1
Câu 1: Định nghĩa, phân loại dao động, giới hạn nghiên cứu-
các bước nghiên cứu dao động của cơ hệ. Tác dụng hai mặt
của dao động và ý nghĩa của việc nghiên cứu dao động.
* Định nghĩa dao động: Dao động kỹ thuật là một dạng vận
động của hệ vật chất, trong đó giá trị các thông số trạng thái
(TSTT) thay đổi qua lại xung quanh giá trị TSTT chuẩn.
- TSTT là tất cả các tham số biểu diễn hệ vật chất trong sự quan
tâm của chúng ta.
- TSTT chuẩn là TSTT danh định được xác định, thường được
biểu diễn ở trạng thái cân bằng.
* Phân loại dao động: có nhiều cách phân loại dao động:
- theo bản chất vật lý: cơ, điện, từ, quang
- theo số bậc tự do: (là số tọa độ độc lập đủ để xác định vị trí
phần tử cơ hệ) một bậc tự do, nhiều bậc tự do, vô số bậc tự do.
- theo phương trình vi phân: dao động tuyến tính, dđ phi tuyến
- theo nguyên nhân gây dao động: dao động tự do, dao động
cưỡng bức, dđ tham số, tự dao động
- theo xác suất gây ra dao động: dđ tiền định XS=1, dđ ngẫu
nhiên XS<1
- theo dạng chuyển động: dđ dọc, ngang, uốn, xoắn.
* Giới hạn nghiên cứu
Khảo sát dđg của hệ rời rạc, tiền định, hệ 1 và nhiều bậc tự do, hệ
tuyến tính, phi tuyến, dạng d.đ tự do và d.đ cưỡng bức.
* Các bước nghiên cứu:
1. Lập mô hình toán học:
- Mục đích: Thể hiện tất cả những đặc điểm quan trọng của hệ phục
vụ cho việc thiết lập phương trình toán học thể hiện ứng xử của hệ
- Phương pháp: đầu tiên dưa ra mô hình sơ bộ để nhanh chóng
tìm ra ứng xử của hệ, sau đó sẽ hoàn thiện bằng cách thêm các

và chế tạo hầu hết các hệ thống kỹ thuật.
- Một trong những mục đochs quan trọng của việc nghiên cứu dđ là để
giảm thiểu các dđ thông qua việc thiết kế chính xác máy móc cùng với hệ
thống giá đỡ của chúng. Tiếp nữa các kỹ sư cơ học sẽ tìm cách thiết kế
động cơ và máy móc sao cho có thể giảm tối đa sự mất cân bằng, trong
khi kỹ sư kết cấu thì tìm cách thiết kế các kết cấu đỡ sao cho những tác
động của mất cân bằng trở thành vô hại.
- Bên cạnh những tác động có hại, dđ cũng có thể được sử dụng một cách
có lợi trong một số ứng dụng công nghiệp và tiêu dùng: băng tải, máy
sàng, máy ép, máy giặt….Nó còn được sử dụng để mô phỏng hiện tượng
động đất trong nghiên cứu địa chấn và để thực hiện các nghiên cứu trong
quá trình thiết kế các lò phản ứng hạt nhân.

Câu 2: Dao động điều hòa, dao động tuần hoàn, dao động á
tuần hoàn, dao động không tuần hoàn. Các định nghĩa và
quan hệ giữa các dạng dao động trên.
Trả lời
I. Các định nghĩa
1. Dao động điều hòa:
+ Định nghĩa: Là dạng dao động mà mỗi TSTT được biểu diễn
bằng chỉ một hàm sin hoặc cosin:
cos( )x A t


hoặc
Asin( )yt


(1)



.
- biết tần số vòng và các điều kiện đầu:
Giả sử điều kiện đầu có dạng:
0; (0) . os ; (0) sin
00
t x x Ac x x A
  
     

2
2
00
; arctan
0
2
0
xx
Ax
x



   

