MỤC LỤC
Nội Dung Trang
PHẦN I: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
2. Mục đích của đề tài
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
4. Phạm vi và đối tượng nghiên cứu
5. Phương pháp nghiên cứu
PHẦN II: NỘI DUNG
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Chương II : Các biện pháp (giải pháp) sư phạm nâng cao chất
lượng dạy học
1.Biện pháp 1: Điều tra thực nghiệm
2.Biện pháp 2: Đưa ra các giải pháp mới
3.Biện pháp 3: Hướng dẫn theo từng phương pháp phân tích đa thức
thành nhân tử
Chương III. Thực nghiệm sư phạm
1.mục đích thực nghiệm
2.Nội dung thực nghiệm
3.Kết quả thực nghiệm
PHẦN III: KẾT LUẬN
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1
1
2
2
2
2
3
3
7

Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bài
tập do Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổng
quát hoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích. Dạng toán phân tích đa
thức thành nhân tử là một dạng toán rất quan trọng của môn đại số 8 đáp ứng
yêu cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh học tiếp các chương sau này,
nhất là khi học về rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phân
thức và việc giải phương trình, … Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả năng
nhận thức của học sinh đại trà mà chương trình chỉ đề cập đến bốn phương
pháp cơ bản của quá trình phân tích đa thức thành nhân tử thông qua các ví dụ
cụ thể, việc phân tích đó là không quá phức tạp và không quá ba nhân tử.
Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thức
thành nhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao. Để thực
hiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năng
như quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩ
năng vận dụng bài toán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựng
cách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cách giải
khác, để giúp học sinh học tập tốt bộ môn.
Xuất phát từ những lý do trên, cùng với những đòi hỏi của xã hội, chất
lượng dạy và học ngày càng phải được nâng cao, và bằng những kinh nghiệm
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
2
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
dạy và học toán, tôi xin mạnh dạn lựa chọn đề tài “ Một số phương pháp
phân tích đa thức thành nhân tử” với hy vọng đóng góp một phần nhỏ bé
công sức của mình về việc dạy học theo phương pháp mới, giúp học sinh
không bỡ ngỡ khi gặp các dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử, giúp
học sinh học tốt hơn, hứng thú hơn với bộ môn toán nói chung và các bài toán
về phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng.
2/ Mục đích nghiên cứu:
Góp phần nâng cao chất lượng dạy học ở bậc Trung học cơ sở.

5/ Phương pháp nghiên cứu:
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
3
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
Phương pháp mà tôi sử dụng để nghiên cứu chủ yếu là phương pháp
thực nghiệm sư phạm.
PHẦN II: NỘI DUNG
Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn
Trong bối cảnh đổi mới Giáo dục nói chung, Giáo dục THCS nói riêng
thì đổi mới phương pháp dạy học là yêu cầu bắt buộc mang tính tất yếu khách
quan.
Nghị quyết TW 2 (Khóa VIII) khẳng định: “ Phải đổi mới phương pháp
giáo dục và đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp
tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến
và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học đảm bảo điều kiện thời gian tự
học, tự nghiên cứu cho học sinh”.
Luật giáo dục điều 28 khoản 2 đã chỉ rõ: “Phương pháp giáo dục phổ
thông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh phù
hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học
rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm
đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”.
Trong qúa trình giảng dạy bộ môn Toán ở trường THCS đây là một trong
những nội dung được nhiều giáo viên nghiên cứu ở những mức độ khác nhau
và họ cũng đã thu được những kết quả nhất định. Song việc thực hiện được
kết quả như thế nào còn tùy thuộc vào nhiều yếu tố. Trong việc dạy và học bộ
môn Toán giáo viên cần phải rèn cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính
sáng tạo và linh hoạt tự tìm tòi ra kiến thức mới, và không chỉ với các phương
pháp cơ bản, thông thường mà còn phải hình thành lên một số phương pháp
khó hơn, phải có những thủ thuật riêng đặc trưng từ đó giúp các em có hứng
thú học tập, ham mê học Toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạng

2
2
Nhiều học sinh thể hiện sự lúng túng khi gặp ví dụ trên, có rất ít học
sinh giơ tay phát biểu, chỉ có một vài học sinh khá, giỏi.
GV đặt câu hỏi gợi ý: Để rút gọn phân thức trên ta làm như thế nào?
HS: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử
Sau khi gợi ý, nhiều học sinh đã đưa ra lời giải tuy nhiên bên cạnh đó
vẫn còn tồn tại nhiều lời giải như sau:


