ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


1
CHUYÊNĐỀ5.

Bảngcôngthứcnguyênhàmcơbản:
 dx x C=+
ò


1
(1)
1
x
xdx C
a
a
a
a
+
=+¹-
+
ò


ln ( 0)
dx
xCx
x
=+ ¹

ò


2
tan
cos
dx
xC
x
=+
ò


2
cot
sin
dx
xC
x
=- +
ò


2
dx
xC
x
=+
ò


u
u
=- +
ò


uu
edu e C=+
ò


ln
u
u
a
adu C
a
=+
ò

 cos sinudu u C=+
ò

 sin cosudu u C=- +
ò


2
tan
cos

ax b C
ax b a
=++
+
ò


1
ax b ax b
edx e C
a
++
=+
ò


cos( )
sin( )
ax b
ax b dx C
a
+
+=- +
ò

ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


2


ax b
=- + +
+
ò


2dx
ax b C
a
ax b
=++
+
ò

Cácphươngpháptínhtíchphânthườngdùng
Phươngphápđổibiếnsốloại1.
Giảsửcầntính
()
b
a
Ifxdx=
ò
tathựchiệncácbướcsau:
Bước1.Đặt
()xut=
(với
()ut
làhàmcóđạohàmliêntụctrên
;ab
éù

 Hàmsốdướidấutíchphânchứa
22 2
bx a-
tathườngđặt
sin
a
x
bt
= 
 Hàmsốdướidấutíchphânchứa
222
abx+
tathườngđặt tan
a
xt
b
= 
 Hàmsốdướidấutíchphânchứa
()xa bx-
tathườngđặt
2
sin
a
xt
b
= 
Phươngphápđổibiếnsốloại2.
Đểtínhtíchphân
()
b


3
Phươngpháptíchphântừngphần:Cho2hàmsố
u
và
v
liêntụctrên
;ab
éù
êú
ëû
vàcóđạohàm
liêntụctrên
;ab
éù
êú
ëû
.Khiđótacó:
b
bb
aa
a
udv uv vdu=-
òò

Tathườnggặpcácdạngsau:
Dạng1: ( )sinIPxxdx=
ò
hoặc ()cosIPxxdx=
ò

í
ï
=
ï
ï
î

Dạng3: ()ln( )IPxaxbdx=+
ò
,trongđó
()Px
làhàmđathức.
Vớidạngnàytathườngđặt
ln( )
()
uaxb
dv P x dx
ì
ï
=+
ï
í
ï
=
ï
î

Dạng4: sin .
x
Ixedx=

ï
î
,đểtính vdu
ò
tađặt
sin
cos
x
x
u
x
dv e dx
ì
éù
ï
ï
êú
ï
=
ï
êú
í
êú
ëû
ï
ï
ï
=
ï
î


Tacósơđồnhưsau:
+
-

ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


4

2
75xx-+

cos 2x



27x -

1
sin 2
2
x 


2

1
cos 2
4

Hướngdẫn:
Tacó
33 3 3
11 1 1
(1) (1)
11 1
xx x
xx x
dx e e d e
Idxdx
ee e
-
== = -
-
òò ò ò

Bàitập2.(B_2008).Tínhtíchphânsau
4
0
sin
4
sin 2 2(1 sin cos )
x
Idx
xxx
p
p
æö
÷
ç

sin 2 2(1 sin cos ) 2 1 sin 2 2(sin cos ) 1
2sincos

2
(sin cos )
x
xx
Idx dx
xxx xxx
xx
dx
xx
pp
p
p
æö
÷
ç
÷
-
ç
÷
ç
÷
ç
-
èø
==
++ + + + + +
-