+ Biểu diễn dđđh:
- biểu diễn = tọa độ đề các.
- biểu diễn = véc tơ quay.
- biểu diễn = số phức:
2

- bd= miền tần số.
- bd= mặt phẳng pha.
Chú ý: 1 dđth có thể phân tích thành nhiều dđđh có tần số vòng
, 2, 3…
( ) [a osn t+b sin ]
nn
0
1
x t a c n t
n





(a
0
, a
n
, b
n
là các hệ số hằng)
3. Dao động á tuần hoàn:
+ Định nghĩa: hàm y(t) là hàm á tuần hoàn (hầu tuần hoàn) nếu
với
0


cho trước bé tùy ý tồn tại một hằng số T
*

1. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số:
( ) sin( )
1 1 1
( ) sin( )
2 2 2
( ) ( ) ( ) sin( )
1 2 1 1
sin( ) sin( )
22
x t A t
x t A t
x t x t x t A t
A t A t



   


     
   




Trong đó:
22
2 os( )
1 2 1 2 2 1
sin sin





với
12
1; ( , 1, 2,3 )
21
T
p
pq
Tq


   

1 2 1 1 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) sin( ) sin( )x t x t x t A t A t
   
      

+ Kết luận: Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, khác
tần số vòng với tỷ lệ giữa 2 tần số là số hữu tỷ sẽ là một dao động
tuần hoàn với chu kỳ :
12
T pT qT
Nếu
p
q
là phân số tối

q




(

bé tùy ý)
1 2 1 1 2 2
12
( ) ( ) ( ) sin( ) sin( )
T pT qT
x t x t x t A t A t
   
  
     

+ Kết luận: Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, khác
tần số với tỷ lệ giữa 2 tần số là số vô tỷ là một dao động á (hầu)
tuần hoàn.
4. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, có tần số gần
giống nhau, biên độ = nhau.

( ) sin( )
1 1 1 1
( ) sin( )
2 2 2 2
x t A t
x t A t




()
2 1 2 1
( ) 2 . os
2
t
A t A c
   
  




là 1 hàm biến đổi chậm
theo thời gian. Khi đó, xảy ra hiện tượng phách.
Câu 3: Các thành phần cơ bản của hệ dao động: quán tính,
đàn hồi, cản và kích động.
1. Phần tử quán tính:
+ Các phần tử khối lượng (QT) được xem như vật thể rắn tuyệt
đối. Chúng có thể nhận thêm hay mất đi động năng mỗi khi vận
tốc thay đổi.
+ Theo định luật 2 Niu tơn, tích của khối lượng và gia tốc chuyển
động của vật bằng lực đặt lên vật đó. Công của lực bằng tích của
lực với độ dịch chuyển theo phương tác dụng của lực; công sinh
ra trên phần tử khối lượng được tích lũy dưới dạng động năng
của phần tử khối lượng đó.
+ Trong hầu hết các trường hợp, chúng ta cần sử dụng một số mô
hình toán học để mô tả dao động thực và thường thì chỉ có một
vài mô hình có thể chấp nhận được. Mục đích của việc phân tích

được chuyển hóa thành nhiệt hoặc âm thanh gọi là giảm chấn (cản).
- Các phần tử giảm chấn coi như không có khối lượng và không
có tính đàn hồi.
- Lực giảm chấn (lực cản) chỉ tồn tại khi có vận tốc tương đối
giữa hai đầu giảm chấn.
- Có 2 loại cản:
+ Cản ngoài: cản nhớt, cản khô (cản culông)
+ Cản trong: cản trễ của vật liệu.
Đối với hệ dao động một bậc tự do tuyến tính: Lực cản là tuyến
tính và hệ số cản là một hằng số không đổi. Phần tử cản trong
phương trình vi phân chuyển động là số hạng đứng trước đạo
hàm bậc nhất của chuyển vị.
Đối với hệ dao động nhiều bậc tự do tuyến tính: Phần tử cản
trong hệ phương trình vi phân chuyển động là một ma trận cản
đứng trước đạo hàm bậc nhất của chuyển vị.
4. Phần tử kích động:
Kích động là những tác động cung cấp động năng cho hệ dao động
từ môi trường thông qua công của các lực hoặc các ngẫu lực.
Các loại kích động:
- Theo bản chất vật lý: kích động động lực, k.động động học.
- Theo sự biến đổi của thời gian: k.động điều hòa, tuần hoàn, á
tuần hoàn, k.động xung.
- Theo tần suất xuất hiện: k.động ngẫu nhiên, tiền định.
- Theo mối quan hệ giữa tác động và trạng thái động học:
+ k.động ngoài: hàm k.động chỉ phụ thuộc thông số thời gian.
+ Tự kích: hàm k.động không chỉ phụ thuộc thông số thời gian
mà còn phụ thuộc thông số trạng thái.

