Câu 1: Định nghĩa, phân loại dao động, giới hạn nghiên cứu-
các bước nghiên cứu dao động của cơ hệ. Tác dụng hai mặt
của dao động và ý nghĩa của việc nghiên cứu dao động.
* Định nghĩa dao động : Dao động kỹ thuật là một dạng vận
động của hệ vật chất, trong đó giá trị các thông số trạng thái
(TSTT) thay đổi qua lại xung quanh giá trị TSTT chuẩn.
- TSTT là tất cả các tham số biểu diễn hệ vật chất trong sự quan
tâm của chúng ta.
- TSTT chuẩn là TSTT danh định được xác định, thường được
biểu diễn ở trạng thái cân bằng.
* Phân loại dao động: có nhiều cách phân loại dao động:
- theo bản chất vật lý: cơ, điện, từ, quang
- theo số bậc tự do: (là số tọa độ độc lập đủ để xác định vị trí
phần tử cơ hệ) một bậc tự do, nhiều bậc tự do, vô số bậc tự do.
- theo phương trình vi phân: dao động tuyến tính, dđ phi tuyến
- theo nguyên nhân gây dao động: dao động tự do, dao động
cưỡng bức, dđ tham số, tự dao động
- theo xác suất gây ra dao động: dđ tiền định XS=1, dđ ngẫu
nhiên XS<1
- theo dạng chuyển động: dđ dọc, ngang, uốn, xoắn.
* Giới hạn nghiên cứu
Khảo sát dđg của hệ rời rạc, tiền định, hệ 1 và nhiều bậc tự do, hệ
tuyến tính, phi tuyến, dạng d.đ tự do và d.đ cưỡng bức.
* Các bước nghiên cứu:
1. Lập mô hình toán học:
- Mục đích: Thể hiện tất cả những đặc điểm quan trọng của hệ phục
vụ cho việc thiết lập phương trình toán học thể hiện ứng xử của hệ
- Phương pháp: đầu tiên dưa ra mô hình sơ bộ để nhanh chóng
tìm ra ứng xử của hệ, sau đó sẽ hoàn thiện bằng cách thêm các
thành phần, chi tiết sao cho ứng xử của hệ sát thực hơn.
2. Thiết lập phương trình chuyển động

giảm thiểu các dđ thông qua việc thiết kế chính xác máy móc cùng với hệ
thống giá đỡ của chúng. Tiếp nữa các kỹ sư cơ học sẽ tìm cách thiết kế
động cơ và máy móc sao cho có thể giảm tối đa sự mất cân bằng, trong
khi kỹ sư kết cấu thì tìm cách thiết kế các kết cấu đỡ sao cho những tác
động của mất cân bằng trở thành vô hại.
- Bên cạnh những tác động có hại, dđ cũng có thể được sử dụng một cách
có lợi trong một số ứng dụng công nghiệp và tiêu dùng: băng tải, máy
sàng, máy ép, máy giặt….Nó còn được sử dụng để mô phỏng hiện tượng
động đất trong nghiên cứu địa chấn và để thực hiện các nghiên cứu trong
quá trình thiết kế các lò phản ứng hạt nhân.
Câu 2: Dao động điều hòa, dao động tuần hoàn, dao động á
tuần hoàn, dao động không tuần hoàn. Các định nghĩa và
quan hệ giữa các dạng dao động trên.
Trả lời
I. Các định nghĩa
1. Dao động điều hòa:
+ Định nghĩa: Là dạng dao động mà mỗi TSTT được biểu diễn
bằng chỉ một hàm sin hoặc cosin:
cos( )x A t
ω ϕ
= +
hoặc
A sin( )y t
ω ϕ
= +
(1)
Trong đó: x,y – là độ dời (độ dịch chuyển)
A – là biên độ d.đ

2 f

0; (0) . os ; (0) sin
0 0
t x x A c x x A
ϕ ω ϕ
= = = = = −
& &
2
2
0 0
; arctan
0
2
0
x x
A x
x
ω
ϕ
ω
⇒ = + =
&
&
+ Biểu diễn dđđh:
- biểu diễn = tọa độ đề các.
- biểu diễn = véc tơ quay.
- biểu diễn = số phức:
2
os +i.sin ; i 1
i
e c

n n
0
1
x t a c n t
n
ω ω
∞
∑
= +
=
(a
0
, a
n
, b
n
là các hệ số
hằng)
3. Dao động á tuần hoàn:
+ Định nghĩa: hàm y(t) là hàm á tuần hoàn (hầu tuần hoàn) nếu
với
0
η
>
cho trước bé tùy ý tồn tại một hằng số T
*
mà
*
( ) ( )y t T y t
η