−−+
+−−
2
2
=


−−+
+−−
)1(
)1(
( !"#
$)
Nguyên nhân: do học sinh thiếu kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử (mặc
dù vừa được học xong các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử)
Ví dụ 2: (Trong tiết 46 Đại số 8 )giáo viên đưa bài tập. Giải các phương
trình sau bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử.
a. x(2x - 7) – 4x + 14 = 0
b. x
2

x
2
– y
2
+ 4x – 4 = (x
2
– y
2
)+ (4x – 4) = (x – y)(x + y) + 4(x - 1) đây là
lời giải sai, hay bài toán sau: phân tích đa thức x
3
– x + 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
– y
thành nhân tử. nhiều học sinh đưa ra lời giải như sau:
x
3
– x + 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
– y = (x
3
– x )+ (3x

– 6x – 9
= 3x
2
– 10x – 10 ))))%(
Học sinh đã biết áp dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức nhưng
chưa đúng phương pháp: lời giải đúng
(2x - 1)
2
– (x + 3)
2
= [(2x – 1) – (x + 3)][(2x - 1) + (x + 3)]
= (2x – 1 – x - 3)(2x – 1 + x + 3)
= (x - 4)(3x + 2)
Phân tích đa thức x
2
– 2x – 4y
2
– 4y thành nhân tử. Một số học sinh
đưa ra lới giải sau.
x
2
– 2x – 4y
2
– 4y = (x
2
– 4y
2
) – (2x – 4y ) %*+,(
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) %-.(
= (x – 2y)(x + 2y – 2) %&/0,(

thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các
hạng tử nhưng nếu chỉ với các phương pháp trên có những bài tập học sinh sẽ
gặp khó khăn trong quả trình giải. Ví dụ bài 52,57 sgk tr 24,25 (Toán 8 tập 1)
Bài 52a. phân tích đa thức x
2
– 3x + 2 thành nhân tử.
Với đa thức này ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân
tích. SGK hướng dẫn tách hạng tử - 3x = - x – 2x hoặc tách 2 = - 4 + 6, từ đó
đa thức dễ dàng được phân tích tiếp. Vậy với các đa thức khác, có dạng tương
tự ta làm như thế nào?
Vấn đề đặt ra ở đây là cách tách như trên là ngẫu nhiên hay có phương
pháp hoặc dựa trên quy luật nào, vấn đề này trong chương trình sách giáo
khoa chưa đề cập đến và chưa đưa ra phương pháp giải tổng quát, nhưng thực
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
6
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
tế trong quá trình giải toán, học sinh lại gặp rất nhiều bài tập dạng này (như đã
đề cập ở ví dụ trên)
Qua khảo sát thực trạng của học sinh trường THCS Đàn Hà về bộ môn
Toán tôi đã tiếp xúc, trò chuyện với học sinh sau một số tiết dạy về “các
phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”
Câu 1: Em có thích học bộ môn Toán không? Chỉ có một số học sinh
trả lời là có, vì học Toán rất bổ ích và thú vị. Bên cạch đó còn rất nhiều học
sinh trả lời không thích học Toán vì học Toán khó
Câu 2: Em có thích chuyên đề “phân tích đa thức thành nhân tử không”
?
Với câu hỏi này đa số học sinh trả lời là có. Vì chuyên đề này rất thú vị có thể
áp dụng vào nhiều bài toán thực tiễn.
Ví dụ: Tính nhanh. a. 37,5.6.5 – 7,5.3,4 – 6,6.7,5 + 3,5.37,5
= 37,5(6,5 + 3,5) – 7,5(3,4 + 6,6)

