Báo cáo nghiên cứu
khoa học:

"Sự hội tụ trong
không gian của
mảng nhiều chiều
các toán tử đo được
khả tích đều"
Sự hội tụ trong không gian của mảng nhiều chiều các
toán tử đo đợc khả tích đều
Nguyễn Văn Quảng
(a)
, Lê khánh Kiều
(b)
Tóm tắt. Trong bài báo này, chúng tôi trình bày một số kết quả về sự hội tụ trong
không gian L
p
của mảng nhiều chiều các toán tử đo đợc khả tích đều trong đại số von
Neumann. Các kết quả này là sự mở rộng một số kết quả gần đây (xem [4], [6], [8]).
I. Mở đầu
Trong thời gian gần đây có nhiều bài báo nghiên cứu về sự hội tụ theo trung bình
và luật yếu số lớn đối với mảng nhiều chỉ số các biến ngẫu nhiên khả tích đều (xem
[1], [5], [8],. . . ). Việc nghiên cứu những kết quả tơng tự trong lý thuyết xác suất
không giao hoán cũng đang đợc nhiều nhà toán học quan tâm. Bài báo này nghiên
cứu về sự hội tụ trong không gian L
p
(p = 1, 2) của mảng nhiều chỉ số các toán tử đo
đợc khả tích đều.
Trong suốt bài báo, ta luôn giả sử H là không gian Hilbert phức; A là đại số von

Đối với mỗi toán tử tự liên hợp x

A, ta kí hiệu e

(x) là phép chiếu phổ của x
tơng ứng với tập Borel R. Hai toán tử tự liên hợp x, y

A đợc gọi là có cùng
phân phối nếu (e

(x)) = (e

(y)) với mọi tập Borel R.
Với d là số nguyên dơng cho trớc, đặt
N
d
=

n = (n
1
, n
2
, . . . , n
d
), n
i
N, i = 1, . . . , d

.
N

d

i=1
n
i
= Card{k N
d
, k n}.
1
Nhận bài ngày 11/12/2008. Sửa chữa xong 06/4/2009.
Cho mảng (x
n
, n N
d
) L
p
(A, ) và x L
p
(A, ). Ta nói (x
n
, n N
d
) hội tụ
(i) theo tôpô độ đo tới x và viết x
n

x nếu
lim
|n|
(e

A đợc gọi là độc lập nếu các đại số sinh bởi x và y tơng ứng
là độc lập.
Mảng (x
n
, n N
d
)

A đợc gọi là độc lập đôi một, nếu với mọi m, n N, n = m
thì các toán tử x
n
, x
m
độc lập.
Mảng (x
n
, n N
d
)

A gọi là khả tích đều nếu
(i) sup
nN
d
(|x
n
|) < ,
(ii) > 0, c > 0 : sup
nN
d

C

e
[,)
(|x|)

,
thì ta viết (x
n
) x.
Định lý sau là dạng không giao hoán của bất đẳng thức Tchebyshev.
1.1. Định lý. ([3], Định lý 3.6.1). Giả sử x

A, g : R
+
R
+
là hàm đo đợc
không giảm. Khi đó với mỗi > 0 cho trớc ta có
[e
[,)
(|x|)]
(g(|x|))
g()
.
Từ định lý này ta suy ra đợc hệ quả sau mà nó là dạng không giao hoán của bất
đẳng thức Markov.
1.2. Hệ quả. Nếu x

A thì với mỗi > 0, ta có


C
r

(|x|
r
) + |a|
r

,
trong đó
C
r
=

1 nu r 1
2
r1
nu r > 1.
Chứng minh. Giả sử toán tử tự liên hợp x

A có biểu diễn phổ là
x =



e(d).
Khi đó, từ bất đẳng thức sơ cấp | + |
r
C


= C
r

(|x|
r
) + |a|
r

.
Kết quả chính của bài báo này là định lý sau. Đây cũng chính là dạng không giao
hoán của một phần định lý 2.1 trong [8].
2.2. Định lý. Cho mảng (x
n
, n N
d
)