( ) ( ) ( ) sin( )
1 2 1 1
sin( ) sin( )
2 2
x t A t
x t A t
x t x t x t A t
A t A t
ω ϕ
ω ϕ
ω ϕ
ω ϕ ω ϕ
= +
= +
⇒ = + = + +
+ + = +



Trong đó:
2 2
2 os( )
1 2 1 2 2 1
sin sin
1 1 2 2
arctan
os os
1 1 2 2
A A A A A c
A A

2 1
T
p
p q
T q
ω
ω
= = ≠ =
1 2 1 1 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) sin( ) sin( )x t x t x t A t A t
ω ϕ ω ϕ
⇒ = + = + + +
+ Kết luận: Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, khác
tần số vòng với tỷ lệ giữa 2 tần số là số hữu tỷ sẽ là một dao động
tuần hoàn với chu kỳ :
1 2
T pT qT= =
Nếu
p
q
là phân số tối
giản thì T là bội số chung nhỏ nhất của
,
1 2
T T
3. Tổng hợp hai hay nhiều dao động điều hòa cùng phương,
khác tần số với tỷ lệ giữa hai tần số là số vô tỷ:
( ) sin( )
1 1 1 1
( ) sin( )

( ) ( ) ( ) sin( ) sin( )
T pT qT
x t x t x t A t A t
ω ϕ ω ϕ
⇒ ≈ ≈
= + = + + +
+ Kết luận: Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, khác
tần số với tỷ lệ giữa 2 tần số là số vô tỷ là một dao động á (hầu)
tuần hoàn.
4. Tổng hợp hai dao động điều hòa cùng phương, có tần số
gần giống nhau, biên độ = nhau.
( ) sin( )
1 1 1 1
( ) sin( )
2 2 2 2
x t A t
x t A t
ω ϕ
ω ϕ
= +
= +



với
1 2
1 2 2 1
A A A
ω ω ω ω δ
= =

là 1 hàm biến đổi chậm
theo thời gian. Khi đó, xảy ra hiện tượng phách.
Câu 3: Các thành phần cơ bản của hệ dao động: quán tính,
đàn hồi, cản và kích động.
1. Phần tử quán tính:
+ Các phần tử khối lượng (QT) được xem như vật thể rắn tuyệt
đối. Chúng có thể nhận thêm hay mất đi động năng mỗi khi vận
tốc thay đổi.
+ Theo định luật 2 Niu tơn, tích của khối lượng và gia tốc chuyển
động của vật bằng lực đặt lên vật đó. Công của lực bằng tích của
lực với độ dịch chuyển theo phương tác dụng của lực; công sinh
ra trên phần tử khối lượng được tích lũy dưới dạng động năng
của phần tử khối lượng đó.
+ Trong hầu hết các trường hợp, chúng ta cần sử dụng một số mô
hình toán học để mô tả dao động thực và thường thì chỉ có một
vài mô hình có thể chấp nhận được. Mục đích của việc phân tích
là để xác định xem mô hình toán học nào đúng đắn. Khi đã lựa
chọn được mô hình toán học, chúng ta có thể dễ dàng xác định
được các phần tử khối lượng hay các phần tử quán tính của hệ.
+ Đối với hệ dao động một bậc tự do tuyến tính: Phần tử khối lượng là
một số hạng không đổi đứng trước đạo hàm bậc 2 của chuyển vị trong
p.trình vi phân chuyển động. Nó có thể là một phần tử khối lượng hoặc
khối lượng tương đương của một tổ hợp khối lượng.
+ Đối với hệ dao động nhiều bậc tự do tuyến tính: Phần tử khối
lượng hay phần tử quán tính là một số lượng hữu hạn các khối
lượng tập trung. Những mô hình như vậy được gọi là hệ tham số
tập trung hay hệ khối lượng tập trung hoặc hệ khối lượng rời rạc.
Phần tử khối lượng hay phần tử quán tính trong hệ phương trình
vi phân chuyển động là một ma trận khối lượng
2. Phần tử đàn hồi:

đứng trước đạo hàm bậc nhất của chuyển vị.
4. Phần tử kích động:
Kích động là những tác động cung cấp động năng cho hệ dao động
từ môi trường thông qua công của các lực hoặc các ngẫu lực.
Các loại kích động:
- Theo bản chất vật lý: kích động động lực, k.động động học.
- Theo sự biến đổi của thời gian: k.động điều hòa, tuần hoàn, á
tuần hoàn, k.động xung.
- Theo tần suất xuất hiện: k.động ngẫu nhiên, tiền định.
- Theo mối quan hệ giữa tác động và trạng thái động học:
+ k.động ngoài: hàm k.động chỉ phụ thuộc thông số thời gian.
+ Tự kích: hàm k.động không chỉ phụ thuộc thông số thời gian
mà còn phụ thuộc thông số trạng thái.
2
Câu 4: Dao động tuyến tính tự do của cơ hệ 1 bậc tự do bỏ qua
cản: Phương trình vi phân chuyển động, phương trình chuyển
động và các nhận xét về chuyển động của hệ, tần số riêng và
biên độ.
Trả lời:
1. Phương trình vi phân chuyển động:
0mx kx
+ =
&&
(1)
Trong đó: m- phần tử quán tính.
k- phần tử đàn hồi.
Nếu đặt
2 2
0
k

2
0 0
0 0
x
os t+ sin .sin( )
.sin( )
x
x x c t x t
A t
ω ω ω ϕ
ω ω
ω ϕ
 
= = + +
 ÷
 
= +
& &
(3)
(3) là phương trình chuyển động của hệ.
Với:
0
0
2
2
0
;
0
x
arctag

vậy, ω được gọi là tần số dao động riêng của hệ (ký hiệu
n
ω
)
- Biên độ dao động là hằng số. Biên độ dao động và pha ban đầu
của dao động tự do không cản phụ thuộc vào các điều kiện đầu
và các tham số của hệ. Nếu
0 0
0; 0 0x x A= = ⇒ = ⇒
&
vật
không dao động.
Câu 5: Dao động tuyến tính tự do của cơ hệ 1 bậc tự do có cản
nhớt: Phương trình vi phân chuyển động, phương trình
chuyển động, hệ số cản tới hạn, hệ số cản lehr. Khảo sát
chuyển động của cơ hệ khi C>Cc; C=Cc; C<Cc .
Trả lời:
1.Phương trình vi phân chuyển động:
0mx cx kx+ + =
&& &
(1)
Trong đó: m- phần tử quán tính.
k- phần tử đàn hồi.
c- phần tử cản
2.Phương trình chuyển động:
2 2
2 2 2 2
1 2
( )
c c k c c k

 
⇔ − = ⇔ = =
 ÷
 
- Độ cản Lehr: là tỉ số giữa hệ số cản với hệ số cản tới hạn.
Ký hiệu:
c
c
c
ξ
=
4. khảo sát chuyển động của cơ hệ khi
; ;
c c c
c c c c c c> = <
(lưu ý: khi ξ=0 thì hệ không có cản ⇒ hệ dao động điều hòa)
* Trường hợp 1:
1
c
c c
ξ
< ⇔ <
⇒ cản yếu

2
c
c k
c c
m m
< ⇔ <

d
d
T
π
ω
=
- là chu kỳ dao động khi có cản
Viết lại (3) dạng:
d 0
( ) . os( t+ )x t A c
ω
= Φ
(4)
(4) là dạng dao động điều hòa tắt dần.
- Ảnh hưởng của cản yếu đến biên độ và tần số vòng:
Độ giảm lôga:

2
( ) 2
ln
( )
1
d
A t
A t T
πξ
δ
ξ
= =
+

( )
( )
d
A t
A t T+
1,88 3,61 37,55 427817
∞
n
d
ω
ω
1,005 1,02 1,15 2,09
∞
- Nhận xét:
+ Cản nhớt tuyến tính làm giảm mạnh biên độ, làm giảm yếu
tần số vòng.
+ Khi lực cản nhỏ hệ dao động tắt dần.
* Trường hợp 2:
1
c
c c
ξ
= ⇔ =
(hệ có cản tới hạn)
2
c
c k
c c
m m
= ⇔ =

ω
−
→
khi
t → ∞
nên chuyển động giảm dần tới 0
khá nhanh.
* Trường hợp 3:
1
c
c c
ξ
> ⇔ >
(hệ có cản lớn- giảm chấn mạnh):

2
c
c k
c c
m m
> ⇔ >
- Phương trình chuyển động:
2 2
( 1) ( 1)
1 2
( )
n n
t t
x t C e C e
ξ ξ ω ξ ξ ω

