Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

1 6 Chuyên đề
Hình học phẳng
Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

2
Dạng 1. Chứng minh các bài toán liên quan đến góc – độ dài đoạn thẳng
1. 1 Phương pháp
1.2 Một số ví dụ
Bài 1. (Đề thi Olympic Belarus) Cho hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD cắt
nhau tại M. Đường phân giác của góc ACD cắt tia BA ở K. Nếu
. . .
MA MC MACD MB MD
 

thì


BKC CDB

. Bài 2. (Đề thi Olympic Belarus) Cho tam giác ABC vuông tại C, gọi M là trung điểm
của cạnh huyền AB, H là chân đường cao hạ từ C và P là điểm trong tam giác sao
cho
AP AC

     . Giả thiết rằng
, ,
2 2
 
  
  
2
  
 
. Chứng minh rằng


2
2 2
DB BC AD AC
  

Bài 4. (Đề thi Olympic Mông Cổ) Đường phân giác của các góc A, B, C của tam giác
ABC cắt các cạnh của tam giác tại A
1
, B
1
, C
1
sao cho tứ giác BA
1
B


6

Bài 6. (Đề thi Olympic Thổ Nhĩ Kỳ) Cho 1 vòng tròn tâm O, 2 đường tiệm cận xuất
phát từ điểm S nằm bên ngoài đường tròn có tiếp điểm là P, Q. Đường thẳng SO giao
với đường tròn tại A, B với B gần S hơn A. Cho X là một điểm nằm trong cung nhỏ
PB và đường SO giao với các đường QX và PX lần lượt tại C, D. Chứng minh rằng
1 1 2
AC AD AB
  Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

7
Bài 7. (Đề thi Olympic Thổ Nhĩ Kỳ) Cho tam giác ABC, các đường phân giác trong và
ngoài của góc A lần lượt cắt đường thẳng BC tại D và E. Cho F là giao điểm thứ hai
(khác A) của AC với đường tròn w có đường kính DE. Vẽ tiếp tuyến tại A với đường
tròn ngoại tiếp của tam giác ABF và giao với đường tròn w tại A và G. Chứng minh
rằng
AF AG

.
Bài 8. (Đề thi Olympic Canada) Cho O là một điểm nằm trong hình bình hành ABCD

c
là bằng nhau. 1.3 Bài tập áp dụng
Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

9
Bài 10. (China – 1988) (p 48) ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn có tâm O, bán kính
R. Các tia AB, BC, CD, DA cắt đường tròn tâm O bán kinh 2R lần lượt tại A’, B’, C’,
D’. Chứng minh rằng


' ' ' ' ' ' ' ' 2
A B B C C D D A AB BC CD DA
       . Khi nào đẳng
thức được nghiệm đúng?
Bài 11. (China – 1995) (p 78) Cho 2 tia OA, OB trong mặt phẳng và P là điểm nằm
giữa 2 tia này. Hãy xác định điểm X nằm trên tia OA sao cho nếu XP kéo dài cắt OB
tại Y thì tích XP.PY có giá trị nhỏ nhất.
Bài 12. (China – 1996) (p 84) Trong tam giác ABC có


0 0
90 , 30 , 1
C A BC
  
. Tìm giá
trị bé nhất của độ dài cạnh lớn nhất của tam giác nội tiếp trong ABC (tức là tam giác
có 3 đỉnh nằm trên 3 cạnh khác nhau của tam giác ABC.

lần lượt nằm trên đoạn AB và AC). Tiếp theo, từ tam giác AB
1
C
1
, lại dựng hình vuông
B
2
C
2
D
1
E
1
nội tiếp tam giác đó (dựng như hình vuông ban đầu). Quá trình dựng như
trên được thực hiện một vài lần. Chứng minh rằng, tổng diện tích tất cả các hình vuông
nội tiếp trong tam giác bé hơn nửa diện tích tam giác ABC.
Bài 15. (Bắc Kinh – 1966) (P109) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B
sao cho 2 điểm O và O’ tương ứng nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB. Cát tuyến PQ đi
qua A cắt (O) và (O’) lần lượt tại P và Q.
a. Trong trường hợp nào thì A nằm giữa P và Q?
b. Giả sử A nằm giữa P và Q, hãy xác định vị trí cát tuyến PQ để độ dài PQ lớn
nhất.
c. Hãy xác định vị trí của cát tuyến PQ để PA = QA.
Bài 16. (IMO Hong Kong – 2000) (p180) Tam giác ABC vuông có
BC CA AB
 