Môn Toán là môn học khó, khô khan để học tốt bộ môn toán đòi hỏi học
sinh phải có tư duy nhạy bén, nỗ lực tự học, tự rèn luyện.
Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, thiếu kĩ năng quan sát nhận xét,
biến đổi và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớp
dưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, do chay
lười trong học tập, ỷ lại, trông chờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tự
học, tự rèn, ý thức học tập yếu kém.
Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khi
gặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp,
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
7
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phương
pháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất.
Giáo viên chưa hình thành cho học sinh hệ thống các phương pháp.
Chương II : Các biện pháp (giải pháp) sư phạm
nâng cao chất lượng dạy học
1. Biện pháp 1: Điều tra thực nghiệm
Tìm hiểu sự ham mê học toán của học sinh khối 8.
Kiểm tra kiến thức và kỹ năng làm bài tập về phân tích đa thức thành nhân
tử.
2. Biện pháp 2: Đưa ra các giải pháp mới
Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản.
Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử
* Đối với học sinh yếu, nhận thức chậm : Củng cố kiến thức cơ bản
+ Phương pháp Đặt nhân tử chung
+ Phương pháp Dùng hằng đẳng thức
+ Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử
* Đối với học sinh đại trà: Vận dụng và phát triển kỹ năng
+ Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên)

- Tìm nhân tử chung là các Đơn thức, Đa thức có mặt trong tất cả các hạng
tử
- Phân tích mỗi hạng tử thành tích các nhân tử chung và một nhân tử khác
- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi
hạng tử vào trong dấu ngoặc ( kể cả dấu của chúng ).
Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D)
A9B C 4=;,%3DC:!6E7,.(2
- Hệ số của nhân tử chung là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các
hạng tử.
- Lũy thừa bằng chữ của các nhân tử chung phải là lũy thừa có mặt trong
tất cả các hạng tử của Đa thức, với số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng
tử.
b. Ví dụ.
Ví dụ 1.1: Phân tích Đa thức 15x
2
y
2
– 9x
3
y + 3x
2
y
3
thành nhân tử.
Giải: 15x
2
y
2
– 9x
3

2
+ 28x
2
y
2

= 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy
= 7xy.(2x – 3y + 4xy)
Phân tích ví dụ.
Ta thấy hệ số nguyên dương của các hạng tử trong ví dụ 1.1 là: 15; 9; 3
và ƯCLN(15, 9, 3) = 3. Vậy hệ số của nhân tử chung là: 3
- Lũy thừa bằng chữ của các hạng tử trong ví dụ 1 là: x
2
y
2
; x
3
y ; x
2
y
3
. Lũy
thừa bằng chữ có mặt trong tất cả các hạng tử là x và y, số mũ lớn nhất của x
là 2 và của y là 1. Vậy ta có lũy thừa bằng chữ của nhân tử chung là : x
2
y
Vậy nhân từ chung của đa thức trong ví dụ 1 là: 3 x
2
y
Ví dụ 1.3: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử.

y thành nhân tử.
12 15x
2
y
2
– 9x
3
y + 3x
2
y
= 3x
2
y.5y - 3x
2
y.3x+ 3x
2
y
= 3x
2
y ( 5y - 3x + 0) %&/0,345678(
Sai lầm ở đây là cách viết các hạng tử còn lại trong ngoặc, Học sinh đã bỏ
sót số 1 (HS cho rằng ở bước thứ hai khi đặt nhân tử chung 3x
2
y thì hạng tử
thứ 3 trong ngoặc còn lại là số 0)
1#2 15x
2
y
2
– 9x

2
nên dẫn đến :
9x(x – y) – 10(y – x)
2
= 9x(x – y) + 10(x – y)
2
là sai
- Ta có: ( x – y )
2
= (y – x )
2
nên 9x(x – y) – 10(y – x)
2
= 9x(x – y) – 10(x –
y)
2

Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
10
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
1#2 9x(x – y) – 10(y – x)
2
= 9x(x – y) – 10(x – y)
2

= (x – y)[9x – 10(x – y)]
= (x – y)(10y – x)
+ Chú ý: M4 B?!7,4N,2K
O
L%K(

2
(2z - y) - 21x(y - 2z)
2
7.
2x
2
(3y - z) + (3y- z)(x + y) + (z - 3y)
Dạng 2: Tính nhanh:
1) 85.12,9 + 5.3.12,9
2) 52.143 – 52.39 – 8.26
Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức:
1. 15.91,5 + 150.0,85
2. x(x-1) – y(1 – x) tại x = 2001 ; y = 1999
3. x
2
+ xy + x tại x = 77; y = 22
4. x(x-y) + y(y-x) tại x = 53; y = 3
Dạng 4: Tìm x, biết:
1. 5x(x-2012) – x + 2012 = 0
2. x
3
– 15x = 0
3. x + 7x
2
= 0
4. x + 3 = (x + 3)
2
5. x
3
+ x = 0

– B
2
= (A – B)(A + B)
4. A
3
+ 3A
2
B + 3AB
2
+ B
3
= (A + B)
3

Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
11
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
5. A
3
– 3A
2
B + 3AB
2
– B
3
= (A – B)
3

6. A
3

- 12x + 4 = (3x)
2
- 2.3x.2 + 2
2
= (3x - 2)
2

Ví dụ 3: a. (x - y)
2
– (x

+ y)
2
= [(x - y) – (x + y)].[(x - y) + (x + y)]
= (x - y – x - y)(x - y + x + y)
= (- 2y).2x = - 4xy
b. 9x
2
- 4 = (3x)
2
- 2
2
= (3x-2)(3x+2)
c. 16x
2
- 9(x + y)
2
= (4x)
2
- [3(x + y)]

2
+ x
3

= (3 + x)
3
Ví dụ 6: 27x
3
+ y
3
= (3x)
3
+ y
3
= (3x + y)(9x
2
– 3xy + y
2
)
Ví dụ 7: 1 - 8x
3
y
6
= 1
3
– (2xy
2
)
3
= (1 – 2xy

(2) (Ví dụ 1; 2)
- Nếu gặp Đa thức có dạng một hiệu của hai hạng tử (hoặc hai biểu thức)
mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) đó có dạng hoặc có thể phân tích, đưa
được về dạng hiệu hai bình phương (A
2
– B
2
) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ
(3) (Ví dụ 3)
- Nếu gặp Đa thức có 4 hạng tử, trong đó có 2 hạng tử có dạng (hoặc có
thể phân tích đưa về dạng) lập phương (A
3
và B
3
hoặc A
3
và -B
3
) hai hạng tử
còn lại có thể phân tích đưa về dạng 3.A
2
.B + 3.A.B
2
(hoặc - 3.A
2
.B +
3.A.B
2
) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ (4) hoặc thứ (5) (Ví dụ 4; 5)
- Nếu gặp Đa thức có dạng một hiệu hoặc một tổng của hai hạng tử (hoặc

2
y + 16)
= - [(x
2
y)
2
- 2.x
2
y.4 + 4
2
]
= - (x
2
y - 4)
2
c. Bài tập áp dụng.
Phân tích đa thức thành nhân tử.
1. a. x
2
+ 12x + 36
b. 100x – 2500 – x
2
2. a. x
2
+ 9y
2
– 6xy
b. 14x – 49 – x
2
3. a. 121x

3
+ z
3
– 3xyz
Hướng dẫn: áp dụng bài 31 (sgk – tr 16) ta có:
x
3
+ y
3
= (x + y)
3
– 3xy(x + y)
Do đó : x
3
+ y
3
+ z
3
– 3xyz = [(x + y)
3
+ z
3
] + [-3xy(x + y) - 3xyz]
= (x + y + z)[(x + y)
2
– z(x + y) + z
2
] – 3xy(x + y +z)
= (x + y + z)(x
2

– 0,25x = 0
4. x
2
– 10x = - 25

3.2.1.3 Phương pháp 3: Nhóm nhiều hạng tử
a. Phương pháp
Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất
hiện một trong hai dạng sau **;,*VN
T!.
b.Ví Dụ:
Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung:
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a. x
2
– xy + x – y %MR WX(YZ[OO(
b. xy - 5y + 2x – 10
c. 2xy + z +2x +yz
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
13
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
Giải: a)\C8: nhóm (x
2
– xy) và (x – y)
x
2
– xy + x – y = (x
2
– xy) + (x – y)
= x(x – y) + 1.(x – y)

+ 4x – y
2
+ 4
Giải2
a. x
2
– 4x + 4 – 9y
2
= (x
2
– 2x + 1) – (3y)
2

= (x – 1)
2
– (3y)
2

= (x – 1 – 3y)(x – 1 + 3y)
b.
\C8. Nhóm: (x
2
+ 4x) và – (y
2
- 4 ) ta có
x
2
+ 4x – y
2
+ 4 = (x