ω
=
ur uur
là hàm kích động điều hòa.
2. Phương trình chuyển động:
- Biểu thức:
0 0 0
( ) os sin os
0
2 2
F x F
x t x c t t c t
n n
k m k m
n
ω ω ω
ω
ω ω
= − + +
− −
 
 ÷
 
&

0 0 0
0 n n
2 2
. os .sin os os
n

os
F
c t
k m
ω
ω
−
−
+ dao động cưỡng bức:
0
2
os
F
c t
k m
ω
ω
−
- Từ (2), ta có:

0
n
0 n
2
os t-cos
( ) . os .sin
1
n st
n
n

( ) os sin sin
2
n
n n st n
n
x t
x t x c t t t
ω
ω ω δ ω
ω
⇒ = + +
&

2
n
st
t
A
ω
δ
=
là hàm bậc nhất của t. khi t→∞ thì A→∞. Khi đó
xảy ra hiện tượng cộng hưởng của hệ.
+ Trường hợp2:
n
ω ω
≈

2 2
2

⇒ =
−

0
.sin .sin ( )sin
2
F
t t A t t
m
ε ω ω
εω
= =

0
( ) .sin
2
F
A t t
m
ε
εω
=
là 1 hàm điều hòa.
Với ε nhỏ thì A(t) là một hàm điều hòa biến đổi chậm theo thời
gian, lúc đó xuất hiện hiện tượng phách.
Đồ thị:
4
2 2
2
b

(1 )
n
F F
A
k m
k
ω
ω
ω
= =
−
−
Đặt:
0
1
2
1
; ;
1
st
n st
F
A
M
k
ω
δ
ω δ
= Ω = = =
− Ω

k- phần tử đàn hồi.
c- phần tử cản
0
osF F c t
ω
=
ur uur
là hàm kích động điều hòa.
2. Phương trình chuyển động:
* Nghiệm tổng quát của (1): x(t) = x
1
(t) + x
2
(t)
Trong đó:
1 2
2
n
1 1 2
1 2
. . os( 1- . t- )
( ) (C ).
. .
n
n
t
t
s t s t
X e c
x t C t e

điều hòa.
- Chuyển động của hệ gồm hai giai đoạn:
+ giai đoạn chuyển tiếp: khi
1
( )x t
còn có ý nghĩa.
+ giai đoạn bình ổn: khi hệ chỉ còn một dao động
2
( )x t
(dao động
cưỡng bức)

2
( )x t
là dao động cưỡng bức, đó là một dạng dao động điều hòa có X,
Φ được xác định như sau:

( )
1
0
2
2
2 2 2
; tan
F
c
X
k m
k m c
ω

2 2 2
(1 ) (2 )
X
M
st
δ
ξ
⇒ =
=
− Ω + Ω
- được gọi là hệ số biên
độ dạng 2.
* Nhận xét:
- khi bỏ qua cản (ξ = 0): Nếu Ω→1 ⇒ Μ
2
→∞ ⇒ hệ cộng hưởng
- Khi có cản (ξ > 0): thì ∀Ω, M
2
đều giảm so với khi ξ = 0.
- Với mỗi giá trị của Ω, nếu cản tăng thì M
2
sẽ giảm.
- Khi lực kích động F
0
= const thì M
2
= 1
- Khi có cản (ξ > 0): thì M
2
giảm mạnh tại vị trí cộng hưởng hoặc

0
2
ξ
〈 〈
thì M
2
tăng từ 1 đến M
2
(max), sau đó giảm từ
M
2
(max) về 0.
+
1
2
ξ
=
thì
0
dM
d
=
Ω
tại Ω = 0
+
1
2
ξ
〉
thì M

. . sinmx kx f N sigx F t
ω
+ + =
&& &
(2)

1 0
1 0
x
sigx
x
⇔ 〉

=

− ⇔ 〈

&
&
&
2. Phương trình chuyển động
Tìm hệ số cản nhớt tương đương sao cho với hệ số cản nhớt
tương đương đó thì mất mát năng lượng do cản nhớt gây ra = mất
mát năng lượng do cản cu lông gây ra.
cơ năng chuyển hóa trong 1/4 chu trình:
∆W = f.N.X (X- biên độ chuyển động)
Vậy, trong 1 chu trình mất mát năng lượng do cản cu lông là:
Σ∆W = 4f.N.X
Tổn hao năng lượng do cản nhớt trong 1 chu trình:
Σ∆W = C

Với:

2
0
0
2 2
4
1
(1 )
fN
F
F
X
k
π
 
−
 ÷
 
=
−Ω
;
n
ω
ω
Ω =
1
0
2
0

F
π
 
− >
 ÷
 

0
4
ms
F
F fN
π
⇒ = ≤
đây chính là điều kiện để tồn tại dao
động á tuần hoàn của hệ.
3. Các nhận xét về chuyển động của cơ hệ.
- Nếu lực cản do ma sát khô là lớn thì chuyển động của vật là
không liên tục (gián đoạn)
- Nếu lực cản do ma sát khô là nhỏ so với biên độ của lực đặt
0
F
thì nghiệm duy trì là gần tuần hoàn.
6
6.IV. Dao động cưỡng bức, kích động động học cản nhớt tuyến tính

1. Phương trình vi phân chuyển động

( ) ( ) 0mx c x y k x y+ − + − =
&& & &

dao động cưỡng bức.
⇒ x(t) = x
2
(t) = X.
sin( )t
ω
− Φ
X- là biên độ của dao động cưỡng bức.
Φ- là pha ban đầu của dao động cưỡng bức.

2 2
( )
.
2 2 2
( ) ( )
k c
X Y
k m c
ω
ω ω
+
=
− +
3
2 2
m.c.
arctg

được gọi là hệ số biên độ dạng 4, hay gọi là hệ số truyền chuyển vị.
3. Nhận xét.
+ M
4
= 1 tại 2 giá trị Ω ≥ 0 và
2Ω =
+ Khi ξ = 0 thì M
4
tăng →∞ khi Ω ≥ 1
+ M
4
< 1 khi Ω >
2
với mọi ξ
+ Khi Ω <
2
nếu ξ càng nhỏ thì M
4
càng lớn.
+ Khi Ω >
2
nếu ξ càng nhỏ thì M
4
càng nhỏ.
+ Khi 0< Ω < 1 thì M
4
đạt max tại:

2
1

( )cos ; 0,1,2
2
( )sin ; 0,1,2
j
j
a F t j t j
b F t j t j
τ
τ
ω
τ
ω
τ
= =
= =
∫
∫
2. Phương trình chuyển động
Theo nguyên lý chồng chất nghiệm, nghiệm tổng quát của hệ
ptvpcđ (1) = tổng nghiệm của các phương trình sau:
0
2
cos
sin
a
mx cx kx
mx cx kx a j t
j
mx cx kx b j t
j

22
2 2 2
.( ) os( )
2
(1 ) (2 )
1
j
a
x t c j t
k
j j
ω
ξ
Ω
= − Φ
− + Ω
- nghiệm của (***):

23
2 2 2
. sin( ) ( )
2
(1 ) (2 )
1
j
b
x t j t
k
j j
ω

1
1 0
n n
j
j
ω ω
ω
ω ω
− Ω = ⇔ Ω = = ⇒ =
Cộng hưởng xảy ra với giá trị biên độ hữu hạn và là cộng hưởng sớm.
- Khi j tăng đến ∞ thì các số hạng tương ứng sẽ dần về 0. do đó,
ta chỉ cần dùng các giá trị j đủ lớn.
6.VI. Dao động cưỡng bức, kích động đa tần, cản nhớt tuyến tính.
Phương trình mô tả chuyển động:
0
1
.sin
n
i i
i
mx cx kx F t
ω
=
+ + =
∑
&& &
Đây là trường hợp riêng của kích động tuần hoàn.
7
6.VII. Dao động cưỡng bức, kích động bất kỳ, cản yếu.
1. Phương trình vi phân chuyển động

c n
c c
c m
ξ ω ω ξ
ω
= = = −
* tại t = 0, đặt xung lực đơn vị
1
1
0
lim . 1
t t
t
t
f F dt
+∆
∆ →
= =
∫
vào hệ.
f
sẽ gây ra vận tốc đầu cho hệ. vận tốc này được xác định theo định
lý động lượng.
0 0
( 0 ) ( 0 )
1
1 1
t t
mx mx f mx x
m

;
x x
x x x
m
= =


⇒

= =


& & &
phương trình chuyển động của
hệ là:
1
( ) sin ( )
n
t
d
d
x t e t g t
m
ξω
ω
ω
−
= =
g(t)- được gọi là hàm đáp ứng xung lực của đơn vị, đây là hàm
miêu tả dao động tắt dần.

d
F
x t e t F g t
m
ξω τ
ω τ τ
ω
− −
= − = −
Nhận xét:
Một hàm bất kỳ có thể chia ra thành rất nhiều xung có độ lớn
khác nhau. Tại thời điểm t, 1 xung sẽ gây ra 1 di chuyển ∆x(t)
nào đó, được xác định như sau:

( )
( ) . ( ); .x t F g t F F
τ
τ τ
∆ = − = ∆
Như vậy, di chuyển của hệ bằng tổng các di chuyển do các xung
lực gây ra tại thời điểm t.

