Phòng giáo dục huyện đông triều
kinh nghiệm

Dự đoán nhanh kết quả
Bài toán tìm x, y của đa thức hai biến bậc hai
f(x,y) = ax
2
+ bxy + cy
2
+dx + ey + g (1)
đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tìm giá trị đó
Ngời viết : Hoàng Quang Phong
Đơn vị công tác : Trờng THCS Tân Việt
Năm học : 2004-2005
Phần I:
Cơ sở lý luận và thực tiễn
1*/ Cơ sở lý luận :
Thực tế cho thấy Toán học là nền tảng cho mọi ngành khoa học, là chiếc chìa
khoá vạn năng để khai phá và thúc đẩy sự phát triển cho mọi ngành khoa học, kinh
tế, Quân sự trong cuộc sống. Chính vì vậy việc dạy và học bộ môn toán trong nhà
trờng đóng vai trò vô cùng quan trọng dạy toán chiếm vị trí số một trong các môn
học của nhà trờng, đối với giáo viên dạy toán là niềm tự hào song đó cũng là thử
thách vô cùng lớn.Để dạy toán và học toán tốt thì Thày và Trò không ngừng rèn
luyện và đầu t trí và lực vào nghiên cứu học hỏi.Học và dạy toán với chơng trình cơ
bản đã rất khó, xong dạy và học toán trong đào tạo mũi nhọn lại vô cung gian truân,
việc học và dạy không dừng ở việc ngời học và ngời dạy phải có trí tuệ nhất định
mà cả thày và trò phải dày công đầu t vào nghiên cứu các dạng toán, thuật toán vận
dụng hợp lý các tính chất toán học do các nhà toán học đã nghiên cứu vào giải toán,
ngoài ra ngời dạy và học toán phải tự rèn luyện và nghiên cứu để có những công
trình toán của riêng mình cùng góp sức để đa bộ môn toán ngày càng phát triển.
Thực hiện nhiệm vụ năm học cũng nh đợc sự phân công của Ban giám hiệu

toán này. Từ thực tế này tôi xin đợc trao đổi kinh nghiệm này cùng các đồng nghiệp
mong rằng bài toán này đợc mở rộng và phát triển sâu rộng hơn.
2*/ Cơ sở thực tiễn :
A-Tình hình chung :
a) Tình hình học sinh :
Đối tợng là học sinh giỏi nên kiến thức cơ bản các em nắm tơng đối vững có trí
tuệ nhất định. Xong không phải bất cứ bài toán nào hay dạng toán nào các em cũng
làm đợc, đối với
Bài toán tìm x, y của đa thức hai biến bậc hai
f(x,y) = ax
2
+bxy + cy
2
+dx + ey + g (1)
Đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, tìm giá trị đó
Các em đều cho rằng bài toán có lời giải nhng vì đầu t vào sẽ mất nhiều thời
gian, vì với các phơng pháp đợc học để phân tích đa thức dạng (1) thật không dễ
chút nào nên các em thờng bỏ qua bài toán này để tập trung thời gian giải bài toán
khác và rất nhiều em không có hứng thú khi gặp bài toán này.
b) Tình hình giáo viên
Thời lợng thực dạy trên lớp 20 tiết/1 tuần và chuẩn bị giáo án đồ dùng để
phục vụ tiết dạy đẫ nấp kín thời gian trên lớp và ở nhà, mặt khác trong nền kinh tế
thị trờng với đồng lơng bèo bạc không đáp ứng đợc cuộc sống đạm bạc của các
nhà s phạm. Nên không thể tự mình để mình đói đợc vậy phải đầu t vào kiếm sống
và sinh nhai cho bản thân cùng gia đình. Trong khi đó kiến thức đã khó lại rộng lớn
và bao trùm. Do đó để thời gian vào nghiên cứu, tìm tòi để có kiến thức vững và sâu
thì rất khó, có lẽ mọi ngời cùng một suy nghĩ rằng - cố gắng hoàn thành nhiệm vụ
là đợc còn nghiên cứu tìm tòi đã có các nhà khoa học.
Nguyên nhân góp phần không nhỏ nữa cho rằng việc nghiên cứu tìm lời giải
cho các bài toán lă những ngời phải có trí tuệ, phài là bậc vĩ nhân. Suy nghĩ này chỉ

trong dạy và học đạt đợc kết quả cao trong các kỳ thi học sinh giỏi khối THCS, học
sinh có kỹ năng vận dụng và hứng thú để làm loại toán này.
b) Nhiệm vụ :
Vì lý do s phạm vì khuôn khổ chơng trình học của học sinh kinh nghiệm này
chủ yếu phục vụ giáo viên trong quá trình soạn bài. Thông qua dự đoán giá trị cực
trị và tìm x
o
, y
o
của Đa thức f(x,y), tạo điều kiện cho giáo viên có thời gian đầu t vào
việc hớng dẫn học sinh phân tích Đa thức f(x,y) thành tổng các bình phơng bằng
nhiều cách, khoa học và phù hợp với đối tợng học sinh. Khẳng định vai trò chủ đạo
của ngời thày trong đổi mới phơng pháp dạy và học. Giáo viên dễ dàng vận dụng
các phơng pháp dạy học đổi mới, tạo hứng thú cho học sinh học toán, phát huy ph-
ơng pháp phân tích đi lên (xuống) và phơng pháp tổng hợp trong học và dạy toán.
c) Phơng pháp :
Để viết đợc kinh nghiệm này bản thân tôi đã sử dụng những phơng pháp sau :
*- Nghiên cứu tài liệu :
SGK - Sách tham khảo ; tạp trí toán học.
*- Sử dụng phơng pháp phân tích đi lên (xuống), tổng hợp
của dạy học.
*- Vận dụng thực hành trong giảng dạy.
*- So sánh, tổng kết
*- Kết hợp với hội đồng s phạm nhà trờng cùng nghiên cứu vận dụng kiến thức
hợp lý không quá sức học sinh trong khuôn khổ chơng trình học.
Phần II
Nội dung thực hiện
A* - Kiến thức cơ sở
Sau khi đợc phân công bồi dỡng học sinh giỏi toán tôi bắt tay vào việc phân
loại học sinh, ra đề khảo sát với một số dạng toán cơ bản có kiến thức tổng hợp, rèn

y
o
sao cho
với mọi cặp giá trị x, y ta đều có :
f(x,y) f(x
o,
y
o
) = M khi đó ta ký hiệu M = maxf(x,y).
+/ Số m đợc gọi là giá trị nhỏ nhất của Đa thức f(x,y) nếu có cặp giá trị x
o,
y
o
sao
cho mọi cặp giá trị x, y ta đều có :
f(x,y) f(x
o,
y
o
) = m khi đó ta ký hiệu m = minf(x,y).
3/ Các mệnh đề :
a*/ Mệnh đề 1 :
Nếu f(x,y) là đa thức dạng (1) thì với mọi cặp giá trị x
o
, y
o
ta đều có:
f(x,y) - f(x
o
, y

2
- 4ac. Khi > 0 ta có hệ phơng trình :



=++
=++
(2) 0 e2cybx
0 dby2ax
oo
oo
Hệ trên có nghiệm duy nhất :
Và f(x,y) - f(x
o
, y
o
) = a(x-x
o
)
2
+ b(x-x
o
)(y-y
o
) + c(y-y
o
)
2
Xét trờng hợp :
*/ Nếu a 0 thì vì > 0 nên phơng trình :

)].
+ Nếu A là số bất kỳ cho trớc thì khi chọn :

và ta có ngay f(x,y) - f(x
o
, y
o
) = A.
*/ Nếu a = 0 thì vì = b
2
- 4ac = b
2
>0 nên b 0
f(x,y) - f(x
o
, y
o
) = (y-y
o
)[b(x-x
o
)+c(y-y
o
)].
+ Nếu A là số bất kỳ cho trớc thì khi chọn :
Ta có ngay f(x,y) - f(x
o
, y
o
) = A.

+=


=


=
22
00
00
3
22
cdbdeae
gyy
bdae
y
becd
x
)(
yy ;
)(
x x
oo
2121
21
1
tta
Aa
tta
tAat

o


+
22
4
2
oo
yy
a
yy
a
b
a
với mọi cặp giá trị x, y ; dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = x
o
và y = y
o
do đó
minf(x,y) = f(x
o
,y
o
).
+/ Nếu a, c cùng âm thì :
f(x,y) - f(x
o
, y
o
) =

> 0 nên a, c cùng dấu và
-) Nếu 2ae = bd thì f(x,y) là tam thức bậc hai của một biến
Trong đó x
1
là giá trị tuỳ ý
Chú ý Rằng vì 4ac = b
2
> 0 với điều kiện 2ae=db tơng đơng với điều kiện 2cd = be
và ta có
-) Nếu 2ac bd (tơng đơng 2cd be ) thì f(x,y) là tổng của một tam thức bậc hai
của một biến
và một đơn thức bậc nhất của biến y nên không có maxf(x,y) và không có Minf(x,y)
0 )()]()x-(x [-
o





22
4
2
oo
yy
a
yy
a
b
a
= > =

1
1
<=
+
=
>=
+
=
+=
a
d
g
b
dax
f
a
d
g
b
dax
fi
y
4
2
4
2
2
1
2
1

đồng thời bằng không).
+) Nếu a = 0 c thì
f(x,y) = cy
2
+ dx + ey + g =

Trong đó x
1
là giá trị tuỳ ý.
Chú ý : Khi cd 0 thì f(x,y) không có maxf(x,y) và không có minf(x,y)
-) Nếu c = 0 a thì
f(x,y) = cy
2
+dx + ey + g =
Trong đó y
1
là giá trị tuỳ ý
Chú ý : Khi a 0 thì f(x,y) không có maxf(x,y) và không có minf(x,y).
Nh vậy ta đã chứng minh đợc mệnh đề 4.
B*/ Quy trình thực hiện
Trên đây bao gồm 2 định nghĩa và 4 mệnh đề đã đợc chứng minh của tác giả
Trần Văn Vuông - Hà Nội. Trong quá trình thực tế giảng dạy tôi đã vận dụng kiến
thức này theo các bớc sau :
B ớc 1: Xác định chính xác các hệ số: a, b, c, d, e, g và tính =b
2
-4ac
B ớc 2 : Xét các trờng hợp của
a) Khi > 0 thì Đa thức f(x,y) dạng (1) không có maxf(x,y) và không có minf(x,y).
b) Khi < 0 :
c) Khi = 0:

c
e
g
c
e
finn
ey
a
d
g
a
d
xa +++
42
2
2
)(
0e và 0a khi )y ;
2a
d
f(- y)maxf(x,
, 0e và 0a khi )y ;
2a
d
f(- y)minf(x, cóta ê
1
1
=<==
=>==
a


=


=

+
+=<+
bdae
y
becd
xvà
cdbdeae
gy
22
00
22
;
),maxf(x : o c ,a Nếu
b
da
a
d
gyNếu
o
o
+
=
=>=
x

o
)
2
+p(y+y
o
)
2
+q(x+y )
2
] + m m
hoặc minf(x,y)=[n(x+x
o
)
2
+p(y+y
o
)
2
+q(x+y )
2
] + M M
B ớc 4 : Hớng dẫn học sinh biểu diễn đa thức f(x,y) theo minf(x,y) hoặc maxf(x,y)
đã chuẩn bị ở bớc 3 theo nhiều phơng án khác nhau bằng hệ thống câu hỏi phân tích
đi lên (xuống).
C*/ Các ví dụ minh hoạ :
a) Ví dụ 1 :
Tìm x, y để f(x,y)= 2x
2
- 3xy + y
2

2
4
2
e
y ; ý tuỳ x và
),minf(x : 0c và be 2cd , 0 ba
o
=
=>===
c
c
e
gyNếu
o
2
4
2
e
y ; ý tuỳ x và
),maxf(x : 0c và be 2cd , 0 ba
o
=
=<===
a
a
d
gycNếu
o
2
4


B ớc 3 : Từ kết quả minf(x,y)= - 13 ; x = 1 và y = -1
Ta có ngay mối quan hệ x = -y, nhận xét f(x,y) và đi đến: Phân tích đa thức
f(x,y) = x
2
- 2xy + 3y
2
- 4x +8y - 7
=[(2x
2
- 4x + 2 ) + (4y
2
+ 8y +4) - (x
2
+2xy+y
2
)] -13
=[ 2(x-1)
2
+ 4(y+1)
2
- (x+y)
2
] - 13 -13
Vậy minf(x,y) = -13
B ớc 4 : Hớng dẫn học sinh phân tích Đa thức f(x,y) :
Tìm cách phân tích Đa thức f(x,y) = [n(x-1)
2
+ ]+ A đợc không?
Hoặc tìm cách phân tích Đa thức f(x,y) = [p(y+1)

= - [- (2x
2
- 4x + 2) (3y
2
- 6y +3) + (6x
2
-12xy+6y
2
)] + 9
= - [- 2(x-1)
2
+ 3(y-1)
2
+6 (x-y)
2
] +9 9
Vậy maxf(x,y) = 9.
13
8
4384281
7
2222
=

+
+=

+
+=
)(**)(*)(*

y
becd
x
918
44
4
8
4
22
=


==
)(
)(*
)(
),(max
a
d
gyxf
3
12
12
4422 +
=
+
=
+
=
ooo

B ớc 4 : Hớng dẫn học sinh phân tích Đa thức f(x,y) :
Tìm cách phân tích đa thức f(x,y) = -[n(x-1)
2
+ ] + A đợc không ?
Hoặc tìm cách phân tích đa thức f(x,y)= -[p(y+1)
2
+ ]+A đợc không?
Hoặc tìm cách phân tích đa thức f(x,y)=-[q(x+y)
2
+ ]+A đợc không?
Hoặc maxf(x,y) = 9 thì phân tích Đa thức f(x,y) nh thế nào ?
D*/ Kết quả :
Trên đây là một số ví dụ minh hoạ cho việc vận dụng các mệnh đề vào tìm
cực trị của đa thức f(x,y), ngoài ra ta có thể sử dụng các mệnh đề trên vào giải ph-
ơng trình ax
2
+bxy + cy
2
+dx + ey + g = 0 và chứng minh đa thức hai biến bậc hai
f(x,y) = ax
2
+bxy + cy
2
+dx + ey + g (1) đạt giá trị cực trị A nào đó.
Qua quá trình vận dụng các mệnh đề trên tôi thấy thời gian dành để soạn giáo án,
chuẩn bị bài rất ngắn, tiết kiệm đợc nhiều thời gian, trong giờ dạy giáo viên thực sự
đóng vai trò chủ đạo. Các câu hỏi đặt ra không mang tính chất chung chung nữa mà
có hệ thống xúc tích, tờng minh nhờ phơng pháp phân tích đi lên (xuống). Học sinh
khai thác bài toán đa dạng theo nhiều góc độ, kết quả chính xác học sinh có hứng
thú học toán và học sinh hình thành đợc cách suy nghĩ - cách giải bài toán hợp lý,