33
cos 4 sin
dx x
Idx
xx
p
+
= = -
+
ò

Bàitập4.(D_2005).Tínhtíchphânsau
()
2
sin
0
cos cos
x
Ie xxdx
p
=+
ò

Hướngdẫn:
Tacó
()
2222
sin sin
0000
11

ln 2
1sin2 1sin2 2
xx
Idxdx
xx
pp
-
===
++
òò

Bàitập6.(A_2010).Tínhtíchphânsau
1
22
0
2
12
xx
x
xe xe
Idx
e
++
=
+
ò

Hướngdẫn:
Tacó
()

sin cos
xxx x
Idx
xx x
p
++
=
+
ò

Hướngdẫn:
Tacó:
()
444
000
sin cos
sin ( 1)cos 2
ln 1
sin cos sin cos 4 2 4
dx x x
xxx x
Idxdx
xx x xx x
ppp
pp
æö
æö
+
++ ÷
ç

xx
p
+
=
-
ò

Bàitập9.Tínhtíchphânsau
3
22
4
sin
cos 1 cos
x
Idx
xx
p
p
=
+
ò

Hướngdẫn:
Tacó
33
22 2 2
44
sin tan
53
cos 1 cos cos 2 tan

Hướngdẫn:
a) Tacó
()()
32
tan tan tan 1 tan tanIxxdxxxdxux=+ = + =
òò

b)
() ()
3
3
4434
55 5Ixxdx xxdxu x
éù
=- =- =-
êú
ëû
òò

Bàitập2.Tínhcáctíchphânsau:
a)
()
4
0
ln 1 tanIxdx
p
=+
ò
b)
1

tan 1 tanxtdx tdt==+ .Khiđótacó:
()
4
0
ln 1 tan ln 2
8
Jtdt
p
p
=+ =
ò

Bàitập3.Tínhcáctíchphânsau:
a.
1
2
0
1
dx
I
x
=
+
ò
b)
1
2
2
0
1

0
cos
sin cos
6
1sin
t
x t dx tdt I dt
t
p
p
== = =
-
ò

Bàitập4.Tínhtíchphânsau:
()
2
22
0
sin 2
0, 0,
cos sin
x
Idxabab
axbx
p
=>>¹
+
ò


66
44
22
00
tan tan
cos 2
1tan cos
xx
Idx dx
x
xx
pp
==
-
òò

Đặt
3
3
4
2
0
11
tan
1
t
txI dt
t
-+
==-

13lntx=+

Bàitập7.(B_2005)Tínhtíchphânsau:
2
0
sin 2 cos
1cos
xx
Idx
x
p
=
+
ò

Hướngdẫn:Đặt
costx=
tacó:
11
2
00
2 2 (1 ) 2(1 ) 2
11
tttt
Idt dt
tt
+- ++
=- =-
++
òò

55
2
33
(1)(2) 3
ln
(1)(2) 2
32
x
dt t t
te I dt
tt
tt

== = =

-+
òò

Bàitập9.(A_2004)Tínhtíchphânsau:
2
1
11
xdx
I
x
=
+-
ò

Hướngdẫn:Đặt

xx
-
=
+
ò

Hướngdẫn:Đặt
10 11
12ln 2
33
txI=+ = -
ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


9
Bàitập12.Tínhtíchphânsau:
3
22
0
221
x
Idx
xx
=
++ +
ò

Hướngdẫn:Tacó
()
33

t
=+= = =-
+
+
òò

Bàitập13.(D_2011)Tínhtíchphânsau:
4
1
41
211
x
Idx
x
-
=
++
ò

Hướngdẫn:Đặt
34 3
21 10ln
35
tx I=+=+ 
Bàitập14.(B_2002)Tínhtíchphânsau:
8
2
0
16Ixdx=-
ò

I
x
-
=
+
ò

Bàitập16.(A_2009)Tínhtíchphânsau:
()
2
32
0
cos 1 cosIxxdx
p
=-
ò

Hướngdẫn:Tacó
()
222
32 5 2
000
8
cos 1 cos cos cos
15 4
I x xdx xdx xdx
ppp
p
=- = - =-
òòò

0
sin
sin cos
x
Idx
xx
p
=
+
ò

d)
2
3
0
cosIxxdx
p
=
ò


ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


10
PHƯƠNGPHÁPSỬDỤNGTÍCHPHÂNTỪNGPHẦN
Bàitập1.(Dạngcơbản)Tínhcáctíchphânsau:
a)
1
2

2
5
1
ln
e
Ixdx=
ò
  f)
2
6
0
cos
x
Iexdx
p
=
ò

g)
()
7
1
cos ln
e
Ixdx
p
=
ò
 h)
()