( )
( ) ( ) . . ( )x t x t F g t
τ
τ τ
= ∆ = ∆ −
∑ ∑
Cho ∆τ→0 thì phương trình chuyển động là:
1

ω ω
+ + =
&& &
2. Phương trình chuyển động
Xét hệ trong giai đoạn bình ổn: x(t) = x
2
(t)Nghiệm riêng của phương trình:
2
( ) sin( )x t X t
ω
= −Φ
Với
( )
2
2
2
2 2
1
; tan
( )
me c
X
k M
k M c
ω ω
ω
ω ω

me
ξ
ξ
Ω
=
Ω
−
= Φ =
− Ω
− Ω + Ω
 
 ÷
 
M
3
được gọi là hệ số biên độ dạng 3.
3. Các nhận xét về chuyển động của cơ hệ.
- Tất cả các đường cong biểu diễn M
3
đều đi qua gốc tọa độ.
- Khi Ω tăng cao thì M
3
→1.
- Khi 0< ξ <
1
2
thì M
3
đạt max khi
2

2
1
;
2
1 2
n
ω
ω ξ
ξ
= 〈
−
+ Tính chất của cộng hưởng:
Biên độ là hữu hạn.
Cộng hưởng là cộng hưởng muộn, tức là ω > ω
n

Đồ thị:
8
Câu 7: Dao động tuyến tính tự do của cơ hệ nhiều bậc tự do bỏ
qua cản: Phương trình vi phân chuyển động, Tần số riêng,
dạng riêng, ma trận dạng riêng, tính trực giao của ma trận
dạng riêng, phương trình chuyển động, tọa độ chính, tọa độ
chuẩn:
Trả lời
1. Phương trình vi phân chuyển động:
Sử dụng phương trình Lagrange loại II:

0
d L L
dt q q

[ ]
{ } { }
0M q K q+ =
&&
(2)
Trong đó:
[ ] [ ]
M ; K
lần lượt là các ma trận khối lượng và ma
trận độ cứng.

{ }
q
là véc tơ các tọa độ suy rộng.
{ }
1 2

T
n
q q q q=
 
 
2. Tần số riêng
Điều kiện đầu:
0 0
0 ;
i i i i
t q q q q= ⇒ = =
& &
Tìm nghiệm riêng của phương trình có dạng:

− =
 
(4)
(4) được gọi là pt tần số (pt đặc trưng của (3)). Đây là pt đại số
thuần nhất bậc “s” đối với ω
2
. Giải (4) sẽ tìm được các nghiệm
ω
1
, ω
2
,…,ω
s
. Các tần số này được gọi là các tần số riêng của hệ.
3. Dạng riêng, ma trận dạng riêng.
ứng với mỗi
2
j
ω
(nghiệm của (4)) ta có phương trình:
{ } { }
1j
2j
j j j j
j j
sj
A
q = A cos(ω t+φ )= cos(ω t+φ )

A


j
j j
j
sj sj
A
A V
A
A V
   
   
   
=
   
   
   
   
;
{ }
ij
ij
1j
A
A
V
 
 
=
 
 


21 22 2
1 2
1 1 1
j
s s sj
V V V
V
V V V
 
 
 
=
 
 
 
 
 
 
4. Phương trình chuyển động.
Dạng riêng thứ j:
{ } { }
j j
j j
q = A cos(ω t+φ )
Đây là một nghiệm của hệ ptvp chuyển động. Các nghiệm q
j



= + + +

1 1 1 1 2 2 2
q os( ) os( ) os( )
s s s
C c t C c t C c t
ω ϕ ω ϕ ω ϕ
= + + + + + +
2 1 21 1 1 2 22 2 2 2
q os( ) os( ) os( )
s s s s
CV c t C V c t C V c t
ω ϕ ω ϕ ω ϕ
= + + + + + +

=
s 1 1 1 1 2 2 2 2
q os( ) os( ) os( )
s s s ss s s
C V c t C V c t C V c t
ω ϕ ω ϕ ω ϕ
= + + + + + +
Các giá trị ω
j
được xác định từ phương trình tần số.
V
ij
được xác định từ dạng riêng.

