
0
t t

B F
 

t t      FT

kết thúc một chứng minh
Chương I Luận văn thạc sĩ toán học
10
CHƯƠNG I

TÍCH PHÂN ITÔ - WIENER MỘT CHIỀU §1.1 NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN Trước khi đi vào nội dung chính của luận văn, ta nhắc lại những kiến thức cơ
bản dưới dạng kết quả mà không chứng minh. Đây là những kiến thức cần thiết sử
dụng cho các phần tiếp theo của luận văn này.

Định nghĩa 1.1.1
: σ− đại số

Giả sử
A
là lớp nào đấy các tập con của
Ω
, khi đó
A
được gọi là

σ
−
đại số của các tập con trong
Ω
, và
P

là một độ đo trên
F
. Khi đó bộ ba
(
)
,,
P
Ω
F
được gọi là một không gian đo. Nếu
(
)
1P Ω=
thì
(
)
,,
P
Ω F
được gọi là không gian xác suất.
Cho không gian xác suất
(
)


11
thực
(
)
f
x
trên
d

được gọi là đo được nếu nó là
(
)
d
−
B
đo được. Ta nói
F
là
độ đo xác suất trên
d

nếu
F
là một độ đo xác suất trên
(
)
(
)
,.

B
ω
ω∈ ∈F
cho mỗi
(
)
d
B ∈ B
, trong đó
(
)
d
B
là Borel
σ
− đại số của
d

.
Cho
(
)
d
B ∈ B , ta viết
(
)
:
P
XB⎡ω ω ∈ ⎤
⎣⎦


Định nghĩa 1.1.4: Quá trình ngẫu nhiên Họ các đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị trên
d

:
{
}
:0
t
Xt≥
xác định trên
cùng một không gian xác suất
(
)
,,
P
Ω
F
được gọi là một quá trình ngẫu nhiên. Để
đơn giản ta thường ký hiệu nó là
t
X
(hoặc bằng các ký hiệu sau:
(
)
(
)

(
)
(
)
m
d
B
.
• Họ của các độ đo xác suất trên với mọi cách chọn
1
, , ;
m
ttmN∈
, được gọi
là phân phối hữu hạn chiều của quá trình
t
X
. Ta ký hiệu nó là:

Chương I Luận văn thạc sĩ toán học
12

(
)
(
)
(

PX X t
→
−>= ∀>∀∈∞
εε
(1.2)

Định nghĩa 1.1.6: Quá trình ngẫu nhiên đo được

Ta nói rằng quá trình
t
X
là đo được nếu ánh xạ:
(
)
(
)
:, ,
t
X
++
×Ω ⊗ →BF B là đo được đối với
−
σ
trường tích
+
⊗BF
.
Trong đó
+
⊗BF

st
st⊂∀≤≤<∞FF
(họ luôn tăng) (1.3)

ii.
0
0
tt+
>
=∀>∩
ε
ε
ε
FF
(họ liên tục phải) (1.4)

Chương I Luận văn thạc sĩ toán học
13
iii. Nếu
A
∈F
và
(
)
0
0PA A=⇒∈F (1.5)
(2)

t
tX≥
là
t
−
F
đo được.

Định nghĩa 1.1.8
: Matingale Cho quá trình ngẫu nhiên
{
}
,0
t
Mt≥
thích nghi với bộ lọc
{
}
:0
t
t ≥F
thỏa
các điều kiện sau:

0
t
E

t
X
là đo được dần nếu với mỗi
0t ≥
nó đo được với
−
σ
trường tích
[]
0,
X
t
t
⊗BF, trong đó:
[]
0,t
B là
−
σ
trường Borel trên đoạn
[
]
0,t
,
X
t
F
là −
σ
trường sinh bởi biến ngẫu nhiên

:0
X
t
t ≥F
thường được gọi là bộ lọc tự nhiên của quá
trình
t
X
, hay là lịch sử của
t
X
.
• Về
−
σ
trường
X
t
F
ta có thể hiểu như tập hợp của tất cả các biến cố mà có
thể nhận biết được sự xuất hiện của chúng nhờ quan sát hàm ngẫu nhiên của ta
cho đến thời điểm
t
.

