Số phức

287

SỐ PHỨC
I. TRƯỜNG SỐ PHỨC VÀ SỐ PHỨC
1. Trường số phức
Trường số phức
(
)
{
}
, ,a b a b= ∈
 
là tập hợp
2
× =
  
mà trên đó xác lập
các quan hệ bằng nhau và các phép toán tương ứng sau đây:
i
) Phép cộng: (
a
,
b
)
+
(
c
,
d

bd
,
ad

+

bc
)
iii) Quan hệ bằng nhau: (
a
,
b
)
=
(
c
,
d
)
⇔

a

=

c
và
b

=

=
(
a
,
b
)
=
(
a
, 0)
+
(
b
, 0). (0, 1)
=

a

+

b
i; i
2

=
(0, 1). (0, 1)
=
(
−
1, 0)

.

Kí hiệu: Re(
z
)
=

a
; Im(
z
)
=

b
.


Tính chất:

Nếu
i
z a b
= +
;
z
1

=

a

a
2
,
b
2
∈
R+
)
z
1

=

z
2

⇔

a
1

=

a
2
và
b


+

z
2
)
=
Re(
z
1
)
+
Re(
z
2
) ; Im(
z
1

+

z
2
)
=
Im(
z
1
)
+

R
.
4. Các phép toán về số phức
Cho
z
1

=

a
1

+

b
1
i ;
z
2

=

a
2

+

b
2
i , với


b
1
i)
+
(
a
2

+

b
2
i)
=
(
a
1

+

a
2
)
+
(
b
1

+


b
2
i)
=
(
a
1

−

a
2
)
+
(
b
1

−

b
2
)i


z
1
.
z

1
b
2
)
+
(
a
1
b
2

+

a
2
b
1
)i


(
)
(
)
( )( )
1 1 2 2
1 1 2 1 2 2 1 1 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2


Cho
i
z a b
= +
, với
a
,
b
∈
R
, khi đó
i
z a b
= −
gọi là số phức liên hợp với
z
.



Tính chất:

+
)
,z z z
= ∀ ∈

;
z z z

+
)
1 2
,z z
∀ ∈

:
1 2 1 2
z z z z
+ = +
;
1 2 1 2
z z z z
⋅ = ⋅
;
1 1
2
2
z z
z
z
 
=
 
 
,
∀
z
2


;
0 0
z z
= ⇔ =+
)
1 2
,z z
∀ ∈

:
1 2 1 2
z z z z
⋅ = ⋅
;
1
1
2
2
z
z
z
z
=
,
∀
z
2


với
2

.
Khi đó tất cả các số phức
z

=

a

+

bi
được tương
ứng với điểm
z

=
(
a
,
b
) trên mặt phẳng tọa độ
Đềcác Oxy.

Với
z


z
. Nếu
ϕ
là một
Argument
của
z
, thì tập hợp tất cả các
Arguments
của
z
là Argz
=

{ϕ

+
k2
π
,
k

∈


}
. Nếu
ϕ
là một
Argument


r
sin
ϕ
, nên dạng lượng giác của
z
là
z

=

r
(cos
ϕ

+
i sin
ϕ
)
z

O
y
x
b

a

ϕ



+
i sin
ϕ
1
) ;
z
2

=

r
2
(cos
ϕ
2

+
i sin
ϕ
2
)
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2
z z r r cos i sin
 
= ϕ + ϕ + ϕ +ϕ

   
π π
= + + + = −
   
 
   
 



Hệ quả (Công thức Moivre
):

( )
cos sin cos sin
n
i n i n
ϕ + ϕ = ϕ + ϕ
,
n
∀ ∈


8. Hàm số mũ phức

Định nghĩa:
∀
z

=

∀
z
∈
C
;
1 2 1 2 1 2 1 2
e e e ; e / e e
z z z z z z z z
+ −
= =
,
∀
z
1
,
z
2
∈
C