3
Câu 4: Dao động tuyến tính tự do của cơ hệ 1 bậc tự do bỏ qua


0
0 0 1 0 2
0; (0) ; (0) ;
x
t x x x x C x C

     

 nghiệm riêng:

2
2
00
00
x
os t+ sin .sin( )
.sin( )
x
x x c t x t
At
   



   



(3)



và chu kỳ dao động
2
T



không phụ thuộc vào
điều kiện đầu mà chỉ phụ thuộc vào các thông số kết cấu của hệ. vì vậy,
 được gọi là tần số dao động riêng của hệ (ký hiệu
n

)
- Biên độ dao động là hằng số. Biên độ dao động và pha ban đầu
của dao động tự do không cản phụ thuộc vào các điều kiện đầu
và các tham số của hệ. Nếu
00
0; 0 0x x A    
vật
không dao động.

2 2 2 2
12
()
c c k c c k
tt
m m m m m m
x t C e C e
   
   
   
     
   
   
   
   
   

(2)
12
,CC
được xác định từ điều kiện đầu
3. Hệ số cản tới hạn, hệ số cản lehr:
- Hệ số cản tới hạn là giá trị của hệ số cản sao cho biểu thức
trong dấu căn của ptcđ (2) bằng 0.
2
0 2 2
2
c
cn
c


2
c
ck
cc
mm
  

- Phương trình chuyển động:
2
00
( ) . . os( 1- )
n
t
n
x t X e c t



  
(3)
Biên độ:
0
.
n
t
A X e




1
d
At
A t T







2
2
1
()
()
d
At
e
A t T




2
1
1




1,005
1,02
1,15
2,09


- Nhận xét:
+ Cản nhớt tuyến tính làm giảm mạnh biên độ, làm giảm yếu
tần số vòng.
+ Khi lực cản nhỏ hệ dao động tắt dần.
* Trường hợp 2:
1
c
cc

  
(hệ có cản tới hạn)
2
c
ck
cc
mm
  

- Phương trình chuyển động:
12
( ) ( )


khi
t 
nên chuyển động giảm dần tới 0
khá nhanh.
* Trường hợp 3:
1
c
cc

  
(hệ có cản lớn- giảm chấn mạnh):

2
c
ck
cc
mm
  

- Phương trình chuyển động:
22
( 1) ( 1)
12
()
nn
tt
x t C e C e
     
     


F x F
x t x c t t c t
nn
k m k m
n
  


   



0 0 0
0 n n
22
. os .sin os os
n
n
x F F
x c t t c t c t
k m k m
   
  
   


(2)

+ dao động cưỡng bức:
0
2
os
F
ct
km




- Từ (2), ta có:

0
n
0n
2
os t-cos
( ) . os .sin
1
n st
n
n
x
ct
x t x c t t

  



x t x c t t t

   

   2
n
st
t
A



là hàm bậc nhất của t. khi t thì A. Khi đó
xảy ra hiện tượng cộng hưởng của hệ.
+ Trường hợp2:
n