– 4y
b. x
3
– x + 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
– y
Giải2a)Cách 1: Nhóm (x
2
– 2x) và (- 4y
2
- 4y) ta có
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
14
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
x
2
– 2x – 4y
2
– 4y = (x
2
– 2x) – (4y
2
+ 4y)
= x(x - 2)–4y(y + 1)%:!&' /
"(
Cách 2: Nhóm (x

+ y
3
– y
= (x
3
– x) + (3x
2
y + 3xy
2
) + (y
3
– y )
= x(x
2
- 1) +3xy(x + y) + y(y
2
- 1)
= x(x – 1)(x + 1) + 3xy(x + y) + y(y - 1)(y + 1)
%:!&'H / (
Cách 2: Nhóm (x
3
+ 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
) và (- x - y) ta có
x
3

Như vậy đa thức chỉ có thể phân tích được tiếp sau khi nhóm một cách
hợp lý các hạng tử, Việc nhóm một cách hợp lý các hạng tử trong đa thức
thường không phụ thuộc vào quy tắc xác định nào, mà chỉ dựa vào kinh
nghiệm trong quá trình giải toán và dựa vào các mối quan hệ sau:
- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán.
- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:
]^_6=G, ")
]Y,& !;`=_6=40,C4
; / UE"@)
Chú ý: Trong quá trình nhóm các hạng tử, phải chú ý tới dấu của các hạng
tử sau khi nhóm.
ở ví dụ 3a: Phân tích đa thức x
2
– 2x – 4y
2
– 4y thành nhân tử. Học
sinh có thể đưa ra lời giải sau.
12 x
2
– 2x – 4y
2
– 4y = (x
2
– 4y
2
) – (2x – 4y ) %*+,(
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) %-
.(
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
15

2
) - (2x + 4y )
= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y)
= (x + 2y)(x – 2y – 2)
* Lưu ý2Y,& !;`=_6=40,C4
; "/ U/,&'E"@4
C6=6a*6HbI=+,0,C46= 
E)%cU8)\C8dcUOC8dcUeC8(
c. Bài tập áp dụng.
Phân tích đa thức thành nhân tử.
1.
x
2
– 3x – y
2
– 3y
2.
x
2
– 4xy + 4y
2
– z
2
3.
3x
2
– 3xy – 7x + 7y
4.
xz + yz – 11(x + y)
5.

2x
3
– 5x
2
+ 2x – 5
Tính nhanh giá trị của mỗi đa thức
1. x
2
– 2xy – 9z
2
+ y
2
tại x = 6; y = -4; z = 30
2. 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)
2
+ 48 tại x = 0,5
Tìm x ; biết
1. x(x - 5) + x - 5 = 0
2. 5x(x - 7) – x + 7 = 0
Trong quá trình giải toán phân tích đa thức thành nhân tử, chúng ta không
thể chỉ vận từng phương pháp riêng lẻ.Thực tế có nhiều bài toán để phân tích
được cần phải có sự phối hợp giữa các phương pháp. Vì vậy ngoài 3 phương
pháp đã nêu ở trên, trong chương trình SGK toán 8 còn giới thiệu thêm một
phương pháp nữa, đó là: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp
nhiều phương pháp.
3.2.1.4 Phương pháp 4: Phối hợp nhiều phương pháp
a. Phương pháp:
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
16
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "

+2 x + 1) – y
2
] (Nhóm các hạng tử)
= 3[(x + 1)
2
– y
2
] (Dùng hằng đẳng thức)
= 3(x + 1 - y)(x + 1 + y)
Ví dụ 3: 3x – 3y – x
2
+ 2xy – y
2
= (3x – 3y) – (x
2
- 2xy + y
2
) (Nhóm các hạng tử)
= 3(x - y) – (x - y)
2
(Dùng hằng đẳng thức)
= (x - y)[3 – (x - y)] (Đặt nhân tử chung)
= (x - y)(3 – x + y)
Ví dụ 4: 7x
5
y
2
- 14x
4
y

+ 1) (Đặt nhân tử chung)
= 7x
3
y
2
[(x
2
- 2x +1) - (y
2
+ 2yz + z
2
)] (Nhóm các hạng tử)
= 7x
3
y
2
[(x - 1)
2
- (y + z)
2
] (Dùng hằng đẳng thức)
= 7x
3
y
2
(x - 1 - y - z)(x - 1 + y + z)
Ví dụ 5: 5x
3
y - 10x
2

( ) ( ) ( ) ( )
x 1 y a x 1 y a
   
− − + − + +
   
(Dùnghằngđẳng thức)
= 5xy( x - 1 - y - a)(x - 1 + y +a )
Ví dụ 6: Phân tích đa thức A = (x + y + z)
3
– x
3
– y
3
– z
3
thành nhân tử.
%MR fXYMPgChR 8(d
Trong ví dụ này có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa
chọn cách giải phù hợp nhất, gọn nhất.
i UNT!2(A + B)
3
= A
3
+ B
3
+ 3AB(A + B)
Y,E0,,2A
3
+ B
3

3
– z
3
= [(x + y)
3
– x
3
– y
3
] + 3z(x + y)(x + y + z)
= 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z
2
)
= 3(x + y)( xy + xz + yz + z
2
)
= 3(x + y)(y + z)(x + z)
Khai thác ví dụ :
Quan sát ví dụ 1; 2 ta thấy các hạng tử của đa thức có nhân tử chung.
Ta sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung trước, (sau khi đặt nhân tử chung
ta thấy các hạng tử còn lại trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức) sau đó nhóm
các hạng tử thích hợp, dùng hằng đẳng thức phân tích tiếp đa thức. Ví dụ 3 ta
thấy các hạng tử không có nhân tử chung, chỉ có hạng tử thứ nhất và hạng tử
thứ hai có nhân tử chung, 3 hạng tử còn lại có dạng hằng đẳng thức, vì vậy
chúng ta sử dụng phương pháp nhóm hạng tử trước, tiếp đó tiến hành phân
tích từng nhóm (bằng phương pháp đặt nhân tử chung và hằng đẳng thức)
xuất hiện nhân tử chung, đa thức được phân tích tiếp. Các ví dụ còn lại làm
tương tự.
Như vậy để phân tích đa thức thành nhân tử chúng ta có thể sử dụng
phối hợp nhiều phương pháp nhưng không nhất thiết phải theo một trình tự

4
– 9x
3
) + (x
2
– 9x)
= x
3
(x – 9) + x(x – 9)
= (x – 9)(x
3
+ x) % EH(
\..j
Lời giải đúng2 x
4
– 9x
3
+ x
2
– 9x = x(x
3
– 9x
2
+ x – 9)
= x[(x
3
– 9x
2
) + (x – 9)]
= x[x

– 9x
5. x
4
- 2x
2
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
18
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
6. x
3
– 5x + 3x
2
y + 3xy
2
+ y
3
– 5 y
7. 5x
2
+ 5xy – 3x – 3y
8. 20z
2
– 5x
2
– 10xy – 5y
2
Tìm x .biết :
1. 5x(x - 2) = x – 2
2. 2(x + 4) – x
2

Chứng minh :
1) (5n + 2)
2
– 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.
2) n
3
– n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n.
+ Khai thác ví dụ 62Từ ví dụ 6 ta có thể mở rộng cho các bài tập sau:
1) Chứng minh rằng A chia hết cho 6 với mọi x, y, z nguyên.
2) Cho x + y + z = 0. Chứng minh x
3
+ y
3
+ z
3
= 3xyz %MR ehYMPX(
kDl2
mV
e
]
e
L%](
e
ne%](3]]oLpd
⇔
]Lno
3) Phân tích đa thức x
3
+ y
3

2
- 6x + 8 thành nhân tử.
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
19
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
Quan sát Đa thức trên ta thấy các hạng tử không có nhân tử chung, cũng
không có dạng của một hằng đẳng thức đáng nhớ nào và cũng không thể
nhóm các hạng tử. Như vậy để phân tích đa thức trên thành nhân tử chung ta
cần phải có cách biến đổi khác. Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiều
hạng tử hơn bằng cách tách một trong các hạng tử của đa thức thành 2 hay
nhiều hạng tử.
Giải:
Cách 1: (C;RO2x
2
)
x
2
- 6x + 8 = 3x
2
- 6x - 2x
2
+ 8
= 3x(x - 2) - 2(x
2
- 4) = (x - 2)[3x - 2(x + 2)]
= (x - 2)(x - 4)
Cách 2: (C;R82- 6x)
x
2
- 6x + 8 = x

2
- 16 - 6x + 24
= (x - 4)(x + 4) - 6(x - 4) = (x - 4)(x - 2)
Ví dụ 2: Phân tích đa thức f(x) = 3x
2
– 8x + 4 thành nhân tử.
Z"JC %#J6G,C (
Giải: \C8%C;R : 3x
2
(
3x
2
– 8x + 4 = 4x
2
– 8x + 4 – x
2

= (2x – 2)
2
– x
2

= (2x – 2 – x)( 2x – 2 + x)
= (x – 2)(3x – 2)
\CO %C;R+2 – 8x(
3x
2
– 8x + 4 = 3x
2
– 6x – 2x + 4

Khai thác cách giải tách hạng tử bậc nhất:
Nhận xét: Trong các cách giải trên, ở cả hai ví dụ ta thấy cách 2 là đơn
giản và dễ làm nhất. Ở đây ta đã tách hạng tử bậc nhất - 8x (ví dụ 2) thành 2
hạng tử - 6x và - 2x. Trong đa thức 3x
2
– 6x – 2x + 4 ta thấy hệ số ở các số
hạng là: 3, – 6, –2, 4 các hệ số thứ 2 và thứ 4 đều gấp - 2 lần hệ số liền trước
và tỷ lệ nhau
6 4
3 2
−
=
−
hay (– 6).( – 2)= 3.4 và (– 6) + ( – 2)= – 8, nhờ đó xuất
hiện thừa số chung (x - 2).
Phân tích: -P!e
O
nh]W6LeL– hLW
Tính tích a.c và phân tích a.c = b
1
.b
2
sao cho b
1
+ b
2
= b
(ac = b
1
.b

= ac
Trong thực hành ta làm như sau:
MD82 Lập tích ac.
MDO2 Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách
MDe2 Chọn hai thừa số mà tổng bằng b.
Áp dụng2
Phân tích đa thức: – 6x
2
+ 7x – 2 thành nhân tử %MR ef(YMPX(
Ta có: a = – 6 ; b = 7 ; c = – 2
MD82 ac = (–6).(–2) = 12
MDO2 ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1
MDe2 b L7 = 4 + 3
Vậy ta tách hạng tử: 7x = 4x + 3x
Khi đó ta có lời giải: – 6x
2
+ 7x – 2 = – 6x
2
+ 4x + 3x – 2
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
21
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
= (– 6x
2
+ 4x) + (3x – 2)
= –2x(3x – 2) + (3x – 2)
= (3x – 2)(–2x + 1)

Chú ý:
:!

+ xy - y
2
= 4(x
2
- 2xy + y
2
) + y(x - y)
= 4(x - y)
2
+ y(x - y)
= (x - y)(4x - 3y)
:!R
O
]]&' C;
 =37@,s)F/,2
[ )O-7,.N=$C&'6O
-76<N)
Ví dụ: đa thức x
2
+ 4x + 6 có a = 1; b = 6
=> a.c = 6 = 1.6 = 2.3 = (-1)(-6) = (-2)(-3)
không có 2 thừa số nào có tổng bằng b = 4.
- Hoặc sau khi đưa đa thức bậc 2 về dạng a(x
2
- k) thì k không phải là
bình phương của một số hữu tỷ.
Ví dụ: x
2
+ 4x + 6 = (x
2

2
– 2n + 3n – 6)
= (n – 1)(n(n – 2) + 3(n – 2))
= (n – 1)(n – 2)(n + 3)
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
22
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
Ví dụ 5: Phân tích đa thức x
4
– 30x
2
+ 31x – 30 thành nhân tử.
Ta có cách tách như sau: x
4
– 30x
2
+ 31x – 30 = x
4
+ x – 30x
2
+ 30x – 30
Giải2 x
4
– 30x
2
+ 31x – 30 = x
4
+ x – 30x
2
+ 30x – 30

2
– 11x + 3 f. 9x
2
+ 12x – 5
Bài 2) a. 2x
2
− 3xy + 27y
2
b. 2x
2
– 5xy + 3y
2
.
Bài 3) a. x
2
(y − z) + y
2
(z − x) + z
2
(x − y).
b. xy(x + y) − yz(y + z) + xz(x − z) ;
c. x(y
2
+ z
2
) + y(z
2
+ x
2
) + z(x

(x − z
2
) + z
3
(y − z
2
) + xyz(xyz − 1).
kDl2e. Nhận xét z − x = −(y − z) − (x − y). Vì vậy ta tách hạng tử
thứ hai của đa thức :
x
2
(y − z) + y
2
(z − x) + z
2
(x − y)
= x
2
(y − z) − y
2
(y − z) − y
2
(x − y) + z
2
(x − y)
= (y − z)(x
2
− y
2
) − (x − y)(y

E)[L%Lo*oL(3!4Cb?!
Np)c43RC NCC.xC
NCyCb.%9B C 8p(
Bài 4) a) x
3
– 4x + 3 ; b) x
3
+ 7x – 6 ; (áp dụng ví dụ 4)
Học viên:Hoàng Quốc Huy – Lớp toán 3 – ĐHSP Hà Nội
23
Đề tài:" Dạy học phân tích đa thức thành nhân tử ở trường THCS "
3.2.2.2 Phương pháp 6: Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử
a. Phương pháp:
Thêm bớt cùng một hạng tử để đưa đa thức về dạng hằng đẳng thức hoặc
nhóm nhiều hạng tử. Thông thường hay đưa về dạng a
2
- b
2
sau khi thêm bớt .
b. Ví dụ:
Thêm và bớt cùng một số hạng để làm xuất hiện hằng đẳng thức
Ví dụ 1: Phân tích đa thức x
4
+ x
2
+ 1 thành nhân tử.
Cách 1: thêm bớt hạng tử x
2
%=,+ENT!(
Ta có x

4
– x
3
+ x
2
) + (x
3
+ 1)
= x
2
(x
2
– x + 1) + (x + 1)(x
2
– x + 1)
= (x
2
– x + 1)(x
2
+ x + 1).
x
4
+ x
2
+ 1 = (x
4
+ x
3
+ x
2

Giải2 x
4
+ x
2
+ 1 = x
4
– x + x
2
+ x + 1
= (x
4
– x) + (x
2
+ x + 1)
= x(x – 1)(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x + 1)
Ví dụ.2: Phân tích đa thức x
5
+ x
4
+ 1 thành nhân tử.
\C82 Thêm x
3
và bớt x
3
%=,+ENT!3*;
,(

2
+ x + 1)(x
3
– x + 1 )
= (x
2
+ x + 1)(x
2
– x + 1)
Ví dụ 3: Phân tích đa thức x
4
+ 4 thành nhân tử. %MR fX(YZ[Of(
Z"J2 ta nhận thấy: x
4
= (x
2
)
2
và 4 = 2
2
để xuất hiện hằng đẳng thức bình
phương của một tổng, ta cần thêm 2.x
2
.2 = 4x
2
vậy cần bớt 4x
2
để giá trị của
đa thức không đổi.
Giải2

Thêm 16x
2
y
2
và bớt 16x
2
y
2
: %=,+ENT!(
x
4
+ 64y
4
= (x
4
+ 16x
2
y
2
+ 64y
4
) – 16x
2
y
2

= (x
2
+ 8y
2

+ 36x
2
+ 81 - 36x
2

= ( 2x
2
+ 9)
2
- (6x)
2
= (2x
2
+ 9 - 6x)(2x
2
+ 9 + 6x)
Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 4: Phân tích đa thức x
5
+ x
4
+ 1 thành nhân tử.
Thêm x
3
, x
2
, x và bớt x
3
, x
2

+ x + 1)
= x
3
(x
2
+ x + 1) – x(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)(x
3
– x + 1 )
Ví dụ 5. Phân tích đa thức x
5
+ x − 1 thành nhân tử
Z2 \C8)Thêm x
4
, x
3
, x
2
và bớt x
4
, x
3
, x
2

2
− x + 1)(x
3
− x
2
− 1).
\CO. Thêm và bớt x
2
:
x
5
+ x − 1 = x
5
+ x
2
− x
2
+ x − 1 = x
2
(x
3
+ 1) − (x
2
− x + 1)
= (x
2
− x + 1)[x
2
(x + 1) − 1] = (x
2

+ x + 1)
= x(x
3
+1)(x -1)(x
2
+ x + 1) + (x
2
+ x + 1)
= (x
2
+ x + 1)(x
5
- x
4
- x
2
+ 1)
Chú ý2\C!6 
W
]
O
]8
f
]]8
f
]
W
]8
X
]