9. Hàm lượng giác phức

Từ định nghĩa hàm số mũ phức suy ra:
Công thức Euler:
i i
e cos i sin ; e cos isin
x x
x x x x
−
= + = −

( )
i i
1
cos e e
2
z z
z
−
= +
;
( )
i i
1
sin e e
2i
z z
z
−
= −i i
i i
sin e e
1
tan
cos i
e e
z z
z z

ch e e
2
z z
z
−
= +
;
( )
1
sh e e
2
z z
z
−
= −sh e e
th
ch
e e
z z
z z
z
z
z
−
−
−
= =

cos sin
z r i
= ϕ + ϕ
, với
0
r
>
.
Bài mẫu.
Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác
( )
( )
1 3
1
1 3 1 sin cos
1 2 2
i
i i z i
i i
−
− + = ϕ + ϕ
+ +
1. 2. 3. 4.

( )( )
1 cos sin
1 cos sin 1 cos sin
1 cos sin
i
i i

 
suy ra:
Sử dụng
z
1
.
z
2

=
(
a
1

+

b
1
i). (
a
2

+

b
2
i)
=
(
a

)
1 3 1 2 2 cos sin
12 12
i i i
 π π 
− + = − + −
 
 

2.
Sử dụng
(
)
(
)
( )( )
1 1 2 2
1 1 2 1 2 2 1 1 2
2 2 2 2
2
2 2 2 2
2 2 2 2
i i
i
i i
a b a b
z a a b b a b a b
z
a b a b
a b a b


3.
Ta có
1
1
2 2 4
i
i
−
=
+
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
cos sin cos sin
4 4 4 4 4 4
i i
 π π   π π 
= − = − + −
   
   

4.
Biến đổi

i
ϕ ϕ ϕ
 
−
 
 
ϕ ϕ ϕ
 
+
 
 
tg
2
i
ϕ
 
= −
 
 

−
Nếu
tg 0
2
ϕ
>
, thì dạng lượng giác là
(
)
(

ϕ
=
, thì số phức z không có dạng lượng giác xác định.

Số phức

291

6.
Xét số phức
(
)
(
)
1 cos sin 1 cos sin
z i i
= − ϕ − ϕ + ϕ + ϕ

4sin cos sin cos cos sin
2 2 2 2 2 2
z i i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
  
= − +
  
  

( )
2 2
2sin sin cos sin cos cos sin 2sin sin cos

ϕ <
thì dạng lượng giác là
(
)
(
)
2sin cos .sin
2 2
z i
 π π 
= − ϕ ϕ + + ϕ +
 
 

−
Nếu
sin 0
ϕ =
, thì do
0
z
=
, nên không có dạng lượng giác xác định.
2. Dạng 2. Các bài tập về argument của số phức
Bài mẫu.
Tìm một argument của mỗi số phức sau:
1.
5 5 3
z i
= − +

5; 5 3
−

Gọi

MOx
= ϕ
là một argument của
z
thì
5 3
tg 3
5
M
M
y
x
ϕ = = = −
−

⇒

2
3
π
ϕ =

2.
Xét số phức
(

           
   
           
   

Do
0
2
π
< ϕ <
nên
2sin 0
4 2
ϕ
 
π
− >
 
 

⇒

(
)
(
)
(
)
2sin cos sin
4 2 4 2 4 2


(
)
(
)
cos 2 cos 2sin cos sin
i
= ϕ + ϕ + ϕ ϕ + ϕ

3 3 3 3
2 cos cos 2 sin cos 2 cos cos sin
2 2 2 2 2 2 2
i i
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
 
= + = +
 
 
(1)
ChươngIII. Tổ hợp, Xác suất và Số phức
−
−−
−
Trần Phương

292

i
Nếu
cos 0

3 3
2cos cos sin
2 2 2
z i
 
ϕ ϕ ϕ
   
= − +π + +π
   
 
   
 
là dạng
lượng giác của số phức
z
. Vậy
3
2
ϕ
+ π
là một argument của số phức z.
i
Nếu
cos 0 0
2
z
ϕ
= ⇒ = ⇒
argument của số phức z không xác định.
3. Dạng 3. Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng tọa độ

− +
là số ảo tùy ý
e.

2 2
z i z z i
− = − +

f.

( )
2
2
4
z z
− =

Giải

Đặt
z x iy z x iy
= + ⇒ = −

a.

3 5 2 3 5 1; 4
z z x x x
+ + = ⇔ + = ⇔ = = −
(hai đường thẳng
1; 4

c.

( )
(
)
( ) ( )
(
)
( )
( )
( )
( )
2 2 1 2 1 2 1
z z i z x iy x i y x x y y i x y xy
′
 
= − + = − − + − = − + − + − − −
 

( )
( )
1
2 1 0 2 2 0 1
2
z x y xy x y y x
−
′
∈ ⇔ − − − = ⇔ − − = ⇔ = +



2
.
e.

2 2
z i z z i
− = − +

⇔

( ) ( ) ( )
2
2
2 1 2 1 1 1
x i y i y x y y
+ − = + ⇔ + − = +

( ) ( )
2 2
2
1 1 4
x y y y
⇔ = + − − =

⇒
Tập hợp điểm là đường parabol
2
4
x
y =

xy
=

⇒
Tập hợp điểm là hai đường hypebol
1
y
x
=
và
1
y
x
= −

Số phức

293

Bài 2.
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn các số phức z sao
cho
2
2
z
z
−
+
có một argument bằng
3

x yi
− +
−
=
+
+ +
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
4 4
2 2
x y y
i
x y x y
+ −
= +
− + − +
. Để
2
2
z
z
−
+
có một argument
3
π
ϕ =
thì

cos
3 2
2
4
3
sin
3 2
2
x y
r
r
x y
y
r r
x y

+ −
π
= =

− +

⇒

π

= =

− +


2
2 4
3 3
x y
   
⇒ + − =
   
   

(2)
Từ (1) và (2) suy ra tập hợp các điểm M là phần đường tròn tâm I
2
0;
3
 
 
 
bán
kính
4
3
R =
nằm phía trên trục thực (trục O
x
).
Bài 3
Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z
thỏa mãn
z
k

−
+ −
+ −
(1)
Nếu
1
k
=
thì (1)
⇔

1
2
y
=
và tập hợp điểm là đường thẳng
1
2
y
=

Nếu
1
k
≠
thì (1)
⇔

2 2
2 2

2
2
0;
1
k
k
 
 
−
 
và bán kính bằng
2
1
k
k
−

x
y
6 32 3

2 3
−

ChươngIII. Tổ hợp, Xác suất và Số phức
−
−−

3; 1
D =

Ta có
(
)
3; 3
CA =

biểu diễn số phức
3 3
i
+
,

(
)
1; 3
CB =

biểu diễn số phức
1 3
i
+
,
⇒
Số đo góc
(
)
,

2 3 3
6
12 12
2 3
i
z i
+
= + =

Vậy số đo góc
(
)
,
CA CB
 
cũng là một argument của số phức
3
i
+
.
Mặt khác
(
)
1; 2 3
DA = +

biểu diễn số phức
(
)
1 2 3

i
z
i
− + +
=
+ +

=
3
2
i
+

Vậy số đo góc
(
)
,
DA DB
 
cũng là một argument của số phức
3
i
+
.
Vì các argument của một số phức sai khác nhau
2 ,k k
π ∈

nên


π π
− +

3.
10
10
1
z
z
+
, nếu
1
1
z
z
+ =

Giải

1.

( )
( )
(
)
( )
(
)
( )
( )

 
π π
+
+
 
+
 
π π
= = = = +
π π
π π
 
+
+
+
 
 

Số phức

295

Vậy
( )
1
24 25
1 1
Re cos
3
2 2

π π π π π π
 
= + + = − + +
 
 

(
)
(
)
(
)
(
)
9 9 9
9 9 19 19
2 cos sin cos sin 2 cos sin 2 cos sin
6 6 3 3 6 6 6 6
i i i i
π π π π π π π π
= − + + = − + = +

Vậy
( )
9
2
8
3
Re 2 cos
6

z
+ =

Từ
(
)
(
)
2
1 3
cos sin
2 3 3
1
1 1 0
1 3
cos sin
2 3 3
i
z i
z z z
z
i
z i

+
π π
= = +

+ = ⇒ − + = ⇒


(
)
(
)
(
)
10
10
cos sin cos sin
3 3 3 3
i i
π π π π
 
= + + − + −
 
 

(
)
(
)
10 10 10 10
cos sin cos sin
3 3 3 3
i i
π π − π − π
= + + +

10
2 cos 1

=

Bài 2.
Cho
cos sin
z i
= ϕ + ϕ
. Giả sử
1
n
≥
là số nguyên dương.
Chứng minh rằng:
1 1
2 cos ; 2 sin
n n
n n
z n z i n
z z
+ = ϕ − = ϕ
.
Giải

( )
cos sin cos sin
n
n
z i n i n
= ϕ + ϕ = ϕ + ϕ
;

−

Giải1.
Giả sử
z x yi
= +
là căn bậc hai của số phức
11 4 3
w i
= − +

Khi đó
( )
(
)
2
2 2 2
11 4 3 2 11 4 3
z w x yi i x y xyi i
= ⇔ + = − + ⇔ − + = − +

2 2
2 2
2
2
2 3
11

=
= = − = −


 


− = −




Vậy số phức
11 4 3
w i
= − +
có hai căn bậc hai là
1 2
1 2 3 ; 1 2 3
z i z i
= + = − −

2.
Theo công thức Moivre ta có
( )
2
cos sin cos 2 sin 2
i i
ϕ + ϕ = ϕ + ϕ
.

i
−

có hai căn bậc hai là:
(
)
(
)
1
cos sin
8 8
z i
π π
= − + −
và
(
)
(
)
2
cos sin
8 8
z i
π π
= − − − −

Bài 2.
Giải các phương trình bậc hai
( ) ( )
2

1; 1
1
1
y
x y
x y
x
x y
xy
x

=
 = =

− =
 
⇔ ⇔
 

= − = −
=




=


Do đó
1

( )
2
2
1 1 1
1 0
2
z z
z
z
⇔ − + + + =

(
)
(
)
2
5
1 1
0
2
z z
z z
⇔ − − − + =

⇔

2 2
5
0 2 2 5 0
2

z i z i
u z
z
+ +
 
= − =

− + − = ∆ = +
 
⇔ ⇔ ⇔

 
− −
− − − = ∆ = −


= − =
 
 

Giả sử
( )
2
2
8 6
z x yi i
= + = +

⇔


− − =


Do đó
3
i
+
và
3
i
− −
là các căn bậc hai của 8+6
i

⇒

1 2
1 1
1 ;
2 2
z i z i
= + = − +

Tương tự
3 ; 3
i i
− − +
là các căn bậc hai của 8
−
6


( )
( )
4 2
4 2
1
1 1 0
1 0
z
z z z
z z
= −

⇔ + + + = ⇔

+ + =


4 2 2
1 3
1 0
2
i
z z z
− ±
+ + = ⇔ =

(
)
(

2 2
cos sin cos sin cos sin
3 3 3 3 3 3
z i z i z i
π π π π π π
= + ⇔ = + ∨ = − −

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2
4 5
2 2
cos sin cos sin cos sin
3 3 3 3 3 3
z i z i z i
π π π π π π
= − + − ⇔ = − + − ∨ = − − − −

Vậy (1)
⇔

+ = +



+ = −



Giải

Ta có:
( )
(
)
( ) ( )
2 2
2 2
1 2 1 2 1 2
1 1
4 5 2 5 1
2 2
z z z z z z i i i
   
= + − + = + − + = +
 
 

⇒

1 2

6
. Dạng 6. Các bài toán về môđun số phức
Bài 1.
Chứng minh rằng:
(
)
2 2 2
2
1 2 1 2
1 2
2z z z zz z+ + = +−
,
∀

z
1
,
z
2
∈


Giải
(
)
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2
2z z z z z z z z z z z z z z z z z z+ + − = + + + + − − + = +

Bài 2. a.

1 1 1z z z z z z− − − = − −
,
∀

z
1
,
z
2
∈


Giải
(
)
(
)
2 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2
1 1 1 1z z z z z z z z z z z z z z z z z z+ + − = + + + + − − + = + +

(
)
(
)
2 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2
1 1 1 1z z z z z z z z z z z z z z z z z z− − − = − − + − + + − = − −

=

(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
z z z z z z z z z z z z z z z z
+ + + − − − +(
)
(
)
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
i i i i 4
z z z z z z z z z z z z z z z z z z
+ + − + − − − + + =

Bài 4.
CMR:
( )
( )
2 2 2
1 2
1
Re Re
n
n k

∈


⇒

2 2 2 2
1 1
n n
k k
k k
a b x y
= =
− = −
∑ ∑
;
1
n
k k
k
ab x y
=
=
∑
.Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski
ta có:
2 2
1 1 1
n n n
k k k k
k k k

∑
thì
2
1
n
k
k
b y
=
≤
∑

⇒

2 2 2 2
1 1
n n
k k
k k
a b x y
= =
− > −
∑ ∑
. Điều
này mâu thuẫn với
2 2 2 2
1 1
n n
k k
k k

+ + + ≤
∑

Bài 5.
Cho
a
,
b
,
c
,
d
∈

với
ac

≠
0. Chứng minh rằng:

{
}
{ } { }
Max ; ;
5 1
2
Max ; Max ;
ac ad bc bd
a b c d
+

Nếu
|
x
|

≥
1,
|

y
|

≥
1 thì (2) đúng vì
|
xy
|

≥

k
.
|
x
|
.
|
y
|
(

}
Max 1; ; .
x y xy k y
+ ≥
(3)
Giả sử
{
}
Max 1; ;
x y xy k y
+ <

⇒

1
y
k
>
và
x y k y
+ <

Ta có:
( )
2
1
x x y y x y x y y k y k y k y
+ + ≥ ⇒ ≥ − + > − = − =

⇒

⇒
(2) đúng
⇒
(1) đúng
Bài 6.
Cho
z
1
,
z
2
, z
3
, z
4
∈

. Chứng minh:
1 2 3 4
1 4
i j
i j
z z z z z z
≤ ≤ ≤
+ + + ≤ +
∑

Giải
ChươngIII. Tổ hợp, Xác suất và Số phức
−


Ta có:
1 2 3 1 2 3 1 2 1 3
2 2
z z z z z z z z z z
− + ≤ + + ≤ + + +

Từ đó suy ra:
1 1 2 1 3 2 3
1
2
z z z z z z z
 
≤ + + + + +
 

Tương tự ta có:
2 2 3 2 4 3 4
1
2
z z z z z z z
 
≤ + + + + +
 

3 3 4 3 1 4 1
1
2
z z z z z z z
 

2
,
z
3
,
z
4
) là một hoán vị của (
a
,
a
,
−
a
,
−
a
) với
a
∈


Bài 7.
Cho
, , 0a b c
a b c abc
≥


+ + =

     
     
∑

Bài 8.
Cho đa thức
( )
2
2
1
4
4 4
n
n
z z z
f z = + + + +
. Chứng minh rằng:

∀
z
1

≠

z
2
∈

thỏa mãn
|

z
n
là các nghiệm phức của đa thức

P
(
z
) =
[
]
1
1 1

n n
n n
z a z a z a z
−
−
+ + + + ∈


a.
Chứng minh rằng:
2 2 2
1 2 2
2
n
z z z a
+ + + ≥


−
−
+ + + ≤ + + +