q = A cos(ω t+φ )
- Với ω = ω
r
⇒ dạng riêng tương ứng:
{ } { }
r r
r r
q = A cos(ω t+φ )
Điều kiện trực giao:

{ }
[ ]
{ }
{ }
[ ]
{ }
ir ij
, 1
ir ij
, 1
. .
. .
s
T
ju
r u
i j
s
T
ju

thêm
{ }
p
vào thì các ma trận khối lượng và các ma trận độ cứng trở
thành ma trận đường chéo. Khi đó,
{ }
p
được gọi là tọa độ chính.
Dựa vào phép biến đổi:
{ }
[ ]
{ }
q V p=

{ }
[ ]
{ }
q V p⇒ =
&& &&
Thay vào (2)
[ ] [ ]
{ }
[ ] [ ]
{ } { }
0M V p K V p⇒ + =
&&
(6)
Nhân trái (6) với
[ ]
T

 
=
 
 
 
;
[ ] [ ] [ ]
11
22
0
0
T
ss
k
V K V k
k
 
 
=
 
 
 
Suy ra:
11 1 11 1
22 2 22 2
. . 0
. . 0
. . 0
ss s ss s
m p k p

9
Câu 8: Dao động tuyến tính tự do hệ nhiều bậc tự do có cản nhớt:
phương trình vpcđ và cách tìm phương trình chuyển động.
Trả lời
1. Phương trình vi phân chuyển động
Sử dụng phương trình Lagrange loại II:

c
j
d L L
Q
dt q q
j j
 
∂ ∂
 ÷
− =
 ÷
∂ ∂
 ÷
 
&
(1)
Trong đó: +
L T= − ∏
- Hàm Lagrange
+ q
j
là các tọa độ suy rộng độc lập, đủ. (
1,j s=

.
2
n
k k
k
R c V
=
=
∑
- Hàm hao tán Reyleigh
c
k
- phần tử cản thứ k
Lập được ptvpcđ dạng ma trận:

[ ]
{ }
[ ]
{ }
[ ]
{ } { }
0M q C q K q+ + =
&& &
(2)
2. Cách tìm phương trình chuyển động. Có 2 phương pháp giải:
* Phương pháp 1: giải trực tiếp.
+ Tìm nghiệm riêng dạng:
{ } { }
t
q A e

i
λ δ ω
= − ±

có véc tơ dạng riêng:
{ } { } { }
j j j
A u i v= ±

Khi đó nghiệm tổng quát có dạng:
{ }
{ } { }
( )
{ } { }
( )
1
os sin
os sin
j
s
j j j
j j
t
j
j j j
j j
B u c t v t
q e
D u c t v t
δ

{ } { }
( )
os sin os sin
j j j j j j
j j j j
B u c t v t D u c t v t
ω ω ω ω
 
− + −
 
:dđđh
* Phương pháp 2: Giải theo phương pháp ma trận dạng riêng.
Có một số cơ hệ mà khi thành lập phương trình vi phân, ta có thể
khai triển thành:

[ ] [ ] [ ]
1 2
C M K
α α
= +
(
1 2
; onstc
α α
=
)
Khi đó, dùng ma trận dạng riêng để giải.
Ta có:
[ ] [ ] [ ]
C M K

[ ] [ ] [ ]
T
ii
m V M V=

[ ] [ ] [ ]
T
ii
c V C V=[ ] [ ] [ ]
T
ii
k V K V=
Từ (6) tính được p
i
⇒ tính được
{ }
[ ]
{ }
q V p=
Câu 9: Dao động tuyến tính cưỡng bức hệ nhiều bậc tự do:
phương trình vpcđ và cách tìm phương trình chuyển động.
Trả lời
1. Phương trình vi phân chuyển động
Sử dụng phương trình Lagrange loại II:
- Khi bỏ qua cản:

a

 
&

Trong đó:
+
L T= − ∏
là hàm Lagrange (T: động năng; Π: thế năng )
+ q
j
là các tọa độ suy rộng độc lập, đủ. (
1,j s=
)
+
j
q
&
là vận tốc suy rộng
+
c
j
Q
- là lực suy rộng ứng với tọa độ q
j
do lực cản gây ra
+
a
j
Q
- là lực suy rộng ứng với tọa độ q
j

{ }
*
1
l
m
m
q q q
=
= +
∑{ }
q
là nghiệm tổng quát của phương trình có vế phải.

{ }
q
là nghiệm tổng quát của phương trình không có vế phải.