22
2
4
2
n
n
n

.sin .sin ( )sin
2
F
t t A t t
m
  

0
( ) .sin
2
F
A t t
m



là 1 hàm điều hòa.
Với  nhỏ thì A(t) là một hàm điều hòa biến đổi chậm theo thời
gian, lúc đó xuất hiện hiện tượng phách.
Đồ thị: 5
22

00
2
2
2
(1 )
n
FF
A
km
k







Đặt:
0
1
2
1
;;
1
st
n st
F
A
M
k


là hàm kích động điều hòa.
2. Phương trình chuyển động:
* Nghiệm tổng quát của (1): x(t) = x
1
(t) + x
2
(t)
Trong đó:
12
2
n
1 1 2
12
. . os( 1- . t- )
( ) (C ).

n
n
t
t
s t s t
X e c
x t C t e
C e C e







còn có ý nghĩa.
+ giai đoạn bình ổn: khi hệ chỉ còn một dao động
2
()xt
(dao động
cưỡng bức)

2
()xt
là dao động cưỡng bức, đó là một dạng dao động điều hòa có X,
 được xác định như sau:  
1
0
2
2
2 2 2
; tan
F
c
X
km
k m c






2 2 2
(1 ) (2 )
X
M
st



   
- được gọi là hệ số biên
độ dạng 2.
* Nhận xét:
- khi bỏ qua cản ( = 0): Nếu   
2
  hệ cộng hưởng
- Khi có cản ( > 0): thì , M
2
đều giảm so với khi  = 0.
- Với mỗi giá trị của , nếu cản tăng thì M
2
sẽ giảm.
- Khi lực kích động F
0
= const thì M
2
= 1
- Khi có cản ( > 0): thì M
2
giảm mạnh tại vị trí cộng hưởng hoặc
gần cộng hưởng.

6
+
1
0
2


thì M
2
tăng từ 1 đến M
2
(max), sau đó giảm từ
M
2
(max) về 0.
+
1
2


thì

n
0
. sinmx kx f N F t

  
(1)
Tổng quát:

0
. . sinmx kx f N sigx F t

  
(2)

10
10
x
sigx
x




  


2. Phương trình chuyển động
Tìm hệ số cản nhớt tương đương sao cho với hệ số cản nhớt
tương đương đó thì mất mát năng lượng do cản nhớt gây ra = mất
mát năng lượng do cản cu lông gây ra.
cơ năng chuyển hóa trong 1/4 chu trình:

2
( ) sin( )x t X t

 

Với:

2
0
0
22
4
1
(1 )
fN
F
F
X
k







;
n





Điều kiện để X có nghiệm thực:
2
0
4
10
fN
F






0
4
ms
F
F fN

  
đây chính là điều kiện để tồn tại dao
động á tuần hoàn của hệ.
3. Các nhận xét về chuyển động của cơ hệ.
- Nếu lực cản do ma sát khô là lớn thì chuyển động của vật là
không liên tục (gián đoạn)
- Nếu lực cản do ma sát khô là nhỏ so với biên độ của lực đặt
0
F



(1)
Asin( )mx cx kx t

     
(2)
Với:
2 2 1
( ) ; tan
c
A Y k c
k




   



2. Phương trình chuyển động
Ta thấy:
- vế trái của phương trình vpcđ là 1 lực kích động điều hòa, lực
này do di chuyển điều hòa y = Y.sint gây ra.
- Nếu chỉ xét giai đoạn bình ổn thì chuyển động của hệ chỉ còn là
dao động cưỡng bức.
 x(t) = x
2
(t) = X.



Đặt:
;
nc
c
c



  

2 2 2
( ) 1 (2 )
2 2 2 2 2 2
4
( ) ( ) (1 ) (2 )
X k c
M
Y
k m c

  
  
  
     

M
4
được gọi là hệ số biên độ dạng 4, hay gọi là hệ số truyền chuyển vị.