2
11
0
sin ln 1 cosIx xdx
p
=+
ò
m)
2
2
12
0
cosIxxdx
p
=
ò

Hướngdẫn:
a) Đặt
()
2
2
1
2
1
1
1
4
2
x

sin
ln(1 cos )
1
1cos
cos
2
sin
x
ux
du dx
I
x
dv xdx
nx
p
ì
ï
ì
ï
ï
=+
=-
ï
ï
ï
=-
íí
+
ïï
=

ï
ï
=-
íí
ïï
=
ïï
=
î
ï
ï
î

d) Đặt
()
4
2
1
ln 1
27
24 ln 4
1
2
2
1
ux
du
I
x
dv xdx

vx=
nhưthông
thườngsẽgiúpchoviệctínhdễdànghơn.
i) Đặt
()
9
1
ln ln
3ln3 2ln2 1
ln
1
ln
ux
du
I
xx
dv dx
vx
x
ì
ì
ï
ï
=
ï
ï
=
ï
ï
ïï

I
dv xdx
dv xdx
p
ì
ì
ï
ï
=
=
ï
ï
ï
+=-
íí
ïï
=
=
ïï
î
ï
î

ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


11
Bàitập2.Tínhcáctíchphânsau:
a)
2

c)
()
1
2
0
ln 1Ixxdx=++
ò
d)
1
0
x
Ixedx=
ò

e)
2
2
11
ln
ln
e
e
Idx
x
x
æö
÷
ç
÷
=-

xx
pp
pp
=+=+
++
òò

Tính
22
1
2
2
33
1
1cos 2
cos
cos
2
2
ux
dx
xx
dv
Idxdx
x
x
x
pp
pp
ì

÷
ç
ç
èø
èø
ï
ï
î
òò

b) Đặt
()
()
()
()
2
2
3
2
1
1
1
1
4
1
21
x
x
ux e
du x e dx

î
ï
î

c) Đặt
()
()
2
2
ln 1
ln 1 2 2 1
1
dx
du
ux x
I
x
dv dx
vx
ì
ï
ì
ï
ï
=
=++
ï
ï
ïï
=+-+

=- = - =-
ç
÷
ç
÷
ç
èø
òòò

Tacó:
2
22
2
1 12
1
1
ln
ln
ln 2 2
e
e
dx
du
ee
u
Idx IeIIe
x
xx
x
dv dx

1
1
2
1
1
x
x
uxe
du x e dx
e
dx
I
dv
v
x
x
ì
ï
=
ì
ï
ï
=+
ï
ï
ï
ï
ïï
=-
íí

÷
ç
÷
=
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò
b)
()
()
1
3
0
21ln 1Ix xdx=- +
ò

c)
()
4
2
0
ln sin cos
cos
xx
Idx
x

x
=
-
ò
 f)
()
1
7
2
4
0
1
x
Idx
x
=
+
ò

Hướngdẫn:
a)
()
2
22
343
12
111
21
ln 2 2
ln ln ln

1
4ln
ln
11
ln 1 ln
1
22
1
2
e
e
x
du
ux
e
x
Ixxdx Ix xI
dv xdx
vx
ì
ï
ï
ì
=
ï
ï
=
+
ï
ï

3
2
2
33
ln 1
3
1
11
ln 2
2
21
1
xx
du dx dx
ux
x
xxx
I
dv x dx
vx x
ì
ï
ï
ì
ï
==
ï
=+
ï
ï

uxx
du
xx
I
xx
dv dx
vx
x
x
p
ì
ï
-
ì
ï
ï
=+
=
ï
ï
ï
ï
ïï
+
=-+
íí
ïï
+
=
ïï

2
2
sin cos
cos
4
cos
cos
1
4
sin cos
sin cos
x
xx x
u
du
x
x
I
xx
dv dx
v
xx x
xx x
p
p
ì
ï
ì
ï
ï+

13
Bàitập4.(TríchtừcácđềthiĐH_CĐ)Tínhcáctíchphânsau:
a)(B_2009)
()
3
2
1
3ln
1
x
Idx
x
+
=
+
ò
  b)(D_2008)
2
3
1
lnx
Idx
x
=
ò

c)(D_2007)
32
1
ln

a)
() () ()
333
222
111
3ln 3 ln
111
xx
Idxdxdx
xxx
+
==+
+++
òòò

Đặt
()
2
ln
1
1
1
11
dx
ux
du
x
dx
dv
x

î

27
3ln
16
4
I
+
=

e) Đặt
()
2
2
21
ln
1
x
uxx
du dx
xx
dv dx
vx
ì
ï
-
ì
ï
ï
=-

1ln 2 1ln 2 lnIx xx dxx xx x x
x
æö
÷
ç
÷
=- - - - =- - - -
ç
÷
ç
÷
ç
èø
ò










ChuyênđềluyệnthiđạihọcLêNgọcSơn_THPTPhanChuTrinh


14
Tínhdiệntíchhìnhphẳng
 Chohìnhphẳnggiớihạnbởicácđường

ò
  
()
b
a
Sfxdx=-
ò
 
() () ()
cd e
acd
S f xdx f xdx fxdx=-+
òòò

 Chohìnhphẳnggiớihạnbởi
(), ()
, ()
yfxygx
xaxbab
ì
ï
==
ï
í
ï
== <
ï
î
.Khiđódiệntíchcủahìnhphẳng
đượctínhbởicôngthức:

 Diệntíchhìnhphẳnggiớihạnbởi
1
2
(): ()
(): ()
Cyfx
Cygx
ì
ï
=
ï
í
ï
=
ï
î
(cácđườngcongtựcắtkhépkín)

 +Bước1:Giảiphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểm () ()
xa
fx gx
xb
é
=
ê
=
ê
=
ê
ë

ï
î


 +Bước1:Giảicácphươngtrìnhhoànhđộgiaođiểm
 +Bước2:Sửdụng
() () () ()
cn
ac
S fxhxdx gxhxdx
éùéù
=-+-
êúêú
ëûëû
òò

Chúý:
Đểphádấutrịtuyệtđốitacóhaicáchchínhlà:
 +DựavàođồthịhàmsốDùngnhiềutrongcácđềthi
 +Dựavàođịnhnghĩagiátrịtuyệtđối
Phảighichữ“đvdt”vàokếtquảcuốicùngsaukhitínhdiệntích.
ChuyờnluynthiihcLờNgcSn_THPTPhanChuTrinh


16
Bitp1.Tớnhdintớchhỡnhphng
{}
2
: 3 2, 0, 0, 3Syx x y x x=-+ = = =
Hngdn:

trờn
1
;3
3
ộự
ờỳ
ờỳ
ởỷ

x

1
3
1
3

3
log x


-
0
+

+Dintớchcntớnhl:
313 31
333
111 11
33 3
184

+Phngtrỡnhhonhgiaoim
2
1
430
3
x
xx
x
ộ
=
ờ
-+ -=
ờ
=
ờ
ở

+Dintớchcntớnhl:
()
33
22
11
4
43 43
3
Sxxdx xxdx=-+- =-+- =
ũũ
(vdt)
Bitp3.Tớnhdintớchhỡnhphng
{}

22
2
Sxxdx xxdx

= + = + =
ũũ
(vdt)
Bitp4.Choth
2
(): 4 3Cy x x=- + -

a) Vitphngtrỡnhtiptuyn
12
,TT
vi
()C
lnltti
(0; 3), (3;0)MN-

b) Tớnhdintớchhỡnhphnggiihnbith
Hngdn:
+Tiptuynti
M
:
43yx=-

+Tiptuynti
N
:
26yx=- +

2
(): 2Py x=
(Phn
bờntrong
()P
)
Hngdn:
+Xộth
22
2
84
2
2
xy x
x
yx
ỡ
ộ
ù
+= =-
ù
ù
ờ

ớ
ờ
ù
=
=
ờ

ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ốứ
ũ
(vdt)


ChuyờnluynthiihcLờNgcSn_THPTPhanChuTrinh


18
Bitp6.Tớnhdintớchhỡnhphng
{}
2
:43,3Sy x x yx=-+ =+

Hngdn:
+Phngtrỡnhhonhgiaoim:
()
2
0
43 3
5
30
x
xx x
x

ũ
(vdt)
Bitp7.Tớnhdintớchhỡnhphng
{}
2
: ( ): 2 0,( ): 0SCy yx Dxy-+= +=

Hngdn:
+
2
0; 0
() (): 2 0
3; 3
yx
CDy yy
yx
ộ
==
ờ
ầ-++=
ờ
==-
ờ
ở

+Dintớchcntớnhl
()
3
2
0

=
ù
ù
ù
ầ
ớớ
ùù
=
== -
ùù
ợ
ù
ợ

+Dintớchcntớnhl
()
2
2
23
2
0
0
8
22 2
266
yy
Sydyyy
ộựổử
ữ
ỗ

ù
ù
ù
=
ớ
ù
ù
==
ù
ù
ợ

Thtớchctớnhbicụngthc:
2
()
b
a
Vfxdx
p
=
ũ

Thtớchhỡnhtrũnxoaykhiquayquanhtrchonhhỡnhphnggiihnbi:
1
2
(): ()
(): ()
,
0()(), ;
Cyfx

a
Vfxgxdx
p
ộự
=-
ờỳ
ởỷ
ũ

Bitp1.Tớnhthtớchhỡnhtrũnxoaykhiquayquanhtrc
Ox
hỡnhphnggiihnbi
44
sin cosyxx=+
,trchonh,cỏcngthng 0,xxp==

Hngdn:
Thtớchcntớnhl:
()
44 2
000
1313
sin cos 1 sin 2 cos 4
2444
V x xdx xdx xdx
ppp
pppp
ổửổử
ữữ
ỗỗ

15
Vxxdx
p
p
=-=
ũ
(vtt)
ChuyờnluynthiihcLờNgcSn_THPTPhanChuTrinh


20
Bitp3.Chomin(D)giihnbi
2
(): 2Py x=
v
:2dx=

a) Tớnhthtớchhỡnhtrũnxoaykhiquay(D)quanhtrchonh
b) Tớnhthtớchhỡnhtrũnxoaykhiquay(D)quanhtrctung
Hngdn:
a) Thtớchcntớnhl:
22
2
00
() 2 4Vfxdx xdx
ppp
===
ũũ

b) Min(D)giihnbi:

ũ
(vtt)
Bitp4.Chomin(D)giihnbi
2
(): 2Py x x=-
vtrchonh.
c) Tớnhthtớchhỡnhtrũnxoaykhiquay(D)quanhtrchonh
d) Tớnhthtớchhỡnhtrũnxoaykhiquay(D)quanhtrctung
Hngdn:
a) Phngtrỡnhhonhgiaoim:
2
0
20
2
x
xx
x
ộ
=
ờ
-=
ờ
=
ờ
ở

Thtớchcntớnhl:
()
2
2

Min(D)giihnbi
1
2
11
11
01
xy
xy
y
ỡ
ù
=+ -
ù
ù
ù
ù
=- -
ớ
ù
ù
ÊÊ
ù
ù
ù
ợ

Thtớchcntớnhl:
()
()()
11 1

(): 4 1Cx y+- =
.Tínhthểtíchhìnhtrònxoay
khiquay(D)quanhtrụchoành:
Hướngdẫn:
+Tacó
()

2
2
1
2
2
2
41
41 (1 1)
41
yx
xy x
yx
é
=+ -
ê
+- = -££
ê
ê
=- -
ê
ë

+Thểtíchcầntínhlà:

+Tacó
2
5
50 ( 5)
5
yx
yx x
yx
é
=-
ê
+-= £
ê
ê
=- -
ë

+Xéthệ
2
4; 1
50
1; 2
30
xy
yx
xy
xy
ì
é
ï

ï
ï
ï
=-
ï
í
ï
=
ï
ï
ï
££
ï
ï
î

+Thểtíchcầntínhlà:
() ()
53
2
11
16
53
3
Vxdxxdx
pp p
= =
òò
(đvtt)