. Gọi
D là 1 điểm trên cạnh BC, E là 1 điểm trên cạnh BA kéo dài về phía điểm A, sao cho

BD BE CA

giác ABC được chia thành n tam giác nhỏ và tam giác nhỏ ở chính giữa có góc tại đỉnh
a bằng α. Gọi H là khoảng cách từ A đến BC. Chứng minh rằng
2
4
tan
nh
an a




Bài 19. (IMO 1961) (40 – p29) Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có diện
tích là S. Chứng minh rằng
2 2 2
4 3
a b c S
  
. Đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 20. (IMO 1961) (40 – p30) Gọi P là điểm tuỳ ý nằm trong tam giác ABC. PA cắt
BC ở D, PB cắt AC ở E, PC cắt AB ở F. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các tỉ
số sau đây không lớn hơn 2:
; ;
AP BP CP
PD PE PF

Bài 21. (IMO 1964) (40 – p43) Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c. Ta lần
lượt vẽ các tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp của tam giác này song song với 3 cạnh
tam giác. Mỗi tiếp tuyến hợp với hai cạnh kia của tam giác để tạo thành một tam giác
mới, như thế ta được 3 tam giác mới tạo thành. Lại vẽ 3 đường tròn nội tiếp ở 3 tam
giác mới đó. Hãy tính tổng diện tích 4 hình tròn nội tiếp nói trên.

Bài 25. (IMO 1982) (40 – p80) Trên các đường chéo AC và CE của lục giác đều
ABCDEF ta lấy 2 điểm M và N sao cho
AM CN
k
MC CE
 
. Biết B, M, N thẳng hàng, hãy
tìm k.
Bài 26. (IMO 1984) (40 – p81) Giả sử ABCD là tứ giác lồi sao cho đường thẳng CD là
tiếp tuyến với đường tròn đường kính AB. Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để
đường thẳng AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD là hai đường thẳng BC
và AD song song nhau.
Bài 27. (IMO 1987) (40 – p85) Cho tam giác ABC nhọn, đường phân giác trong góc A
cắt BC tại L và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại N. Từ L ta hạ các đường vuông
góc LK và LM theo thứ tự xuống các cạnh AB và AC. Chứng minh rằng diện tích tứ
giác AKMN bằng diện tích tam giác ABC.
Bài 28. (IMO 1989) (40 – p89) Cho tứ giác lồi ABCD có tính chất như sau:
+ Các cạnh AB, AD và BC thoả mãn AB = AD + BC
+ Có một điểm P bên trong tứ giác cách các đường thẳng CD một khoảng cách h sao
cho AP = h + AD, BP = h + BC.
Chứng minh rằng
1 1 1
h AD BC
 

Bài 29. (IMO 1991) (40 – p91) Cho tam giác ABC và điểm I là tâm đường tròn nội
tiếp tam giác. Các đường phân giác trong của các góc A, B, C lần lượt cắt các cạnh đối
diện tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng
1 . . 8
4 '. '. ' 27


Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

13
Bài 2. Cho O là tâm đường tròn w ngoại tiếp tam giác nhọn ABC. Đường tròn w
1
với
tâm K đi qua các điểm A, O, C mà cắt các cạnh bên AB và BC tại M và N. Đặt L là
điểm đối xứng với K qua đường thẳng MN. Chứng minh rằng
BL AC

. Bài 3. (Đề thi Olympic Đài Loan) Cho tam giác nhọn ABC, AC > BC và M là trung
điểm AB. Các đường cao AP và BQ gặp nhau ở H, đường thẳng AB và BQ cắt nhau ở
R. Chứng minh rằng
RH CM

.

Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

14
Bài 4. (Đề thi Olympic IrLand) Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác.
Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M xuống BC, CA, AD. Tìm tập hợp tất cả các
điểm M thoả mãn

2
FDE

minh rằng

0
90 2
AIO BC AB CA
   

Bài 7. (IMO – Hồng Kong – 1997) Từ một điểm P nằm ở ngoài đường tròn tâm O, kẻ
2 tiếp tuyến với đường tròn tại A và B. Gọi M là điểm nằm trên đoạn AB và cho C, D
là các điểm trên đường tròn sao cho M là trung điểm của CD. Giả sử các tiếp tuyến của
đường tròn tại C, D cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng
OQ PQ


Bài 8. Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC, P là điểm nằm trên cạnh AM sao cho
PM = BM, H là chân đường vuông góc hạ từ P xuống BC. Đường thẳng qua H vuông
góc với PB gặp đoạn AB tại Q. Đường thẳng qua H vuông góc với PC gặp đoạn AC
Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

15
tại R. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác QHR tiếp xúc với cạnh BC tại
H.
Bài 9. Từ đỉnh A của hình vuông ABCD, ta vẽ hai tia Ax, Ay đi qua miền trong của
hình vuông đó. Giả sử các điểm M, K là hình chiếu của các điểm B, D lên Ax; L, N
tương ứng là hình chiếu của B và D lên Ay. Chứng minh rằng các đoạn thẳng KL, MN
vuông góc với nhau và bằng nhau.
Bài 10. Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, D là
trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ACD. Chứng minh rằng IE vuông góc
với CD.
Bài 11. Cho tứ giác lồi ABCD thoả điều kiện

tiếp tuyến của (O) tại B (P khác B). Đường thẳng AP cắt (O) lần thứ hai tại C. D là
điểm đối xứng của C qua O. Đường thẳng DP cắt (O) lần thứ hai tại E.
a. Chứng minh rằng AE, BC, PO đồng quy tại M
b. Tìm vị trí của P để diện tích tam giác AMB lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất đó
theo R là bán kính của (O).

Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

17 Bài 3. (IMO – Hong kong – 1998) Cho tam giác ABC. Các tam giác ABX, BCY và
CAZ cân và đồng dạng nhau, chúng ở ngoài tam giác ABC và thoả mãn
Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

18
, ,
XA XB YB YC ZC ZA
  
. Chứng minh rằng các đường thẳng AY, BZ, CX đồng
quy.
3.2.2 Trục đẳng phương – Tâm đẳng phương
Bài 1. Cho tam giác ABC, bên ngoài tam giác này, vẽ các tam giác cân BCD, CAE,
ABF có các cạnh đáy tương ứng là BC, CA, AB. Chứng minh rằng ba đường thẳng
vuông góc kẻ từ A, B, C xuống EF, FD, DE đồng quy.
Bài 2. Cho 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự đó nằm trên đường thẳng. Gọi E, F là các
giao điểm của 2 đường tròn: đường tròn (O1) đường kính AC, đường tròn (O2) đường
kính BD. Lấy điểm P là điểm bất kỳ trên đường thẳng EF. CP cắt (O1) tại M và BP cắt
(O2) tại N. Chứng minh AM, DN, EF đồng quy.
Bài 3. Cho tam giác ABC có trực tâm H và D, E là các điểm tuỳ ý trên các cạnh AB,

tương tự cho các
điểm B
2
, C
2
. Chứng tỏ rằng các đường thẳng AA
2
, BB
2
, CC
2
đồng quy tại 1 điểm.
Bài 3. Cho A, B, C, D là 4 điểm phân biệt trên 1 đường thẳng và được sắp theo thứ tự
đó. Các đường tròn đường kính AC và BD cắt nhau tại X và Y. Đường thẳng XY cắt
BC tại Z. Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC tại C và M, đường thẳng BP
cắt đường tròn đường kính BD tại B và N. Chứng minh rằng các đường thẳng AM, DN
và XY đồng quy.

Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

19
Dạng 4. Tìm quỹ tích điểm
4.1 Phương pháp
4.2 Một số ví dụ
Bài 1. Cho hình bình hành ABCD mà ABD là tam giác nhọn và

4
BAD



0
IA
k k
IB
 
. Tìm tập
hợp các điểm M, hình chiếu của điểm I lên đường thẳng AC.
Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

20
Dạng 5. Chứng minh tứ giác nội tiếp
5.1 Phương pháp
5.2 Một số ví dụ
Bài 1. (Đề thi Olympic Hàn Quốc) Cho tứ giác lồi ABCD là tứ giác nội tiếp. Gọi P, Q,
R, S lần lượt là các giao điểm của hai đường phân giác ngoài các góc

ABD
và

ADB
,

DAB
và

DBA
,

ACD
và

tròn.

Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

22 Bài 3. (VMO 2001) Cho tam giác ABC không cân có góc ABC và góc ACB nhọn. D
di chuyển trên cạnh BC sao cho AD không vuông góc với BC. Đường thẳng qua D
vuông góc với BC cắt đường thẳng AB, AC tại E và F. Gọi M, N, P là tâm đường tròn
nội tiếp các tam giác AEF, BDE và CDF. Chứng minh rằng A, M, N, P cùng thuộc 1
đường tròn khi và chỉ khi d đi qua tâm đường tròn nội tiếp của tam giác
ABC.
Bước 1. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

23

Bài 4. (VĐ 12 – p9) Chứng minh rằng tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn
khi và chỉ khi các đường thẳng, mỗi đường đi qua trung điểm mỗi cạnh và vuông góc
với cạnh đối diện đồng quy.
Dạng 6. Đường thẳng – đường tròn qua điểm cố định
6.1 Phương pháp
Bài toán: Cho điều kiện X. Xét đường thẳng d thay đổi thoả mãn điều kiện X. Chứng
minh rằng d đi qua một điểm cố định.
Điều kiện X rất đa dạng. Ta có một số phương pháp tìm điểm cố định mà d đi qua như
sau:
+ Đoán nhận điểm cố định bằng một số điểm đặc biệt, chẳng hạn: trực tâm, trọng tâm,
tâm đường tròn nội – ngoại tiếp có tính chất cố định, trung điểm của đoạn thẳng cố
định, ….

. Chứng minh rằng khi các điểm A, B thay đổi thì
đường thẳng AB luôn qua một điểm cố định.
Ví dụ 2. Cho hình vuông ABCD. Xét các điểm M và N lần lượt trên các đường thẳng
AB và AD sao cho các đường thẳng DM và BN cắt nhau tại P khác A; dựng hình chữ
nhật AMQN. Chứng minh rằng khi các điểm M, N thay đổi thì đường thẳng PQ luôn
qua một điểm cố định.
Ví dụ 3. Cho góc

xOy
và điểm A cố định trên tia Ox. Với mỗi điểm B thuộc tia Oy ta
dựng đường tròn nội tiếp tam giác OAB tiếp xúc với cạnh OB tại N và tiếp xúc với
cạnh AB tại M. Chứng minh rằng khi B thay đổi trên tia Oy thì đường thẳng MN đi
qua một điểm cố định.
Ví dụ 4. Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B. Trên tia đối Ax của tia
AB lấy điểm M. Từ M kẻ tới đường tròn (O’) hai tiếp tuyến MC và MD (C, D là các
tiếp điểm và D nằm trong (O)). Đường thẳng AC cắt (O) lần thứ hai tại P và AD căt
(O) lần thứ hai tại Q. Chứng minh rằng đường thẳng PQ đi qua một điểm cố định khi
M thay đổi trên tia Ax.
6.3 Bài tập áp dụng
Bài 1. Cho góc xOy và điểm A cố định trên tia Ox. Với mỗi điểm B thuộc Oy ta dựng
đường tròn bàng tiếp tam giác OAB tiếp xúc với OB tại N và đường thẳng AB tại M.
Chứng minh rằng khi B thay đổi trên tia Oy thì đường thẳng MN luôn đi qua một điểm
cố định.
Bài 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia CB lấy điểm D sao cho các đường tròn
nội tiếp hai tam giác ABD và ACD cắt nhau tại hai điểm phân biệt P và Q. Chứng
minh rằng đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi.
Chuyên đề Hình học phẳng – ôn thi Đại học – Cao đẳng

25
Bài 3. Cho góc xOy và độ dài a. Trên hai cạnh của góc ta lấy các điểm A, B thoả mãn


ACB


không đổi


0 0
0 180

  . Đường
tròn tâm I nội tiếp tam giác ABC và tiếp xúc với AB, BC, CA lần lượt tại D, E, F. Các
đường thẳng AI, BI cắt đường thẳng EF lần lượt tại M và N.
a. Chứng minh rằng đoạn thẳng MN có độ dài không đổi.
b. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN luôn đi qua một điểm
cố định.