1 8 1
2


   
< 1
Đồ thị:
b F t j t j











2. Phương trình chuyển động
Theo nguyên lý chồng chất nghiệm, nghiệm tổng quát của hệ
ptvpcđ (1) = tổng nghiệm của các phương trình sau:
0
2
cos
sin
a
mx cx kx
mx cx kx a j t
j
mx cx kx b j t
j


  
  
  

1
j
a
x t c j t
k
jj



  
  

- nghiệm của (***):

23
2 2 2
. sin( ) ( )
2
(1 ) (2 )
1
j
b
x t j t
k
jj



  
  

1
10
nn
j
j



        

Cộng hưởng xảy ra với giá trị biên độ hữu hạn và là cộng hưởng sớm.
- Khi j tăng đến  thì các số hạng tương ứng sẽ dần về 0. do đó,
ta chỉ cần dùng các giá trị j đủ lớn.

6.VI. Dao động cưỡng bức, kích động đa tần, cản nhớt tuyến tính.
Phương trình mô tả chuyển động:
0
1
.sin
n
ii
i
mx cx kx F t


  


Đây là trường hợp riêng của kích động tuần hoàn.


n
t
n
d
d
xx
x t e x c t t








2
;1
2
dn
cn
cc
cm
   

   

* tại t = 0, đặt xung lực đơn vị
1
1
0

0
0
0
xx
xx






hệ đứng yên
Tại t =
0

:
0
00
0
1
;
xx
x x x
m







n
t
d
d
F
x t e t F g t
m






* tại t =   0, đặt xung lực
F
vào hệ, ptcđ là:
()
( ) sin ( ) . ( )
n
t
d
d
F
x t e t F g t
m
 
  


   

n
t
d
d
x t F e t d
m
 

  





3. Nhận xét về chuyển động của cơ hệ.
- Biểu thức nghiệm trên thể hiện đáp ứng của hệ một bậc tự do
giảm chấn yếu trước kích thích không tuần hoàn F(t). Lưu ý rằng
công thức nghiệm trên không xét đến ảnh hưởng của các điều
kiện đầu của hệ.
- Tích phân trong nghiệm trên gọi là tích phân chập hay tích phân
Duhamel 6.VIII. Dao động cưỡng bức, kích động động lực ly tâm, cản
nhớt tuyến tính.
1. Phương trình vi phân chuyển động:
2




  






Với các ký hiệu
,
cn
c
c



  
thì ta có:
 
3
2
2
1
; tan
2
2
1
22

thì M
3
đạt max khi
2
1
12





3
2
1
( ax)
21
Mm




- Khi  
1
2
thì M
3
không đạt giá trị (max), nghĩa là M
3
tăng
từ 0 đến 1 khi  tăng từ 

9
Câu 7: Dao động tuyến tính tự do của cơ hệ nhiều bậc tự do bỏ
qua cản: Phương trình vi phân chuyển động, Tần số riêng,
dạng riêng, ma trận dạng riêng, tính trực giao của ma trận
dạng riêng, phương trình chuyển động, tọa độ chính, tọa độ
chuẩn:

+  - Thế năng của hệ
Lập được ptvpcđ:

 
 
 
   
0M q K q
(2)
Trong đó:
   
M ; K
lần lượt là các ma trận khối lượng và ma
trận độ cứng.

 
q
là véc tơ các tọa độ suy rộng.
 
12

T
n
q q q q



2. Tần số riêng
Điều kiện đầu:
00

Để (3) không có nghiệm tầm thường thì:
det
   
2
0KM




(4)
(4) được gọi là pt tần số (pt đặc trưng của (3)). Đây là pt đại số
thuần nhất bậc “s” đối với 
2
. Giải (4) sẽ tìm được các nghiệm

1
, 
2
,…,
s
. Các tần số này được gọi là các tần số riêng của hệ.
3. Dạng riêng, ma trận dạng riêng.
ứng với mỗi
2
j

(nghiệm của (4)) ta có phương trình:
   
1j
2j


(5)

1
22
1
1
.

j
jj
j
sj sj
A
AV
A
AV
   
   
   

   
   
   
   
;
 
ij
ij
1j






(có “s” dạng riêng)
* Ma trận dạng riêng: Tập hợp các véc tơ riêng sẽ được 1 ma
trận dạng riêng.