Định nghĩa 1.1.10
: Hội tụ theo xác suất Một dãy các biến ngẫu nhiên

Một dãy biến ngẫu nhiên
{
}
n
X
được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến
X
, ký
hiệu: n
X
Xhcc→
nếu
() ()
lim 1
n
n
PX X
→∞
⎡
⎤
ω
=ω=
⎣
⎦
. (1.10)

Định lý 1.1.12: Hội tụ bị chặn (hội tụ bị trội)

Zhcc→
thì
(
)
(
)
n
E
XEZ→
khi
n →∞
. (1.12)

§1.2 TÍCH PHÂN ITÔ – WIENER MỘT CHIỀU

Trong thực tế có rất nhiều bài toán dẫn đến nhu cầu phải tính toán một loại tích
phân có dạng tạm ký hiệu là
()
,
b
t
a
I
ft dW
ω
=
∫
, trong đó
(
)

T
bởi một dãy hàm sơ cấp trong
(
)
2
0,
L
T
, sau
đó qua phép toán lấy giới hạn ta sẽ định nghĩa tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener
một chiều của một hàm bất kỳ trong
(
)
2
0,
L
T
.
Cho
(
)
W •
là quá trình Wiener xác định trên không gian xác suất
(
)
,,
P
Ω F
.


(
)
:|tWsWtst
+
=−≥WF gọi là tương lai của quá trình
Wiener theo thời gian t .

Định nghĩa 1.2.2: Họ
(
)
•F
của −
σ
đại số ⊆ F gọi là thích nghi (đối với
(
)
W
•
) nếu:
(i)
(
)
(
)
0ts ts⊇∀≥≥FF
(1.13)


(
)
•F
) nếu mỗi
0t ≥ ,
(
)
G •
là
(
)
tF
đo được.

Định nghĩa 1.2.4: Không gian hàm bình phương khả tích (i) Ta ký hiệu
(
)
2
0,
L
T
là không gian tất cả các hàm ngẫu nhiên
(
)
G •
bình
phương khả tích nhận giá trị thực sao cho:

⎡⎤
<
∞
⎢⎥
⎣⎦
∫Chương I Luận văn thạc sĩ toán học
17
Định nghĩa 1.2.5: Hàm sơ cấp

Hàm
(
)
2
0,GL T∈
gọi là hàm sơ cấp nếu tồn tại khoảng
{
}
01
0
m
tt tTΡ= = < < < =
sao cho
(
)

0,GL T∈
là hàm sơ cấp như trên, thì ta định nghĩa tích phân ngẫu
nhiên Itô – Wiener một chiều như sau:

() ()
()
1
1
0
0
:
T
m
kk k
k
GdW G W t W t
−
+
=
=−
∑
∫
(1.15)
là tích phân ngẫu nhiên Itô của
G
trên khoảng
(
)
0,T
.

Chứng minh

Nếu
(
)
,tGt
ω
là liên tục hầu hết với mọi
ω
thì ta đặt ()
[]
1
:, ,0, ,.
n
kk k
Gt G t k nT
nn n
+
⎛⎞
=≤<=
⎜⎟
⎝⎠
(1.17)
Chương I Luận văn thạc sĩ toán học

GLTtGt∈ 
ω
là liên tục hầu hết với mọi
ω
và 2
0
0
T
m
GGdt−→
∫
hầu chắc chắn. 

Định nghĩa 1.2.8: Tích phân ngẫu nhiên Itô của hàm bất kỳ

Ta xét lớp các hàm ngẫu nhiên bình phương khả tích và
()
F
t
đo được. Đối với
một hàm bất kỳ trong lớp nêu trên sẽ tồn tại dãy hàm ngẫu nhiên cơ bản hội tụ về
nó, khi đó ta định nghĩa tích phân ngẫu nhiên Itô – Wiener một chiều bởi biểu
thức:

00
:lim
TT

aG b H dW a G dW b H dW+=+
∫∫∫
. (1.20)
ii. Tính chất kỳ vọng bằng không của tích phân Itô:

0
0
T
EGdW
⎡⎤
=
⎢⎥
⎣⎦
∫
. (1.21)
Chương I Luận văn thạc sĩ toán học
19
iii. Tính chất đẳng cự của tích phân Itô:

2
2
00
TT
E
GdW E G dt
⎡⎤
⎛⎞⎡⎤

)
()
()
)
,1 ,1
11
00
1, 1
kk kk
mm
kk
tt tt
kk
Gt Gt Ht Ht
++
−−
⎡⎡
⎣⎣
==
==
∑∑Ta có:
() ()
()
() ()
()
1
1

=−+−
∑∑
00
TT
aGdW bHdW=+
∫∫
. (1.24)

ii. Giả sử
(
)
k
Gt G≡
với
1kk
ttt
+
≤<
thì () ()
()
1
1
0
0

)
k
tF
độc lập với
(
)
k
t
+
W
. Mặt khác,
Chương I Luận văn thạc sĩ toán học
20
(
)
(
)
1kk
Wt Wt
+
−
là
(
)
k
t
+

EG Wt Wt EG EWt Wt
++
⎡⎤
⎡⎤
−= −=
⎣⎦
⎣⎦
(1.26)

vì
(
)
(
)
1
0
kk
EWt Wt
+
⎡⎤
−=
⎣⎦
(1.27)

vậy
0
0
T
EGdW
⎡⎤

⎣⎦
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
∑
∫
(1.29)

• nếu jk< thì
(
)
(
)
1kk
Wt Wt
+
−
độc lập với
(
)
(
)
(
)
1kj j j
GG Wt Wt
+
−
. Vậy


⎡⎤
⎡
⎤
=− −
⎣
⎦
⎣⎦ = 0 (1.30)
• Nếu
jk>
ta cũng có kết quả tương tự.
• Nếu jk= thì

Chương I Luận văn thạc sĩ toán học
21

() ()
()
() ()
()
()
()
2
1
2

⎢⎥
=−
⎜⎟
⎣⎦
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
⎡⎤
⎡⎤
⎡⎤ ⎡⎤
=−=−=
⎢⎥
⎣⎦ ⎣⎦
⎣⎦
⎣⎦
∑
∫
∑∑
∫

iv. Ta có:

22
00 0 0 0 0
1
4
TT T T T T
GdW HdW GdW HdW GdW HdW
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞

⎡⎤⎡⎤
⋅=⋅
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
∫∫ ∫


. (1.32)
Ví dụ 1.2.10: Dùng định nghĩa để tính tích phân
() ()
0
T
WudWu
∫
trong đó
(
)
Wu
là
quá trình Wiener tiêu chuẩn với
(
)
00W
=
.
Giải:
Trên đoạn
[
]
0,T

⎪
⎝⎠
⎩

(1.33)
Ta định nghĩa:
Chương I Luận văn thạc sĩ toán học
22

() ()
(
)
1
0
0
1
lim
T
n
n
k
kT
kT kT
WudWu W W W
nn n
−
→∞

()
1
1
0
0
lim .
T
n
kk k
n
k
WudWu W W W
−
+
→∞
=
=−
∑
∫
(1.35)
Ta có:

()
1111
2
22
111
0000
11 1
22 2

00
1
2
nn
nkkk
kk
WWWW
−−
+
==
=+ −
∑∑
()
1
2
1
0
1
.
2
n
nkkk
k
WWWW
−
+
=
=− −
∑
(1.36)

kT kT
WW W
nn n
−
=
⎡
⎤
⎛+ ⎞
⎛⎞ ⎛⎞
−
⎢
⎥
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠
⎣
⎦
∑()
()
2
1
2
0
1
11
.

2
0
11
.
22
T
WudWu W T T=−
∫
(1.39)
Chương I Luận văn thạc sĩ toán học
23
• Trong giải tích ngẫu nhiên ta sẽ có các đẳng thức sau:
i.
.
tt
dW dW dt=
với
t
W
là quá trình Wiener.
ii.

,,
.0,
it jt
dW dW i j
=

,,
tt
dX t dt t dW
α
ωβω
=+
(1.40)
với
(
)
,t
α
ω
là tham số dịch chuyển,
(
)
,t
β
ω
là tham số tán xạ.
Trong đó:
(
)
(
)
(
)
h
X
tXthXtΔ=+−

EXtXt t
h
ω
βω
→
⎡⎤
Δ==
⎣⎦
(1.42)

() ()
0
1
lim | 0, 3,4,
r
h
h
EXtXt r
h
→
⎡⎤
Δ===
⎣⎦
ω
(1.43)
•
Khi có (1.40) thì ta suy ra một cách tương đương: