Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Định hớng đổi mới PPDH Toán ở trờng phổ thông hiện nay là tích
cực hoá hoạt động học tập của học sinh. Định hớng này có thể đợc diễn
đạt theo nhiều cách khác nhau, nhng tựu trung lại, bản chất của nó là
tăng cờng hoạt động của ngời học.
Tâm lý học đã chứng minh đợc rằng, năng lực, t duy và kỹ năng
của con ngời chỉ có thể đợc hình thành và phát triển thông qua hoạt
động. Do đó, muốn phát triển đợc trí tuệ cho học sinh thì đơng nhiên
phải tạo môi trờng cho họ đợc hoạt động.
Nhiều nhà khoa học uy tín đã khẳng định rằng dạy Toán là dạy
hoạt động Toán học, và cũng đã có những công trình nghiên cứu về các
hoạt động Toán học của học sinh. Nhờ những công trình này, giáo dục
học Toán học đã phát triển thêm một bớc.
Sách giáo khoa Toán phân ban sau nhiều năm thí điểm đã đợc đa
vào sử dụng chính thức từ năm học 2006 - 2007 với nhiều sự đổi mới về
nội dung và phơng pháp trình bày. Để dạy có hiệu quả theo chơng trình
và Sách giáo khoa mới, ắt phải có những cải tiến về phơng pháp và hình
thức tổ chức dạy học - mà trong đó cần quan tâm thích đáng tới các hoạt
động của học sinh.
Quan điểm hoạt động trong phơng pháp dạy học môn Toán đợc tác
giả Nguyễn Bá Kim đề xuất năm 1983. Quan điểm này đợc thể hiện qua
bốn T tởng chủ đạo. Vận dụng tốt quan điểm này là một tiền đề để góp
phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán. Tuy nhiên, vận dụng quan
điểm này nh thế nào thì đây là một vấn đề cần đợc cụ thể hóa theo từng
chủ đề nhất định.
1
Trong môn Toán có rất nhiều dạng hoạt động, phát hiện ra các
dạng hoạt động đó và cho học sinh tập luyện những hoạt động này có ý
nghĩa then chốt để nâng cao hiệu quả học tập của học sinh.
Bất đẳng thức - Bất phơng trình là một chủ đề rất quan trọng của

BĐT-BPT ở lớp 10 THPT và tổ chức, thiết kế các hoạt động này một
cách hợp lí, thì sẽ góp phần nâng cao đợc hiệu quả dạy học Toán ở trờng
THPT, đồng thời đáp ứng đợc nhu cầu và định hớng đổi mới phơng pháp
dạy học.
6. Cấu trúc luận văn
Chơng 1
Cơ sở lí luận và thực tiễn
1.1. Về định hớng đổi mới PPDH
1.2. Hoạt động
1.3. Quan điểm hoạt động trong PPDH Toán
1.3.1. Hoạt động và hoạt động thành phần
1.3.1.1. Phát hiện những hoạt động tơng thích với nội dung
1.3.1.2. Phân tích hoạt động thành những thành phần
1.3.1.3. Lựa chọn hoạt động dựa vào mục đích
1.3.1.4. Tập trung vào những hoạt động Toán học
1.3.2. Động cơ hoạt động
1.3.3. Tri thức trong hoạt động
1.3.4. Phân bậc hoạt động
1.4. Một số vấn đề về SGK Đại số 10 Nâng cao
Kết luận Chơng 1
3
Chơng 2
Thiết kế, tổ chức các hoạt động của học sinh trong
dạy học Bất đẳng thức - bất phơng trình ở lớp 10
2.1. Các hoạt động tơng thích với Đ1 SGK Đại số 10 Nâng cao.
2.2. Các hoạt động tơng thích với Đ2 SGK Đại số 10 Nâng cao.
2.3. Các hoạt động tơng thích với Đ3 SGK Đại Số 10 Nâng cao.
2.4. Các dạng hoạt động tơng thích với Đ4 SGK Đại số 10. Nâng cao.
2.5. Các dạng hoạt động tơng thích với Đ5 SGK Đại số 10 nâng cao.
2.6. Các hoạt động tơng thích với Đ6 SGK Đại số 10 Nâng cao.

"Phơng pháp giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ
động, t duy sáng tạo của ngời học; bồi dỡng năng lực tự học, lòng say mê
học tập và ý chí vơn lên" (Luật Giáo dục 1998, Chơng I, Điều 4).
"Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động, t duy sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của
từng lớp học, từng môn học; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ
năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại
5
niềm vui, hứng thú học tập của học sinh". (Luật Giáo dục 1998, Chơng I,
Điều 24).
Sự phát triển xã hội và đổi mới đất nớc đang đòi hỏi cấp bách phải
nâng cao chất lợng giáo dục và đào tạo. Theo tinh thần Nghị quyết trên,
cùng với những thay đổi về nội dung, cần phải có những đổi mới căn bản
về phơng pháp dạy học. Phải thừa nhận rằng trong tình hình hiện nay,
việc dạy học theo kiểu thuyết trình tràn lan vẫn đang ngự trị. PGS. TS
Trần Kiều đã nhận xét:
"Giáo viên vẫn dạy theo cách nh đã dạy từ mấy chục năm qua, với
phơng pháp "thuyết trình có kết hợp đàm thoại" là chủ yếu, về thực vẫn
là "thầy truyền đạt, trò tiếp nhận, ghi nhớ". Trong mấy năm gần đây
xuất hiện một hiện tợng là sử dụng khá phổ biến cách dạy "thầy đọc, trò
chép" thậm chí "thầy đọc, chép và trò chép", dạy theo kiểu nhồi nhét,
dạy chay, dạy theo kiểu luyện thi "(Trần Kiều 1997, tr.11).
Mâu thuẫn giữa yêu cầu đào tạo con ngời xây dựng xã hội công
nghiệp hoá, hiện đại hoá với thực trạng lạc hậu của PPDH đã làm nảy
sinh và thúc đẩy một cuộc vận động đổi mới PPDH ở tất cả các cấp trong
ngành giáo dục và đào tạo. Định hớng cho sự đổi mới PPDH hiện nay là
PPDH cần hớng vào việc tổ chức cho ngời học học tập trong hoạt động
và bằng hoạt động tự giác, tích cực và sáng tạo. Định hớng này còn đợc
gọi tắt là "Hoạt động hoá ngời học".
Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ mật thiết với những hoạt động

trờng, những khó khăn và những sự mất cân bằng. Theo Lý thuyết tình
7
huống, một môi trờng không có dụng ý s phạm là không đủ để chủ thể
(học sinh) kiến tạo đợc tri thức theo đúng yêu cầu mà xã hội mong
muốn. Vì vậy điều quan trọng là thiết lập những tình huống có dụng ý s
phạm để ngời học học tập trong hoạt động, học tập bằng thích nghi.
- Dạy việc học, dạy tự học thông qua toàn bộ quá trình dạy học:
Mục đích dạy học không phải chỉ ở những kết quả cụ thể của quá
trình học tập, ở tri thức và kỹ năng bộ môn, mà điều quan trọng hơn là ở
bản thân việc học, ở cách học, ở khả năng đảm nhiệm, tổ chức và thực
hiện những quá trình học tập một cách có hiệu quả. Đơng nhiên, ý tởng
này chỉ có thể đợc thực hiện trong những quá trình mà ngời học thực sự
hoạt động để đạt đợc những gì mà họ cần đạt.
Một mặt đặc biệt quan trọng của dạy việc học là dạy tự học. Kho
tàng văn hoá của nhân loại là vô tận. Để có thể sống và hoạt động suốt
đời thì phải học suốt đời. Để học đợc suốt đời thì phải có khả năng tự
học. Khả năng này cần đợc rèn luyện ngay trong khi còn là học sinh ngồi
trên ghế nhà trờng. Vì vậy quá trình dạy học phải bao hàm cả dạy tự học.
Việc dạy tự học đơng nhiên chỉ có thể thực hiện đợc trong một cách dạy
học mà ngời học là chủ thể, tự họ hoạt động để đáp ứng nhu cầu của xã
hội đã chuyển hoá thành nhu cầu của chính bản thân họ.
- Chế tạo và khai thác những phơng tiện phục vụ quá trình dạy học:
Phơng tiện dạy học, từ tài liệu in ấn và những đồ dùng dạy học đơn
giản tới những phơng tiện kỹ thuật tinh vi nh thiết bị nghe nhìn, công
nghệ thông tin và truyền thông giúp thiết lập những tình huống có dụng
ý s phạm, tổ chức những hoạt động và giao lu của thầy và trò.
- Tạo niềm lạc quan học tập dựa trên lao động và thành quả của
bản thân ngời học.
8
Hoạt động học tập tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo một mặt

động bên ngoài "(Một số công trình Tâm lý học A. N. Lêontiev - GS,
Viện sĩ Phạm Minh Hạc - Biên dịch và giới thiệu - Nxb Giáo dục - 2003).
Theo tác giả, một hoạt động bao giờ cũng nhằm vào một đối tợng
nhất định, hai hoạt động khác nhau đợc phân biệt bởi hai đối tợng khác
nhau. Đối tợng của hoạt động là cái con ngời cần làm ra, cần chiếm lĩnh,
đó là động cơ. Ông cho rằng: "Đã gọi là "hoạt động tâm lý" thì phải có
động cơ phù hợp. Không thể có một hoạt động không có động cơ" (dẫn
theo Hồ Ngọc Đại - Tâm lý học dạy học - Nxb ĐHQG Hà Nội - 2000).
Nh vậy, khái niệm hoạt động gắn liền một cách tất yếu với khái
niệm động cơ. Động cơ có hai nơi ở : bên ngoài và bên trong tâm lý. Nó
vẫn là một duy nhất. Trong cả hai trờng hợp, hoạt động bao giờ cũng là
sự gặp gỡ giữa chủ thể và đối tợng của hoạt động.
Về phía đối tợng, trớc hết ta có động cơ đợc thể hiện thành nhu
cầu. Nhng động cơ này tự nó không sẵn có ngay từ đầu, mà cũng là cái
đang sinh thành và phát triển. Động cơ đợc phát triển từ những đối tợng
kém phát triển, còn trừu tợng, theo xu hớng ngày càng cụ thể hơn. Tiến
trình đó đợc chốt lại trong những mục đích. Về phía đối tợng, còn có một
khái niệm nữa là nhiệm vụ. Quá trình đi đến mục đích bị quy định bởi
các điều kiện, phơng tiện thực hiện nó. Nhiệm vụ là thể thống nhất giữa
mục đích và điều kiện.
10
Về phía chủ thể, để thực hiện động cơ, chủ thể phải dùng sức căng
của bắp thịt và thần kinh, phải vận dụng năng lực thực tiễn đã có Quá
trình ấy gọi là hoạt động. Động cơ đợc cụ thể hoá thành hệ thống mục
đích. Mỗi mục đích là một đối tợng cần chiếm lĩnh. Quá trình chiếm lĩnh
này gọi là hành động.
1.3. Quan điểm hoạt động trong PPDH Toán
Quan điểm hoạt động trong phơng pháp dạy học có thể đợc thể
hiện ở các T tởng chủ đạo sau đây (Nguyễn Bá Kim 2002, trang 122):
- Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt

Nội dung của T tởng này là:
Cho học sinh thực hiện và tập luyện những hoạt động và hoạt động
thành phần tơng thích với nội dung và mục đích dạy học.
1.3.1.1. Phát hiện những hoạt động tơng thích với nội dung:
Một hoạt động là tơng thích với một nội dung nếu nó góp phần
đem lại kết quả giúp chủ thể chiếm lĩnh hoặc vận dụng nội dung đó. Từ
"kết quả" ở đây đợc hiểu là sự biến đổi, phát triển bên trong chủ thể,
phân biệt với kết quả tạo ra ở môi trờng bên ngoài. Việc phát hiện những
hoạt động tơng thích với nội dung căn cứ một phần quan trọng vào sự
hiểu biết về những hoạt động nhằm lĩnh hội những nội dung khác nhau
(nh khái niệm, định lý hay phơng pháp), về những con đờng khác nhau
để lĩnh hội từng dạng nội dung, chẳng hạn con đờng quy nạp hay suy
diễn để xây dựng khái niệm, con đờng thuần tuý suy diễn hay có pha suy
đoán để học tập định lý.
12
Trong việc phát hiện những hoạt động tơng thích với nội dung, ta
cần phải chú ý xem xét những dạng hoạt động khác nhau trên những
bình diện khác nhau. Đặc biệt chú ý đến những dạng hoạt động sau:
+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện;
+ Những hoạt động ngôn ngữ;
+ Những hoạt động trí tuệ chung;
+ Những hoạt động trí tuệ phổ biến;
+ Những hoạt động toán học phức hợp.
Sau đây ta sẽ đi vào các hoạt động cụ thể đó:
(*) Hoạt động nhận dạng và thể hiện:
Nhận dạng và thể hiện là hai dạng hoạt động theo chiều hớng trái
ngợc nhau liên hệ với một định nghĩa, một định lý hay một phơng pháp.
Ví dụ 1:
Sau khi học xong khái niệm bất phơng trình tơng đơng có thể cho
học sinh thực hiện hoạt động sau:




xx
x
(1);
3

x
(2)
Giải thích HĐ 2:
4
1

x
xác định nếu
4

x
. Vậy bất phơng trình
3

x
sẽ tơng đ-
ơng với bất phơng trình
4
1
3
4
1

ab
ba

+
2
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b".
14
Ta yêu cầu học sinh phát biểu bằng lời lẽ của mình về nội dung bất
đẳng thức đó.
Mong đợi học sinh phát biểu:
"Trung bình cộng của hai số không âm không nhỏ hơn trung bình
nhân của chúng. Trung bình cộng của hai số không âm bằng trung bình
nhân của chúng khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau".
(*) Những hoạt động trí tuệ chung:
Những hoạt động trí tuệ chung nh phân tích, tổng hợp, so sánh xét
tơng tự, trừu tợng hoá, khái quát hoá, cũng đợc tiến hành thờng xuyên
khi học sinh học tập môn Toán.
Ví dụ 4:
Sau khi học xong Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình
nhân đối với hai số không âm, chúng ta yêu cầu học sinh phát biểu kết
quả tơng tự cho ba số không âm.
Mong đợi câu trả lời:
"Với
0 c 0, b 0, a

ta có:

.
3
3

= a
2
= = a
n
".

15
Ví dụ 5:
Sau khi hớng dẫn học sinh giải những phơng trình, bất phơng trình
cụ thể, chẳng hạn:
22243
2
++
xx
;12
+=
x
13
2

xx
;2
<
x
xx 4
2

;3
>
x

+
x
(2)
Với các điều kiện (1) và (2), phơng trình đã cho tơng đơng với ph-
ơng trình
22
)12(22243
+=++
xxx
(3)
16
Hiển nhiên (3) kéo theo (1). Do đó, nghiệm của phơng trình đã cho
là nghiệm của phơng trình (3) thoả mãn bất phơng trình (2). Nói một
cách khác, phơng trình đã cho tơng đơng với hệ gồm bất phơng trình (2)
và phơng trình (3).
(*) Những hoạt động trí tuệ phổ biến:
Những hoạt động trí tuệ phổ biến trong Toán học rất quan trọng
trong môn Toán, nhng cũng diễn ra ở cả những môn học khác nữa, đó là:
lật ngợc vấn đề, xét tính giải đợc (có nghiệm, có nghiệm duy nhất, nhiều
nghiệm), phân chia trờng hợp,
Ví dụ 7 (Hoạt động phân chia trờng hợp):
Khi dạy học giải và biện luận phơng trình ax + b = 0, chúng ta ra
cho học sinh bài toán sau:
"Giải và biện luận phơng trình theo tham số m:
m
2
x + 2 = x + 2m".
Yêu cầu học sinh biến đổi tơng đơng để đa về dạng phơng trình
bậc nhất:
(m

0 b 0, a
>>
thì :
1
a
+
1
b



4
.
a b
+
Giáo viên nêu câu hỏi:
Với a > 0, b > 0 Bất đẳng thức đã cho tơng đơng với bất đẳng thức
nào.
Mong đợi câu trả lời:
baab
ba
+

+

4
Và tơng đơng với Bất đẳng thức nào đơn giản hơn nữa?
Mong đợi câu trả lời:

(a + b)

y
0 x
x

+

)(xf
Cùng dấu với a
(a
)(xf
> 0 với mọi
Rx

)
x

+

x

+

)(xf
+
)(xf
-
2.
0
=
(tam thức bậc hai có nghiệm kép

xx
)
x

x
0
+

x

x
0
+

)(xf
+ 0 +
)(xf
- 0 -
3.
0>
(tam thức bậc hai có hai nghiệm x
1
< x
2
)
a > 0 a < 0 Kết luận
Error: Reference
source not found
Error: Reference
source not found

)(xf
- o + o -
Rồi sau đó yêu cầu học sinh trả lời những câu hỏi kiểu nh:
Nếu
0
<
, hãy so sánh dấu của hệ số a và dấu của
)(xf
?
Ví dụ 10: Cho Bài toán sau:
Với các giá trị nào của m, bất phơng trình:
(m
2

+ 1)x + m(x + 3) + 1 > 0 nghiệm đúng với mọi
2] [-1, x

?
Bài toán có thể giải nh sau:
Ta viết bất phơng trình đã cho dới dạng:
(m
2
+ m +1)x +3m +1 > 0
Đặt: f(x) = (m
2
+ m + 1)x +3m +1
Ta thấy, với mỗi giá trị của m, đồ thị của hàm số
f(x)y
=
là đờng

và chỉ khi hai điểm A
m
và B
m

nằm phía trên trục hoành, nghĩa là:



>
>
0)2(
0)1(
f
f
Thay: f(-1) = -m
2
+ 2m
f(2) = 2m
2
+ 5m + 3
Ta đợc hệ bất phơng trình:
.
0352
02
2
2





,

x
;
Phơng pháp tơng đối hợp lý là dẫn dắt học sinh nắm đợc cách giải
dạng Toán này bằng cách dẫn ra các câu hỏi kiểm tra kiến thức cơ bản đã
đợc học (khái niệm tập hợp, tập con, về thuật toán giải bất phơng trình
bậc hai, ); cách biểu diễn tập nghiệm trên trục số, nhờ đó xác định
chính xác quan hệ thứ tự giữa các nghiệm của tam thức với các đầu mút
của miền.
Ví dụ 12: Cho Bài toán sau:
Tìm m sao cho f(x) = x
2
- 4x + 3m

0
2

x
21
x
2
-1
Khi dạy giải dạng toán này, thay vì áp đặt các hệ điều kiện tơng đ-
ơng, chúng ta có thể dẫn dắt bằng các câu hỏi nh sau:
H
1
: Hãy sử dụng khái niệm tập nghiệm của bất phơng trình để cho
biết, tập tất cả các giá trị x sao cho

[2, +

) là tập con của tập nghiệm.
H
3
: Tập nghiệm của bất phơng trình
)(xf

0 còn phụ thuộc vào
yếu tố nào nữa, hãy chỉ ra tập nghiệm của bất phơng trình tơng ứng với
các trờng hợp?.
Mong đợi câu trả lời:
Trờng hợp



0;

> 0.
H
4
: Có nhận xét gì về trờng hợp
?0

Mong đợi câu trả lời:


0, a > 0.



1- m
<
thì f(x) có 2 nghiệm phân biệt
1
x
<
.
2
x
Theo định lý thuận về dấu tam thức bậc hai thì f(x)

0
),[],(
21
+
xxx
Từ đây, giáo viên lí giải cho học sinh:
Ta thấy, theo giả thiết, hễ x

2 là f(x)

0, hay hễ x

[2, +

) là
).,[],(
21
+ xxx
Căn cứ vào định nghĩa tập hợp con rút ra [2, +


. x
1
x
2
2
Ví dụ 13: Tìm m sao cho
f(x) = 2x
2
+ mx + 3 0

x
[-1, 1]
Giáo viên có thể dẫn dắt bằng các câu hỏi tơng tự ví dụ trên sau đó
minh hoạ trên trục số biểu diễn [-1, 1] cùng với [x
1
, x
2
] (khi
)0>
trên
trục số để rút ra vị trí tơng đối giữa các số -1, 1, x
1
, x
2
.
- Khi dạy chủ đề hệ bất phơng trình bậc nhất hai ẩn số, để tìm cực
trị của biểu thức
by ax y) L(x, +=
với hệ điều kiện ràng buộc kèm theo,

<
+
+
x
x
H
1
: Em có so sánh gì về dấu của
53
12
+
+
x
x

Và với dấu của
5) 1)(-3x(2x f(x)
++=
Mong đợi câu trả lời:
Hai biểu thức cùng dấu với mọi x
3
5

.
H
2
: Biểu thức f(x) có dạng nh thế nào?
Mong đợi câu trả lời:
f(x) là một tam thức bậc hai có hệ số a = -6 < 0, có hai nghiệm
phân biệt

0)(
<
xf


),
3
5
()
2
1
,(
+
x
Ví dụ 15:
Khi dạy quy tắc nâng lên luỹ thừa bậc hai:
Cho bất phơng trình f(x) < g(x) có tập xác định
D
Nếu f(x), g(x) không âm với mọi x thuộc
D
thì:
f(x) < g(x)

[f(x)]
2
< [g(x)]
2
Giáo viên có thể đa ra Bài toán sau:
Giải bất phơng trình:
.1 xx

. Tuy không nói
rõ rằng hai bất phơng trình tơng đơng với nhau trên tập nào, nhng dứt
khoát phải hiểu rằng sự tơng đơng đó là xét ở trên D. Vì sao? Đối với
[f(x)]
2
và [g(x)]
2
thì tuần tự thực hiện phép tính là: thay x vào f (hoặc g);
25