21 22 2
12
1 1 1
j
s s sj
V V V
V
V V V











q q q q
s
s
s s s ss
   


   





   


1 1 1 1 2 2 2
q os( ) os( ) os( )
s s s
Cc t C c t C c t
     
      

2 1 21 1 1 2 22 2 2 2
q os( ) os( ) os( )
s s s s
CV c t CV c t CV c t
     
      



 
 
 
   
0M q K q
(2)
Xét 2 dạng riêng u, r có 
u
 
r
- Với  = 
u
 dạng riêng tương ứng:
   
uu
uu
q = A cos(ω t+φ )

- Với  = 
r
 dạng riêng tương ứng:
   
rr
rr
q = A cos(ω t+φ )

Điều kiện trực giao:

 








6. Tọa độ chính
Từ phương trình vpcđ:
 
 
 
   
0M q K q
(2)
Khi ta chọn 1 véc tơ tọa độ suy rộng đặc biệt là
 
p
sao cho khi đưa
thêm
 
p
vào thì các ma trận khối lượng và các ma trận độ cứng trở
thành ma trận đường chéo. Khi đó,
 
p
được gọi là tọa độ chính.
Dựa vào phép biến đổi:
 
 

T
V M V
và
    
T
V K V
là các ma trận đường chéo.
    
11
22
0
0
T
ss
m
V M V m
m






;
    
11
22
0
0
T

(8) gồm s phương trình tuyến tính
thuần nhất hệ số hằng. Giải tìm được p
1
, p
2
,…, p
s

 
 
 
q V p

Nhận xét: Khi dùng các tọa độ p
i
để đưa hệ ptvp thành “s” ptvp
đại số độc lập tuyến tính thì p
i
được gọi là véc tơ tọa độ chính. 10
Câu 8: Dao động tuyến tính tự do hệ nhiều bậc tự do có cản nhớt:
phương trình vpcđ và cách tìm phương trình chuyển động.
Trả lời
1. Phương trình vi phân chuyển động
Sử dụng phương trình Lagrange loại II:

c
j

Q
- là lực suy rộng ứng với tọa độ q
j
do lực cản gây ra

c
j
j
R
Q
q



;
2
1
1
.
2
n
kk
k
R c V



- Hàm hao tán Reyleigh
c
k


  

(3)
+ Để hệ pt (3) có nghiệm không tầm thường thì:

     
2
det 0M C K


  

(4)
+ Ta chỉ xét 1 trường hợp nghiệm cho đơn giản:
j j j
i
  
  

có véc tơ dạng riêng:
     
j j j
A u i v

Khi đó nghiệm tổng quát có dạng:
 
   
 
   

Với
, ;( 1, )
jj
B D j s
được xác định từ điều kiện đầu.
Vậy, chuyển động của hệ là hợp của 2 dao động:
+
j
t
e


: dao động tắt dần.
+
   
 
   
 
os sin os sin
j j j j j j
j j j j
B u c t v t D u c t v t
   

  

:dđđh
* Phương pháp 2: Giải theo phương pháp ma trận dạng riêng.
Có một số cơ hệ mà khi thành lập phương trình vi phân, ta có thể
khai triển thành:

Tính
   
;qq
và thay vào
ptvpcđ, rồi nhân trái với
 
T
V
để đưa về dạng:

. . . 0
ii i ii i ii
m p c p k p  
(6)
Với:
    
T
ii
m V M V    
T
ii
c V C V    
T
ii



- Khi có cản:

ca
jj
d L L
QQ
dt q q
jj



  





Trong đó:
+
LT 
là hàm Lagrange (T: động năng; : thế năng )
+ q
j
là các tọa độ suy rộng độc lập, đủ. (
1,js
)
+
j


 
 
 
 
 
   
M q C q K q F  

2. Cách tìm phương trình chuyển đông
Có hai phương pháp giải:
* Phương pháp 1: giải trực tiếp
Nghiệm tổng quát có dạng:
   
 
*
1
l
m
m
q q q


 
q
là nghiệm tổng quát của phương trình có vế phải.




