Phần thứ hai
LÝ THUYẾT VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH VỎ MỎNG
Chương 4
MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ VỎ
4.1. CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ GIẢ THIẾT TÍNH TOÁN
4.1.1. Các định nghĩa
Vỏ là vật thể được giới hạn bởi hai mặt cong có chiều dày
δ
nhỏ so với hai
kích thước còn lại
δ
<< (a, b), với
a
và
b
là chiều rộng và chiều dài vỏ.
Mặt trung bình là mặt cách đều mặt trên và mặt dưới của vỏ.
Vỏ được gọi là vỏ mỏng khi, [4, 16]:
1
20r
δ
≤
hay
min min
1 1
200 8
l l< δ <
(
( )
min
min ,l a b=

- véc tơ bán kính của mặt cong;
α
,
β
- tọa độ cong.
70
- Trong hệ tọa độ Descartes:
( ) ( ) ( )
, , ,r x i y j z k= α β + α β + α β
r
r r
r
(4.2)
với
( )
,x α β
,
( )
,y α β
,
( )
,z α β
là hình chiếu véc tơ
r
r
lên hệ trục tọa độ OXYZ, với
i
r
,
j

. Trên hình 4-1, 4-2 ký hiệu:
1
e
r
- véc tơ đơn vị tiếp tuyến với đường cong tọa độ
α
tại điểm M.
2
e
r
- véc tơ đơn vị tiếp tuyến với đường cong tọa độ
β
tại điểm M.
3
e
r
- véc tơ đơn vị pháp tuyến tại điểm M.
Một số định nghĩa:
- Mặt phẳng pháp tuyến là mặt phẳng chứa véc tơ pháp tuyến
3
e
r
.
- Đường cong pháp tuyến là giao tuyến của mặt phẳng pháp tuyến và mặt
cong của vỏ.
- Tiết diện pháp tuyến của vỏ là tiết diện tương ứng với đường cong
pháp tuyến.
Như vậy, với một pháp tuyến tại điểm M bất kỳ, sẽ có vô số các mặt phẳng
pháp tuyến và vô số đường cong pháp tuyến.
71

r
=
với
1
r
,
2
r
là bán kính chính của 2 đường
cong chính
α
và
β
, hình 4-2.
Ví dụ với vỏ trụ tròn có bán kính
r
,
hình 4-3, chọn tọa độ cong
xα =
tương
ứng với đường cong chính là đường sinh;
tọa độ cong
β = ϕ
tương ứng với đường
cong chính là đường tròn bán kính
r
.
Khi đó:
1
1

r
r
có số gia
dr
r
. Đoạn cong
dS
gọi là phân
tố đường trong mặt cong.
Theo lý thuyết mặt cong:
r r
dS dr d d
∂ ∂
= = α + β
∂α ∂β
r r
r
r
(4.3)
trong đó:
r
d
∂
∂
r
α
α
,
r
d

2
2 2 2
. 2 .
r r r r
dS dr dr d d d d
   
∂ ∂ ∂ ∂
 
= = α + α β+ β
 ÷
 ÷  ÷
∂α ∂α ∂β ∂β
 
   
r r r r
r r
(4.4)
dưới dạng rút gọn:
( ) ( ) ( )
2 2 2
2dS E d Fd d G d= α + α β+ β
(4.5)
với:
2
2
r
E A
∂
 
= =

Hình 4-4. Dạng bình phương thứ nhất.
Từ (4.6), độ dài của véc tơ
r∂
∂α
r
bằng
A
và độ dài véc tơ
r∂
∂β
r
bằng
B
. Do
đó, các véc tơ đơn vị được biểu diễn dưới dạng:
1
1 r
e
A
∂
=
∂α
r
r

2
1 r
e
B
∂

. Do đó, từ (4.5):
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2
1 2
dS A d B d dS dS= α + β = +
(4.8)
với:
1
2
.
.
dS A d
dS B d
= α
= β
(4.9)
Theo (4.2), do
( )
,x α β
,
( )
,y α β
,
( )
,z α β
là hình chiếu của véc tơ
r
r
lên các

β
.
2. Dạng bình phương thứ hai: Đặc
trưng cho các yếu tố hình học ngoài
mặt cong như: độ cong, bán kính
cong,…
Xét khoảng cách
h
giữa hai
điểm M và N theo phương pháp
tuyến với mặt cong tại điểm M. Trị số
khoảng cách này là hình chiếu của
véc tơ
r∆
r
lên phương của véc tơ
pháp tuyến
3
e
r
, bằng tích vô hướng
của hai véc tơ trên, hình 4-5.
3
.h e r= ∆
r r
(4.11)
Để xác định
h
sử dụng công thức Taylo:
( ) ( )

( ) ( )
2 2
d d
 
ε α + β
 
so với thành phần
thứ hai của (4.12), nhận được:
( ) ( )
2 2 2
2 2
2
3 3 3 3
2 2
2 . . 2. . .
r r r
h e d r e d e d d e d
∂ ∂ ∂
= = α + α β+ β
∂α ∂α∂β ∂β
r r r
r r r r r
(4.13)
dưới dạng rút gọn:
( ) ( )
2 2
2 2.h L d Md d N d= α + α β + β
(4.14)
trong đó:
2

∂β
r
r
(4.15)
Vế phải của (4.13), (4.14) gọi là dạng bình phương thứ hai.
Khi hệ tọa độ khảo sát là hệ tọa độ cong chính,
0M =
.
3. Độ cong: Độ cong
k
của đường cong nối hai điểm M và N có tọa độ cong
( )
,α β
và
( )
,d dα + α β+ β
được xác định bằng công thức:
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
2
0
2
1 2
2
ds
L d Md d N d
h
k lim

2
1 N N
k
r G B
= − = =
với
( )
0, 0d dα = β ≠
(4.18)
4.2.5. Điều kiện Codaxi-Gauss
Điều kiện Codaxi-Gauss là quan hệ giữa các hệ số của dạng bình phương
thứ nhất và dạng bình phương thứ hai, biểu thị điều kiện tồn tại và liên tục của
mặt cong trước biến dạng, [16].
Khi xét trong hệ tọa độ cong chính:
1. Điều kiện Codaxi
1 2
1A A
r r
 
∂ ∂
=
 ÷
∂β ∂β
 
2 1
1B B
r r
 
∂ ∂
=

α
,
β
.
Hình 4-6. Vỏ xoay.
Dưới đây giới hạn xét các tham số này đối với vỏ xoay, hình 4-6, trong
đó chọn:
ϑ
- tọa độ cong theo đường kinh tuyến, đường cong tương ứng
S
ϑ
, chiều
dài phân tố
dS
ϑ
, bán kính tương ứng là
r
ϑ
.
ϕ
- tọa độ cong theo đường vĩ
tuyến, đường cong tương ứng
S
ϕ
, chiều
dài phân tố
dS
ϕ
, bán kính tương ứng là
r

∂ ∂ ∂ ∂
= = = ϕ
∂α ∂ ∂ ∂
y y y r dr
sin
z r z dz
∂ ∂ ∂ ∂
= = = ϕ
∂α ∂ ∂ ∂

1
z z
z
∂ ∂
= =
∂α ∂x x
rsin
∂ ∂
= = − ϕ
∂β ∂ϕ

y y
rcos
∂ ∂
= = ϕ
∂β ∂ϕ
0

Chọn hệ tọa độ cong:
α = ϑ
(đường
cong kinh tuyến)
β = ϕ
(đường cong vĩ
tuyến).
Các tham số Lame được xác định theo
(4.10) có dạng:
r
A
sin
= ρ =
ϑ
B sin= ρ ϑ
(4.22)
3. Trong hệ tọa độ cong: Chọn tọa độ cong:
α = ϑ
(đường cong kinh tuyến) và
β = ϕ
(đường cong vĩ tuyến), hình 4-6. Áp dụng (4.9):
.dS A d r d
ϑ ϑ
= α = ϑ
rút ra:
A r
ϑ
=
(4.23.a)
.dS B d rd r sin d

(4.24)
Đối với vỏ trụ tròn bán kính
r
, hình 4-3: chọn tọa độ cong
xα =
,
β = ϕ
1
1. 1dS Ad dx A= α = → =
2
dS Bd rd B r= β = ϕ → =
(4.25)
4.3. PHÂN LOẠI VỎ
Theo lý thuyết mặt cong, các tính chất hình học của mặt cong liên quan chặt
chẽ đến độ cong Gauss. Do đó, vỏ được phân loại theo độ cong Gauss.
77
Hình 4-8. Hệ tọa độ cầu.
4.3.1. Độ cong Gauss
Độ cong Gauss
K
của mặt cong, được xác định bằng công thức:
1 2
1 2
1 1
. .K k k
r r
= =
(4.26)
trong đó:
1

<
, hình 4-9.
Hình 4-9. Phân loại vỏ.
1. Vỏ có độ cong Gauss
0K =
khi một trong hai độ cong
1
k
hoặc
2
k
bằng
không, tương ứng với đường cong tọa độ
α
hoặc đường cong tọa độ
β
là đường
thẳng, ví dụ vỏ trụ, vỏ nón, hình 4-9a.
2. Vỏ có độ cong Gauss
0K >
là vỏ lồi như: vỏ cầu, hình 4-9b, d.
3. Vỏ có độ cong Gauss
0K <
là vỏ lõm như: vỏ yên ngựa, hình 4-9c.
78