{ }
*
q
là các nghiệm riêng ứng với các thành phần hoạt lực F
j
Xác định
{ }
*
q
bằng cách:

T
ii
c V C V=[ ] [ ] [ ]
T
ii
k V K V=
Từ (*) tính được p
i
⇒ tính được
{ }
[ ]
{ }
q V p=
10
Câu 10: Tần số riêng của cơ hệ dao động tuyến tính: Định
nghĩa, tính chất, ý nghĩa, cách tìm:
Trả lời
1. Định nghĩa:
+ Cơ học: Tần số riêng của hệ là các tần số vòng của các dao
động điều hòa tạo nên dao động tự do bỏ qua cản của hệ.
Một hệ dao động có n bậc tự do sẽ có n tần số dao động riêng khác nhau.
+ Toán học: Bình phương của tần số riêng là nghiệm của phương
trình tần số (pt đặc trưng):
[ ] [ ]
2
det 0K M
ω

n
ω
ω
Ω =
) sẽ quyết
định ứng xử của hệ.
4. Cách tìm:
* Cách 1: Giải phương trình tần số
[ ] [ ]
2
det 0K M
ω
 
− =
 
2 2( 1)
1 1 0
0
s s
s s
b b b b
ω ω ω
−
−
⇔ + + + + =
(*)
Do tính chất đối xứng của
;M K
   
   

& &
(1)
[ ]
1
2
T
x k x∏ =
(2)
Để tìm TSR, chúng ta coi chuyển động là điều hòa:

osx Xc t
ω
=
(3).
Trong đó
X
là véc tơ của các biên độ và
ω
là tần số dao động
riêng. Nếu hệ là bảo toàn thì động năng lớn nhất sẽ bằng thế năng
lớn nhất:
ax axm m
T = ∏
Thay (3) vào (1) và (2) ta được
[ ]
2
ax
1
2
T

n
ω ω ω
< < <
- Phương pháp:
+ Phép lặp được bắt đầu với việc chọn một véc tơ là giá trị thử cho véc tơ
1
X
+ Nhân trái
1
X
với ma trận động lực
[ ]
D
+ Ma trận cột thu được tiếp đó được chuẩn hóa, thường bằng
cách làm cho một trong số các thành phần của nó bằng đơn vị.
+ Đem véc tơ cột đã được chuẩn hóa nhân trái với
[ ]
D
để nhận
được véc tơ cột thứ 3. Véc tơ cột này lại được chuẩn hóa theo
cách tương tự trên và thu được véc tơ cột được chuẩn hóa khác.
+ Lặp lại quá trình cho đến khi các véc tơ cột chuẩn hóa kế tiếp
hội tụ đến một véc tơ cột chung, đó là véc tơ riêng cơ bản.
- Hệ số chuẩn hóa cho giá trị lớn nhất của
2
1
λ
ω
=
, nghĩa là cho

( )i
X
chưa
biết song là các véc tơ hằng vì chúng chỉ phụ thuộc vào các tính
chất của hệ. Các hằng
i
c
chưa biết và cần xác định.
+ Theo PP lặp ma trận ta nhân trái véc tơ
1
X
với MT động lực
[ ]
D
[ ] [ ] [ ] [ ]
(1) (2) ( )

1 1 2
n
D X c D X c D X c D X
n
= + + +
(2)
+ Ta có:
[ ] [ ]
1
( ) ( )
;( 1, 2,3 )
2
i i

[ ]
D
để nhận véc tơ
thử thứ 3
3
X

[ ]
(1) (2) ( )
1 2

2 3
4 4 4
1 2
c c
c
n
n
D X X X X X
n
ω ω ω
= = + + +
(5)
+ Tiếp tục lặp lại, sau bước thứ r chúng ta nhận được:
[ ]
(1) (2) ( )
1 2

1
2 2 2

. Lúc đó,
số hạng đầu tiên ở vế phải công thức (6) sẽ trở thành số hạng duy nhất có
ý nghĩa. Vì vậy chúng ta có:
(1)
1
1
2
1
r
r
c
X X
ω
+
=
. Công thức này cho thấy
véc tơ thử (r+1) chỉ khác véc tơ riêng đầu tiên một hệ số nhân.
+ Do
(1)
1
2( 1)
1
r
r
c
X X
ω
−
=
nên chúng ta có thể tìm được TSR cơ bản

1
,
r r
X X
+
* Cách 4: Phương pháp Jacobi
* Cách 5: Phương pháp Holzer
* Cách 6: Phương pháp Dunkerlay
11