Đưa hệ phương trình vi phân chuyển động về dạng:

. . . 0
ii i ii i ii
m p c p k p  
(*)
Với:
    
T
ii
m V M V    
T
ii
c V C V    
T
ii
k V K V

Từ (*) tính được p
i
 tính được
 





2. Tính chất:
-Tính chất 1:
+ Nếu tính cả
1
0


là tần số riêng và 
i
, 
j
là 2 tần số riêng
thì nếu hệ có s bậc tự do sẽ có s tần số riêng.
+ Khi
1
0


thì hệ được gọi là hệ bán xác định (hệ 2 đầu hở)
- Tính chất 2: Giả thiết của các TSR là do kết cấu động lực của
hệ (kết cấu động lực là số các phần tử quán tính, đàn hồi và giá
trị của nó; cách nối các phần tử quán tính với nhau và với giá)
3. Ý nghĩa:
- Tần số riêng không phụ thuộc vào kích động đầu hay thường xuyên, chỉ
phụ thuộc vào động lực của hệ, chỉ đúng với dao động tuyến tính.
- Đây là thông số rất quan trọng của hệ dao động vì quan hệ tần

   
   
nên (*) có nghiệm không
âm. Tức là:
2 2 2
12
0
s
  
   
(phổ giá trị riêng)
Tương ứng sẽ là:
12
0
s
  
   
(phổ tần số riêng)
* Cách 2: Phương pháp Rayleigh:
- Cơ sở của phương pháp:
Tần số của một hệ bảo toàn đang dao động xung quanh một vị trí
cân bằng có giá trị không đổi trong vùng lân cận của một dạng
riêng. Trên thực tế, giá trị không đổi này chính là giá trị nhỏ nhất
trong lân cận của dạng riêng cơ bản”
- Phương pháp tính:
Động năng và thế năng của một hệ rời rạc n bậc tự do được biểu
thị dưới dạng:
 
1
2

2
T
m
T X m X



 
ax
1
2
T
m
X k X

Cho
ax axmm
T 
ta rút ra:
 
 
2
T
T
X k X
X m X



* Cách 3: Phương pháp lặp ma trận:

- Hệ số chuẩn hóa cho giá trị lớn nhất của
2
1



, nghĩa là cho
giá trị nhỏ nhất của

, tức tần số riêng cơ bản.
Cụ thể:
+ Mọi véc tơ n chiều
1
X
đều có thể được biểu thị dưới dạng
một tổ hợp tuyến của n véc tơ trực giao của hệ
()
( , 1,2,3 )
i
X i n
:
(1) (2) ( )
1 1 2

n
n
X c X c X c X   
(1)
với
12

(2)
+ Ta có:
   
1
( ) ( )
;( 1,2,3 )
2
ii
D X I X i n


  
(3)
+ Thay (3) vào (2) ta có:
 
(1) (2) ( )
12

12
2 2 2
12
cc
c
n
n
D X X X X X
n
  
    
(4)

    
(5)
+ Tiếp tục lặp lại, sau bước thứ r chúng ta nhận được:
 
(1) (2) ( )
12

1
2 2 2
12
cc
c
n
n
D X X X X X
r
r
r r r
n
  
    

(6)
Do các tần số riêng được giả thiết là phân biệt, với
12

n
  
  
,

1
r
r
c
XX



nên chúng ta có thể tìm được TSR cơ bản
1

bằng cách lấy tỉ số của hai thành phần tương ứng bất kỳ trong
các véc tơ
1
,
rr
XX

:
,
2
1
,1
;( 1,2,3 )
ir
ir
X
in
X