A các toán tử độc lập đôi một, tự liên hợp
sao cho {|x
n
|, n N
d
} khả tích đều. Khi đó
1
|n|

in
(x
i

n
|), x

n
= x
n
e
[M,)
(|x
n
|). Theo Bổ đề 1, ta có
|x

n
(x

n
)| 2(|x

n
|) < 2. Từ đó ta thu đợc
|

in
(x
i
(x
i
))| |


+

in
|x

i
(x

i
)|.
Vì mảng (x
n
, n N
d
) độc lập đôi một nên
(



in

x

i
(x

i
)



|x

i
(x

i
)|
2
+

i=j
[x

i
(x

i
)]

[x

j
(x

j
)]

=



in
(|x

i
(x

i
)|
2
)

in
(|x

i
|
2
) |n|M
2
.
Mặt khác, nhờ bất đẳng thức Minkovski và lập luận trên ta có
|

in
(x

i
(x

i

Hệ quả sau là dạng không giao hoán của luật yếu số lớn. Đây cũng chính là mở
rộng Hệ quả 2.4 trong [6].
2.3. Hệ quả. Giả sử (x
n
, n N
d
) là mảng các toán tử đo đợc tự liên hợp, độc lập đôi
một, cùng phân phối sao cho (|x
1
|) < . Khi đó
1
|n|

in
x
i
(x
1
) trong không
gian L
1
và theo tôpô độ đo khi |n| . Chú ý rằng nếu (x
n
, n N
d
)

A, x

A

và theo tôpô độ đo khi |n| . Với trờng hợp
p = 2, ta có định lý sau.
2.5. Định lý. Cho mảng (x
n
, n N
d
)

A các toán tử độc lập đôi một, tự liên hợp
sao cho {|x
n
|
2
, n N
d
} khả tích đều. Khi đó
1
|n|

in
(x
i
(x
i
))
L
2
0 khi |n| .
Chứng minh. Vì {|x
n

n
|), x

n
= x
n
e
[M,)
(|x
n
|). Khi đó nhờ Bổ đề 1, ta nhận đợc |x

n
(x

n
)|
2

4(|x

n
|
2
) < 4. Mặt khác ta có
|

in
(x
i

d
) độc lập đôi một nên
(



in

x

i
(x

i
)



2
)
=


in
(x

i
(x

i

i
(x

i
)]

[x

j
(x

j
)]

=


in
(|x

i
(x

i
)|
2
) +

i=j
((x


i
|
2
) |n|M
2
.
Lập luận tơng tự, ta có
|

in
(x

i
(x

i
)|
2


in
|x

i
(x

i
)|
2

= o(|n|
2
) kh |n| .
Định lý đợc chứng minh.
Chú ý rằng từ điều kiện mảng (x
n
, n N
d
) bị chặn đều trong L
2
(A, ), ta suy ra
đợc mảng (|x
n
|
2
, n N
d
) khả tích đều. Từ đó ta có
2.6. Hệ quả. ([4], Định lí 4.1) Giả sử (x
n
) là dãy các toán tử đo đợc tự liên hợp, độc
lập đôi một. Khi đó, nếu dãy (x
n
, n N
d
) bị chặn đều trong L
2
(A, ), thì
1
|n|

variables, International Journal of Mathematics and Mathematics Sciences, 2005:
8(2005),1317-1320.
Summary
On the L
p
-convergence for sequences of measurable
operators uniform integrability
In this paper, we present some results on the L
p
-convergence for multidimensional
arrays of uniformly integrable measurable operators in von Neumann algebras. Our
results generalize some recent ones (see [4], [6], [8]).
(a) Khoa To¸n, Tr−êng §¹i Häc Vinh
(b) Cao häc 14, chuyªn ngµnh XSTK, Tr−êng §¹i Häc Vinh.